《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]
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《椭圆》方程典型例题20例
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,
其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,
椭圆的标准方程为:11
42
2=+
y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,
椭圆的标准方程为:116
42
2=+
y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.
解:3
1
222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3
331-
=
e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.
典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,
M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
解:由题意,设椭圆方程为1222
=+y a
x ,
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012
22y a
x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22
2112a
a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,
4
1
12===
a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14
22
=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
典型例题四
例4椭圆19252
2=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭
⎫
⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的
距离成等差数列.
(1)求证821=+x x ;
(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:
a
c x c
a AF =-12
, ∴ 115
4
5x ex a AF -=-=. 同理 25
4
5x CF -
=. ∵ BF CF AF 2=+,且5
9=
BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x ,
即 821=+x x .
(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫
⎝
⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为
()422
12
121---=
+-
x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得
()
2122
21024x x y y x --=-
又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,
∴ ()212125259
x y -=
(
)
22222525
9x y -= ∴ ()()21212
2
2125
9x x x x y y -+-=-. 将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 25
3640-
=-x ∴ 4
540
590=--=x k BT
.
典型例题五
例5 已知椭圆13
42
2=+y
x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M
到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得
2=a ,3=b ,∴1=c ,2
1=
e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:
11121
2x ex a MF -=-=,
11221
2x ex a MF +=+=.
∵212
MF MF MN ⋅=,
∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+112
12122124x x x .
整理得048325121=++x x .
解之得41-=x 或5
12
1-
=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②
则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
(3)本例也可设()
θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
典型例题六
例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.
分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得
()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k .
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+.
∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得2
1
-=k .
所以所求直线方程为0342=-+y x .
分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:
2
12
1x x y y --. 解法二:设过⎪⎭
⎫
⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得