数据拟合——线性回归

数据拟合——线性回归法
【概述】
MATLAB支持用户对数据用线性回归方法linear regression建立模型。

模型是指自变量和因变量之间的关系。

线性回归方法建立的模型的系数是线性的。

最常用的线性回归方法是最小二乘拟合，可进行线性拟合和多项式拟合。

1.线性相关性分析Linear Correlation Analysis
在对两组测量数据建立关系模型前，最好对这些数据之间的关系作一个判断——相关性分析，看二者是否真的存在线性关系。

这里，我们只介绍相关性系数①Correlation coefficient的计算。

简单的说，相关性系数是绝对值在0-1之间的数，其绝对值越接近1，表明数据之间存在线性关系的可能性越大。

反之，数据越接近0，表明数据之间不太可能存在线性关系。

✧MATLAB语法：R = corrcoef(x,y)
计算数据x和y的相关系数矩阵R
示例1：
x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
y = [1 4 9 16 25 36 49 64 81 100];
R = corrceof(x,y)
R =
1.0000 0.9746 此数据表明两组数据具有很强的线性关系
0.9746 1.0000
示例2：
x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
y = [0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440];
R = corrceof(x,y)
R =
1.0000 -0.1705 此数据表明两组数据不存在线性关系
-0.1705 1.0000
2.评价数据拟合的优劣——残差计算
残差被定义为实际测量数据与利用模型拟合（预测）的数据之差。

合适的模型计算的残差应该接近独立的随机误差。

如果计算得到的残差具有某种特殊的模式，那么模型就不合适。

3.利用MATLAB函数进行数据拟合
⏹多项式模型
MATLAB提供了2个用于多项式拟合的函数polyfit和polyval。

✧MATLAB语法：p = polyfit(x,y,n)
通过对数据x和y进行n阶多项式②拟合(基于最小二乘法)，计算n阶多项式系数p
✧MATLAB语法：y = polyval(p,x)
计算以p为系数的多项式，在x处的函数值y
示例3：
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25];
plot(t,y,'o')
用二阶多项式进行拟合
p=polyfit(t,y,2)
p =
-0.2942 1.0231t 0.4981
查看拟合的效果：1.绘制多项式曲线
t2 = 0:0.1:2.8;
y2=polyval(p,t2); plot(t,y,'o',t2,y2)
查看拟合的效果：2.计算残差
y2=polyval(p,t);
res=y-y2; plot(t,res,'+')
分析：可以看出，此题用二阶多项式拟合的效果不好，可以通过采用更高阶的多项式拟合来获得更好的效果。

但要注意，对于实际的问题进行建模时，阶次的选择应符合物理意义。

{课堂练习}对本题数据进行5阶多项式拟合，计算残差，绘制相应的波形。

具有非多项式项的线性模型
例如012t t
y a a e a te --=++，函数与系数是线性的，但与自变量不是线性关系。

可以通过构造
一组方程来解决系数的求解问题。

示例4：
% 以列向量形式输入t 和y
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
% 构造矩阵
X = [ones(size(t)) exp(-t) t.*exp(-t)];
% 计算系数
a = X\y
a =
1.3983
- 0.8860
0.3085
线性关系为 1.39830.8860.3085t t
y e te --=-+
查看拟合的效果：绘制多项式曲线
T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*a;
plot(T,Y ,'-',t,y,'o'), grid on
多元回归
当自变量不止一个时，如01122y a a x a x =++。

示例5：
x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]';
x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]';
y = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';
X = [ones(size(x1)) x1 x2];
a = X\y
a =
0.1018
0.4844
-0.2847
验证模型，计算最大残差的绝对值
Y = X*a;
MaxErr = max(abs(Y - y))
MaxErr =
0.0038
此数据远小于y 数据，说明此模式较好。

4.利用图形工具——MATLAB Basic Fitting
以图形用户界面提供方便、强大的数据拟合工具，提供以下功能：
✓提供样条插值模型、保型插值模型和多项式模型；
✓绘制原始数据、拟合数据，残差图形；
✓计算模型的相关性系数和范数；
✓利用数据模型插值或外推数据；
✓在工作区保存拟合以及计算结果；
✓生成m文件以供拟合新数据。

当需要拟合的数据量很大时，最好先对数据进行排序。

对数据x,y进行排序可利用以下命令实现：[x_sorted, i] = sort(x); y_sorted = y(i); 排序后的数据为x_sorted和y_sorted。

MATLAB Basic Fitting位于图形窗口的tool菜单中。

示例6：
导入已有的数据，并作图
load census
plot(cdate,pop,'ro') %cdate和pop③
在图形窗口的菜单中选择Tools > Basic Fitting
①相关性系数
②n阶多项式
③cdate is a column vector containing the years from 1790 to 1990 in increments of 10. pop is a column vector with the U.S. population numbers corresponding to each year in
cdate.。