东南大学数电第二章

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输入变量
F
C
0 0 0 1
BC
AB
A 00 01 11 10 00
0
0
0
1
01 0
1
0
1
0
11
1 1 1 11 1 1
1 1
10 0 1
输出变量
唯一性
F的值
22
用二进制对应的十进制数表示单元编号
BC A 00 0 m0
1 m4
01 11 10 m1 m3 m2 m5 m7 m6
对应的最大项（方法是，坐标变量为1的取反变量，坐标变 量为0的取原变量，然后相加），将这些最大项相与。
39
例: 将 L ( A, B , C ) A B A C 化成最小项之和表达式
L( A, B,C ) AB(C C ) A(B B)C ABC ABC ABC ABC
28
推广：一个n变量函数有2n 个最小项，每个最小项是n个变量构 成的积项，每个变量在此与项中只且出现一次。函数 F的标准 表达式就是这些最小项与对应的函数值乘积的总和，即
2n 1
F fi mi
0
29
最小项的重要性质：
A B C ABC AB C ABC A BC ABC AB C ABC ABC
标准与－或表达式。通常将这种由真值表推出的各个与项称为函数
的最小项(Minterm),并用符号mi表示，其下标 i 就是真值表中对应
行的坐标或者说卡诺图对应块的坐标。
26
变量坐标 000 001 010 011 100 101 110 111
三变量函数的最小项
最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
在逻辑代数中，任何对n个逻 辑变量x1,x2,…xn进行有限次逻 辑运算的逻辑表达式，称为n
五 种
变量的逻辑函数或简称函数， 表
记作：F=f(x1,x2,…xn)。
示 方
法
逻辑表达式 标准表达式
逻辑图 真值表 卡诺图 波形图
15
例：举重比赛有三名裁判，当运动员将杠铃举起后， 须有两名或两名以上裁判认可，方可判定试举成功，若用 字母A、B、C分别代表三名裁判的意见，同意为1，否定 为0；F为裁判结果，试举成功时F=1，试举失败时F=0。 则F与A、B、C之间的关系可以用以下几种方式表示。
或与式：由若干或项进行与逻辑运算构成的表达式
F=f(A,B,C)=(A+B)(B+C)(A+C)(A+B+C)
18
2. 逻辑图
将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用 图形符号表示出来，就画出了表示函数关系的逻辑图
F=f(A,B,C)=AB+BC+AC+ABC
A B
B C
F A C
A
B
C
19
0 1 10
00 1 01 1 10 1
二输入变 量，四种 组合
1 0 00 1 0 11 1 1 01
11 0
1 1 11
三输入变 量，八种 组合
21
4. 卡诺图
为了便于对函数进行化简，常将真值表按照特殊规则排列，做 成图表，称卡诺图。在卡诺图中变量组合按照循环邻接的原则 进行排列
A
B
C
0
0
0
0
0
0
1+0=1
1
1
1
0
1+0=1
1
5
常用恒等式的证明--利用基本定律
AB AC BC AB AC AB AC BCD AB AC
6
常用公式小结
（1） 基本公式
（2） 并项公式
A A 1 A AB A AB A B
A A A B AB
AB AB B
？ 还有其它求反函数的方法吗？
11
3.对偶规则 所有逻辑常量和逻辑符号分别作1与0、＋与 ·的对换
注意：
* 变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号施行， 不能遗漏。
* 必须保持原函数变量之间的运算顺序不变
例： 写出下列函数的对偶函数
F1=A·(B+C) F2=A·B+A·(C+0)
12
对偶函数和原函数的关系： 原函数具有的一切性质，其对偶函数都具备。 同一电路的正负逻辑表达式是相互对偶的。
CD AB 00 00 m0
01 m4
01 11 10 m1 m3 m2 m5 m7 m6
11 m12 m13 m15 m14
10 m8 m9 m11 m10
24
5. 标准表达式
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
A=1 B=1 C=1 ABC=1，F=1
F=1·ABC
具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子
30
例：已知一个奇偶判别函数的真值表，试写出它的最小项之和的 逻辑表达式
ABC
F
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
0
31
真值表→逻辑表达式的一般方法 ①找出真值表中使逻辑函数F=1的那些输入变量取值的组合 ②每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的 写入原变量，取值为0的写入反变量 ③将这些乘积项相加，即得F的逻辑表达式
A • A=0
交换律
A+B=B+A
A• B=B • A
结合律
A+(B+C)=(A+B)+C
A• (B • C)=(A • B) • C
分配律
A• (B+C)=A • B+A • C
A+B • C=(A+B) • (A+C)
吸收律
A+A•ຫໍສະໝຸດ Baidu=A
A • (A+B)=A
反演律
A•B•C•••=A+B+C+•••
最小项符号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
函数F f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
27
F 0 ABC 0 ABC 0 ABC 1 ABC 0 ABC 1 ABC 1 AB C 1 ABC
F=0·m0+0·m1+0·m2+1·m3+0·m4+1·m5+1·m6+1·m7 =m3+m5+m6+m7 =∑m(3,5,6,7)
33
变量坐标 000 001 010 011 100 101 110 111
三变量函数的最大项
最大项 A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C
最大项符号 M0 M1 M2
M3 M4 M5 M6 M7
M i mi
函数F f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
反函数和原函数的关系：
F F 1 原函数和反函数是同一逻辑问题的两个表现形式。
13
第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础
2.1 逻辑代数的基本定律和规则 2.2 逻辑函数及其表示方法 2.3 逻辑函数的代数化简法 2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
14
2.2 逻辑函数及其表示方法
2.2.1 逻辑函数的几种表示方法
34
最大项
最大项：n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量 的和项（每个变量必须而且只能以原变量 或反变量的形式出现一次）
n个变量有2n个最大项，记作i
最大项的性质： 任意一组变量取值，只有一个最大项 的值为0，其它最大项的值均为1
同一组变量取值任意两个不同最大
项的和为1。即Mi+Mj=1
25
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
F 0 ABC 0 ABC 0 ABC 1 ABC 0 ABC 1 ABC
1 AB C 1 ABC
ABC ABC AB C ABC
由真值表直接推出，因而也具有唯一性，故而称为逻辑函数的
与 ·之间的变换
例1： 求逻辑函数F=A·B+C·D+0的反函数F 例2： 求逻辑函数F=A+B+C+D+E的反函数F
10
在使用反演规则时应注意： （1）上述变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号和 逻辑变量施行，不能遗漏； （2）必须保持原函数变量之间的运算顺序不变， 必要时可添加括号； （3） Xi与Xi之间的互换只对逻辑变量有效 （4）不属于单个变量上的反号应保留不变
《电子技术基础 数字部分》
第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础
1
逻辑代数与数字电路
逻辑代数：用数学方法抽象的解决各种逻辑问题， 是数字电路的理论基础。
逻辑关系：是事件产生的条件和结果之间的因果
关系，用条件作为输入信号，结果作
为输出信号。----用逻辑函数表达
数学工具
逻辑代数
数字电路
电路实现
2
第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础
A+B+C•••=A•B•C•••
其他常用恒 A+AB=A+B
A • (A+B)=A•B
等公式
A•B +A•C+B•C=A•B +A•C A•B +A•C+B•C•D=A•B +A•C 4
基本公式的证明--穷举法 A+AB=A+B
A
B A B A+AB A+B
0
0
0
0+0=0
0
0
1
1
0+1=1
1
1
3. 真值表
将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所 对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的 表格。
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
唯一性
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N个输入变量
2n种组合
AF 01 10
一输入变 量，二种 组合
ABCF 0 0 00 0 0 10 0 1 00
ABF
(i≠j) 2n 1
全部最大项之积为0，即 Mi 0
i0
F mi i 3,5,6,7
i
F
m
＝
k
M k M 0M 1M 2M 4
k i
k i
(A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
36
从函数的真值表或卡诺图求其标准或－与式的方法有： （1）求得反函数的标准与－或表达式，对其求反。 （2） 找出函数真值表中所有等于0的行，根据每行的坐标求得
2.1 逻辑代数的基本定律和规则 2.2 逻辑函数及其表示方法 2.3 逻辑函数的代数化简法 2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
3
2.1 逻辑代数的基本定律和规则
2.1.1逻辑代数的基本定理和恒等式
或
与
非
基本定律 A＋0=A
A • 1=A
A＋1=1
A • 0=0
A+A=A
A • A＝A
A=A
A＋A=1
= m1＋m3＋m6＋m7
m (1, 3, 6, 7)
40
例: 将 L ( A, B , C ) AB AC 化成最大项之积表达式
L ( A, B , C ) AB AC ( A B )( A C ) AA AB AC BC (A B)(A C)(B C) (A B 0)(A C 0)(B C 0) (A B CC )(A C B B)(B C A A) (A B C)(A B C)(A C B)(A C B) (B C A)(B C A) (A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
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1. 逻辑表达式
把逻辑函数的输入、输出关系写成与、 或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数 式，又称为逻辑函数式。
17
在本例中，可用AB代表“裁判A、B都同意”，同理 用BC和AC表示另两种有两名裁判同意的情况，ABC 表示三名裁判都同意，所以
F=f(A,B,C)=AB+BC+AC+ABC
与或式：由若干与项进行或逻辑运算构成的表达式
B(A+C)=BA+BC
E+F
A
B[(E+F) +C)]=B(E+F)+BC=BE+BF+BC
必须对等式两边所有的变量施行 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
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2.反演规则 所谓反演就是求一个函数F的反函数F,所以反演规则也称求
反规则或求补规则。 逻辑常量、逻辑变量和逻辑符号分别作0与1、Xi与Xi 、＋
000 1
0
0
0
0
0
0
0
001 0
1
0
0
0
0
0
0
010 0
0
1
0
0
0
0
0
011 0
0
0
1
0
0
0
0
100 0
0
0
0
1
0
0
0
101 0
0
0
0
0
1
0
0
110 0
0
0
0
0
0
1
0
111 0
0
0
0
0
0
0
1
在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且只有一个最小项 的值为1
全体最小项之和为1 任意两个最小项的乘积为0
（3） 消冗余因子公式 A AB A B
（4） 消冗余项公式 推论：
AB AC BC AB AC AB AC BCD AB AC
注意： 逻辑代数没有减法和除法。
公式证明的技巧： 反用逻辑基本定律和公式。
8
2.1.2 逻辑代数的基本规则
1.代入规则(置换规则) 在任何一个逻辑等式中，如果用一个函数代替等式两边的 某变量A，则等式依然成立。
32
最大项和或－与表达式
F mi
则 mi以外的那些最小项之和必为F
F mk k i
反演
F mk
k i
F mk＝ M k
k i
k i
一个逻辑函数可以表示为若干最大项的乘积，与最 小项之 和表达式一样，最大项之积表达式也是唯一的，所以也称为标准或 －与式。