线性回归模型的拟合优度检验方法分析
回归分析的“拟合优度”是啥
回归分析的“拟合优度”是啥'前⾯我们学习了回归分析的基本理论和⼤致操作，那么分析结果中都会提到⼀个“拟合优度”的指标，那么它到底是怎么来的？代表了什么，⼜怎么来判定拟合度？今天，⼩学僧就和⼤家⼀起来学习⼀下。
01. 拟合优度是什么？说起“拟合优度”，⽹上有这么个⼩段⼦，分享⼀下来乐呵乐呵暖个场吧！⼤学上统计学的课，我和室友去晚了只能坐前排。
前天游戏打得太晚，实在憋不住了他开始打瞌睡，我开始打呼噜。
⽼师听到呼噜声实在不能忍，就厉声叫到，“你起来解释⼀下拟合优度！”梦中惊醒，我镇定⼀下，想着后⾯还有⼥神呢咱可不能丢脸，决定⼀边拖⼀边等待⽀援，于是胳膊肘捅了捅室友说，“额，我和优度啊，额。
”整个教室楞了⼀下，然后笑翻了。
哈哈哈，如有雷同，请⾃⾏对号⼊座⼼中窃喜哈！下⾯⾔归正传，敲⿊板、划重点了啊！所谓“拟合优度”，是回归分析中⽤来检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度，⽤于评价回归⽅程对样本观测值的拟合程度。
02. 拟合优度是怎么来的？先举个统计学上的经典例⼦来说明⼀下哈！英国统计学家F.Galton研究⽗亲⾝⾼和其成年⼉⼦⾝⾼的关系时，从⼤量的样本观测值的散点图中，天才般地发现了⼀条贯穿其中的直线，这条直线能够描述⽗亲和成年⼉⼦⾝⾼之间的关系。
F.Galton把这种现象叫做“回归”，这条贯穿数据点的线称为“回归线”。
当然，F.Galton还发现，即便⽗亲⾝⾼都相同，他们的成年⼉⼦⾝⾼也不尽相同。
这就是说：成年⼉⼦⾝⾼的差异会受到两个因素的影响：⼀个是他⽗亲⾝⾼的影响；另⼀个是其他随机因素的影响。
那么，我们可以这么理解，即“回归⽅程”中的被解释变量y的各观测值之间的差异，也是由两个⽅⾯原因造成的：⼀是由解释变量x的不同取值造成的；⼆是由其他随机因素所造成的。
实际上，回归⽅程所反映的是：解释变量x的不同取值变化对被解释变量y的影响规律，因此其本质上揭⽰的是上述第⼀个原因。
统计学上，我们把这个因素引起的y的变差平⽅和称为“回归平⽅和”（regression sum of squares,SSR）。
回归模型的统计检验
分布。 F 统计量服从自由度为 ( k , n − k − 1) 的 F 分布。选定 分布表（见本书附录） 一个显著性水平 α ，查 F 分布表（见本书附录） ， 可以得到一个临界值 Fα ( k , n − k − 1) 。
F检验与R2的关系
根据二者关系，有需注意的几个问题： ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度，F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小， 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
∑ x ∑ x − (∑ x x ) ∑ x σˆ ∑ x ∑ x − (∑ x x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 x2 σ 2 ∑ ˆ
2
2
然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量： 然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量：
ˆ βi − βi t= ˆ S βi
ˆ ˆ ∑(y − y) = ∑ (y − y) + ∑ (y − y )
2 2 i i i i 2
y
yi
ei
yi − y
ˆ ( yi − y )
SRF
y
xi
x
TSS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ ESS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ RSS = Σ ( y i − y i ) 2
拟合优度检验统计量：可决系数( 2、拟合优度检验统计量：可决系数(判
定系数) 定系数)R2和校正可决系数 R2
（1）可决系数 ）
R 2 进行拟合优度检验，可决系 用可决系数 进行拟合优度检验，
数的计算公式为： 数的计算公式为：
( yi − y )2 ∑ˆ 2 R = ( yi − y )2 ∑
多元线性回归模型的统计检验
上的线性关系不显著。
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖F检验只是把模型作为一个整体，对总体 线性关系进行检验；
❖方程在总体上存在显著的线性关系 每个解释变量对被解释变量都具有显著影响
❖还应对模型中的各个解释变量进行显著性 检验，以决定它们是否应当作为解释变量 被保留在模型之中。
可决系数R2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
2
问题
❖ 如果在模型中增加一个解释变量，R2往往会 增大（Why?）
❖ 容易产生错觉：要使模型拟合得好，只要增 加解释变量即可。
❖ 但实际上，通过增加解释变量引起的R2的增 大与拟合好坏无关。
❖ R2度量模型拟合效果失真，R2需调整 。
9
若H0 成立，则有：
F
ESS / k
RSS /n k
1
~
F (k
,
n
k
1)
由样本数据求出F统计量的值。
（3）给定显著性水平，查表得到临界
值F(k , n-k-1)。
10
F检验的拒绝域
f (F)
1-
F F
11
（4）比较、判断 ❖ 若F F (k , n-k-1)，拒绝H0，接受H1 ，模型
开关
类型，尽量选择平头
键
类的按键，以防按键
下陷。
2.开关按键和塑胶按
F检验的思想来自于TSS的分解： TSS = ESS + RSS
其中，ESS表示X对Y的线性作用结果。
考虑比值：ESS / RSS 如果这个比值较大，则X对Y的解释程 度较高，可认为二者在总体上存在线性 关系；
一元线性回归模型的统计检验
3. 怎样进行拟合优度检验 （1）总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n)，得到 如下样本回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和：
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则：p值越小，越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计，但一 次抽样它并不一定等于真实值，所以需要找到包 含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1，查自由度为(n 2)的t分布表，
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中，如果给定
=0.01，查表得：
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是，计算得到1、0的置信区间分别为：
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)
则
TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线(RSS)，另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此，我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。
第三节 一元线性回归模型的统计检验
ˆ ˆ ˆ y i = Yi − Y = (Yi − Yi ) + (Yi − Y ) = ei + y i
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好 拟合最好。 拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。 “离差”
类似, 对多元线性回归方程 : ˆ ˆ ˆ yi = β 0 + β1 ⋅ x1i + L β k ⋅ xki ˆ
F检验与R检验结果一致(P44图2-7):
n − k −1 TSS = F= RSS RSS k (n − k − 1) TSS R n − k − 1 R2 = ⋅ k 1 − R2 kF 2 R = (n − k − 1) + kF
因此,实际应用可选择其一。
ESS
ESS
多元线性回归模型的显著性检验(F检验 多元线性回归模型的显著性检验 检验 模型的显著性检验 检验)
ˆ ) 2 + ∑ (Y − Y ) 2 = RSS + ESS ˆ 所以有： TSS = ∑ (Yi − Yi i
注意： 注意：一个有趣的现象
(Y − Y ) = (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) (Y − Y ) ≠ (Y − Yˆ ) + (Yˆ − Y ) ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y − Yˆ ) + ∑ (Yˆ − Y )
总离差平方和分解公式 总离差平方和分解公式: TSS=ESS+RSS 公式 其中: 其中
则
TSS = Σ(Yi − Y ) 2 ˆ ˆ = Σ((Yi − Yi ) + (Yi − Y )) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ = Σ(Yi − Yi ) 2 + 2Σ(Yi − Yi )(Yi − Y ) + Σ(Yi − Y ) 2
线性回归模型的建模与分析方法
线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。
一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。
其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。
3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。
4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。
5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。
6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。
三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。
若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。
3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。
4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。
5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。
线性回归模型的拟合优度检验方法分析
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系数）R2
问题一：采用普通最小二乘估计方法，已经 保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还 要检验拟合程度？
2、可决系数R2统计量
称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。
残差平方和（Residual Sum of Squares ）
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回 归线(ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。
在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点 离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重 越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与 Y的总离差TSS的比值。
可决系数的取值范围：[0，1] R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高。
在例2.1.1的收入－消费支出例中，
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
判断系数的含义：度量了Y 围绕其均值的变异中能够被回归 方程所解释的比例
一、拟合优度检验
目的：建立度量被解释变量的变动在多大 程度上能够被所估计的回归方程所解释的指 标，直观的想法是比较估计值与实际值。即 使用Y围绕其均值的变异的平方和，作为需要 通过回归来解释其变动的度量。
1、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好。
可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差 ”无关。
拟合优度检验
拟合优度检验拟合优度检验是统计学中常用的一种方法，用于评估一个统计模型对观测数据的拟合程度。
在实际应用中，拟合优度检验可以帮助我们确定一个模型是否能够较好地解释数据，并且用于比较不同模型之间的优劣。
本文将介绍拟合优度检验的基本原理和常用方法，并结合实例解释其应用。
首先，让我们来了解一下什么是拟合优度。
拟合优度是指统计模型中的参数估计值与实际观测值之间的差异程度。
如果模型能够很好地解释观测数据，那么拟合优度就会很高；反之，如果模型不能很好地解释数据，拟合优度就会较低。
通过拟合优度检验，我们可以用一些统计指标来度量模型的拟合程度，以便进行模型选择和优化。
常见的拟合优度检验方法包括卡方检验、残差平方和检验和相关系数检验等。
其中，卡方检验是指比较观测值与理论值之间的差异程度，从而判断模型的适配性。
残差平方和检验则是比较统计模型中预测值与实际观测值之间的平方差异，通过计算残差平方和的大小来评估模型的拟合程度。
相关系数检验则是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相关系数，来评估模型解释数据的能力。
在实际应用中，拟合优度检验通常需要结合统计图形一起进行分析。
常见的统计图形包括散点图、回归曲线图和残差图等。
通过观察统计图形，我们可以直观地了解模型的拟合情况，并根据所得结果进行模型的选择和验证。
举个例子来说明拟合优度检验的应用。
假设我们想要建立一个线性回归模型来预测房价。
首先，我们收集了一些房屋的特征数据，如房间数量、卧室数量和房屋面积等，并且对这些数据进行了建模。
然后，通过拟合优度检验，我们可以评估模型的拟合程度。
如果拟合优度很高，说明我们的模型能够很好地解释房价的变动；如果拟合优度较低，说明模型可能存在问题，需要进行修正或选择其他模型。
在进行拟合优度检验时，我们还需要注意一些统计假设和条件。
首先，拟合优度检验通常基于一定的统计分布假设，如正态分布假设。
如果观测数据不满足这些假设，可能会影响拟合优度检验的结果。
3.3多元线性回归模型的检验
即所有解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著
备择假设 H1 : j ( j = 1,2,k) 不全为0。
回归方程的显著性检验（F-检验）
建立F统计量:
F = ES S (k −1) = RSS (n − k)
(Yˆi (Yi
− Y )2 − Yˆi )2
（j=1,2,……k）
与备择假设 ： H1 : j 0
构造统计量t为：
t*
=
ˆ j − j
^
SE
(
ˆ
j
)
=
ˆ
ˆ j
c jj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
~ t(n − k)
给定显著性水平α，查t分布表，得临界值 t 2 (n − k)
回归参数的显著性检验（t-检验）
如t的绝对值大于t 临界值，就拒绝H0 而不拒绝H1
即认为解释变量 Xj对被 解释变量Y的影响是显著的
3.3多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验
一、拟合优度检验
定义：在一元线性回归模型中，我们用可决系数R2来衡 量估计的模型对观测值的拟合程度。
拟合优度检验
在多元回归中这一比值称为多重可决系数
用 R2 表示
多元线性回归中 Y 的变差分解式为 TSS = RSS + ESS
拟合优度检验
回归平方和 ESS 越大，残差平方和 RSS就越小，被解释 变量观测值总变差中能由解释变量解释的那部分变差就越大， 模型对观测数据的拟合程度就越高。
如果计算的F值小于临界值 ，则不拒绝零假设，说明回归 模型没有显著意义，即所有解释变量联合起来对Y没有显著影 响。
方程显著性检验
01-一元线性回归模型的拟合优度检验
67
一、离差分解
如图2-3所示
图2-3 被解释变量的离差
yi YiY
（Yi
Yˆ）（Yˆ
i
i
Y）
ei（YˆiY）
68
n
n
n
y
2 i
（ Yˆ i Y ）2
e
2 i
i1
i1
i1
（2-37）
4) 学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均 值和个别值预测； 5) 学会利用Eviews软件进行一元线性回归模型的参 数估计、检验和预测。
3
第三节 一元线性回归模型的拟合优度检验
拟合优度——指样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验——检验样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验方法——通过构造表征拟合优度的统计量，对模型的拟合 效果作出评价
记
n
yi2 = TSS ——总体平方和或总离差平方和
i1
反映样本观察值的总体离差的大小
n
（Yˆi Y）2 = ESS
i1
n
ei2 = RSS
i1
——回归平方和 反映模型中由解释变量解释的那部分离差的大小
——残差平方和 反映模型中解释变量未解释的那部分离差的大小
这样，式（2-37）可表示为
TSS ESS RSS
求关于家庭消费支出与可支配收入关系的一元线性回归模型的拟合优度。
或
模型的拟合效果较好
71
三、决定系数与相关系数的关系
n
n
(Xi X)(Yi Y)
rXY
i1
n
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
logistic回归拟合优度检验
logistic回归拟合优度检验Logistic回归是一种经典的统计方法，用于建立线性回归模型。
它主要用于二分类问题，通过将线性回归方程应用到一个S形函数（称为逻辑函数或sigmoid函数）中，以预测两个二元响应变量之一的概率。
在使用Logistic回归模型进行分类时，一个重要的问题是如何评估该模型的拟合优度。
一、Logistic回归模型回顾Logistic回归模型是用于解决二分类问题的机器学习模型。
它的数学表达形式如下：其中，P表示事件发生的概率，X是预测变量的线性函数，β是模型的参数。
为了使预测变量的线性函数映射到（0,1）之间，我们使用逻辑函数作为映射函数。
二、拟合优度检验拟合优度检验是用来评估模型对数据的拟合程度的一种统计方法。
在Logistic回归模型应用时，拟合优度检验可以通过以下两种方法进行。
1. 最大似然比检验最大似然比是常用的拟合优度检验方法之一。
在Logistic回归模型中，我们可以计算一个似然比统计量（LR statistic），然后通过显著性检验来判断模型是否拟合良好。
最大似然比统计量的计算公式如下：其中，L1表示对空模型拟合的似然函数值，L2表示对备拟合的似然函数值。
接下来，我们计算似然比统计量的值，然后将其与临界值进行比较。
如果似然比统计量的值大于临界值，我们可以拒绝虚无假设（即模型不拟合）。
2. Hosmer-Lemeshow检验Hosmer-Lemeshow检验是另一种常用的拟合优度检验方法，它通过比较观察到的事件发生率和模型预测的事件发生率来评估模型的性能。
Hosmer-Lemeshow检验的计算步骤如下：1）根据模型预测的事件发生概率，将数据划分为十个等分。
2）计算每个等分内观察到的事件发生数和预测的事件发生数之和。
3）根据观察到的事件发生数和预测的事件发生数之和，计算卡方值。
4）比较计算得到的卡方值与临界值，从而判断模型是否拟合良好。
三、总结Logistic回归模型的拟合优度检验是评估该模型性能的重要方法。
模型系数的omnibus检验
模型系数的omnibus检验
Omnibus检验通常用于评估线性回归模型的总体拟合优度。
它基于有
关残差平方和和总平方和的比率，确定了模型是否显着解释了观察到的现象。
具体来说，Omnibus检验的测试假设为：
H0：模型中所有回归系数都等于零，即模型不提供关于响应变量的预
测能力。
Ha：至少存在一个回归系数不等于零，即模型提供关于响应变量的预
测能力。
这个检验的统计量是Omni值，它是一个基于RSS和TSS的综合统计量。
在假设H0成立的情况下，Omni值将近似于自由度为n-p的卡方分布。
在许多统计软件中，Omni测试的p值将与F-Statistic一起报告，但是p
值基于不同的分布，并不是直接的F-Statistic。
需要注意的是，Omnibus检验可能会受到模型中变量共线性的影响。
在这种情况下，某些回归系数可能无法在该检验中显著，但它们可能仍然
是非常有用的预测变量。
因此在解释检验结果时需要谨慎，并结合其他评
估模型拟合的方法进行分析。
报告中的线性回归分析与结果解读
报告中的线性回归分析与结果解读标题一：线性回归分析的基础概念线性回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它用于研究两个或更多变量之间的关系。
本节将介绍线性回归的基础概念，包括回归方程、自变量和因变量的定义以及回归系数的含义。
在线性回归中，我们研究的目标变量被称为因变量，记作Y。
而用来预测或解释因变量的变量被称为自变量，记作X。
回归方程可以用来描述因变量和自变量之间的关系，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中β0、β1、β2...βk 是回归系数，表示自变量对因变量的影响程度，ε是误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值与回归方程的预测值之间的误差最小化。
一种常用的求解方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
解释变量的选择对回归结果的解释能力有重要影响，通常需要依据领域知识、相关性分析等方法进行选择。
标题二：线性回归模型的拟合优度评估线性回归分析的结果需要进行拟合优度评估，以判断回归方程的拟合程度。
一种常用的方法是使用R方（决定系数），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对观测数据的解释能力越强。
除了R方之外，我们还可以使用调整后的R方（Adjusted R-square）来评估模型拟合优度。
调整后的R方考虑了自变量个数对R方的影响，避免了自变量个数增加而导致R方过高的问题。
此外，我们还可以通过回归分析的残差分布来评估模型的拟合优度。
残差是观测值与回归方程预测值之间的差异，如果残差满足独立性、正态性和方差齐性的假设，表示回归模型对数据的拟合比较好。
标题三：回归系数的显著性检验在线性回归分析中，显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。
常用的显著性检验方法包括t检验和F检验。
对于单个自变量，t检验用于检验自变量的回归系数是否显著。
t统计量的计算公式为t = βj / SE(βj)，其中βj是回归系数，SE(βj)是标准误。
统计学中的拟合优度检验方法
统计学中的拟合优度检验方法统计学是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科，它在各行各业中都有着广泛的应用。
其中，拟合优度检验方法是一种用于检验一个样本数据与理论模型之间的拟合程度的统计方法。
本文将简要介绍拟合优度检验的概念、应用、原理和实现方法。
一、概念拟合优度检验是一种用于检验观察值和理论值之间的拟合程度的统计方法。
它的基本思想是比较观察值和理论值之间的差异，并通过一些统计指标来评估这种差异是否大到超过了“纯偶然”的程度。
如果观察值和理论值之间的差异很小，那么我们就可以认为数据的拟合程度很好，反之则说明数据的拟合程度较差。
二、应用拟合优度检验可以用于检验各种类型的数据。
例如，我们可以用它来检验样本数据是否符合正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布，也可以用它来检验样本数据是否符合一条线性模型、一个多项式模型、一个指数模型、一个对数模型等曲线模型。
三、原理拟合优度检验的本质是比较观察值和理论值之间的差异。
具体来说，我们可以通过计算某些统计指标来衡量这种差异的大小，然后再把它们与一定的置信水平进行比较，从而判断样本是否符合理论模型。
常用的统计指标有卡方检验、Kolmogorov-Smirnov 检验、残差分析等。
卡方检验是一种适用于离散分布的统计方法，其核心是比较观察值与理论值之间的差异。
具体来说，我们可以计算出观察值与理论值之间的差异，并将其平方后除以理论值，然后将它们全部加起来，得出一个称为卡方值的统计量。
在实际运用中，我们需要把卡方值与卡方分布表中对应的临界值进行比较，从而得出样本是否符合理论模型的结论。
Kolmogorov-Smirnov检验是一种适用于连续分布的统计方法，其核心是比较观察值和理论值之间的累积分布函数。
具体来说，我们可以将观察值和理论值中的最大差异定义为K-S统计量，并将它与K-S分布表中对应的临界值进行比较，从而得出样本是否符合理论模型的结论。
残差分析是一种用于检验模型拟合程度的统计方法，其核心是比较观察值与模型预测值之间的残差。
接触线性回归模型的拟合质量分析
接触线性回归模型的拟合质量分析线性回归是一种常见的统计学和机器学习方法，用于建立变量之间的线性关系模型。
在实际应用中，了解线性回归模型的拟合质量是至关重要的，这可以帮助我们评估模型的准确性和可靠性，并作出相应的决策。
本文将探讨如何进行线性回归模型的拟合质量分析。
一、拟合优度拟合优度是评估线性回归模型拟合程度的重要指标。
可以使用R方值（Coefficient of Determination）来表示拟合优度，即模型解释的方差占总方差的比例。
R方值的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型拟合得越好。
R方值的计算公式如下：R方 = 1 - SSR / SST其中，SSR（Sum of Squares Residual）为回归平方和，表示实际值与模型预测值之间的差异；SST（Sum of Squares Total）为总平方和，表示实际值与平均值之间的差异。
R方值的解释：- R方值接近0时，模型解释的方差很小，模型拟合效果较差。
- R方值接近1时，模型解释的方差很大，模型拟合效果较好。
二、残差分析残差分析是线性回归模型的拟合质量分析的重要技术手段。
残差是指实际观测值与模型预测值之间的差异，它们的分析有助于判断模型是否能够很好地解释数据。
残差的计算公式如下：残差 = 实际观测值 - 模型预测值通过对残差进行分析，可以进行以下判断和检验：1. 正态性检验：使用统计方法（如正态性图）、分位图或残差直方图来检验残差是否服从正态分布。
如果残差满足正态分布假设的话，那么模型的结果将是可靠的。
2. 独立性检验：检验残差是否与时间、观测顺序或其他条件相关。
如果残差之间没有相关性，那么模型的假设是成立的。
3. 同方差性检验：使用残差图、规范化残差图或帕金森检验来检验残差是否具有恒定的方差。
如果残差具有恒定的方差，那么模型是可靠的，否则可能存在异方差性。
三、显著性检验在建立线性回归模型时，我们经常需要测试自变量与因变量之间的关系是否显著。
分析方法验证 线性
分析方法验证线性
分析方法验证的一种常见方法是通过线性回归来进行验证。
在线性回归分析中，我们假设自变量与因变量之间存在线性关系。
首先，我们收集一组相关的自变量和因变量的数据。
然后，使用线性回归模型对这些数据进行拟合，以找到最佳拟合线（或超平面）来描述自变量和因变量之间的关系。
最后，我们通过评估模型的拟合优度和检验系数的显著性来验证分析方法的有效性。
评估拟合优度的常见方法包括R平方值（即决定系数）和平均残差平方和。
R平方值表示模型能够解释因变量变异性的百分比，其值在0到1之间，越接近1表示模型拟合效果越好。
平均残差平方和衡量了模型的预测误差大小，其值越小表示模型拟合效果越好。
检验系数的显著性可以通过计算其t值或p值来进行。
t值表示系数与零假设之间的差异的标准差倍数，其绝对值越大表示差异越大。
p值表示在零假设下观察到该差异的概率，一般而言，如果p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝零假设，说明系数显著不为零。
通过这些方法，我们可以评估线性回归模型的拟合优度和系数的显著性，从而验证分析方法的有效性。
如果模型的拟合效果好且系数显著，则说明分析方法能够有效地描述自变量和因变量之间的线性关系。
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2020年4月19日星期日
§3 线性回归模型的拟合优度 检验
说明
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体 的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归 线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体 的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等 于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与 真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进 行统计检验。主要包括拟合优度检验、变量的显著 性检验及参数的区间估计。
一、拟合优度检验
• 目的：建立度量被解释变量的变动在多大 程度上能够被所估计的回归方程所解释的指 标，直观的想法是比较估计值与实际值。即 使用Y围绕其均值的变异的平方和，作为需要 通过回归来解释其变动的度量。
• 1、总离差平方和的分解
• 已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系数）R2
• 问题一：采用普通最小二乘估计方法，已经
保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还 要检验拟合•称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。 • 可决系数的取值范围：[0，1] • R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高。
•TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回 归线(ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。
在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点 离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重 越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与 Y的总离差TSS的比值。
• 如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好。
• 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残 差”无关。
• 对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均
值离差的平方和,可以证明：
•记
•总体平方和（Total
Sum of Squares）
•回归平方和（
Explained Sum of Squares） •残差平方和（Residual Sum of Squares ）
• 在例2.1.1的收入－消费支出例中 ，
• 注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
•
判断系数的含义：度量了
Y围绕其均值的变异中能够被回
归方程所解释的比例
•
• 第一，等于1； • 第二，等于0； • 第三，介于0到1之间。
•使用判定系数时必须注意的问题：
• 第一，盲目的崇拜论文中展示或计算机计算出 估计结果； • 第二，过度依赖方程总体拟合度在评价回归模 型不同设定之间优劣时的作用； • 第三，判断系数的大小依赖于解释变量的个数 ，从而造成其在评价方程总体拟合度时出现偏误 。
•相应的处理方法：
• 第一，在承认回归结果以前，要从模型所隐含 的理论到数据的质量，认真考察和评估所估计方程 的每一个方面； • 第二，综合运用各种统计检验和计量检验； • 第二，尽量使用调整判断系数。