高考椭圆题型总结(最新整理)

椭圆题型总结
一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:PA+PB=2a>2c
1.命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹
P B A ,);,0(2常数>=+a a PB PA P 是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 (
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件2.
已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹1F 2F 421=F F P 421=+PF PF P 是（ ）
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.线段3.
已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得
1F 2F P P F 1Q ,那么动点的轨迹是( )
2PF PQ =Q A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4.
已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且
1F 2F α)0(221>=c c F F M α,判断动点的轨迹.
a MF MF 221=+M 5.
椭圆
上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中19
252
2=+y x M 1F N 1MF O 心，则的值是。

ON (二)标准方程求参数范围
1.
若方程表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）
13
52
2=-+-k y k x 2.
( )轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102
2=+>>
A.充分而不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是
.
11
252
2=-+-m y m x 4.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .
22
2
=+ky x 5.方程所表示的曲线是
.
2
31y x -=6.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。

22
2
=+ky x y k 7.已知椭圆的一个焦点为，求的值。

0632
2
=-+m y mx )2,0(m 8.
已知方程表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是
.
222
=+ky x (三)待定系数法求椭圆的标准方程
1.
根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；P （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求)2,3(),1,6(21--P P 椭圆方程.2.
以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程)0,2(1-F )0,2(2F )2,0(A 为 。

3.如果椭圆：上两点间的最大距离为8，则的值为。

k y x =+224k 4.
已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方3694:222=+y x C 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。

5.
已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为和，过点P 3543
5
2作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。

6.
求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）
长轴长是短轴长的2倍，且过点；
)6,2(-
（2）
在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
x (四)与椭圆相关的轨迹方程
1.已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求
P )0,3(-A 64)3(:2
2=+-y x B 动圆圆心的轨迹方程.
P 2.一动圆与定圆内切且过定点，求动圆圆心的轨迹方程.03242
2=-++y y x )2,0(A P 3.已知圆,圆，
动圆与外切，与内切，4)3(:221=++y x C 100)3(:2
22=+-y x C P 1C 2C 求动圆圆心的轨迹方程.
P 4.已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平
)0,21(-A B 4)2
1(:22=+-y x F F AB 分线交于,则动点的轨迹方程为
BF P P 5.已知三边、、的长成等差数列，且点、的坐标
ABC ∆AB BC AC ,CA AB >B C 、，求点的轨迹方程.
)0,1(-)0,1(A 6.一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且
AB a 2x y M AB ,求点的轨迹方程.
2:1:=MB AM M 7.已知椭圆的焦点坐标是，直线被椭圆截得线段中点的横坐标
25,0(±023:=--y x l 为
，求椭圆方程.2
1
8.若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积
ABC ∆)6,0(B )6,0(-C AB AC 是，顶点的轨迹方程为 。

9
4
-
A 9.是椭圆上的任意一点，、是它的两个焦点，为坐标原点，
P 12222=+b
y
a x 1F 2F O ，求动点的轨迹方程。

OQ ＝PF 1+PF 2Q 10. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点
92
2=+y x P x 'PP 'P M
在上，并且，求点的轨迹。

'PP PM ＝2MP‘M 11.已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，则线段的中点的轨
12
2=+y x P x PP’PP’M 迹方程是 。

12.已知，，的周长为6，则的顶点C 的轨迹方程是A （0，‒1）B （0，1）∆ABC ∆ABC。

13.已知椭圆，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP
14
522
22=+y x 中点的轨迹方程。

14.
(五)焦点三角形4a
1.
已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。

若
1F 2F 19252
2=+y x 1F A B ，则。

1222=+B F A F =AB 2.
已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、
1F 2F 19
252
2=+y x 2F A 两点，则的周长是。

B 1ABF ∆3.
已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的
C AB ∆B C 13
22
=+y x A 另外一个焦点在边上，则的周长为。

BC C AB ∆(六)焦点三角形的面积：
1.
设是椭圆上的一点，、为焦点，，
求的面M 116
252
2=+y x 1F 2F 621π=∠MF F 21MF F ∆积。

2.
已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到P 14
22
=+y x 1F 2F 021=∙PF PF P x
轴的距离。

3.
已知点是椭圆上的一点，、，则P 1
92522=+y x 1F 2F 21的面积为。

21F PF ∆4.
椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个
14
22
=+y x 1F 2F 1F x
交点为。

P 5.
已知AB 为经过椭圆的中心的弦，为椭圆的右焦点，则
x 2
a 2+y 2
b 2＝1(a >b >0)F （c,o )的面积的最大值为。

∆AFB (七)焦点三角形|PF 1|∙|PF 2|
1.
设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大
14
92
2=+y x 1F 2F P 21PF PF ∙值，并求此时点的坐标。

P 2.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则12
92
2=+y x 1F 2F P 41=PF =
2PF
；。

=∠21PF F 3.
椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的
14
92
2=+y x 1F 2F P 21PF F ∠P 横坐标的取值范围为。

4.
P 为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。

（1）若的中点是116
252
2=+y x 1F 2F 1PF ，求证：；（2）若，求的值。

M 12
1
5PF MO -
=︒=∠6021PF F 21PF PF ∙
(八)中心不在原点的椭圆
1.椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F 的准线方程为
)0,1(-E )0,3(-F ，则这个椭圆的方程是。

2
7
-=x 二、椭圆的简单几何性质
（一）已知、、、、
求椭圆方程
a
b
c e
c
a 21．求下列椭圆的标准方程（1）； （2），一条准线方程为。

32,8=
=e c 3
5=e 3=x 2．椭圆过（3，0）点，离心率为，求椭圆的标准方程。

3
6
=
e 3．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标
准方程为？
4．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为
，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？2
2
5．根据下列条件，写出椭圆的标准方程：
（1）椭圆的焦点为、，其中一条准线方程是；)0,1(1-F )0,1(2F 4-=x （2）
椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，并且椭圆和直线
y 34恰有一个公共点；
016372=-+y x （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到
椭圆的最近距离是。

36．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，右准)0(12222>>=+b a b
y a x 21F F 、22
线方程为。

求椭圆的方程。

答案：2=x 12
22
=+y x 7．根据下列条件求椭圆的方程：
（1）两准线间的距离为，焦距为；答案：或55
185214922=+y x 19422=+y x （2）和椭圆
共准线，且离心率为；1202422=+y x 2
1
（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为
和，3543
5
2过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

（二）根据椭圆方程研究其性质
1．已知椭圆的离心率为，求的值及椭圆的长轴和)0()3(2
2
>=++m m y m x 2
3
=
e m 短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。

2．已知椭圆的长轴长是6，焦距是，那么中心在原点，长轴所在直线与轴重合的
24y 椭圆的准线方程是。

3．椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标
81922
=+y x 为
，顶点坐标为
，离心率为
，准线方程为。

（三）求离心率
1．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，
)0(122
22>>=+b a b
y a x 1F x 若，则椭圆的离心率为（ ）
︒=∠6021PF F 2．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O 圆心，a 为半径
)0(122
22>>=+b a b
y a x
作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率＝。

)0,(2
c
a e 3．若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？
4．椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足为等边三角形的椭圆的离心率
1ABF ∆是？
5．设椭圆的右焦点为，
右准线为，若过且垂直于轴的弦)0(122
22>>=+b a b
y a x 1F 1l 1F x 的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是。

答案：
1F 1l 2
1
6．已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段AB
),0(b A B )0(12222>>=+b a b
y
a x x 的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。

答案：
3
3
（四）第二定义
1．设椭圆上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，)1(11
2
2
22>=-+m m y m x 则P 点到右准线的距离为
2。

（五）参数方程
（六）椭圆系
1．
椭圆
与
的关系为（ ）
19
2522=+y x )90(12592
2<<=-+-k k
y k x A ．相同的焦点 B 。

有相同的准线 C 。

有相等的长、短轴 D 。

有相等的焦距
三、直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系
1．当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。

m m x y l +=:1441692
2=+y x 2．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围
2+=kx y 6322
2=+y x k 为 。

(二)弦长问题
1.已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点,交椭圆于A 、B 两点,求AB 的弦长
2.
.
3．设椭圆的左右两个焦点分别为、，
过右焦点且与)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 1F 2F 2F x 轴垂直的直线与椭圆C 相交，其中一个交点为。

l )1,2(M （1）求椭圆的方程；
（2）
设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线交椭圆C 于另一点N ，
2BF 求的面积。

BN F 1∆(三)点差法
1.
已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求369422=+y x A B AB )1,1(直线AB 的方程.
2.
椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），若为等腰三角形，，求椭圆C 的方程。

PQR ∆︒=∠90PQR
(四)向量结合(五)对称问题
1.
已知椭圆，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直
1
34:22=+y x C 线
对称。

m
x y +=4。