最新高三教案-1.数列概念 推荐
高中数学数列概念教案
高中数学数列概念教案
教学内容：数列概念
教学目标：能够理解数列概念，掌握常见数列的性质及求解方法。
教学重点和难点：掌握数列的定义及常见数列的性质。
教学准备：教学课件、教学实验材料、小黑板、粉笔、教科书。
教学过程：
一、引入（5分钟）
通过渐进法引入数列的概念，并引导学生思考数列在生活中的实际应用，激发学生学习的
兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的定义：依据顺序排列的一系列数构成的序列称为数列。
2. 数列的表示方法：通项公式及递推公式。
3. 常见数列及性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、实例讲解（20分钟）
通过实例演算，帮助学生掌握数列的性质及求解方法，巩固所学知识。
四、练习（15分钟）
设计一些与课堂内容相关的练习题，让学生在课堂上进行练习，检验他们的学习情况。
五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调重点知识点，帮助学生将学到的知识点牢固记忆。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的课外作业，加深学生对数列的理解。
教学反思：
此教案通过引入、讲解、演算、练习、总结和作业布置等方式，全面系统地向学生介绍了
数列的概念及性质，帮助学生掌握了数列的基本知识，同时激发了学生对数学的学习兴趣。
在今后的教学中，应注重巩固学生的基础知识，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和解题能力。
高中数学数列教案模板范文
教学目标：1. 让学生掌握数列的概念和性质，了解数列的基本类型。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的创新精神。
教学重点：1. 数列的概念和性质2. 数列的基本类型教学难点：1. 数列的递推关系2. 数列的通项公式教学过程：一、导入1. 引入新知识：同学们，今天我们来学习一个新的数学概念——数列。
数列在数学中有着广泛的应用，它贯穿于整个数学学科。
接下来，让我们一起走进数列的世界。
二、新课讲授1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的。
例如，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……就是一个数列。
2. 数列的性质：a. 有限数列：数列中元素的个数是有限的。
b. 无穷数列：数列中元素的个数是无限的。
c. 单调数列：数列中的元素按照一定规律逐渐增大或减小。
d. 有界数列：数列中的元素都有一定的界限。
3. 数列的基本类型：a. 等差数列：数列中任意两个相邻的元素之差为常数。
b. 等比数列：数列中任意两个相邻的元素之比为常数。
三、例题讲解1. 例题1：已知数列{an}的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。
2. 例题2：已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
四、课堂练习1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 解答以下题目：a. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 1，求第10项的值。
b. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求第5项的值。
五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、性质和基本类型。
2. 强调数列的递推关系和通项公式的求解方法。
六、作业布置1. 完成课后作业题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课的内容，为后续学习做好准备。
教学反思：1. 本节课通过引入实际生活中的例子，让学生更容易理解数列的概念和性质。
2. 在例题讲解和课堂练习环节，注重培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】
第一章 数列1.1 数列的概念1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义与分类；2.能由通项公式求出数列的各项，反之能根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式；3.通过学习，培养学生观察抽象的能力，认识数列是刻画自然规律的数学模型.教学重点：理解数列的概念，认识数列是刻画自然规律的数学模型． 教学难点：根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式．一、情境导入在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1、从2000年到2022年我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：28,32,52,38,26,38.2、拉面师傅在拉面过程中，随着拉的次数增多，面条根数依次增多：1,2,4,8,16，... 3.人们在1740年发现了一颗彗星，并且每隔83年出现一次.从发现那次算起，这颗彗星近五次出现的年份依次为:1740，1823，1906，1989，2072.4.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为:问题1：这几列数的共同特点是什么？ 答：①规律都用一列数表示 ②都有一定顺序设计意图：从生活实例引入课题，让学生认识数学是刻画自然规律的数学模型.二、新知探究定义概念1.数列：一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数数列的一般形式： 123,,,,,n a a a a ⋯⋯ , 简记为数列 {}n a .其中数列第一项 1a ，也叫首项，n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项.11111,,,,,2481632⋯◆教学目标◆教学重难点◆教学过程想一想：将数列：1，2，3，4，5，6改成：6，5，4，3，2，1.两个数列一样吗？ 答：不一样.2.数列的分类：✮以项数来分类：(1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. ✮ 以各项的大小关系来分类：(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1>a n (或a n+1−a n >0).(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1<a n (或a n+1−a n <0). (3) 常数列：各项都相等的数列；(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.问题2： 数列与数集有什么异同？答：（1）数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数； （2）数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序； （3）数列{}n a 中的数可以重复，而集合中的元素不能重复. 问题3：数列{}n a 的项与序号n 有怎样的关系？答：数列的每一项都对应一个序号，反之，数列的每一个序号都对应着一个项. 如数列:2,4,8,16,32,64,⋯这个数列的每一项的序号n 与这一项的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号1,2,3,4,⋯代替求出数列相应的项.总结：1.对任意数列 {}n a ，其每一项的序号与项都有对应关系：2.如果数列 {}n a 的第 n 项n a 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成:(),.n a f n n N +=∈这个式子叫做数列的通项公式.a n =2n问题4： 任意一个数列都能写出通项公式吗？它是唯一的吗？ 答：不是每一个数列都能写出它的通项公式；如：1248319，，，， ② 一些数列的通项公式不是唯一.如：数列 1-11-1，，，，1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-或11,n n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数或为偶数设计意图：从具体的一个数列出发，分析数列项与序号间的关系，培养学生从特殊到一般的思想与分析问题习惯.三、应用举例例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项.(1)1;1n a n =+(2)sin .2n n a π=解：(1)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为11111,,,,;23456(2)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为1,0,1,0,1.-例2 如果数列 {}n a 的通项公式为2328n a n n =-，那么 -49和 68 是不是这个数列的项? 如果是，是第几项?解：令 232849n n -=-， 解得：77().3n n ==或舍去 .∴-49是这个数列的第7项令 232868n n -=， 解得：342.3n n =-=或均不符合题意， .∴68不是这个数列的项总结：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的项数n 之间的关系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n ,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n 为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n 的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.例3 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,4,9,16,25,(2)1,3,5,7,9,--(3)9,99,999,9999,解：（1）2n a n =；(2) ()+1(1)21n n a n =--;(3)101nn a =- ；总结：用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可以： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(−1)^k 处理符号；设计意图：通过例1、例2、例3，加深对数列通项公式的理解，同时培养学生观察与归纳能力.四、课堂练习1．下列说法:①数列{}31n -的第 5 项是10 ;②数列22222,1,,,,,,345n可以记为 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭;③数列 3,6,9 与数列 6,9,3 是相同的数列;④数列 1,1,2,3,5,8,13,21,是无穷数列. 其中，正确的有 .2.写出下列数列的一个通项公式:（1）1,3,7,15,（2）7,77,777,7777,（3) 1,3,1,3,1,3,参与答案： 1．② ④2．(1) 21nn a =- ;(2) 7(101)9nn a =-(3) {1,3,n n n a =为奇数,为偶数. 或 2(1)n n a =+- .3．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．解：根据题意，三角形数的每一项都是数列{}n 的前n 项的和，即10123,55n a n a =++++=故答案为:55设计意图：巩固数列的概念和数列的通项公式，强调数列的有序性，加深学生对数列的概念的认识.五、课堂小结一、知识：1.数列的有关概念：定义、分类、表示;2.数列的通项公式； 二、数学素养：培养观察、分析、归纳思维能力设计意图：总结与归纳本节课所学知识，培养学生的归纳概括能力.六、布置作业教材第7页练习1、2、3、4.。
数列的概念教案
数列的概念教案数列的概念教案一、教学目标1. 了解数列的概念和定义；2. 能够判断一个数列的规律；3. 能够根据给定的数列规律，推导出数列的通项公式；4. 能够应用数列的概念解决实际问题。
二、教学内容1. 数列的概念和定义；2. 数列的通项公式；3. 数列的前n项和；4. 应用数列解决实际问题。
三、教学步骤步骤一：引入数列的概念通过举例子的方式，让学生观察一些数的排列，找出其中的规律性。
例如：1、2、3、4、5...；1、3、5、7、9...等。
并引导学生思考这些数的排列是否有一定的规律，如果有，我们可以将其称为数列。
步骤二：引出数列的定义根据学生的观察和理解，引出数列的概念和定义。
数列是由一列数按照一定的顺序排列而成的序列，其中每个数称为该数列的项，用an表示，n表示项的位置。
步骤三：数列的通项公式的引入引导学生在观察数列的过程中，思考如何得到数列中的每一项。
例如，对于数列1、2、3、4、5...，如果需要求第n个数，我们可以发现数列中的每一项都比前一项大1，所以第n个数可以表示为an = a1 + (n - 1)。
步骤四：数列的前n项和的引入引导学生思考如何求一个数列的前n项和。
例如，对于数列1、2、3、4、5...，如果需要求前n项的和S，我们可以发现数列中的每一项都比前一项大1，所以可以利用等差数列求和公式Sn = (a1 + an) / 2 * n，其中an = a1 + (n - 1)。
步骤五：应用数列解决实际问题通过实际问题的引入，让学生应用数列的概念解决问题。
例如，有一序列数：1、3、5、7、9...，要求求出第n项的值并求前n 项和。
引导学生观察数列规律，判断数列是等差数列，然后根据通项公式和求和公式计算出结果。
四、教学注意事项1. 引导学生在观察数列的过程中，思考数列的规律；2. 培养学生分析和推断的能力，让其能够根据已知规律求解未知项或和；3. 引导学生在解决实际问题时，将问题转化为数列问题，然后应用数列的概念解决问题。
高三数学数列教案5篇最新
高三数学数列教案5篇最新每个好的教师都需要一个好的教案，今天小编在这里整理了一些高三数学数列教案5篇最新，我们一起来看看吧!高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题;培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的'应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课10，8，6，4，2，…; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，… 首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点) 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：(n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d 即：an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N-时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，则：an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A-a=b-A，即：a=. 反之，若A=，则2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差数列. 总之，A= a，A，b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8，5，2…的第20项. 分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项答案：这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项? 分析：要想判断-401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3，7，11，……的'第4项与第10项.(2)求等差数列10，8，6，……的第20项. (3)100是不是等差数列2，9，16，……的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由. 2.在等差数列{an}中，(1)已知a4=10，a7=19，求a1与d;(2)已知a3=9，a9=3，求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an-an-1=d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。
2024数列概念说课稿范文
2024数列概念说课稿范文今天我说课的内容是《数列概念》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《数列概念》是人教版高中数学2024年级上册第一单元的内容。
数列在数学中具有广泛的应用，是数学中重要的概念之一。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的数学知识，我制定了以下三点教学目标：① 认知目标：掌握数列的概念、性质以及常见的数列形式；② 能力目标：能够判断数列的有界性、单调性，以及求解数列中的未知项；③ 情感目标：培养学生对数列的兴趣，增强学生对数学的自信心。
二、说教法学法在数列概念的教学中，让学生主动参与到数学活动中是非常重要的。
因此，本节课我采用的教法是启发式教学法和探究式学习法。
让学生通过观察、实验、讨论等方式，主动探索数列的概念和性质，培养学生的思维能力和合作能力。
三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体教学工具，以图表、示意图等形式呈现教学素材。
同时，我还准备了一些实际问题和练习题，用于巩固学生的学习成果。
四、说教学过程新课标强调学生的主体性，因此，我设计了以下教学环节，让学生在参与中探索数列的概念和性质。
环节一、引入新知通过一个实际生活中的例子，让学生思考一下什么是数列，并引出数列的概念。
例如，我可以提问学生：你们能列举一些实际生活中的数列吗？让学生参与讨论，激发他们对数列的兴趣和思考。
环节二、探究数列的性质让学生观察一些数列的图像或数据表格，发现其中的规律，并从中归纳数列的性质。
例如，通过观察等差数列的图像和数据表格，让学生发现等差数列的公差、通项公式等性质。
引导学生进行讨论和总结，进一步加深对数列性质的理解。
环节三、解决实际问题通过一些实际问题的讨论，让学生运用数列的知识解决问题。
例如，我可以提出一个问题：某人每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推，问第n天他一共存了多少钱？通过讨论和计算，让学生找到解决问题的方法，加深对数列的应用理解。
高中数学数列概念教案
高中数学数列概念教案一、引言数列作为高中数学中的重要概念之一，在各个数学分支中都有广泛的应用。
本教案旨在帮助学生理解数列的定义和基本性质，并能够应用数列解决实际问题。
通过本教案的学习，学生将培养数学思维和解决问题的能力。
二、数列的定义与表示1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数。
这个规律可以是数值的变化模式，也可以是几何图形的变化模式。
2. 数列的表示方式数列可以用公式表示或者直接列举出数列的各个项。
例如，数列an = 2n可以表示为：a1 = 2，a2 = 4，a3 = 6，a4 = 8，...三、数列的分类与特点1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。
平方数列的通项公式为an = (a1)^(2n-2)，其中a1为首项。
四、数列的性质与应用1. 数列的有界性数列的有界性指的是数列中的所有项都在一定范围内取值。
如果数列的所有项都有上界M，下界N，那么该数列称为有界数列。
2. 数列的递增性与递减性数列的递增性表示数列中的每一项都大于前一项，数列的递减性表示数列中的每一项都小于前一项。
3. 数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列的值趋于一个确定的值。
4. 数列的应用数列在实际生活中有广泛的应用，包括金融领域的利息计算、物理学中的运动模型等。
五、数列的应用实例以金融领域的利息计算为例，假设有一笔本金为P的存款，年利率为r%。
若每年将利息再投资并累加到本金中，求n年后的本金总额。
高中数学数列概念优秀教案
高中数学数列概念优秀教案教学目标：1. 掌握数列的基本概念，能够区分等差数列和等比数列。
2. 熟练运用数列的通项公式求解各种问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：1. 掌握数列的定义和分类。
2. 掌握等差数列和等比数列的性质及通项公式。
3. 运用数列的知识解决实际问题。
教学难点：1. 等比数列的通项公式推导。
2. 如何运用数列的知识解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引入数列的概念，并举一些实际例子来说明数列在生活中的应用，如等差数列可以表示每天存钱增加的数量，等比数列可以表示细菌繁殖的数量等。
二、概念讲解（15分钟）1. 数列的定义和分类。
2. 等差数列的性质及通项公式。
3. 等比数列的性质及通项公式。
三、例题讲解（20分钟）1. 讲解一些常见的数列题目，如求等差数列和等比数列的前n项和、求某一项的值等。
2. 引导学生运用数列的知识解决实际问题，如经济学中的收入增长问题、物理学中的运动问题等。
四、练习与讨论（15分钟）教师布置一些练习题让学生自行解答，并对学生的答案进行讨论和纠正。
同时，鼓励学生提出自己的解题思路，培养他们的数学思维能力。
五、作业布置（5分钟）布置相关作业，巩固学生的学习成果。
六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，激励学生对数列的学习做进一步的思考和总结。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握数列的基本概念及相关性质，并能够熟练运用数列的通项公式解决各种问题。
同时，教师应该注重引导学生提高数学思维能力，培养他们的逻辑推理能力。
数列概念教案最新
数列概念教案最新教案标题：数列概念教案最新教案目标：1. 通过本课程，学生将了解数列的基本概念和特征。
2. 学生将能够识别和构建不同类型的数列，并能够使用递推公式和通项公式进行计算和推导。
3. 学生将能够应用数列概念解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含有关数列概念的相关章节。
2. 白板和标记笔。
3. 学生练习册。
4. 计算器（可选）。
教学步骤：引入：1. 引发学生对数列的兴趣：通过提出一个简单的问题或谜题，引发学生对数列的思考和探索。
例如：“请问，1、3、5、7、9是什么规律呢？”2. 引导学生思考：让学生自由讨论和分享他们对数列的认识和经验。
引导他们注意数列中的规律和模式。
概念讲解：1. 定义数列：解释数列的概念，即一系列按照特定规律排列的数字或项的集合。
2. 数列的特征：介绍数列的常见特征，如首项、公差、通项公式等。
3. 数列的分类：讲解等差数列、等比数列和斐波那契数列等常见数列的定义和特点。
数列的构建与计算：1. 构建数列：通过给出一些数字或规律，引导学生构建数列。
例如，给出首项和公差，让学生构建等差数列。
2. 递推公式：解释递推公式的概念和作用，引导学生使用递推公式计算数列的任意项。
3. 通项公式：介绍通项公式的概念和推导过程，让学生理解通项公式的作用，并通过例题进行练习。
应用实例：1. 实际问题：给出一些实际问题，如物理问题、金融问题等，要求学生应用数列概念解决问题。
例如：“小明每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推。
请问，30天后他一共存了多少钱？”2. 综合练习：提供一些综合性的练习题，让学生巩固和应用所学的数列概念。
鼓励学生积极参与解题过程，并及时给予指导和反馈。
总结与扩展：1. 总结：对本课程的重点内容进行总结，强调数列的重要性和应用领域。
2. 扩展：引导学生进一步探索数列的相关概念和应用，鼓励他们自主学习和思考。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些课堂练习题，检查学生对数列概念的理解和应用能力。
高中数学新课数列教案
高中数学新课数列教案第一章：数列的概念与定义1.1 数列的定义引导学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数，自变量为正整数。
通过实际例子，让学生理解数列的表示方法，如a_n，以及数列的通项公式。
1.2 数列的性质介绍数列的项、公差、公比等基本概念。
探讨数列的单调性、有界性等性质。
第二章：数列的求和2.1 数列求和的概念与方法引导学生理解数列求和的意义，即求出数列所有项的代数和。
介绍数列求和的基本方法，如相邻项相加、分组求和等。
2.2 等差数列与等比数列的求和探讨等差数列与等比数列的求和公式，并引导学生理解其推导过程。
通过例题，让学生掌握等差数列与等比数列的求和技巧。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的定义，即当自变量趋向于无穷大时，数列的某一项趋向于的值。
解释数列极限的意义，以及其在数学分析中的重要性。
3.2 数列极限的性质与计算方法探讨数列极限的基本性质，如保号性、单调性等。
介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
第四章：数列的收敛性与发散性4.1 数列收敛性的概念引导学生理解数列收敛性的定义，即数列极限存在的性质。
探讨数列收敛性的重要性，以及其在数学分析中的应用。
4.2 数列的收敛性与发散性的判断介绍数列收敛性与发散性的判断方法，如比较判别法、比值判别法等。
通过例题，让学生掌握判断数列收敛性与发散性的技巧。
第五章：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用引导学生了解数列在数学分析中的重要性，如函数的泰勒展开、级数等。
通过实际例子，让学生理解数列在数学分析中的应用。
5.2 数列在其他学科中的应用探讨数列在其他学科中的应用，如物理学的振动序列、经济学的人口增长模型等。
引导学生了解数列在现实生活中的应用价值。
第六章：数列的递推关系6.1 数列递推关系的定义与性质引导学生理解数列递推关系的概念，即数列中每一项与前一项之间的关系。
探讨数列递推关系的性质，如线性递推关系、非线性递推关系等。
数列的概念公开课教案
数列的概念公开课教案以下是为您生成的一份关于“数列的概念公开课教案”，但字数可能达不到1500 字，您可以根据实际需求进行修改补充。
---# 数列的概念公开课教案一、教学目标1. 让学生理解数列的概念，了解数列的分类。
2. 引导学生掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3. 通过实例，培养学生观察、分析、归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点1. 重点- 理解数列的概念。
- 掌握数列的通项公式。
2. 难点- 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程# （一）导入新课同学们，咱们先来玩一个小游戏。
老师说几个数字，你们看看能不能发现其中的规律。
老师说：1，3，5，7，9。
（停顿，观察学生反应）大家发现规律了吗？对啦，这是连续的奇数。
那如果老师再说：2，4，8，16，32。
这又有啥规律呢？（与学生互动，让学生回答）是不是后一个数都是前一个数的2 倍呀？那像这样按照一定顺序排列的数，在数学中就叫做数列。
今天咱们就来好好研究研究数列！# （二）新课讲授1. 数列的定义咱们来看几个例子。
（展示PPT 上的例子）比如：（1）精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值为1，1.4，1.41，1.414，…（2）从1984 年到2023 年，我国参加夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，51，38，26，32，28，38，26，38，32，26。
大家观察一下，这些数有什么共同特点呢？（让学生思考并回答）对啦，它们都是按照一定顺序排列的数。
那咱们就可以给数列下个定义啦：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
同学们，想想看，生活中还有哪些数列的例子呢？（与学生互动）比如咱们班同学的身高从小到大排列，一年中每个月的平均气温等等。
2. 数列的项在数列中，每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2 项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2025年高中数学高考精品备课教案：数列的概念
数列第1讲数列的概念课标要求命题点五年考情命题分析预测了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.由a n 与S n的关系求数列的通项公式2023全国卷甲T17；2022新高考卷ⅠT17本讲为高考命题热点，主要考查数列的不同呈现形式及相应形式下的通项求解，常见的形式有a n 与S n 的关系，不同项间的递推关系（常需变形利用累加法、累乘法、构造法求解），题型既有客观题，也有主观题，难度中等.预计2025年高考命题稳定.由递推关系求数列的通项公式2020浙江T20数列的性质及其应用2023北京T10；2021北京T10学生用书P0901.数列的有关概念名称概念数列按照确定的顺序排列的一列数.数列的项数列中的每一个数.通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子①a n ＝f （n ）（n ∈N *）表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.注意{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式；而a n 只表示数列{a n }的第n 项.辨析比较通项公式和递推公式的区别1.通项公式：可根据某项的序号n 的值，直接代入求出a n .2.递推公式：可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的a n .也可通过变形转化，直接求出a n .2.数列的函数特性（1）数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数a n ＝f （n ），它的定义域是正整数集N *或正整数集N *的有限子集{1，2，3，4，…，n }，所以它的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线.注意函数a n ＝f （n ）定义域为N *时，对应的数列{a n }为无穷数列.当其定义域为N *的有限子集{1，2，3，…，n }时，对应的数列{a n }为有穷数列.（2）数列的性质a.单调性——对任意的n ∈N *，若a n ＋1②＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1③＜a n ，则{a n }为递减数列.否则为常数列或摆动数列.b.周期性——若a n ＋k ＝a n （n ∈N *，k 为常数且为正整数），则{a n }为周期数列，④k 为{a n }的一个周期.3.数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系（1）S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n （n ∈N *）.（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⑤1，=1，⑥－－1，≥2.注意利用a n ＝1，=1，－－1，≥2求通项时，对n ＝1的情形要检验.若当n ＝1时，a 1符合a n ＝S n －S n －1（n ≥2），则数列{a n }的通项公式用一个式子表示；否则，用分段形式表示.1.已知递增数列{a n }的通项a n ＝n 2－kn （n ∈N *），则实数k 的取值范围是（B ）A.（－∞，2]B.（－∞，3）C.（－∞，2）D.（－∞，3]解析因为数列{a n }是递增数列，所以a n ＜a n ＋1对任意n ∈N *都成立，即n 2－kn ＜（n ＋1）2－k （n ＋1），即k ＜2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，因此k ＜3.故选B.2.[易错题]已知数列{a n }的前5项分别为2，－5，10，－17，26，则{a n }的一个通项公式为a n ＝（－1）n ＋1（n 2＋1）（答案不唯一）.解析由题意易得，数列{a n }各项的绝对值为2，5，10，17，26，…，记为数列{b n }，则b n ＝n 2＋1，考虑到（－1）n ＋1具有转换正负号的作用，所以原数列{a n }的一个通项公式为a n ＝（－1）n ＋1（n 2＋1）.3.[教材改编]在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1－1（n ≥2，n ∈N *），则a 2025的值为45.解析由题意可得，a1＝－14，a2＝5，a3＝45，a4＝－14，a5＝5，…，所以可观察出数列{a n}为以3为周期的数列.又2025÷3＝675，所以a2025＝a3＝45.4.[教材改编]已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋12n＋5，则数列{a n}的通项公式为a n＝解析当n＝1时，a1＝S1＝132.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（n2＋12n＋5）－[（n－1）2＋1（n－1）＋5]＝2n－12.又2×1－12＝32≠a1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝=1，－12，≥2.学生用书P091命题点1由a n与S n的关系求数列的通项公式例1（1）[全国卷Ⅰ]记S n为数列{a n}的前n项和.若S n＝2a n＋1，则S6＝－63.解析因为S n＝2a n＋1，所以当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n≥2时，a n ＝S n－S n－1＝2a n＋1－（2a n－1＋1），所以a n＝2a n－1，所以数列{a n}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝－1×（1－26）1－2＝－63.（2）[2023湖北武汉三模]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝－165，且5a n＋1＋S n＋16＝0.则a n＝－4×（45）n.解析当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－6425，＋S n＋16＝0①，得5a n＋S n－1＋16＝0（n≥2）②，①－②得5a n＋1＝4a n由5a n＋1（n≥2），∵a2＝－6425≠0，∴a n≠0，∴r1＝45（n≥2），又21＝45，∴{a n}是首项为－165，公比为45的等比数列，∴a n＝－165×（45）n－1＝－4×（45）n.方法技巧1.已知S n与a n的关系求a n的思路（1）利用a n＝S n－S n－1（n≥2）转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解.（2）利用S n－S n－1＝a n（n≥2）转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.2.已知S n ＝f （n ）求a n 的一般步骤（1）先利用a 1＝S 1求出a 1；（2）用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用S n －S n －1＝a n （n ≥2）便可求出当n ≥2时a n 的表达式；（3）检验a 1是否满足n ≥2时a n 的表达式并得出结论.训练1（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n ＋1－1.若a 1＝12，则a n ＝12×（32）n －1；若a 1＝1，则a n 解析①若a 1＝12.当n ＝1时，S 1＝2a 2－1＝12，∴a 2＝34.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1，则a n ＝S n－S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1＝32a n （n ≥2）.又∵a 2＝32a 1，∴{a n }是以12为首项，32为公比的等比数列，∴a n ＝12×（32）n －1.②若a 1＝1.解法一当n ＝1时，S 1＝2a 2－1＝1，a 2＝1.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1，则a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，a n ＋1＝32a n ，∴{a n }从第2项起是等比数列，公比为32，∴a n ＝a 2×（32）n －2＝（32）n －2（n ≥2）.∵a1＝1≠（32）1－2，∴a n ＝1，=1，（32）－2，≥2.解法二∵S n ＝2a n ＋1－1，∴S n ＝2（S n ＋1－S n ）－1，即S n ＋1＝32S n ＋12，∴S n ＋1＋1＝32（S n ＋1），∴{S n ＋1}是以S 1＋1＝a 1＋1＝2为首项，32为公比的等比数列，∴S n ＝2×（32）n －1－1.当n ≥2时，S n －1＝2×（32）n －2－1，则a n ＝S n －S n －1＝（32）n －2（n ≥2）.∵a 1＝1≠（32）1－2，∴a n ＝1，=1，（32）－2，≥2.（2）已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝（2n －1）×3n ，n ∈N *，则a n ＝解析由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝（2n －1）×3n ，n ∈N *得，当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋（n －1）a n －1＝（2n －3）×3n －1，两式作差得na n ＝（2n －1）×3n －（2n －3）×3n－1＝（6n－3）×3n－1－（2n－3）×3n－1＝4n×3n－1，则a n＝4×3n－1，n≥2.当n＝1时，a1＝3，不满足a n＝4×3n－1，所以a n＝3，=1，4×3－1，≥2.命题点2由递推关系求数列的通项公式角度1累加法例2[江西高考]在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln（1＋1），则a n＝（A）A.2＋ln nB.2＋（n－1）ln nC.2＋n ln nD.1＋n＋ln n解析由题意可得，a n＋1－a n＝ln（1＋1），∴a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝ln－1＋ln－1－2＋…＋ln21＋2＝ln（－1·－1－2·…·21）＋2＝ln n＋2.故选A.角度2累乘法例3已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝n2a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为a n＝2（r1）.解析由S n＝n2a n，可得当n≥2时，S n－1＝（n－1）2a n－1，则a n＝S n－S n－1＝n2a n－（n－1）2a n－1，即（n2－1）a n＝（n－1）2a n－1，易知a n≠0，故－1＝－1r1（n≥2）.所以当n≥2时，a n＝－1×－1－2×－2－3×…×32×21×a1＝－1r1×－2×－3－1×…×24×13×1＝2（r1）.当n＝1时，a1＝1满足a n＝2（r1）.故数列{a n}的通项公式为a n＝2（r1）.方法技巧1.形如a n＋1－a n＝f（n）的递推公式，用累加法求通项，即利用恒等式a n＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a n－a n－1）（n≥2）求解.2.形如r1＝f（n）的递推公式，用累乘法求通项，即利用恒等式a n＝a1·21·32·43·…·－1（a n≠0，n≥2）求解.训练2[浙江高考]已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1＝b1＝c1＝1，c n＝a n＋1－a n，c n＋1＝r2c n，n∈N*.（1）若{b n }为等比数列，公比q ＞0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式.（2）若{b n }为等差数列，公差d ＞0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＜1＋1，n ∈N *.解析（1）由b 1＋b 2＝6b 3得1＋q ＝6q 2，又q ＞0，解得q ＝12.由c 1＝1，c n ＋1＝4c n 得c n ＝4n －1.由a n ＋1－a n ＝4n －1得a n ＝a 1＋（a 2－a 1）＋（a 3－a 2）＋…＋（a n －a n －1）＝a 1＋1＋4＋…＋4n －2＝4－1+23（n ≥2）.当n ＝1时，a 1＝1+23＝1，满足上式.故a n ＝4－1+23.（2）由c n ＋1＝r2c n 得r1＝r2，所以c n ＝c 1·21·32·…·－1＝c 1·13·24·…·－1r1＝121r1＝1+（1－1r1），所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1+（1－1r1）.由b 1＝1，d ＞0得b n ＋1＞0，因此c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＜1＋1，n ∈N *.命题点3数列的性质及其应用角度1数列的周期性例4若非零数列{a n }满足a n a n ＋2＝a n ＋1（n ∈N *），则称数列{a n }为“等积数列”.若等积数列{a n }中a 1＝4，a 2＝5，则a 2025＝54.解析由题意知a n a n ＋2＝a n ＋1，则a n ＋2＝r1，结合a 1＝4，a 2＝5，可得a 3＝21＝54，a 4＝32＝545＝14，a 5＝43＝1454＝15，a 6＝54＝45，a 7＝65＝4，a 8＝76＝5，…，故数列{a n }是以6为周期的周期数列，所以a 2025＝a 337×6＋3＝a 3＝54.角度2数列的单调性与最大（小）项问题例5（1）[2023北京高考]已知数列{a n }满足a n ＋1＝14（a n －6）3＋6（n ＝1，2，3，…），则（B）A.当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立B.当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立C.当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立D.当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立解析对于A，当a1＝3时，a2＝14×（－3）3＋6，a3＝144×（－3）9＋6，…，所以{a n}为递减数列.又三次函数y＝x3单调递增，所以y＝14（x－6）3＋6单调递增，则当n→＋∞时，a n→－∞，所以a n无最小值，故A错误.对于B，当a1＝5时，a2＝－14＋6，a3＝－144＋6，a4＝－1413＋6，…，所以{a n}为递增数列，且n→＋∞时，a n→6.取M＝6，则对任意n∈N*，都有a n＜M＝6，故B正确.对于C，当a1＝7时，a2＝14＋6，a3＝144＋6，易知{a n}为递减数列，且n→＋∞时，a n→6，故不存在M＞6，使得a n＞M恒成立，故C错误.对于D，当a1＝9时，a2＝334＋6，a3＝3944＋6，易知{a n}为递增数列，且当n→＋∞时，a n→＋∞，所以a n无最大值，故D错误.（2）若数列{a n}的前n项积b n＝1－27n，则a n的最大值与最小值之和为（C）A.－13 B.57 C.2 D.73解析由题意a1a2…a n＝1－27n①.当n＝1时，a1＝1－27＝57；当n≥2时，a1a2…a n－1＝1－27（n－1）＝97－27n②.由①÷②得a n＝1－2797－27＝7－29－2＝1＋22－9（n≥2）.又a1＝57也满足上式，所以a n＝1＋22－9（n∈N*）.作出函数f（x）＝1＋22－9的图象，如图所示，易知当x∈N*时，f（x）max＝f（5），f（x）min＝f（4），所以a n的最小值为a4＝－1，最大值为a5＝3，所以a n的最大值与最小值之和为－1＋3＝2，故选C.方法技巧1.解决数列单调性问题的3种常用方法作差比较法a n＋1－a n＞0⇔数列{a n}是递增数列；a n＋1－a n＜0⇔数列{a n}是递减数列；a n＋1－a n＝0⇔数列{a n}是常数列.作商比较法当a n符号确定时，利用r1与1的大小关系确定{a n}的单调性.数形结利用数列对应的函数的图象直观判断.注意“函数”的自变量为正整数.合法2.求数列中的最大（小）项的方法（1）利用≥r1，≥－1求数列中的最大项a n ；利用≤r1，≤－1求数列中的最小项a n .（2）结合数列单调性判断数列的最大（小）项.3.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.训练3（1）已知数列{a n }满足a n ＝n cos 2π，b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前50项和为－52.解析解法一由题意得，b n ＝a n ＋a n ＋1＝n cos 2π＋（n ＋1）cosr12π＝n cos2π－（n ＋1）sin 2π，则b 4n ＝4n cos 2n π－（4n ＋1）sin 2n π＝4n ，同理可得b 4n －1＝4n ，b 4n －2＝2－4n ，b 4n －3＝2－4n ，所以b 4n －3＋b 4n －2＋b 4n －1＋b 4n ＝4，于是数列{b n }的前50项和b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 48＋b 49＋b 50＝12（b 1＋b 2＋b 3＋b 4）＋b 4×13－3＋b 4×13－2＝12×4＋2－4×13＋2－4×13＝－52.解法二（列举法）由题意可得a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.通过列举可知，a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝2，且a 2k －1＝0，k ∈N *.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 50＝12（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）＋a 49＋a 50＝12×2＋49cos49π2＋50cos50π2＝－26.又b n ＝a n ＋a n ＋1，所以{b n }的前50项和为2S 50－a 1＋a 51＝－52.（2）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝33，当a n 最大时，n ＝3.（33≈1.44）解析设a n 是数列{a n }的最大项，则r1≤，－1≤，33，≤33，解得n 因为33≈1.44，所以n 的值为3.（3）已知数列{a n }的首项a 1＝m ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n ＋1＝2n 2＋3n ，若数列{a n }是递增数列，则实数m 的取值范围是（14，54）.解析由S n ＋S n ＋1＝2n 2＋3n 可得，S n －1＋S n ＝2（n －1）2＋3（n －1）（n ≥2），两式相减得a n ＋a n ＋1＝4n ＋1（n ≥2），∴a n －1＋a n ＝4n －3（n ≥3），由此可得a n ＋1－a n －1＝4（n ≥3）.∴数列a 2，a 4，a 6，…是以4为公差的等差数列，数列a 3，a 5，a 7，…是以4为公差的等差数列.将n＝1及a1＝m代入S n＋S n＋1＝2n2＋3n可得a2＝5－2m，将n＝2代入a n ＋a n＋1＝4n＋1（n≥2）可得a3＝4＋2m.∵a4＝a2＋4＝9－2m，∴要使得任意n∈N*，a n＜a n＋1恒成立，只需要a1＜a2＜a3＜a4即可，∴m＜5－2m＜4＋2m＜9－2m，解得14＜m＜54.∴实数m的取值范围是（14，54）.1.[命题点1/2023山东菏泽鄄城一中三模]已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝4a n－3，则S n＝（C）A.4[（25）n－1]B.4[（23）n－1]C.3[（43）n－1]D.4（3n－1）解析当n＝1时，S1＝4a1－3，得a1＝S1＝1，当n≥2时，S n＝4（S n－S n－1）－3，化简得S n＝43S n－1＋1，即S n＋3＝43（S n－1＋3）（n≥2），又S1＋3＝4，所以{S n＋3}是首项为4，公比为43的等比数列，所以S n＋3＝4×（43）n－1，所以S n＝4×（43）n－1－3＝3[（43）n－1]，故选C.2.[命题点2角度1/2023山东济南历城二中模拟]数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜2.解析（1）因为a n＋1＝a n＋n＋1，即a n＋1－a n＝n＋1，所以当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，将以上各式相加，得a n－a1＝2＋3＋…＋n＝（－1)(r2）2，则a n＝2＋r22（n≥2），当n＝1时也符合上式，故a n＝2＋r22.（2）由题意知b n＝1＝22＋r2＜22＋＝2（r1）＝2（1－1r1）.所以T n＝b1＋b2＋…＋b n＜2（1－12＋12－13＋…＋1－1r1）＝2（1－1＋1）＜2，问题得证.3.[命题点3角度2/2023四川达州三诊]已知数列{a n}满足12＋222＋…＋2＝n（n∈N*），b n＝λ（a n－1）－n2＋4n，若数列{b n}为递增数列，则λ的取值范围是（A）A.（38，＋∞）B.（12，＋∞）C.[38，＋∞）D.[12，＋∞）解析由12＋222＋…＋2＝n（n∈N*）可得12＋222＋…＋－12－1＝n－1（n≥2），两式相减可得2＝1（n≥2），则a n＝2n（n≥2），当n＝1时，由12＝1可得a1＝2，满足上式，故a n＝2n（n∈N*），所以b n＝λ（2n－1）－n2＋4n.因为数列{b n}为递增数列，即∀n∈N*，b n＋1－b n＞0，则λ（2n＋1－1）－（n＋1）2＋4（n＋1）－[λ（2n－1）－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，整理得λ＞2－32，令c n＝2－32，则c n＋1－c n＝2－12r1－2－32＝5－22r1（n∈N*），＞c n，当n≥3时，c n＋1＜c n，当n≤2时，c n＋1即当n＝3时，2－32取得最大值38，从而得λ＞38，所以λ的取值范围为（38，＋∞）.故选A.学生用书·练习帮P3011.[2024江西模拟]记S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2，≤5，5－4，>5，则a6＝（A）A.1B.5C.7D.9解析因为S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2，≤5，5－4，>5，所以a6＝S6－S5＝（5×6－4）－52＝1.故选A.2.[2023安徽淮南第五次联考]若数列{a n}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝（n－1）·2n＋1，则a7＝（A）A.64B.128C.256D.512解析由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝（n－1）·2n＋1①，得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）＝（n－2）·2n－1＋1（n≥2）②，①－②，得na n＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－·a n－12）·2n－1＋1]＝n·2n－1（n≥2），所以a n＝2n－1（n≥2），则a7＝64.故选A.3.已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n（2n－13），n∈N*，则数列{a n}的前n项和S n取最小值时，n的值是（A）A.6B.7C.8D.5解析由3n（2n－13）≤0，得n≤132，n∈N*，所以数列{a n}的前6项为负数，从第7项开始为正数，故数列{a n}的前n项和S n取最小值时，n的值为6.故选A.4.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n＋，则“a≤1”是“数列{a n}是递增数列”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若数列{a n}是递增数列，则n＋1＋r1＞n＋，化简得a＜n2＋n.因为函数y＝x2＋x＝（x＋12）2－14在[1，＋∞）上单调递增，所以a＜2，所以“a≤1”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件.故选A.5.[斐波那契数列]斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有直接的应用.在数学上，斐波那契数列{a n}是用如下递推方法定义的：a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2（n≥3，n∈N*）.已知12＋22＋32＋…＋2是该数列的第100项，则m＝（B）A.98B.99C.100D.101解析由题意得，12＝a2a1.因为a n＝a n－1＋a n－2（n≥3，n∈N*），所以a n－1＝a n－a n－2（n≥3，n∈N*），得22＝a2（a3－a1）＝a2a3－a2a1，32＝a3（a4－a2）＝a3a4－a3a2，…，2＝a m（a m＋1－a m－1）＝a m a m＋1－a m a m－1.则12＋22＋32＋…＋2＝a m a m＋1.因为12＋22＋32＋…＋2是斐波那契数列{a n}的第100项，即a m＋1是斐波那契数列{a n}的第100项，所以m＝99，故选B.6.[2023上海财经大学附属中学模拟]若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n ＝3r1－3－22.解析由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3（a n ＋1），所以数列{a n ＋1}是以3为公比的等比数列，其中首项a 1＋1＝3，所以a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，所以a n ＝3n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝（31＋32＋…＋3n ）－n ＝3×（1－3）1－3－n ＝3r1－3－22.7.[2023重庆市三检]已知数列{a n }满足：对任意的正整数m ，n ，都有a m a n ＝a m ＋n ，且a 2＝3，则a 10＝243.解析解法一因为对任意的正整数m ，n ，都有a m a n ＝a m ＋n ，所以a 1a 1＝a 2，a n a 1＝a n ＋1.又a 2＝3，所以a 1＝±3，r1＝a 1，所以数列{a n }是首项与公比均为a 1的等比数列，所以a n＝a 1·1－1＝1，所以a 10＝110＝35＝243.解法二由题意，令m ＝n ＝2，得a 4＝a 2·a 2＝32.令m ＝n ＝4，得a 8＝a 4·a 4＝34.令m ＝2，n＝8，得a 10＝a 8·a 2＝34×3＝35＝243.8.[2023甘肃白银5月第二次联考]设{a n }是首项为1的正项数列，且（n ＋1）r12－n 2＋a n ＋1a n ＝0（n ∈N *），则它的通项公式a n ＝1.解析解法一（累乘法）将原式分解因式，得[（n ＋1）a n ＋1－na n ]（a n ＋1＋a n ）＝0.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴（n ＋1）a n ＋1－na n ＝0，∴r1＝r1，∴21×32×43×…×－1＝12×23×34×…×－1（n ≥2），即1＝1（n ≥2）.∵a 1＝1，∴a n ＝1a 1＝1（n ≥2），当n ＝1时也符合上式，故a n ＝1.解法二（迭代法）由解法一，知r1＝r1，∴a n ＋1＝r1a n ，∴a n ＝－1a n －1＝－1·－2－1·a n －2＝…＝－1·－2－1 (12)·a 1＝1a 1（n ≥2）.∵a 1＝1，∴a n ＝1（n ≥2），当n ＝1时也符合上式，故a n ＝1.解法三（构造特殊数列法）由解法一，知（n ＋1）a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1.9.[2023山东泰安肥城5月适应性训练]数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＋1－2S n＝1－n，且S1＝3，则数列{a n－2S n＝1－n，∴S n＋1－（n＋1）＝2（S n－n），且S1－1＝2≠0，解析∵S n＋1＝2，∴{S n－n}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴S n－n＝2·2n－1＝2n，S n ∴r1－（r1）－＝n＋2n.∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，所以a n＝3，=1，2－1+1，≥2.10.[2023安徽合肥一六八中学最后一卷]如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.根据以上规律引入一个数列{a n}，满足a1＝1，a n＝a n－1＋n，n＞1且n∈N*.（1）求数列{a n}的通项公式.（2）求证：11＋12＋…＋1＜2.解析（1）因为a n＝a n－1＋n，n＞1，所以a n－a n－1＝n，n＞1，所以当n＞1时，a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝n＋（n－1）＋…＋2＋1＝（r1）2，又a1＝1，当n＝1时，上式也成立，所以a n＝（r1）2.（2）由1＝2（r1）＝2（1－1r1），得11＋12＋…＋1＝2（1－12＋12－13＋…＋1－1r1）＝2（1－1r1）＜2，问题得证. 11.[2024云南曲靖模拟]数列{a n}满足a n＋1＝2－14+2，且a1＝1，则数列{a n}的前2024项的和S2024＝（C）A.－2536B.－2538C.－17716D.－17718解析因为a n ＋1＝2－14+2，且a 1＝1，令n ＝1，可得a 2＝21－141+2＝16；令n ＝2，可得a 3＝22－142+2＝－14；令n ＝3，可得a 4＝23－143+2＝－32；令n ＝4，可得a 5＝24－144+2＝1.可知数列{a n }是以4为周期的周期数列，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋16－14－32＝－712，且2024＝4×506，所以S 2024＝506×（－712）＝－17716.故选C.12.[多选/2023高三名校联考]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，该数列从第一项起为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….按此规律得到的数列记为{a n }，其前n 项和为S n ，则以下说法正确的是（AD ）A.a 2n －1＝2n 2－2nB.182是数列{a n }中的项C.a 21＝210D.当n 为偶数时，S n ＋2－2S n ＋1＋S n ＝n ＋2解析数列{a n }的偶数项依次为2，8，18，32，50，…，通过观察可知a 2n ＝2n 2，同理可得a 2n －1＝2n 2－2n ，所以a n 为奇数，2为偶数，所以a 21＝212－12＝220，故A 正确，C 错误；由2－12＝182，得n ＝365，由22＝182，得n ＝291，又n ∈N *，所以方程都无正整数解，所以182不是{a n }中的项，故B 错误；当n 为偶数时，S n ＋2－2S n ＋1＋S n ＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）＝a n ＋2－a n ＋1＝（r2）22－（r1）2－12＝n ＋2，故D 正确.故选AD.13.[2023河南名校摸底考试]已知数列{a n }满足：a 1＝1，（2n ＋1）2a n ＝（2n －1）2a n ＋1（n ∈N *）.正项数列{c n }满足：对于每个n ∈N *，c 2n －1＝a n ，c 2n －1，c 2n ，c 2n ＋1成等比数列，则c n 解析依题意，a n ≠0，由（2n ＋1）2a n ＝（2n －1）2a n ＋1可得r1＝（2r1）2（2－1）2，所以a n ＝－1·－1－2·…·32·21·a 1＝（2－1）2（2－3）2·（2－3）2（2－5）2·…·5232·3212·1＝（2n －1）2（n ≥2），当n ＝1时，a 1＝1，满足上式，所以c 2n －1＝a n ＝（2n －1）2①.因为c 2n －1，c 2n ，c 2n ＋1成等比数列，所以22＝c 2n －1×c 2n ＋1＝（2n －1）2（2n ＋1）2＝（4n 2－1）2，又c n ＞0，所以c 2n ＝4n 2－1＝（2n ）2－1②.由①②可知，c n ＝2，为奇数，2－1，为偶数.14.[2023江苏省如皋中学模拟]已知数列{a n }，a 1＝1，且a n ·＝，则a 1·a 2·a 3·…·2K2·2K1·2＝12r1，a n 解析因为a n ·a n ＋1＝r2，所以a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2n －1·a 2n ＝13×35×…×2－12r1＝12r1.由a n ·a n ＋1＝r2，可得a n ＋1·a n ＋2＝r1r3，即有r2＝（r1)(r2）（r3），由a 1＝1，得31＝2×31×4，53＝4×53×6，75＝6×75×8，…，2－12－3＝（2－2)(2－1）（2－3）·2，所以当n ＝2k －1，k ∈N *时，将以上各式相乘可得，a 2k －1＝2（2－1）2，即a n ＝2r1，n ＝2k －1，k ∈N *.又当n ＝2k －1，k ∈N *时，a 2k －1·a 2k ＝2－12r1，所以a 2k ＝2－12r1·22（2－1）＝22（2r1），所以当n ＝2k ，k ∈N *时，a n ＝2r2.所以a n ＝=2－1，=2（k ∈N *）.15.[2023福州5月质检]已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋10＝2a n ＋1＋2n .（1）若b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式；（2）求使a n 取得最小值时n 的值.解析（1）依题意，可得b 1＝0，b n ＋1－b n ＝2n －10，于是当n ≥2时，b n －b 1＝∑i=1－1（b i ＋1－b i ）＝∑i=1－1（2i －10）＝2＋4＋…＋（2n －2）－10（n －1）＝n 2－11n ＋10.即b n ＝n 2－11n ＋10，又b 1＝0也符合上式，所以b n ＝n 2－11n ＋10.（2）由（1）可知b n ＝a n ＋1－a n ＝（n －1）（n －10），当2≤n ≤9时，b n ＜0，即a n ＋1＜a n ，当n ≥11时，b n ＞0，即a n ＋1＞a n ，当n ＝1或n ＝10时，b n ＝0，即a n ＋1＝a n ，所以a n 取得最小值时n ＝10或11.16.[条件创新]在数列{a n}中，a1＝1，a2＝13，2a n a n＋2＝a n a n＋1＋a n＋1a n＋2，若a k＝135，则k＝（A）A.18B.24C.30D.36解析由2a n a n＋2＝a n a n＋1＋a n＋1a n＋2，得2r1＝1r2＋1，所以数列{1}是等差数列，且首项为11＝1，公差为12－11＝2，所以1＝1＋（n－1）×2＝2n－1，所以a n＝12－1.由a k＝12－1＝135，得k＝18，故选A.。
《数列的概念》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《数列的概念》教学设计 【知识与能力目标】 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系【过程与方法目标】经历数列知识的感受及理解运用的过程。
【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点】 根据数列的递推公式写出数列的前几项【教学难点】理解递推公式与通项公式的关系Ⅰ.课题导入数列的概念 问题： 1.国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2. 古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3. 童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙， 两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三 只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛， 十二条腿；◆教学目标◆教学重难点◆教学过程4.中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数。
教师：以上四个问题中的数蕴涵着四列数。
学生：1：1、2、22、23 (263)2一列数：3：4：15，5，16，16，28，32如上几列数的共同特点是什么？教师：引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。
学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。
教师引导归纳出：⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.3. 数列的一般形式：n a a a ,,,21 ，表示法{}n a4. 数列的表示方法（1）通项公式法如果数列{an}的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列概念教案
数列概念教案
教学目标
理解数列的概念及其特点
掌握数列的表示方法和求解方法
能够利用数列的性质进行问题求解
教学内容
1.数列的定义
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，可以用一个公式或者递归关系来表示。
2.数列的表示方法
通项公式：用一个表达式表示数列的第n项。
递推公式：通过前一项或多个前项与常数之间的关系来表示数列的第n项。
3.数列的分类
根据递增或递减规律分为等差数列和等比数列。
等差数列：数列中相邻两项之差保持恒定。
等比数列：数列中相邻两项之比保持恒定。
根据首项和公差或公比可以确定一个数列。
4.数列的性质和运算
数列的和：根据数列的特点，可以求出数列的部分和或无穷级数的和。
数列的乘积：对于等比数列，可以求出数列的部分乘积或无穷乘积。
教学步骤
步骤1：引入数列的概念
通过一个生活中的例子，引导学生认识数列的概念和特点。
步骤2：数列的表示方法
介绍数列的通项公式和递推公式，并通过具体的数列示例进行说明和计算。
步骤3：数列的分类
分别介绍等差数列和等比数列的定义、特点和常见表示方法。
步骤4：数列的性质和运算
介绍数列的和与乘积的计算方法，并通过实例进行演示。
教学资源
PowerPoint演示文稿
数列练习题集
教学评估
布置数列练习题，检查学生对数列概念的理解和运用能力。
利用小组讨论或个人报告的方式，要求学生运用数列的性质解决一些实际问题。
扩展阅读
《高中数学数列》（教材）
《数列与数学归纳法》（参考书）。
高中数学新课数列教案
高中数学新课数列教案教案：数列一、教材内容分析：本节课是高中数学新课数列，主要讲解数列的定义、通项公式、求和公式和常见数列的性质与应用等内容。
该内容是数学的基础知识，对于学生后续的数学学习和应用也起着重要的作用。
通过本节课的学习，能够帮助学生建立数列的概念，掌握数列的相关概念和性质，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学目标：1. 知识与技能目标：（1）能够理解数列的概念，并能够通过数列的通项公式进行数列的推导；（2）掌握数列的求和公式以及求和公式的应用；（3）掌握常见数列的通项公式、求和公式和性质等。
2. 过程与方法目标：（1）通过小组合作学习的方式深化学生对数列的理解和应用；（2）引导学生通过数列的推导和问题的解决，培养学生的数学思维和分析问题的能力；（3）通过课堂互动和练习小结等方式，巩固学生的学习成果。
三、教学过程：1. 情境导入（通过问题引入数列的概念）（5分钟）（1）问题：小明每天早上都去操场跑步，第一天跑了1000米，第二天跑了900米，第三天跑了800米，以此类推，每天跑步的距离减少100米。
请问小明跑步的距离形成了什么规律？（2）导师提示：这个问题中跑步的距离形成了一个规律，我们称之为数列，今天我们就来学习数列相关的知识。
2. 概念解释与实例分析（15分钟）（1）数列的定义：依次排列的一列数的集合叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）数列的表示：用a1，a2，a3，……，an表示数列的前n 项，其中a1是数列的首项，an是数列的第n项。
（3）数列的通项公式：对于一个数列，如果知道数列的首项和公差，可以通过通项公式（an = a1 + (n-1)d）来推导出数列的各项。
（4）数列的求和公式：对于等差数列，可以使用求和公式（Sn = n(a1 + an)/2）来计算数列的前n项的和。
3. 常见数列的性质与应用（20分钟）（1）等差数列的性质与应用：等差数列的首项为a1，公差为d，通项公式为an = a1 + (n-1)d，求和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
数列的概念教案
数列的概念教案数列的概念教案引言：数列是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
数列的研究不仅有助于培养学生的逻辑思维能力，还能帮助他们理解和解决实际问题。
本文将介绍数列的概念、性质和应用，并提出一份教案，帮助教师系统地教授数列。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以用符号表示为{an}，其中an表示数列中的第n个数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个自然数列。
二、数列的分类根据数列的规律，我们可以将数列分为等差数列和等比数列。
1. 等差数列：如果数列中的每个数与它的前一个数之差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
2. 等比数列：如果数列中的每个数与它的前一个数之比都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
三、数列的性质数列有许多重要的性质，包括有界性、单调性和极限等。
1. 有界性：一个数列是有界的，意味着存在一个上界和下界，使得数列中的所有数都在这个范围内。
例如，等差数列{1, 3, 5, 7, ...}的上界是无穷大，下界是1。
2. 单调性：一个数列是单调的，意味着数列中的每个数都大于（或小于）它的前一个数。
例如，等差数列{1, 3, 5, 7, ...}是一个递增数列。
3. 极限：数列的极限是指数列中的数随着项数的增加趋向于一个确定的值。
例如，等比数列{1, 2, 4, 8, ...}的极限是无穷大。
四、数列的应用数列在实际生活中有许多应用，下面介绍两个常见的应用场景。
1. 等差数列的应用：等差数列经常出现在日常生活中的时间、距离和速度等问题中。
例如，一个人每天早上从家里到学校的距离是10公里，每天都以相同的速度前进。
那么他在第n天到达学校时，所走的总距离可以表示为一个等差数列。
数列的概念教案范文
数列的概念教案范文一、教学目标1.知识目标：了解数列的概念和性质，并能够利用递推关系式或通项公式求解数列中的值。
2.能力目标：培养学生的逻辑思维和数学推理能力，以及解决实际问题的能力。
3.情感目标：培养学生的数学兴趣，增强学生对数学的自信心。
二、教学重点1.数列的概念和性质2.求解数列中的值的方法三、教学难点1.利用递推关系式或通项公式求解数列中的值的方法2.将数列的概念和性质应用于实际问题的解决四、教学过程Step 1 引入新知1.教师出示一些有规律的数字，请学生观察并猜测规律。
2.学生发言，教师引导学生讨论并总结数列的概念。
Step 2 知识讲解1.通过示意图或表格的形式，讲解数列的定义和常见表示方式。
2.介绍等差数列和等比数列的概念，并比较它们的差异。
Step 3 学习练习1.学生以小组形式解答一些简单的数列问题，如求解数列中的一些值。
2.教师对学生的答案进行点评和讲解，并引导学生思考问题解决的方法和思路。
Step 4 拓展延伸1.给学生一些挑战性的问题，要求学生思考并解答，如求解递推数列的通项公式。
2.学生小组合作，利用已掌握的知识解决实际问题，如等差数列的应用等。
Step 5 归纳总结1.教师和学生共同总结数列的概念和性质，并将其应用于实际问题的解决。
2.学生提交书面总结，教师进行评价和点评。
五、课堂延伸1.学生可以在日常生活中找到更多的数列例子，并尝试运用数列的概念解决问题。
2.学生可以进一步研究数列的进一步性质，如等差数列的和公式和等比数列的收敛性等。
六、教学评价1.学生的参与度和表现2.学生的书面总结3.学生在课后练习中的实际表现七、教学反思通过本节课的教学，学生对于数列的概念有了初步的了解，并能够运用递推关系式或通项公式求解数列中的值。
同时，通过实际问题的解决，学生的数学兴趣和自信心也有所提高。
但是，在课堂上学生的参与度还不够高，教师需要更加灵活的教学方法和形式来激发学生的积极性。
高中数学数列的概念教案
高中数学数列的概念教案教学目标：1. 理解数列的定义和概念；2. 掌握等差数列和等比数列的特点；3. 能够求解数列的通项公式；4. 能够运用数列的知识解决实际问题。
教学重点：1. 数列的定义和特点；2. 等差数列和等比数列的特点；3. 求解数列的通项公式；4. 解决实际问题。
教学难点：1. 理解数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式；3. 能够灵活运用数列知识解决问题。
教学准备：1. 教师准备课件、教材、黑板和粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本和笔。
教学过程：一、导入1. 讲解数列的概念，引导学生了解数列的定义；2. 提出问题：什么是数列？数列有哪些特点？二、概念解释1. 讲解等差数列和等比数列的定义；2. 比较等差数列和等比数列的特点。
三、求解通项公式1. 讲解如何求解数列的通项公式；2. 举例说明如何根据已知条件求解通项公式。
四、练习题1. 让学生在黑板上解答若干道数列相关问题；2. 指导学生如何解题思路，鼓励学生积极思考。
五、实际应用1. 展示一些实际问题，让学生利用数列知识解决问题；2. 引导学生发现数列在日常生活中的应用意义。
六、总结1. 对数列的概念、特点和应用进行总结；2. 引导学生思考数列知识的重要性。
教学延伸：1. 可以让学生参与数列的证明过程，提高他们的思维能力；2. 可以让学生结合实际问题，设计数列应用题目，培养他们解决问题的能力。
教学反馈：1. 通过课堂练习和作业考核，检验学生是否掌握数列的知识；2. 对学生的答题情况进行评价和反馈，及时纠正错误。
数学高中数列的概念与性质教案
数学高中数列的概念与性质教案一、引言数列作为高中数学中的重要概念，广泛应用于各个数学领域。
掌握数列的概念与性质对于学生理解和应用数学知识具有至关重要的意义。
本教案将详细介绍数列的概念、分类、性质以及相关应用，旨在帮助学生全面理解数列，并能够灵活运用数列的相关知识。
二、数列的概念与分类1. 数列的概念数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列通常用{ }表示，例如{1, 2, 3, 4}就是一个简单的数列。
2. 数列的分类数列可以按照数值的类型和数值之间的关系进行分类。
(1) 根据数值类型，数列可分为等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等，等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等。
(2) 根据数值之间的关系，数列可分为递增数列和递减数列。
递增数列是指数列中的每一项都比前一项大，递减数列是指数列中的每一项都比前一项小。
三、等差数列的性质与应用1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
差值称为公差，用d表示。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差，则第n项an的通项公式为an=a1+(n-1)d。
3. 等差数列的性质(1) 求和公式：等差数列的前n项和Sn等于(n/2)(2a1+(n-1)d)。
(2) 通项和项数之间的关系：已知等差数列的首项a1、末项an、公差d，可以得到项数n=(an-a1)/d+1。
(3) 奇数项与偶数项之和：在等差数列中，奇数项的和等于偶数项的和，且和等于首项与末项的和的一半。
四、等比数列的性质与应用1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
比值称为公比，用q表示。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，q为公比，则第n项an的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
3. 等比数列的性质(1) 求和公式：等比数列的前n项和Sn等于(a1*(q^n-1))/(q-1)。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列的概念
第七章数列第一节数列的概念【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用a n与S n的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【考情分析】考点考法:高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.S n和a n的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n2.数列的表示法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n与a n+1的关系式或a1,a2和a n-1,a n,a n+1的关系式等表示数列的方法函数法a n=f(n),n∈N*【微点拨】(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.3.数列的分类单调性递增数列∀n∈N*,a n+1>a n递减数列∀n∈N*,a n+1<a n常数列∀n∈N*,a n+1=a n摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n【微点拨】(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.4.数列的前n项和数列{a n}的前n项和S n=a1+a2+a3+…+-1+a n,则a n=1,=1,--1,≥2.【基础小题·自测】类型辨析改编题号12,3,4 1.(多维辨析)(多选题)下列结论不正确的是()A.数列5,2,0与2,0,5是同一个数列B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{a n}的前n项和为S n,则对∀n∈N*,都有a n=S n-S n-1【解析】选ACD.A中两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;B正确;C中数列可能是常数数列或摆动数列;D中当n=1时,a1=S1-S0无意义.2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为()A.a n=-1r1B.a n=-12r1C.a n=2(-1)2-1D.a n=22r1【解析】选C.将0写成01,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是()A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n≥2,n∈N*C.a n+1=a n+(n+1),n≥2,n∈N*D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得数列满足a n-a n-1=n,n≥2,n∈N*.4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{a n}满足a n=(r1)2,则S3=________.【解析】数列{a n}满足a n=(r1)2,可得a1=1,a2=3,a3=6,所以S3=1+3+6=10.答案:10【巧记结论·速算】在数列{a n}中,若a n最大,则≥-1,≥r1(n≥2).若a n最小,则≤-1,≤r1(n≥2).【即时练】已知数列中,a n=n2-5n+4,则数列的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项【解析】选D.根据题意,数列中,a n=n2-5n+4,则a n+1-a n=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,当n<2时,有a n+1-a n<0,则有a1>a2,当n=2时,有a n+1-a n=0,则有a2=a3,当n>2时,有a n+1-a n>0,则有a3<a4<……故数列的最小项是第2项、第3项.【核心考点·分类突破】考点一通项公式的探索及应用[例1](1)(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=9+12n,则在下列各数中,是{a n}的项的是()A.21B.33C.152D.153【解析】选ABD.由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.(2)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.①23,45,87,169;②-12,23,-34,45;③3,4,3,4;④6,66,666,6666.【解析】①4个项都是分数,它们的分子依次为2,22,23,24,分母是正奇数,依次为2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=22r1.②4个项按先负数,后正数,正负相间排列,其绝对值的分子依次为1,2,3,4,分母比对应分子多1,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=(-1)nr1.③4个项是第1,3项均为3,第2,4项均为4,所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=3,=2-14,=2(k∈N*).④4个项,所有项都是由数字6组成的正整数,其中6的个数与对应项数一致,依次可写为6=23(10-1),66=23(102-1),666=23(103-1),6666=234-1),所以给定4项都满足的一个通项公式为a n=23(10n-1).【解题技法】由数列的前几项求通项公式的方法(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.【对点训练】1.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项【解析】选D.因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为a n=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.2.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(3)23,415,635,863,1099,…;(4)9,99,999,9999,….【解析】(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为a n=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式为a n=(-1)n·1(r1).(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式为a n=2.(2-1)(2r1)(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,故所求数列的一个通项公式为a n=10n-1.考点二已知S n或S n与a n的关系求a n[例2]金榜原创·易错对对碰①若数列{a n}的前n项和S n=2n+1,则数列的通项公式为a n=________.②若数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列的通项公式为a n=________.【解析】①当n=1时,a1=S1=21+1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=3,=1,2-1,≥2.答案:3,=1,2-1,≥2.②当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.综上有a n=2n-1.答案:2n-1【解题技法】1.已知S n求a n的三个步骤(1)利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换S n中的n得到一个新的关系式,利用a n=S n-S n-1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的解析式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时a n的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.2.已知S n与a n的关系求a n的两个方法(1)利用S n-S n-1=a n(n≥2)消去S n,转化为a n与a n-1的关系求a n;(2)利用a n=S n-S n-1(n≥2)消去a n,转化为S n与S n-1的关系,求出S n后再求a n.提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.【对点训练】1.已知正项数列{a n}中,1+2+…+=(r1)2,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=nB.a n=n2C.a n=2D.a n=2 2【解析】选B.因为1+2+…+=(r1)2,所以1+2+…+-1=(-1)2(n≥2),两式相减得=(r1)2-(-1)2=n(n≥2),所以a n=n2(n≥2),①又当n=1时,1=1×22=1,a1=1,适合①式,所以a n=n2,n∈N*.2.记S n为数列{a n}的前n项和,若S n=2a n+1,则S n=________.【解析】因为S n=2a n+1,所以S n+1=2a n+1+1,所以a n+1=2a n+1-2a n,所以a n+1=2a n,当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,所以数列{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以S n=-(1-2)1-2=1-2n.答案:1-2n【加练备选】1.已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=2n,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=21=2,因为a1+2a2+3a3+…+na n=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=2n-1(n≥2),②由①-②得na n=2n-2n-1=2n-1,所以a n=2-1.显然当n=1时不满足上式,所以a n=1,,≥2.答案=1,≥22.已知数列的前n项和S n=3n+b,求的通项公式.【解析】当n=1时,a1=S1=3+b.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,因此,当b=-1时,a1=2适合a n=2·3n-1,所以a n=2·3n-1.当b≠-1时,a1=3+b不适合a n=2·3n-1,所以a n=3+,=1,2·3-1,≥2.综上可知,当b=-1时,a n=2·3n-1;当b≠-1时,a n=3+,=1,2·3-1,≥2.考点三数列的性质及其应用【考情提示】数列作为一种特殊的函数,除考查求通项公式、求和等之外,还考查数列的单调性,项的最值,周期性等,解题时要类比函数的研究方法,结合数列的特性.角度1数列的单调性及项的最值[例3]已知数列{a n}的通项公式为a n=3-23r1(n∈N*).则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项C.数列中的各项都在区间[14,1)内D.数列{a n}是单调递减数列【解析】选C.令n=10,得a10=2831.故选项A不正确,令3-23r1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项.因为a n=3-23r1=3r1-33r1=1-33r1,又n∈N*,所以数列{a n}是单调递增数列,所以14≤a n<1,所以数列中的各项都在区间[14,1)内,故选项C正确,选项D不正确.【解题技法】关于数列的单调性及项的最值(1)求数列项的最值需要先研究数列的单调性,一是通过列举项找规律;二是利用数列递增(减)的等价条件,求出递增、递减项的分界点处的n值.(2)利用函数方法,令n∈(0,+∞),研究对应函数的单调性、图象确定最值,再回归到数列问题.【对点训练】已知数列{a n}的通项公式为a n=3r2,若数列{a n}为递减数列,则实数k的取值范围为()A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.因为a n+1-a n=3r3+2r1-3r2=3-3-2r1,由数列{a n}为递减数列知,对任意n ∈N*,a n+1-a n=3-3-2r1<0,所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).角度2数列的周期性[例4]已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=m,a2=n,S n为数列{a n}的前n项和,则S2029的值为()A.2029n-mB.n-2029mC.mD.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{a n}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2029=S338×6+1=a1=m.【解题技法】关于数列的周期性在求数列的某一项的值,且该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,一般地,求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求出所求项.【对点训练】已知数列{a n}中,a1=12,a n+1=1+1-,则a2025=()A.-2B.12C.-13D.3【解析】选B.因为a1=12,所以a2=1+11-1=3,a3=1+21-2=-2,a4=1+31-3=-13,a5=1+41-4=12,…,所以数列{a n}是周期数列且周期T=4,所以a2025=a1=12.。
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例4、已知数列{an}中，a1=1,对所有的n≥2有 a1 a2 a3 ……an=n2，则a3 +a5 练习：已知数列{an}中，a1=1,对所有的n≥2有a1+2a2 +3a3 +……+nan=n2求a3 +a5
例5、已知数列{an}的通项公式
an
n
110 n
11
n N ,
数列的概念
高二备课组
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序 有关） 2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系 用一个公式来表示。（通项公式不唯一）
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成; (3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1 (4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关 系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间 1 , 2 内有无数列中的项？若有，求
3 3
出该项？若无，说明理由。
例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式. (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2
P115考例4
练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求 {an}的通项公式
5、任意数列{an}的前n项和的性质
Sn=
a1+
a2+
a3+
……+
anan
S n
S1n 1 Sn1ห้องสมุดไป่ตู้n
2
6、求数列中考最虑大数最列小的项单的调方性法：最大aann
an1 an1
最小aa
n n
an1 an1
【作业布置】 P116基础强化
能力提高1。2。8 11
提示：基础强化8：转化为 2(n 2) 即等 差数列 Sn Sn1
(5)1,0,1,0,1,0,…;
P113考例1
练习:⑴ 2 , 4 , 1 , 4 ,....
7 11 2 5
⑵3,5,9,17,33,……
⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..
9n2 9n 2
例2、已知数列
9n2 1
（1）求这个数列的第10项；
（2）98/101是不是该数列中的项，为什么？
能力提高2：也可同样的形式。
试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大
项的项数;若无,说明理由.
P115考例5
练习:已知
an
n n
98 99
nN
, 则在数列{an}中的
前30项中,最大项和最小项分别为什么?
P115考例4变式
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）
2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式 来表示。（通项公式不唯一）
4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列 ，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列， 无界数列
5、任意数列{an}的前n项和Sn的性质
Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
能否全二为一？
an
S n
S1n 1 Sn1 n
2
6、求数列中最大最小项的方法：
最大 性
a a
n n
an1 最小 an1
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成; (3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1 (4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,
如a1=1,an=1+2an-1 4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，
摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列
a a
n n
an1 an1
考虑数列的单调
如果是和Sn要
最大又如何呢？
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项 （1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…;
(3) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,...; (4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; 3 15 35 63 99