《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]

《椭圆》方程典型例题20例
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，
其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，
椭圆的标准方程为：11
42
2=+
y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，
椭圆的标准方程为：116
42
2=+
y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：3
1
222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3
331-
=
e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，
M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为1222
=+y a
x ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012
22y a
x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22
2112a
a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，
4
1
12===
a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14
22
=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆19252
2=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭
⎫
⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的
距离成等差数列．
（1）求证821=+x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：
a
c x c
a AF =-12
， ∴ 115
4
5x ex a AF -=-=． 同理 25
4
5x CF -
=． ∵ BF CF AF 2=+，且5
9=
BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x ，
即 821=+x x ．
（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫
⎝
⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为
()422
12
121---=
+-
x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得
()
2122
21024x x y y x --=-
又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，
∴ ()212125259
x y -=
(
)
22222525
9x y -= ∴ ()()21212
2
2125
9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25
3640-
=-x ∴ 4
540
590=--=x k BT
．
典型例题五
例5 已知椭圆13
42
2=+y
x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M
到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得
2=a ，3=b ，∴1=c ，2
1=
e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：
11121
2x ex a MF -=-=，
11221
2x ex a MF +=+=．
∵212
MF MF MN ⋅=，
∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+112
12122124x x x ．
整理得048325121=++x x ．
解之得41-=x 或5
12
1-
=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设()
θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得
()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+．
∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1
-=k ．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：
2
12
1x x y y --． 解法二：设过⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④
1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ，，， ①－②得02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得
2
1
2121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．
所求直线方程为0342=-+y x ．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由122
22=+b y a x 求出
1482
=a ，372
=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137
1482
2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
由已知b a 2=． ①
又过点()62-，
，因此有 ()16222
22=-+b a 或()12622
22
=+-b
a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=
b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为
13714822=+y x 或113
522
2=+x y ． （2）设方程为122
22=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所
求方程为19
182
2=+
y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦
点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
典型例题八
例8 椭圆112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率2
1
=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e
AM 1
+
均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1
=e ，右准线
8=x l ：．
过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故
MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故
32=M x ．所以()
332，M ．
说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，
2
1
=
e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九 例9 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.
sin cos 3θθy x ，
设椭圆上的点的坐标为
()θθsin cos 3，，
则点到直线的距离为
2
63sin 226sin cos 3+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
+-=
θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=
e ，已知点⎪⎭
⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求
d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122
22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．
由22
2
22222
1a
b a b a a
c e -=-==可得 21
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则
4931232
2222
22+-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 342134933422
22++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=+--=b y y y b
其中b y b ≤≤-． 如果2
1
<
b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()
2
2
237⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．
因此必有21≥b 成立，于是当2
1
-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()
34722
+=b ，可得1=b ，2=a ．
∴所求椭圆方程是11
42
2=+
y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-213，到
点⎪⎭
⎫
⎝⎛230，P 的距离是7．
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθ
sin cos b y a x ，其中0>>b a ，
待定，πθ20≤≤，θ为参数．
由2
2
22222
1⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2
1
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭
⎫
⎝⎛230，P 的距离为d ，则
2
2222
2
23sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d
4
9s i n 3s i n
342
22+--=θθb b b 3421s i n 322
2
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=b b b θ
如果
121>b ，即2
1
<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．
由题设得
()
2
2
237⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有
121
≤b
成立． 于是当b
21
sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()
34722
+=b ，∴1=b ，2=a ．
∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos 2y x ．
由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．
典型例题十一
例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由x y x 63222=+，得
123492322
=+⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭
⎫
⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点
和（3，0）点．
设m x y x =++222，则 ()1122
+=++m y x
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，
即41=+m ，∴15=m ．
∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
例12 已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，
120≠∠APB ．
（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据
120=∠AQB 得到322
22
-=-+a
y x ay ，将2222
2y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设()0，
c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP
+=
2，()
a c a
b k BP -=2
．
∵APB ∠是AP 到BP 的角．
∴()()()
222
2
24
2
221tan c
a a c a
b a
c a b a c a b APB -=-++-
-=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB
故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=
，a
x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．
∴2
2222
221tan a y x ay a x y a x y
a x y AQB -+=-++-
-=∠
∵ 120=∠AQB ， ∴
322
22-=-+a
y x ay
整理得()
023222=+-+ay a y x
∵2
222
2
y b
a a x -=
∴02132
22=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a
∵0≠y ， ∴2
2
32c ab y = ∵b y ≤， ∴b c
ab ≤2
2
32 232c ab ≤，()
222234c c a a ≤-
∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥
e 或22-≤e （舍），∴
13
6
<≤e ．
典型例题十三
例13 已知椭圆
19
82
2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1
=e ，得4=k ．
当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．
由21=
e ，得
4191=-k ，即4
5
-=k ． ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k ．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，
所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆1422
22=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左
准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由142222=+b
y b x ，得b a 2=，b c 3=，23
=e ．
由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得
b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，
e d PF =1
1，1d 为P 到左准线的距离，
∴b e
PF d 3211==
，
即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵
e d PF =2
2，2d 为P 到右准线的距离，2
3==
a c e ， ∴
b e
PF d 3
3
222=
=
．
又椭圆两准线的距离为b c a 3
3
822=⋅．
∴P 到左准线的距离为
b b b 323
32338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生
误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
例15 设椭圆⎩⎨⎧==.
sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π
=∠POx ，
求P 点坐标．
分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．
解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3
π， ∴α
α
π
cos 4sin 323
tan
=
，即2tan =α．
而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =
α，5
52sin =α， ∴P 点坐标为)5
15
4,554(
．
典型例题十六
例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 上的一点，P 到左
焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点
的距离转化为点到相应准线距离．
解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c
a x PQ 2
0+=，
由椭圆第二定义，
e PQ
PF =1，
∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆15
92
2=+
y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．
(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点
P 坐标； (2) 求22
3
PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：
(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由
6
221==+a PF PF ，
2
2AF PF PA -≥，
∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩
⎨⎧=+=-+4595,022
2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214
15
75,2141579(2
-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，
P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．
(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=
e ．由椭圆第二定义知3
2
2==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+
22
3
，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为2
9
=x ．
∴A 到右准线距离为2
7
．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5
5
6(
． 说明：求21
PF e
PA +
的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作
垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
例18 (1)写出椭圆14
92
2=+
y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ⎩
⎨⎧==θθ
sin 2cos 3y x )(R ∈θ．
(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y
轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)2
0(π
<θ<，
则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
12
2
22=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即
3160tan 1
212=+-=
︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得
032332
121
2
1
=--+c cy y x ．又122
122
1=+b
y a x ，两方程联立消去2
1x 得
03234122
12=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF
∆中运用余
弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．
解：(法1)设椭圆方程为122
22=+b
y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，
)0,(2c F ，0>c ，
则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得
)
)((24)()(2160cos 112
2121ex a ex a c ex a ex a -+--++=
=︒， 解得2
2
22
134e
a c x -=． (1)∵],0(22
1a x ∈，
∴22
22340a e
a c <-≤，即042
2≥-a c ． ∴2
1≥=
a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,2
1
[∈e ．
(2)将2
222
134e
a c x -=代入122
22=+b y a x 得 242
13c b y =，即c
b y 32
1=．
∴2
221333221212
1b c
b c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF
，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．
(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得
︒
=
=60sin 2sin sin c
n m βα． ∴
︒
=
++60sin 2sin sin c
n m βα ∵a n m 2=+， ∴
︒
=
+60sin 2sin sin 2c
a βα， ∴2
cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒
=
+︒==
a c e 212
cos
21≥-=βα．
当且仅当βα=时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是)1,2
1
[∈e ．
(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：
︒-+=60cos 2)2(222mn n m c
mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+，
∴mn a c 34422-=，即2223
4
)(34b c a mn =-=． ∴2
3
360sin 2121b mn S F PF =︒=
∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，
c 的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
例20 椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点
P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθ
sin cos b y a x )0(>>b a ，
则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴
1cos sin cos sin -=-⋅a
a b a b θθ
θθ，
即0cos cos )(2
2
2
2
2
=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2
22
cos b a b -=θ，
∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112
22<-<-b
a b ，又2
22c a b -= ∴2022
<<c
a ，
∴22>
e ，又10<<e ，∴12
2<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,2
2
(
，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。