高三数学理(选修坐标系)
最新人教版高三数学选修4-4电子课本课件【全册】
四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
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引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
高三数学理科二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)
高考专题训练二十九 坐标系与参数方程(选修4－4)班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1 C 2：x 2＋y 2＝1.最小值为|C 1C 2|－2＝5－2＝3. 答案：32．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′与y 轴重合)所在平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．解析：(1)如图P ′(22，2)在α上坐标P (x ，y )x ＝22cos45°＝22×22＝2，y ＝2，∴P (2,2)．(2)β内曲线C ′的方程(x ′－2)22＋y ′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(1)P (2,2) (2)(x －1)2＋y 2＝13．(2011·深圳卷)已知点P 是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4P 坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤π)可得x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，由于直线OP 的方程为y ＝x ，那么由⎩⎨⎧x 29＋y 216＝1y ＝x (0≤y ≤4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125y ＝125.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1254．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为________．解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝60°，∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 35．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化．解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； (2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．7．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：把⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t ，代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2.由参数的几何意义，得 |AB |＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标系，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)从而点Q 到直线l 的距离为：d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)曲线C 的普通方程；(2)设点P (x ，y )是曲线C 上任意一点，求xy 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设x －22＝cos θ，y －22＝sin θ，则xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ.设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝1＋2cos θsin θ，从而2cos θsin θ＝t 2－1.∴xy ＝3＋22t ＋t 2.当t ＝－2时，xy 取得最小值1；当t ＝2时，xy 取得最大值9.10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θy ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r >0)．(1)求圆心的极坐标；(2)当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3?解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. (2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， ∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.11．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的普通方程为y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， ① 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. ② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则y ＝kx ＋k ＋1，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45ty ＝1＋35t(t 为参数)．12．已知A 、B 是椭圆x 29＋y 24＝1与x 轴、y 轴的正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大．解：设点P 的坐标为(3cos θ，2sin θ)，其中0<θ<π2，∵S四边形AOBP ＝S △APB ＋S △AOB ，其中S △AOB 为定值，故只需S △APB最大即可．因为AB 为定长，故只需点P 到AB 的距离最大即可．AB 的方程为2x ＋3y －6＝0，点P 到AB 的距离为d ＝|6cos θ＋6sin θ－6|13＝613·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴θ＝π4时，d 取最大值，从而S △APB 取最大值，这时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，2.13．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，P 是圆与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆的切线的极坐标方程．解：依题意，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，与y 轴交于(0，±3)，如图所示．设R 是切线上一点，∵PR 为圆C 的切线，∴△CPR 为直角三角形，∴CR ·cos ∠RCP ＝CP ，又∠PCO ＝π3，∴极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝2；若取圆与y 轴负轴交点，则极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝2.14．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 1是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1，当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.15．(2011·课标)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。
高三数学-坐标系与参数方程(选修4—4)+三角函数
3π 2， . 4
5．(2012· 江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到 直线
π ρsinθ＋4＝2
2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2 ＝4x， 圆心 C 的坐标是(2,0)． 直线
π ρsinθ＋4 ＝2
解析：由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为 x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
2 2 x ＋ y ＝2y， 联立 x＝－1，
x＝－1， 解得 y＝1，
故交点(－1,1)的极坐标为 3π 答案： 2， 4
三、常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点， 半径为 r 的圆 圆心为(r,0)， 半径为 r 的圆 图形 极坐标方程
ρ＝r (0≤θ＜2π) ρ＝2rcos θ
π π (－ ≤θ＜ ) 2 2
曲线
π 圆心为r，2 ，半径
图形
极坐标方程 ρ＝2rsin_θ (0≤θ＜π)
为 r 的圆
过极点，倾斜角为
(1)θ＝α(ρ∈R)或 (2)θ＝α和θ＝π＋ αθ＝π＋α(ρ∈R)
α的直线
曲线 过点(a,0)，与极轴 垂直的直线
π 过点a，2 ，与极
图形
极坐标方程
ρcos θ＝
π π a－2＜θ＜2
ρsin θ＝a
π)
(0＜θ＜
Байду номын сангаас
轴平行的直线
[小题能否全取]
x′＝λx，λ>0， π 解： 设伸缩变换为 代入 y′＝2sin4x′＋ 4 ， y ′ ＝ μy ， μ >0 ，
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
高中数学 1.8球坐标系与柱坐标系教案 北师大版选修4-4
第八课时 球坐标系与柱坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 （二）、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么? 例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?。
人教A版高中数学高三一轮第十一章选修内容111坐标系【素材】
坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离．解 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解化为平面直角坐标系：圆：x 2－2x ＋y 2＝0，即：(x －1)2＋y 2＝1. 直线：3x ＋4y ＋a ＝0. ∵直线和圆相切，∴|3＋a |32＋42＝1， ∴a ＝2或a ＝－8.3．在极坐标系中，已知点O (0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．解 设点Q (ρ，θ)为以OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt △OQP 中，ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，故所求圆的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程． 解 设动点P 的坐标为(ρ，θ)，则M (ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ. 又M 在直线ρcos θ＝4上，∴12ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P 的轨迹方程．5．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos (θ－π6)上的动点，试求PQ 的最大值． 解∵ρ＝12sin θ.∴ρ2＝12ρsin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos (θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴有x 2＋y 2－63x －6y ＝0， 即(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋（33）2＋（－3）2＝18.6．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．7．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，①②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程． 8．求圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．解 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)， 则OP ＝ρ，∠POA ＝θ－π6， OA ＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，OP ＝OA ×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 9．已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求线段AB 长的最大值．解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6；曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，其圆心为(33，3)，半径为6. 所以AB 长的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.10．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 11．已知圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解 由ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，故焦点到准线的距离为2. 12．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)消去参数，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1. ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(2)P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P 到直线l 的距离 d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2，其中cos φ＝45，所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为112 2.。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
1.4.2 球坐标系 课件(人教A选修4-4)
[研一题] [例 3] 在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O
为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建立坐标系．有 A、 π π π 2π B 两个城市，它们的球坐标分别为 A(R，4，6)，B(R，4， 3 )， 飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
[精讲详析]
本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距
x＝rsin φcos θ， 由变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ x＝5sin 得y＝5sin z＝5cos 5 4 5 6πcos 3π＝－4， 5 4 5 3 6πsin 3π＝－ 4 ， 5 5 3 6π＝－ 2 .
5 5 3 5 3 故它的直角坐标为(－4，－ 4 ，－ 2 )．
[悟一法] 由直角坐标化为球坐标时， 我们可以先设点 M 的球坐标为(r， x＝rsin φcos θ， θ，φ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ
2 2 2 2
求出 r、θ、φ 代入点
y z 的球坐标即可；也可以利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝x，cos φ＝r. 特别注意由直角坐标求球坐标时， 和 φ 的取值应首先看清点所在 θ 的象限，准确取值，才能无误．
[通一类] 2 6 2 2．设点 M 的直角坐标为( 4 ， 4 ，－ 2 )，求它的球坐标． 解：由变换公式得
r＝ x ＋y ＋z ＝
2 2 2
2 6 2 16＋16＋4＝1，
2 2 3π 由 rcos φ＝z＝－ 2 得 cos φ＝－ 2 ，φ＝ 4 . y 又 tan θ＝x＝ 3(x>0，y>0)， π 得 θ＝3. 3π π ∴M 的球坐标为(1， 4 ，3).
4-29坐标系与参数方程(选修4-4)
① ② ③ ④
32 由①得 ρ1ρ2＝ 代入④得 3
数学（理） 第30页
新课标· 高考二轮总复习
2 3 π 0<θ< ，即为所求极坐标方程． ρ＝ π 3 sinθsin －θ 3
x＝a＋rcosθ 它的参数方程为 y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
数学（理） 第17页
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6．椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准
x＝acosφ x2 y2 方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，其参数方程为 (φ 为 a b y＝bsinφ
半径为 r 的圆
过极点，倾斜角为 α 的直线
＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝ π＋α(ρ≥0)
数学（理） 第13页
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过点(a,0)，与极轴垂 直的直线
π 过点a， ，与极轴 2
ρcosθ＝a
π π － <θ< 2 2
ρsinθ＝a (0<θ<π)
2 3 π N ， . 3 2
数学（理） 第25页
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(2)M 点 的 直 角 坐 标 为 (2,0) ， N 点 的 直 角 坐标 为
2 3 . 0， 3
所以 P
2 3 π ， ， 3 6
点的直角坐标为1，
9．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
Hale Waihona Puke π αα≠ 的直线 2 l 的普通
选修4-4 1.2 极坐标系
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
高三理科数学第一轮复习选修4-4§1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
选修4-4：坐标系与参数方程 §1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
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选修4-4：坐标系与参数方程 §1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
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高中数学高考高三理科一轮复习资料 选修4-4-1 坐标系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做①______，从 O 点引一条射线 Ox，叫做②______，选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向)，这样应确定了一个平面极坐标 系，简称为③__________.
(2)极坐标： 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长，θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ 叫做点 M 的④______，θ 叫做点 M 的⑤______，有序实数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ)． 当点 M 在极点时，它的极径⑥____ ，极角 θ 可以取⑦ ______.
考点自测 1.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ ＝－1 的交点的坐标为__________．
x＝ρcosθ， 解析： 由极坐标方程与普通方程的互化式 y＝ρsinθ
知，这两条曲线的普通方程分别为 x2＋y2＝2y，x＝－1.解得 x＝－1， x＝ρcosθ， 3π 由 得点(－1,1)的极坐标为 2， 4 . y＝1. y＝ρsinθ 3π 答案： 2， 4
题型探究 题型一 直角坐标系中的伸缩变换 例 1. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 伸 缩 变 换 φ ： x′＝3x， 2y′＝y. 1 (1)求点 A3，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x，经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程．
2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的 正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的 单位长度，如图所示．
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
返回
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
返回
建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
返回
3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
返回
返回
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
2014届高三数学总复习 坐标系教案 新人教A版选修4-4
2014届高三数学总复习 坐标系教案 新人教A 版选修4-41. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋2π3(k∈Z )都是极坐标． 2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP²AC＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P(ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2³2³2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点， 所以圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2.在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)． 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交． 题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2³1³1³cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3²ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝ 3. 备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013²安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程． 解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013²天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，求|CP|. 解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsinθ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013²上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1ρ＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点， ∴ 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2³1³2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013²北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013²福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
复习课件：选4-4-2参数方程]
![复习课件：选4-4-2参数方程]](https://img.taocdn.com/s3/m/728287e89b89680203d8252e.png)
C：(y－2)2－x2＝1 交
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选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
( 1 ) 求|AB|的长； ( 2 ) 在以 O 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设点 P 的 极 坐 标 为 距离． 3π (2 2， )，求点 P 到线段 AB 中点 M 的 4
(θ 为参数 ) 所表示的曲线为
(
) A．抛物线的一部分 B．一条抛物线 C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
答案 A
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选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
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3．若曲线 C
x＝1＋cos2θ， 的参数方程为 2 y＝sin θ
(θ 为参数)，
则曲线 C 上的点的轨迹是( A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2,0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1
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选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
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思考题1
2 x＝t －1， (1) 2 y ＝ t ＋1
将下列参数方程化成普通方程． (t 为参数)； π (θ 为参数，θ∈[ ，π])． 2
x＝cosθ， (2) y＝sinθ
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选修4－4
2 2
60 1 2 5 ∴t1＋t2＝ － ，t1t2＝ － . 7 7 10 ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝ 71. 7
2
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选修4－4
坐标系与参数方程
高考调研
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高三数学极坐标系试题答案及解析
高三数学极坐标系试题答案及解析1.在极坐标系中，点和圆的圆心的距离为( )A．B． 2C．D．【答案】A【解析】在极坐标系中，点，在直角坐标系下的坐标为；在极坐标系中的圆在直角坐标系下的方程为，圆心坐标为，点到圆心的距离为，故选A.【考点】1、极坐标的概念；极坐标与直角坐标的转换；2、圆的方程；3、平面直角坐标系两点间的距离公式.2.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .【答案】.【解析】圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化；2.点到直线的距离；3.勾股定理3.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为,与直线的交点为，求线段的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）线段的长为2．【解析】（Ⅰ）求圆的极坐标方程，首先得知道圆的普通方程，由圆的参数方程为参数），可得圆的普通方程是，由公式，，，可得圆的极坐标方程，值得注意的是，参数方程化极坐标方程，必须转化为普通方程；（Ⅱ）求线段的长，此问题处理方法有两种，一转化为普通方程，利用普通方程求出两点的坐标，有两点距离公式可求得线段的长，二利用极坐标方程求出两点的极坐标，由于，所以，所以线段的长为2．试题解析：(Ⅰ)圆的普通方程是，又;所以圆的极坐标方程是.(Ⅱ)设为点的极坐标，则有解得，设为点的极坐标，则有解得，由于，所以，所以线段的长为2.【考点】参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，考查学生的转化与化归能力及运算能力．4.选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】（I），，…………（2分），…………（3分）即，．…………（5分）（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是，…………（8分）∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）方法2：，…………（8分）圆心C到距离是，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是【解析】略5.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为. （Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线相切，求实数a的值.【答案】（Ⅰ）由得，…………２分结合极坐标与直角坐标的互化公式得，即…………５分（Ⅱ）由直线的参数方程化为普通方程，得，. …………７分结合圆C与直线相切，得，解得.【解析】略6.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _【答案】【解析】略7.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线【答案】A【解析】略8.（坐标系与参数方程选做题）极点到直线的距离是 .【答案】【解析】略9.极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【答案】C【解析】略10.C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标. D．选修4-5：不等式证明选讲对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】【解析】∵，当且仅当时取等号∴的最小值等于2.…∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解…解不等式得………11.（理）在极坐标系中，直线与圆的交点坐标是__________.【答案】（1，）（【解析】略12.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________【答案】【解析】三个极坐标方程化为直角坐标方程依次为，，，三条直线的交点坐标,,,三条直线围成的图形为，其面积为13.（10分）已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值【答案】（1）（2）【解析】（1），即，故为。