同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型说课讲解
大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
相似矩阵及二次型相关概念及定理
相似矩阵及二次型相关概念及定理嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题：相似矩阵及二次型相关概念及定理。
你们知道吗，这些概念在我们的日常生活中可是无处不在哦！比如说，你有没有想过为什么两个房子的结构看起来差不多，但价格却相差甚远呢？这就是因为它们所使用的材料和施工方式不同，导致了它们的结构相似度不同。
而相似矩阵和二次型就是用来描述这种相似度的工具。
我们来说说相似矩阵。
想象一下，你有两个朋友，他们的性格和兴趣爱好都很相似。
那么，他们的相似度就可以用一个矩阵来表示。
矩阵中的每个元素都是0或1,表示这两个人在这方面是否相似。
如果两个人在某个方面完全相同，那么这个元素就是1;反之，如果两个人在这方面完全不同，那么这个元素就是0。
这样一来，我们就可以通过观察这个矩阵来了解这两个人的相似程度了。
接下来，我们来看看二次型。
二次型是一个数学模型，用来描述一个物体的形状和大小。
想象一下，你正在建造一座房子。
这座房子的外观和内部空间可以分别用两个二次型来描述。
外部二次型描述的是房子的外观，比如说它的高度、宽度和比例等；内部二次型描述的是房子的空间布局，比如说客厅的大小、卧室的数量等。
通过比较这两个二次型，我们就可以知道这座房子的整体形状和大小是否合适了。
那么，相似矩阵和二次型有什么关系呢？其实，它们之间有着密切的联系。
在实际应用中，我们常常需要同时考虑物体的形状和大小。
这时，我们就可以将这两个问题合并成一个二次型问题。
具体来说，我们可以将外部二次型和内部二次型相乘，得到一个新的二次型。
这个新的二次型就包含了物体的形状和大小信息。
然后，我们再通过对这个新的二次型进行特征值分解，就可以得到一个相似矩阵。
这个相似矩阵就反映了物体在形状和大小方面的相似程度。
当然啦，相似矩阵和二次型还有很多其他的应用。
比如说，在机器学习领域中，它们被用来描述数据集之间的相似性；在物理学领域中，它们被用来描述物体的运动轨迹等等。
无论是在学术研究还是日常生活中，相似矩阵和二次型都是非常重要的概念。
考研线性代数第四讲相似矩阵及二次型
a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个 特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特 征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相 似变换矩阵.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质 若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其 中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特 征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似矩阵及二次型相关概念及定理
相似矩阵及二次型相关概念及定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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相似矩阵及二次型
3
线性代数
河南工程学院
性质
(1) [ x, y] [ y, x];
(2) [x, y] [ x, y];
(3) [ x y, z] [ x, z] [ y, z]; (4) [ x, x] 0,且当 x 0时,有[ x, x] 0.
著名的Cauchy-Schwarz不等式 [ x, y]2 [ x, x][ y, y]
从而
3
3
[1,3 [1, 1
] ]
1
[ [
2 2
, ,
3 2
] ]
2
13
线性代数
河南工程学院
施密特正交化方法 设 1,2,,r 线性无关
令 1 1
2
2
1,2 1, 1
1,
1 1 / 1
2 2 / 2
r r / r
3
3
[1 , 3 ] [1, 1]
1
[ [
2 2
, 3 ] ,2]
2
是与 1,2,,r 等价的规范正交组
] ]
1
12
线性代数
河南工程学院
我们已求得 1, 2 已正交, 再求构造 3
3 3 11 22 (1) (1)式两边与 1 内积, 注意
3 3
[1,2] [1,3] 0
得
1
[1 , 3 ] [1, 1]
11
(1)式两边再与2 内积, 类似可得 1
22 2
11 22
2
[ 2 , 3 ] [2 , 2 ]
x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
2
线性代数
一、内积的定义及性质
河南工程学院
定义 设有 n维向量 x ( x1, x2,, xn )T , y ( y1, y2,, yn )T
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
线性代数及其应用 第4章 相似矩阵及二次型
2 0 0
2
例1
已知A
0 0
0 1
13
x
1
,
求 x 和R( A) .
解 由于A ，有 A ，可得2 2x ，
即 x 1.
因为 R( A) R()，故R( A) 3 .
二、特征值与特征向量
例子：
设
A
3 1
2
0
,a
1
1
,b
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则
Aa
3
令 Q P 1
A PBP 1 Q1BQ
所以 B A；
性质1 (3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (3) 若A B, B C，则存在可逆矩阵P、Q
使得 P 1AP B， Q1BQ C.
有
Q1 P1AP Q C，
即
(PQ)1 A(PQ) C
令R PQ , 从而 R1AR C ，故 A C .
求齐次线性方程组( A E)x 0的非零解
1 1 2
例2
求矩阵
A
0 1
2 1
2 0
的特征值和特征
向量.
解 矩阵 A 的特征多项式为
AE 0
1 1 2 A E 0 2 2 ( 1)( 2)
1 1 故 A 的特征值为 1 0,2 1,3 2.
当 1 0 时，求解方程组 Ax 0.由
(4) 若A和 B都是可逆矩阵且 A B ，则 A1 B1 .
性质1 (1) 自反性：A A ; (2) 对称性：如果 A B，则B A；
(3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (1) 由于 E 1AE A ，故 A A; (2) 若A B，那么存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP B，则A PBP 1 ，
第四五章相似矩阵及二次型
特征值与特征向量 二次型
特征值的问题在代数学中占有十分重要的位置.用 它可以讨论方阵相似对角化.进而将二次型化成标准形.
要求：
1、理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和 特征向量. 2、理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件. 3、掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 4、了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 5、掌握二次型及其矩阵表示。 6、了解二次型秩的概念，了解合同变换和合同矩阵的概念,了解二次 型的标准形、规范形的概念以及惯性定理. 7、掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，会用配方法化二次型 为标准形. 8、了解正定二次型和所对应的正定矩阵的性质及判别法.
| A | 0
实对称矩阵隐含的信息 实 对 称 矩 阵 隐 含 的 信 息
必可以对角化，且可用正交变换. 不同的特征值所对应的特征向量正交. 特征值全为实数.
k重特征值必有k个线性无关的特征向量.
与对角矩阵合同.
二、重要方法
1、求特征值与特征向量
（1）由特征方程|A－λE|＝0，求出 A 的特征值λi （共n 个）,再解齐次线性方程组（A－λiE）x＝0,其基础解系就 是λi 所对应的特征向量. （2）用定义法Ax = λx （适用于抽象的矩阵）.
6、正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0 （2）用顺次主子式全大于零； （3）用n个特征值全大于零； （4）用正惯性指数p = n； （5）存在可逆矩阵C，使A = CTC 。
三、典型例题
1、填空、选择题 例1
1 1 1 1 ①设4阶方阵A相似于B，且A的特征值为 , , , , 2 3 4 5 1 1 1 1 , , , 从而 , B－1 解 因为A~B，所以B的特征值为 2 3 4 5
ds4-4第四章 相似矩阵及二次型
其中 Λ是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角矩阵.
推论 设 A 为 n 阶对称矩阵，λ是 A 的特征方程的 k 重根， 则矩阵 A E的秩 R A E =n－k, 从而对应特征值 λ恰有 k 个 线性无关的特征向量. 证 设n 阶对称矩阵A 的特征值为 1 ,, n , 其中k个为 , 则由定理7知 A 与 diag (1 ,, n ) 相似，
1 1 对于 1 1, A E 1 1
1 1 0 0 ,
1 得 1 , 1
9
1 1 对于 1 3, A 3E 1 1
1 1 0 0 ,
1 3n 1 3n 1 1 3 n 1 3 n . 2
10
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
(1) 求出 A 的互不相等的特征值 它们的重数依次为
1 , 2 ,, s ,
r1 , r2 , , rs , (r1 r2 rs n).
对应特征值 i (i 1,2, s ),
(2) 由定理 5 及定理 7 知,
恰有 ri 个线性无关的实特征向量, 把它们正交化并单位化,
§4 对称矩阵的对角化
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 , 复向量x为
对应的特征向量 ,
即 Ax x , x 0.
线性代数课件5-2相似矩阵与二次型
解得x2 2 x1 ,
所以,对应的特征向量可取为p2
1 2 .
2
3对应的全部特征向量为k2
p2
k2
1
2
,
(k2
0).
9
2 1 1
例2
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解 特征多项式为 f ( ) A E
2 1 1
2 1
0
2
0
(2 )
4
3
4 1 3
20
于是，得到关于 x1, x2 , , xm 的m个方程 从而，满足下面的方程组：
x1 p1 x2 p2 xm pm 0
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0
1m1
x1
p1
m1 2
x2
p2
m1 m
xm
pm
0
下求该齐次方程组的解
1 1
1
2
1 x1 p1 0
2xx21
x3 x3
,
令x3 1,
基础解系为p1
1 2
1
.
故对应于1 1的全体特征向量为 1
k1 p1
(k1 0).
当2 3 2时, 齐次方程为
1
2
1 2
2 2
1
A
2
2
1 2 2
1 2 2
r3
r1 (1) r2 , r2
2r1
1 0 0
1 x1 0
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
5.对应特征向量 i的特征值即是 齐次方程( A i E)x 0的解pi .
第四章相似矩阵
2 1 1 求矩阵A 0 2 0 的特征值与特征向量 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 1 则k11为A关于特征值1 1的特征向量，其中 k1 0. 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 0 4 则k 2 2 k3 3为A关于特征值2 3 2的特征向量，其中 k 2 , k3不全为零.
2 1 1 1 求相似矩阵 P , 使得 P AP Λ , 其中 A 0 2 0 例1、 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 . 1 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 . 0 4 1 1 令P (1 , 2 , 3 ), Λ 2 , 则P AP Λ. 2
由上式可知i为A的特征值，i为A关于i的特征向量 , 又因为相似变换矩阵 P可逆，所以1 , 2 ,, n线性无关. 可知Λ由A的n个特征值构成， P由A的n个线性无关的特征向量 构成.
A可对角化的条件： 定理1：n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 定理2：n阶矩阵A可对角化 A的每个ti重根i都对应ti 个线 性无关的特征向量 定理3：A有n个互异的特征值 n阶矩阵A可对角化
第四章
相似矩阵
第
一
节
方阵的特征值与特征向量
第四讲：二次型及其标准型
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12
5x
2 2
x
2 3
2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.
ds4-3第四章 相似矩阵及二次型
1 推论 1 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵
则
2
1 , 2 ,, n 即是 A 的 n 个特征值.
相似 n
容易推证： 若 A PBP 1 , 则 A k PB k P 1 ; A 的多项式
A P B P 1 .
当x=-1时，
1 0 1 A E 1 0 x 1 0 1
1 0 0 0 0 0 1 x 1 0
9
x 1 0
x 1.
1 0 1 1 0 1 A E 1 2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 - 1 - 1 x1 x 3 0 得方程组 , 其基础解系为 1 ，取特征向量p1 1 x 2 - x3 0 1 1 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 A E 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 得方程组x1 - x 3 0,其基础解系为 1 ，0 ，取特征向量p2 1 ，p3 0 0 1 0 1 -1 0 1 -1 0 0 1 令，P 1 1 0 ，则有P AP 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10
8
0 0 1 例4-22 A 1 1 x , 问x为何值时，矩阵能对角化？ 设 A 1 0 0
解
A E 1 1
0 1 0
x 1 1
2
1
1 1, 2 3 1
对单根1 1, 可求得1个线性无关的特征向量. 故矩阵A可对角化需对应重根 2 3 1有2个线性无关的特征向量. 即 ( A E ) x 0 有两个线性无关的解. R( A E ) 1
线性代数PPT课件：相似矩阵与二次型 第3节 相似矩阵
的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问
题是： 对 n 阶矩阵 A ，寻求相似变换矩阵 P，使
P–1AP = 为对角矩阵． 如果 n 阶矩阵 A 能相似
于对角矩阵，则称矩阵 A 可对角化．
4.3.2 矩阵可对角化的条件
定理 4.3.2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵
的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第 4.3 节
相似矩阵
相似矩阵的概念
相似矩阵的性质
可对角化的条件
4.3.1 相似矩阵的概念
定义4.3.1 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可
逆矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
例3 设
0 1 1 A 1 0 1 , 1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵.
性质4.3.1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
detA = detB .
性质4.3.2 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵
A可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
性质4.3.3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.
例 2 设
0 0 1 A 1 1 x , 1 0 0
2024年度(完整版)线性代数教案(正式打印版)
2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。
它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。
本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。
能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。
培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。
教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。
参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。
2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。
行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。
线性代数5-3,4相似矩阵2
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、 判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与 相似时,容易证明
i 是A的特征值
《线性代数》教案
1、理解矩阵的定义，知道零矩阵、单位阵、对角阵、行阶梯形阵、行最简阶梯阵、对称矩阵等特殊矩阵，知道两矩阵相等的概念；
2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其它运算规律；
3、知道矩阵的分块方法和在矩阵运算中的作用。
《线性代数》教案
1、理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构，并能熟练的求出它们的通解；
2、熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法；
《线性代数》教案
1、知道向量的内积与正交，了解正交矩阵的概念及性质。
2、理解方阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法。
1、了解相似矩阵的概念及其性质，知道矩阵对角化的充分必要条件。
会求实对称矩阵的相似对角矩阵；
2、掌握线性无关的向量组的Schmidt正交规范化的方法；
1、掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念；
2、会用正交变换和配方法把二次型化为标准形的方法；
3、知道惯性定理，掌握正定二次型的判定。
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
大学线性代数课件相似矩阵及二次型6.2
负 系 数 个 数 称 为负惯性指数，
规范形：f
y12
y
2 p
y
2 p1
yr 2
化标准型
f 1z12 2z22 r zr2
i 0 为规范型。
f Z T Z，令 Z DY f Y T DT D Y 其中
1
1 1
r
D
0
0
f
y12
yp2
y
2 p1
yr 2
1 r
例6 已知 A、B 为正定阵，M 为可逆阵，k 0 , l 0 , 证明 k A lB, A1, M T AM 均为正定阵。
证 首先 k A lB, A1, M T AM 均为对称阵。 对于任意的 X 0 , 有 A1 X 0 , M X 0，且 (1) X T (k A lB)X k X T AX l X T BX 0; (2) X T A1 X X T A1 AA1 X ( A1 X )T A( A1 X ) 0 ; (3) X T M T A M X (M X )T A(M X ) 0 .
为r, 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0 ,
及
f 1z12 2z22 r zr2
i 0,
则k1 ,, kr中 正 数 的 个 数 与1 ,, r中 正 数 的 个 数
相 等.
且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数，
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
(1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
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性质5设 和 是矩阵 的两个不同的特征值， 和 是分别对应于 和 的线性无关的特征向量，则 线性无关.
三、主要例题：
例1求矩阵 的特征值和特征向量.
例2求矩阵 的特征值和特征向量
例3求矩阵 的特征值和特征向量.
例4设3阶矩阵的特征值为 ，求 的特征值.
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；
掌握方阵特征值、特征向量的求法。
教 学 基 本 内 容
一、方阵特征值、特征向量的概念及求法：
特征值和特征向量：设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立，那么数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.
三、施密特正交化过程：
设 是向量空间 的一个基，第一步，将基 正交化（施密特（Schmidt）正交化）：令
则 两两正交，且与 等价.
第二步，将 单位化，得到 .
于是， 就是 的一个规范正交基.
四、正交矩阵：
正交矩阵：如果 阶矩阵 满足 (即 )，那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理设矩阵 是 阶方阵，则下列结论等价：
同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型
线性代数教学教案
第四章相似矩阵及二次型
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第一节向量的内积、长度及正交性
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵
特征多项式：记 ，则 是 的 次多项式，称为矩阵 的特征多项式.
特征方程： .
的特征值就是特征方程的根。
二、方阵的特征值与特征向量的性质：
性质1设 阶矩阵 的特征值为 ，则
(i) ；
(ii) .
性质2若 是方阵 的特征值， 为对应于特征值 的特征向量，则
(i) 是方阵 的特征值（ 为非负整数），对应于特征值 的特征向量是 ；
(ii) 是方阵 的特征值（ 为任意常数），对应于特征值 的特征向量是 ；
(iii)当 可逆时, 是方阵 的特征值，对应于特征值 的特征向量是 ；
(iv)若矩阵 的多项式是 ，则方阵 的特征值是 （其中 是关于 的多项式），对应于特征值 的特征向量是 .
性质3如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量，则 ( 、 不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.
教学课题
第四章第四节实对称矩阵的相似对角化
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
（1） 是 阶正交阵；
（） 的列向量组是 的一个规范正交基；
（3） 的行向量组是 的一个规范正交基.
正交变换：若 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换.
五、主要例题：
例1已知3维空间 中的两个向量 正交，试求一个非零向量 ，
使 两两正交.
例2设 是 的一个基，求一个与 等价的规范正交基.
例3已知 ，求一组非零向量 ，使 两两正交.
矩阵可相似对角化的充分必要条件
参考教材
同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解矩阵相似的概念和性质；
理解矩阵可相似对角化的充分必要条件。
教 学 基 本 内 容
一、方阵相似的定义和性质：
定义：设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ， ，则称 是 的相似矩阵，或者说矩阵 与
相似.对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.
定理1若 阶矩阵 与 相似,则 与 有相同的特征多项式,从而 与 有相同的特征值.
推论若 阶矩阵 与对角阵 相似，则 即是 的 个特征值.
若 阶矩阵 与 相似，即 ，则 ，并且 的多项式
.
特别地，若有可逆矩阵 ，使 为对角阵，则 .而对于对角阵 ，有
教学难点
向量组的施密特正交化、正交矩阵
参考教材
同济版《线性代数》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；
掌握施密特正交化方法。
教 学 基 本 内 容
一、向量的内积、长度：
向量的内积：设有 维向量 ，令
，
称 为向量 与 的内积.
例5设 和 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 和 ，证明 不是 的特征向量.
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第三节相似矩阵
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
(iii)三角不等式 .
向量的夹角：当 时， 称为 维向量 与 的夹角.
二、正交向量组：
正交向量组：由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.
正交向量组的性质：若 维向量组 是一个正交向量组，则 线性无关.
规范正交基：设 维向量组 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个规范正交基.
内积的性质（其中 与 都是 维列向量， 为实数）：
(i) ；(ii) ；
(iii) ；(iv) ，当且仅当 时， .
柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式： .
向量的长度：设有 维向量 ，令 ，称 为向量 的长度（或范数）.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性当 时， ；当 时， ；
(ii)齐次性 ；
例4验证矩阵 是正交阵.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方阵的特征值与特征向量
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方阵特征值、特征向量的求法和性质
教学难点
方阵特征值、特征向量的求法和性质
参考教材
同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
，
由此可方便地计算 的高次幂 及 的多项式 .
二、方阵的相似对角化：
定理2 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量.
推论如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
三、主要例题：
例1设 有三个线性无关的特征向量，求 与 应满足的条件.
授课序号04
教 学 基 本 指 标