高考椭圆题型总结有答案
高考数学 专题06 椭圆解题技法(解析版)
专题06椭圆解题技法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）椭圆的定义应用 （二）焦点三角形的应用（三）椭圆的几何意义与离心率 （四）椭圆与圆的综合（五）向量的几何意义与椭圆 （六）向量的数量积与椭圆综合 （七）椭圆中的反射 （八）椭圆的应用问题 （九）轨迹的求法 四．【题型方法】 （一）椭圆的定义应用例110=的化简结果为（ ）A.2212516x y += B.2212516y x += C.221259x y += D.221259y x +=【答案】D【解析】曲线方程()()2222+4+410x y x y ++-=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以223b a c =-=，所以曲线方程的化简结果为221259y x+=.故选D 项.练习1．已知椭圆221259x y +=，1F 、2F 是其左右焦点，过1F 作一条斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ） A.5 B.10C.20D.40【答案】C【解析】由椭圆221259x y +=，得5a =，如图：由椭圆定义可得，12||||210AF AF a +==，12||||210BF BF a +==；2ABF ∴∆的周长为：2122C ||||||ABF AB AF BF ∆=++1212||||||||420AF AF BF BF a =+++==．故选：C ．（二）焦点三角形的应用例2．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得123PF PF b -=，1294PF PF ab ⋅=.则该椭圆的离心率为（ ） A.23 B.223C.13D.24【答案】B【解析】椭圆定义可得122PF PF a +=，又123PF PF b -=， 解得11|(23)2|a b PF =+，21(23)2PF a b =-，1294PF PF ab ⋅=，可得()22194944a b ab -=，即为224990a ab b --=，化为(3)(34)0b a b a -+=，可得3a b =，2222922c a b b b b =-=-=，则该椭圆的离心率为22c e a ==． 故选：B ．练习1．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形 答案选B（三）椭圆的几何意义与离心率例3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（ ） A.12 B.23 32 【答案】D 【解析】设|F 1B |=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB |=4k ，∴|AF 2|=2a -3k ，|BF 2|=2a -k∵cos ∠AF 2B =35，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4k ）2=（2a -3k ）2+（2a -k ）2-65（2a -3k ）（2a -k ），化简可得（a +k ）（a -3k ）=0，而a +k ＞0，故a =3k ，∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c =22a ，∴椭圆的离心率e =22c a =，故选：D ．练习1．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C. （四）椭圆与圆的综合例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）3B.122 6 【答案】D【解析】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ====，故选：D. 练习1. ．如图，已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．53C ．63D ．255【答案】B【解析】如图：连接OQ ，1PF ，Q 点Q 为线段2PF 的中点，1//OQ PF ∴，112OQ PF =，122PF OQ b ∴==，由椭圆定义，122PF PF a +=，222PF a b ∴=-Q 线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，2OQ PF ∴⊥，12PF PF ∴⊥，且122F F c =，222(2)(22)(2)b a b c ∴+-=即32b a =，2259a c =，5c e a ∴==故选：B ．（五）向量的几何意义与椭圆例5. 设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b y x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则椭圆的离心率是( )A 221+B ．2217C ．213D 21【答案】A【解析】根据()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量加法法则，则BF 与OC 交点为OC 的中点，故BFOBFC S S ∆∆= ，由22221x y a b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22C ，BFO BFC S S ∆∆=Q ，则2BOFC BOF S S bc ∆==112222BOFC BOC OFC S S S b c bc ∆∆=+=+= 可得(221)a c = 2217221c e a ∴===- 故选：A ．方法2，设BF 与OC 交于点M ，由条件知M 是OC 的中点，则)22,22(baM又B （0，b ），F （c ，0），B ，M ，F 三点共线,所以MF BF k k =,即c abcb-=-2222可得(221)a c =2217221c e a ∴===-练习1．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u r u u u r，2FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．25,23⎣⎦ B ．)5⎣ C ．2312⎤⎢⎥⎣⎦D ．)31,1⎡⎣ 【答案】A【解析】设椭圆左焦点为F '，连接,AF BF ''由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形0FA FB ⋅=u u u r u u u rQ FA FB ∴⊥ ∴四边形AFBF '为矩形设AF m =，AF n '=，则2m n a +=()222222424m n m n mn a mn c ∴+=+-=-=，解得：22mn b =22222m n m n c mn n m b+∴=+= ※(关键步骤)2FB FA FB ≤≤Q []1,2AF AF m FB AF n ∴==∈' 52,2m n n m ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦即222522c b ≤≤ 2222522c a c ∴≤≤-，即2225212e e ≤≤-，解得：21529e ≤≤25e ∴∈⎣⎦本题正确选项：A方法2,设∠AF’F =α,直角∆F’AF 中，AF’=2ccosα，AF=2csin α，AF+AF’=2a 即2ccosα+2csin α=2a)4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 直角∆F’AF 中tan α=AF AF' =AF BF ∈[1,2],则],4[0απα∈其中2tan 0=α，51cos ,52sin 00==αα )4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 在],4[0απα∈上单调递增， 当4πα=是e 最小值为22当0αα=时，e 最大值为3551521=+（六）向量的数量积与椭圆综合例6. ．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD．4【答案】C【解析】222AF F B =u u u u r u u u u rQ 设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-，120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥ 在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3ax =，2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.练习1. 已知椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且12AF AF 0⋅=u u u r u u u r，直线2AF 交y 轴于点M ，若12FF 6OM =，则该椭圆的离心率为( ) A.13C.58【答案】D【解析】结合题意，可知122,3c F F c OM ==则，故21tan 3MF C ∠=，结合120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，可知01290F AF ∠= 故1213AF AF =，设12,3AF x AF x ==，所以234a x x x =+=，()22224310c x x x =+=，所以c e a ==D 。
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学椭圆测试题及答案
高考数学椭圆测试题及答案高考数学椭圆专项考试及答案一、选择题2.已知焦点在X轴上的椭圆的偏心率为，其长轴长度等于圆的半径c 3360 x2 y2-2x-15=0，那么椭圆的标准方程为()(甲)=1(乙)=1(C) y2=1 (D)=1第二，填空7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的xx为原点，焦点F1、F2在X轴上，偏心率为。
穿过F1的直线L在A点和B点与C相交，ABF2的周长为16，那么C 的方程如下。
8.已知点P是椭圆16x2 25y2=400上的点，在X轴上方，F1和F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为-4，那么F1，F2的面积为。
9.如果通过椭圆=1(a0)的左右焦点F1和F2的两条相互垂直的直线L1 l1、l2的交点在该椭圆内，则该椭圆的偏心率的取值范围为。
第三，回答问题10.(2013 Xi安模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意点P到两个固定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4。
(1)求曲线c的方程.(2)让通过(0，-2)的直线L和曲线C在A点和B点相交，以线段AB为直径做一个圆。
:圆能通过坐标原点吗？如果是，请写出此时直线L的方程，证明你的结论；如果没有，请说明原因。
1.(2013渭南模拟)已知椭圆C:=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x。
焦点、上顶点B和偏心率为。
(1)求椭圆c的方程.(2)通过点(0)的直线L，斜率为k，在点P和q与椭圆C相交，若直线PQ中点的横坐标为-，求解直线L的方程.12.(能力挑战)已知点P是圆F1:(x )2 y2=16上的任意一点，点F2和点F1关于原点对称。
线段PF2和PF1的中线相交于点m .(1)求m点的轨迹c的方程.(2)设轨迹C和X轴的左右交点分别为A和B，点K为轨迹C上不同于A和B的任意点，KHx轴和H为垂足，延伸HK到点Q使|HK|=|KQ|，连接AQ并延伸与B相交且垂直于X轴的直线L到点D，n为d B的中点。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
2025年高考数学一轮知识点复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质-专项训练【含答案】
第一章集合、常用逻辑用语与不等式第二节常用逻辑用语1.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.∀x∈R，1＜f（x）≤2B.∃x∈R，1＜f（x）≤2C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞22.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜bC.若2x为偶数，则x∈ND.π是无理数3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）使2≥1成立的一个充分不必要条件是（）A.0＜x＜1B.0＜x＜2C.x＜2D.0＜x≤27.（多选）已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5）D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）8.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题p是命题（填“真”或“假”）.9.能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1≥2”是假命题的x的值可以是（写出一个即可）.10.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.11.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x212.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）13.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A.xc2＞yc2B.1＜1＜0C.｜x｜＞｜y｜D.ln x＞ln y14.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
高考椭圆最常考的题型(140分推荐)
高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)， 所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5， 所以a =√5，从而b 2=5−4=1， 所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率． 【解答】 解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23， 又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23， 即aa+c =23， ∴e =ca =12． 故选C ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59， 故选：A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22． 故选C ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， 即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ， 令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】 【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果． 【解答】 解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)， 由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8， 所以a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1． 故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3， 即b 2+c 2=(√3)2=3， 而a 2=b 2+c 2， 所以a 2=3，b 2=2， 所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1， 设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0， 所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53， 则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5， 又a >c ，∴a 2=5舍去， 故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ， 联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1， 经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1， 消去x 得5y 2+2y −3=0． 所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2， 又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2， 由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3， 由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0． 又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3． 代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)． 所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0， 即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517， 故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意： 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意， 所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)． 由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ， 由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0， 所以y M =2tt 2+1， 因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方， 故点P 坐标为(a2,√3b2)， 又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)， 所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0， 即3(ca )2+6⋅ca −4=0， 所以3e 2+6⋅e −4=0， 解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2． 由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
高考数学试卷椭圆真题答案
1. 已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若C关于x轴对称，则下列哪个选项是正确的？A. $a>b$B. $a<b$C. $a=b$D. 无法确定答案：A解析：由于椭圆C关于x轴对称，所以其方程中$x^2$的系数大于$y^2$的系数，即$a>b$。
2. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若点P （x0，y0）在椭圆C上，则下列哪个选项是正确的？A. $x_0^2+y_0^2=a^2$B. $x_0^2+y_0^2=b^2$C. $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$D. $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$答案：C解析：点P在椭圆C上，所以满足椭圆的方程，即$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。
3. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若直线l的方程为$y=kx+b$，且l与椭圆C相切，则下列哪个选项是正确的？A. $k^2=\frac{a^2}{b^2}$B. $k^2=\frac{b^2}{a^2}$C. $k^2=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$D. $k^2=\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$答案：A解析：由于直线l与椭圆C相切，所以它们只有一个交点，即判别式$\Delta=0$。
根据直线与椭圆的位置关系，可得$\Delta=\frac{b^2k^2-a^2b^2}{a^2}=0$，解得$k^2=\frac{a^2}{b^2}$。
4. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若椭圆C的离心率e满足$e^2=\frac{c^2}{a^2}$，则下列哪个选项是正确的？A. $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$B. $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$C. $e^2=\frac{b^2}{a^2}$D. $e^2=\frac{a^2}{b^2}$答案：A解析：椭圆的离心率e定义为$\frac{c}{a}$，其中c是焦点到中心的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。
6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
（略）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或 （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1． 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ； （2）过（3，0）点，离心率为36=e 。
180144,1801442222=+=+y x x y 或 139,19272222=+=+y x x y 或 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
1129,11292222=+=+y x x y 或 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为12516,125162222=+=+y x x y 或 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
11035,110352222=+=+y x x y 或 3．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为_____33________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率1．椭圆192522=+y x 与)90(192522<<=-+-k ky k x 的关系为（ A ）A ．相同的焦点B 。
有相同的准线C 。
有相等的长、短轴D 。
有相等的焦距2、求与椭圆14922=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。
1101522=+y x（五）焦点三角形4a1. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若1222=+B F A F ，则=AB8 。
2. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是 20 。
3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆（六）焦点三角形的面积：1. 已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。
解：设),(y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1432222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。
解：||||2||||24||||24||||2|)||(|||||2||||||cos 2121221221221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ⋅⋅-=⋅-⋅-+=⋅-+=θ当621π=∠MF F ，S=)32(166sin ||||2121-=⋅πPF PF3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，若212121=••PF PF PF PF ，则21F PF ∆的面积为 33 。
4. 已知AB 为经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为 cb 。
（七）焦点三角形1. 设椭圆14922=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时P 点的坐标。
2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF 2 ；=∠21PF F 120O 。
3.椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为)55,553(- 。
4.P 为椭圆1162522=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若1PF 的中点是M ，求证：1215PF MO -=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF •的值。
解：（1）MO 为三角形PF 1F 2的中位线，||215|)|2(21||21||112PF PF a PF MO -=-== （2）21PF PF •=364（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足10)3()3(2222=-++++y x y x ，求点M 的轨迹方程。
（1162522=+x y ） 2. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.171622=+y x 3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.解：由题12102||||21=-++=+r r PC PC所以点P 的轨迹是：以1C ，2C 为焦点的距离之和为12的椭圆。
6,3==a c ，方程为1273622=+y x4.已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P的轨迹方程为 13422=+y x5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 14322=+y x 。
直接法6. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为1368122=+y x 。
相关点法7. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且'2MP PM =，求点M 的轨迹。
1922=+y x 8. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是 1422=+y x 。
9. 已知椭圆1452222=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。
1425)52(22=++y x 10. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.194922=+y x二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1． 当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。
解：由⎩⎨⎧=++=14416922y x m x y 消去y 得014416322522=-++m mx x ，判别式：)25(5762m -=∆ 所以，当55<<-m 时直线与椭圆相交；当5±=m 时直线与椭圆相切；当5m m >-<或5时直线与椭圆相离。
2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为 。
3636>-<k k 或 (二)弦长问题1. 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C相交，其中一个交点为)1,2(M 。
（1） 求椭圆的方程；12422=+y x（2） 设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1∆的面积。
解：由（1）点B （0，2-），)0,2(2F ，直线BF 2的方程为：2=-y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-124222yx y x 消去y 得：02432=-x x ，解得324x x ==或0 所以点N 的坐标为（324，32）所以38)232(222121211=+⋅=+=∆∆∆N F F B F F BN F S S S (三)点差法1. 已知一直线与椭圆 369422=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.解：设交点),(),(2211y x B y x A ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(3694)1(369422222121 y x y x （2）-（1）得0))((9))((412121212=+-++-y y y y x x x x即k x x y y =-=--94)()(1212，又直线AB 过点（1，1）所以直线AB 的方程为：)1(941--=-x y2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），若PQR ∆为等腰三角形，︒=∠90PQR ，求椭圆C 的方程。