抛物线上或外一点切线问题研究经典
与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式
与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式吴家华（四川省遂宁中学 629000）在高三数学复习中，笔者惊奇地发现与抛物线相切的三类问题的三种直线方程的形式是完全一样的. 现介绍如下：（1）过抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的切线方程为)(00y y p x x +=.（2） 过抛物线py x 22=外一点),(00y x P 引抛物线的两条切线，切点为B A ,，则直线AB 的直线方程为)(00y y p x x +=.（3） 过不在抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的直线与抛物线相交于B A ,两点，则过B A ,两点的切线的交点的轨迹是一条直线，其方程也为)(00y y p x x +=. 证明 (1) 由py x 22=得：221x p y =，对x 求导，得：x py 1='， ∴ 01|0x py x x ='= 又∵点),(00y x P 在抛物线py x 22=上，∴0202py x =。
∴切线方程为)(1000x x x py y -=-，即0020002py x x x x x py py -=-=-， ∴切线方程为)(00y y p x x +=.（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则由（1）可得：切线PB 、PA 的方程分别为： )(11y y p x x += ， )(22y y p x x +=。
∵点),(00y x P 在切线PB 、PA 上，∴)(1001y y p x x += ，)(2002y y p x x += 由此可见，B A ,两点在直线)(00y y p x x +=上，即直线AB 的方程为)(00y y p x x +=。
（3）设)21,(211x p x A ，)21,(222x px B )(21x x ≠，则直线AB 的方程为 )(212121112212221x x x x x p x p x p y ---=-，即 2121)(2x x x x x py -+=，∵点),(00y x P 在直线AB 上， ∴210210)(2x x x x x py -+= ①又由（1）知：过抛物线上A 点的切线方程为)21(211x py p x x += ，即 21122x x x py -= ② 同理：过抛物线上B 点的切线方程为22222x x x py -= ③由②、③解得：x x x 221=+， py x x 221=，代入①，得：)(00y y p x x +=，即为过B A ,两点的切线的交点的轨迹方程.同理，对于抛物线标准方程的其它几种形式：py x 22-=，px y 22=，px y 22-=，它们对应的直线方程的统一形式分别为：)(00y y p x x +-=，)(00x x p y y +=，)(00x x p y y +-=.类似地，可以证明，对于解析几何中的圆、椭圆、双曲线的类似于抛物线的上述三种情形，我们也有相应的直线方程的统一形式，它们是1. 圆222R y x =+，对应的直线方程的统一形式为200R y y x x =+； 2. 椭圆12222=+by a x ，对应的直线方程的统一形式为12020=+b y y a x x ； 3. 双曲线12222=-by a x ，对应的直线方程的统一形式为12020=-b y y a x x . 应用上述结论，我们可迅速地解答和编拟一些新问题.。
高考数学压轴题讲练：专题02 曲线的切线问题探究【解析版】
第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x xy e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()g x '+0 -+()g xt+3所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】e 【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144342b e e elne e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2e ．4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x e ax =+，∴()()2xf x eax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭ ∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m 上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。
高考数学抛物线中的切线问题(解析版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。
抛物线切线公式
抛物线切线公式抛物线是一种常见的曲线形状，具有特定的数学性质和应用。
在研究抛物线的性质时，我们经常会遇到需要求解抛物线上某点的切线方程的问题。
这时我们可以利用抛物线切线公式来求解。
抛物线切线公式是通过求解抛物线上某一点的导数来得到的。
导数可以理解为函数在某点的变化率，它描述了函数曲线在该点的切线斜率。
对于一般的函数，我们可以通过求导的方法来得到导数。
但对于抛物线这种特殊的曲线，它的导数具有特殊的形式。
假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
我们要求解抛物线上的某一点P(x0, y0)处的切线方程。
首先，我们需要求解点P处的导数，即求解函数y = ax^2 + bx + c在x0处的导数。
对于一般的函数y = f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
对于抛物线的函数y = ax^2 + bx + c，它的导数可以表示为f'(x) = 2ax + b。
接下来，我们将导数代入切线方程的一般形式y = kx + d中，其中k是切线的斜率，d是切线与坐标轴的交点。
由于切线过点P(x0, y0)，我们可以将其代入切线方程，得到y0 = kx0 + d。
再将导数代入切线方程中的斜率k，我们有y0 = (2ax0 + b)x0 + d。
根据点P(x0, y0)的坐标，我们可以得到y0 = ax0^2 + bx0 + c。
将这两个等式联立起来，我们可以解得切线与坐标轴的交点d为c - ax0^2 - bx0，将其代入切线方程，我们有y0 = (2ax0 + b)x0 + c - ax0^2 - bx0。
进一步整理化简，我们可以得到切线方程的一般形式y = 2ax0(x - x0) + ax0^2 + bx0 + c。
由此可见，抛物线上任意一点P(x0, y0)处的切线方程为y = 2ax0(x - x0) + ax0^2 + bx0 + c。
抛物线切线公式的应用非常广泛。
抛物线外一点做两条切线轨迹方程
抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。
本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。
2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。
根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。
设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。
4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。
设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。
根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。
由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。
5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。
这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。
抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。
希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。
第40讲 抛物线的双切线问题(解析版)
第40讲 抛物线的双切线问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•吉州区校级一模）设抛物线22x py = (0)P >，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，A ，B ，M 的横坐标分别为A X ，B X ，MX 则( )A ．2AB M X X X += B ．2A B M X X X =C ．112A B MX X X +=D ．以上都不对【解答】解：由22x py =得22x y p=，得x y p '=，所以直线MA 的方程为2()A M x y p x x p +=-，直线MB 的方程为2()B M xy p x x p+=-， 所以，22()2A A A M x x p x x p p +=-①，22()2B A B M x x p x x p p+=-②由①、②得2M A B x x x =+． 故选：A ．二．填空题（共1小题）2．（2021•厦门一模）过抛物线2&:4E y x =焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则|||CD AB -的最大值是 8 ．【解答】解：由24y x =，y =y'，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则过A 点的切线的斜率k =则切线方程11)y y x x -=-，令0x =，解得：y =C ，同理可得(0,D ，则||CD =设直线AB 的方程：(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则121x x =，212||2AB x x ∴=++=，则2|||CD AB -=-，t ，2t ，设22()(8f t t t =-=--+，2t ，∴当t=()f t 取最大值，最大值为8，|||CD AB ∴-的最大值为8，故答案为：8．三．解答题（共36小题）3．（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p 时，||AB =，求此时抛物线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2)22x x A x B x x x M x p p p<-．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-．所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p -+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得||AB ==||AB =， 所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．4．（2021•苏州期末）如图，设抛物线22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．【解答】证明：由题意，设211(,)2x A x p，22212(,)()2x B x x x p<，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-． 所以，211102()2x x p x x p p +=-①，221202()2x xp x x p p+=-②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5．（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标； （Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ∆∆=，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：()I 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过A 点的切线方程为2111()2x xy x x p p-=-，过B 点的切线方程为2222()2x xy x x p p-=-，联立这两个方程可得2112,22M M x x x xx y p+==， 又2112212AB y y x x k x x p-+==-，所以直线AB 的方程为：21121()22x x x y x x pp+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，1212,222M x x x xy y p p p=-==-又， 2y p ∴=∴直线AB 过点(0,2)p ；（Ⅱ）记122M x x x +=，12E C x x x +=同理可得，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x ----+-===++-，11222||||||||2EE E c E E D E E Ex x x x x x x CE x x ED x x x x x -----+===+-，∴2,E CE x X AC CE MD CM ED DB x x --==同理 ∴||||||AC EC DMCM DB DB==， ∴设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S ∆=，则ACE S tS ∆=， 同理，MDE S S t ∆=，2BDE SS t ∆=，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t∆∆+++===， 于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t ∆∆+++==+=，2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t ∆∆∆∆∆+∴=---=，1MCD t S S t∆=+， 2EABMCDS S λ∆∆∴==．6．（2012•上海模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线:2l y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ．（1）设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当3||2d PF -=时，求抛物线方程；（2）若(2,2)M -，求线段AB 的长； （3）求M 到直线AB 的距离的最小值．【解答】解：（1）由3||2d PF -=，得332()222P P p p y p y +-+==，1p ∴=， ∴抛物线方程为22x y=．（2）(2,2)M -在直线2y p =-上，22p ∴-=-，解得1p =，∴抛物线方程为22x y=，设过M 点的直线为(2)2y k x =--，联立：2(2)22y k x x y =--⎧⎨=⎩，消去y ，得2222x kx k =--即224(1)0(*)x kx k -++=，直线与抛物线相切，∴△0=，即2416(1)0k k -+=2440k k ∴--=，∴2k =±(*)有等根x k =，2B x ∴=+2A x =-B A x x ∴-=，4B A x x +=．A 、B 在抛物线上，22()()22B A B A B A B A x x x x x x y y -+-∴-===||AB ∴==（3）设(,2)M m p -，过M 点的直线为:()2L y k x m p =--，联立：2()22y k x m px py =--⎧⎨=⎩，消去y ，得222xkx km p p=--，222(2)0x kpx p km p ∴-++=①，直线与抛物线相切，∴△0=2248(2)0k p p km p ∴-+=，2240pk mk p ∴--=②，此时方程①有等根x kp =，令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1212()x x p k k -=-，222121212121212()()()()222x x x x x x p k k k k y y p p p--+-+-===， AB ∴的斜率1212122y y k k k x x -+'==-， 由②，根据韦达定理可得122m k k p +=，mk p∴'=， ∴直线AB 的方程为11()m y y x x p-=-，∴2211()2k p my x k p p p-=-∴化简可得2211222py k p mx mk p -=-，∴21122(2)0mx py p pk mk -+-=，由②2240pk mk p --=，∴21124pk mk p -=，AB ∴方程化为：22240mx py p-+=，∴点M到AB的距离2222222223d p ====，2=2223m p p +=，∴m =时，上式等号成立，M ∴到直线AB 的距离的最小值为．7．（2021•秦州区校级二模）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，M 不在y 轴上，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ； （ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，||AB =（Ⅱ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设211(,)2x A x p，222(,)2x B x p ，12x x <，3(N x ，3)y ，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，则xy p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-，直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即212322x x x x =+=． 所以MN 平行于y 轴．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB x x x x x p p k x x p p-+===-， 所以2AB k p=．由弦长公式的||AB ==又||AB =，所以1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅱ）解：设3(D x ，3)y ，由题意得12(C x x +，12)y y +， 则CD 的中点坐标为123123(,)22x x x y y y Q ++++， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上， 代入得033x y x p=． 若3(D x ，3)y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =． 即(0,0)D 或2002(2,)x D x p．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于(0,0)D ，此时22120(2,)2x x C x p+，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0ABx k p=，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++===-， 即222124x x p +=-，矛盾．对于2002(2,)x D x p ，因为22120(2,)2x x C x p+，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点． 综上所述，不存在符合题意得M 点．8．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为（0，﹣1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点；（3）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使△MAB 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：当M 的坐标为（0，﹣1）时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ﹣1，代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4＝0， 令Δ＝16k 2﹣16＝0，解得k ＝±1，代入方程得x ＝±2，故得A （2，1），B （﹣2，1），…（2分） 因为M 到AB 的中点（0，1）的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l ：y ＝﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为（y ﹣y 1）＝k （x ﹣x 1），代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4（kx 1﹣y 1）＝0Δ＝（4k ）2﹣4×4（kx 1﹣y 1）＝0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为即又切线过点M （x 0，y 0），所以得①即…（8分）同理可得过点B （x 2，y 2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），代入x2＝4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）＝0∴Δ＝（4k）2+4×4（y0﹣kx0）＝0即：k2﹣x0k+y0＝0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A （x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）（3）由（2）中①②两式知x1，x2是方程的两实根，故有∵，，y0＝m∴＝4m2+m﹣4m﹣＝（m﹣1）（+4m），…（9分）①当m＝1时，＝0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，因为k AB＝＝＝，＝，所以k AB k MA＝若k AB k MA＝﹣1，则，整理得（y0+2）＝﹣4，又因为y0＝﹣m，所以（m﹣2）＝4，因为方程（m﹣2）＝4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB ⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）综上所述，当m＝1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l 上存在两点M ，使△MAB 为直角三角形；当0＜m ＜1或1＜m ≤2时，△MAB 不是直角三角形．…（14分）9．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为24x y =，0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ．【解答】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令△2(4)440k =-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -，⋯（2分） 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2， 从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．圆心坐标为(0,1)，半径为2，∴圆与直线:1l y =-相切⋯（4分）（2）证法一：设切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y=，整理得21144()0x kx kx y -+-=△211(4)44()0k kx y =-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k=⋯（6分） 从而过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②⋯（10分） 即20022x y x y =-⋯（6分） 即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法二：设过0(M x ，0)y 的抛物线的切线方程为00()(0)y y k x x k -=-≠，代入24x y =，消去y ，得20044()0x kx y kx ---=△200(4)44()0k y kx =+⨯-=即：2000k x k y ++=⋯（6分）从而1k =2k =112x k =，222x k =所以切点A ，B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ⋯（8分） 因为12121242AB x y y x x k x x -+===-，121212122222x x k k k k x k k +++===，22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===， 所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x -⋯（11分）故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法三：由已知得24x y =，求导得2x y =，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故过点1(A x ，1)y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-⋯（7分）又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②即20022x y x y =-⋯（10分）即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）10．（2021春•城区校级月考）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；（2）若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； （3）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ． 【解答】解：（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=， 令△216160k =-=，解得1k =±， 代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．（2）证明：抛物线2:4C x y =，导数为11242y x x '=⋅=， 可得0(P x ，0)y 是C 上的任意点，P 点处的切线的斜率为012k x =；（3）证明：设切点分别为1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ， 12MA x k ∴=，22MB x k =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-，即2221124y x x x =-，又因为切线MA 过点0(M x ，1)-， 所以得201111124x x x -=-，① 又因为切线MB 也过点0(M x ，1)-， 所以得202211124x x x -=-，② 所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202x x x +=，124x x =-，因为10(MA x x =-，2111)4x +，20(MB x x =-，2211)4x +，所以2210201211()()(1)(1)44MA MB x x x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()[()2]1164x x x x x x x x x x x x =-+++++-+，将1202x x x +=，124x x =-代入，得0MA MB ⋅=， 则以AB 为直径的圆恒过点M ．11．（2021春•江苏期中）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)． （1）求抛物线方程；（2）过直线2y x =-上一点(,2)P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ．①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列；②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意知12p=，2p =， 可得抛物线的方程为24x y =；（2）①证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 因为24x y =，所以2xy '=，所以112x k =，232x k =， 所以12132x x k k ++=，2212121221212444x x y y x x k x x x x --+===--， 所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列； ②直线AP 的方程为211111()224x x x y y x x y x -=-⇒=-，同理直线BP 的方程为22224x x y x =-，则两直线的交点坐标1212(,)24x x x x P +， 代入直线2y x =-，得1212242x x x x +=-， 直线AB 的方程为12121211()444x x x x x xy y x x y x ++-=-⇒=-， 因为1212242x x x x +=-，所以1212242x x x xy x ++=-+， 因为122x x t +=，所以直线AB 的方程为22ty x t =-+． 1)若0t =则抛物线24x y =上不存在两点关于直线AB 对称；2)若0t ≠，设3(D x ，3)y ，4(E x ，4)y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点，此时0r BD BE ==>，设DE 方程为2y x b t=-+，DE 与直线AB 交于点0(H x ，0)y ，由242x y y x bt ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得2840x x b t +-=， 则226441600(*)b b t t =+>⇔+>，348x x t +=-， 所以34042x x x t +==-，00228y x b b t t=-+=+， 因为H 点在直线AB 上，所以2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式， 得3224400t t t t+-->⇔<，所以t <所以t 的取值范围是(,-∞．12．（2021•益阳模拟）已知抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q '，N '，且||Q N ''=，求抛物线1C 的方程； （2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ．求证：12k k ⋅为定值．【解答】解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是(0,)2p ，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp +=，即212x y p +=． 联立22212x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(Q Q x ，)Q y ，(N N x ，)N y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-．则||||Q N Q N x x ''=-===解得2p =．所以抛物线1C 的方程为24x y =．（2）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，21)(0y x >，20)x <．依题意，由22(0)x py p =>，得22x y p=，则x y p'=． 所以切线MA 的方程是111()x y y x x p-=-， 即2112x x y x p p=-．又点(,2)M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=．同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根， 则122x x a +=，2124x x p =-．所以21212122244x x x x p k k p p p p -⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证．13．（2021•崇明区二模）对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线．（1）已知0(P x ，0)y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02x k =； （2）已知0(M x ，0)y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、2x 为方程20(,)x ax b a b R -+=∈的两个实根，{max c ，}d 表示实数c 、d 中较大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．【解答】证明：（1）由24x y =可得24x y =，2x y '=．∴过点0(P x ，0)y 的Γ的切线额度斜率02x k =． （2）由（1）可知过点A 的切线方程为100()2x y x x y =-+，代入抛物线方程24x y =可得211002240x x x x x y -+-=， 令△2110044(24)0x x x y =--=可得2110024x x x y =-，同理可得：2220024x x x y =-，两式相减得22120122()x x x x x -=-，1202x x x ∴+=．1x ∴、0x 、2x 成等差数列．（3）由(,)D m n 在抛物线24x y =可得24m n =， 切线1l 的方程为()2m y x m n =-+，即2my x n =-． 同理切线2l 的方程为2sy x t =-，联立方程组22my x ns y x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1()2x m s =+，14y ms =．1()2a m s ∴=+，14b ms =．解方程20x ax b -+=可得12mx =，22s x =．把0x =代入直线1l 的方程可得y n =-，即21(0,)4m D -，①若G 在线段1DD 上，244m msn ∴-，即22m ms m -， ||||s m ∴，1||||2m x ∴=，2||||||22s m x =，1{||max x ∴，2||||}2m x =． ②若1{||max x ，2||||}2m x =．则2||||||22s m x =， ||||s m ∴，22mms m ∴-，即244m msn -， G ∴在线段1DD 上．综上，点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．14．（2012•青羊区校级三模）22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合． （Ⅰ）求抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，所以抛物线2C 的方程为24x y =；（Ⅱ）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，即1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，所以124x x a =22121212121()416x x y y x x x x a a ∴+=+=+ 坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内， 240a a ∴+<，即40a -<<．15．（2021•福州一模）如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为(0,1)F ，点M 是直线:(0)l y m m =<上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A ．()I 求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；（Ⅲ）当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值．【解答】解：()I 设抛物线E 的方程为22(0)x py p =>， 依题意1,22pp ==解得， 所以抛物线E 的方程为24x y =．（Ⅱ）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．120x x ≠，否则切线不过点M211,42y x y x '==，∴切线AM 的斜率112AM k x =，方程为1111()2y y x x x -=-，其中2114x y =．令0y =，得112x x =，点T 的坐标为11(,0)2x ， ∴直线FT 的斜率12FTk x =-，1112()12AM FT k k x x ⋅=⋅-=-， AM FT ∴⊥，即点T 在以FM 为直径的圆上；同理可证点S 在以FM 为直径的圆上， 所以S ，T 在以FM 为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线24x y =焦点(0,1)F ，可设直线:1AB y kx =+．由22144041y x x kx y kx ⎧=⎪--=⎨⎪=+⎩得， 则124x x =-．由（Ⅱ）切线AM 的方程为2111124y x x x =-过点0(M x ，)m ，得21011124m x x x =-， 同理22021124m x x x =-．消去0x ，得1212121()()4m x x x x x x -=- 12x x ≠，由上124x x =-∴12114m x x ==-，即m 的值为1-．16．已知抛物线C 的方程为22(0)x py p =>．（1）若抛物线C 上一点0(N x ，6)到焦点F 的距离0||NF x =，求抛物线C 的标准方程； （2）过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，(B A 右B 左），设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k 为定值． 【解答】解：（1）抛物线C 的准线方程为2py =-， 0(N x ∴，6)到焦点F 的距离0||62pNF x =+=， 又0(N x ，6)在抛物线C 上，2012x p ∴=，2(6)122pp ∴+=，解得12p =．∴抛物线C的标准方程是：224x y =．（2）证明：(,2)M a p -，设抛物线过点M 的切线方程为()2y k x a p =--， 代入抛物线方程得：222()4x pk x a p =--，即222240x pkx pka p -++=，∴△22244(24)0p k pka p =-+=，即2240pk ka p --=，显然1k ，2k 为关于k 的方程2240pk ka p --=的两个解，124k k ∴=-． 12k k ∴为定值4-．17．（2016•石家庄一模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2），其焦点为F ，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：A 、B 、F 三点共线． 【解答】（I ）解：抛物线C 的准线方程为：，∴，又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2）， ∴4＝2pm ，即…（2分）∴p 2﹣4p +4＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ．…（4分）（II ）证明；设E （0，t ）（t ≠0），已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx +t 联立，消去y ，可得k 2x 2+（2kt ﹣4）x +t 2＝0∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝（2kt ﹣4）2﹣4k 2t 2＝0，即kt ＝1． 代入，∴x ＝t 2，即A （t 2，2t ），…（6分）设切点B （x 0，y 0），则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝﹣tx +t 对称，则，解得：，即…（8分）直线AF 的斜率为，直线BF 的斜率为，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．…（10分）当t ＝±1时，A （1，±2），B （1，±1），此时A ，B ，F 共线． 综上：A ，B ，F 三点共线．…（12分）18．（2021•宁波期末）已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作次抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥．（1）求证：直线AB 过定点；（2）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB 的最小值．【解答】解：（1）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线方程得，214y x =， ∴12y x '=， ∴112PAk x =， PA ∴的方程为：1111()2y y x x x -=-，∴211122y y x x x -=-，11220x x y y ∴--=，⋯①同理，212PB k x =， 且PB 的方程为：22220x x y y --=，⋯②由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=， 124x x k ∴+=，124x x b =-，PA PB ⊥，∴1212224PA PBx x x x k k =⨯=1b =-=-，1b ∴=，即直线AB 的方程为：1y kx =+， 故直线AB 恒过(0,1)点．（2）设0(P x ，0)y ，分别代回①②得，1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，两式相减，结合抛物线方程可得，12022x x x k +==， 211210101()1244x x x x y x x y +=-=-1214x x b ==-=-， 当0k =时，00x =，可得AB PF ⊥， 当0k ≠时，00x ≠，此时， 021122142AB x y y x x k x x -+===-， 00001112PF y k x x x ---===-， 1AB PF k k ∴=-，AB PF ∴⊥∴112||||(1)(2)AR AB AF AB y y y ==+++21121232y y y y y =++++，221212116x x y y ==，∴2111133AR AB y y y =+++， 令21()33f t t t t=+++，0t >，则2222(1)(21)()3t t f t t t t +-'=+-=， ()f t ∴在(0，1]2递减，在1[2，)+∞递增，∴最小值为127()24f =，故AR AB 的最小值为274．19．（2021•辽宁）如图，抛物线21:4C x y =，22:2(0)C x py p =->，点0(M x ，0)y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，(B M 为原点O 时，A ，B 重合于)O ，当01x =-时，切线MA 的斜率为12-． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为)O ．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-， 所以设A 点坐标为(,)x y ，得122x =-，解得1x =-，2144x y ==，点A 的坐标为1(1,)4-，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++因为点(1M 0)y 在切线MA 及抛物线2C 上，于是011(224y =-+=0y ∴==②解得2p =（Ⅱ）设(,)N x y ，1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，12x x ≠，由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22121228y y x x y ++==④ 切线MA ，MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤；2222()24x x y x x =-+⑥，由⑤⑥得MA ，MB 的交点0(M x ，0)y 的坐标满足1202x x x +=，1204x xy = 因为点0(M x ，0)y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦由③④⑦得243x y =，0x ≠当12x x =时，A ，B 丙点重合于原点O ，A ，B 中点N 为O ，坐标满足243x y =因此中点N 的轨迹方程为243x y =20．（2021•诸暨市期末）已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点．（1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--， 联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．21|||1()||222x x x PA x x x ''+''''=-=+''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+， 又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．21．（2012秋•宜春期末）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）求椭圆E 的方程； （2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M定在直线1y =-上；（3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，(0,1)F ，1b ∴=，c e a ==，222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．⋯（3分）（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1y kx =+，1(A x ，12)(y B x ，212)()y x x ≠ 与抛物线方程联立，消去y ，并整理得，2440x kx --=124x x ∴=-．⋯（5分）抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=， ∴过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-解得两条切线的交点M 的坐标为12(2x x +，1)-， ∴点M 在直线1y =-上．．⋯（8分） （3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0．1)-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点．令0x =，1y =-得，2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2A '-，1)(2B '，1)，即直线A B ''过点F ．综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ． 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．⋯（13分）22．（2021春•思明区校级月考）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线21:2C x py =的焦点(0,)2p在抛物线22:1C y x =+上，即有12p=，可得2p =， 即有1C 的方程为24x y =， 其准线方程为1y =-．（Ⅱ）设2(2,)P t t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2111y x =+，2221y x =+，21y x =+的导数为2y x '=，直线PA 的斜率为12x ，直线PB 的斜率为22x ，则切线PA 的方程：1112()y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+，所以1122y x x y =+-， 同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，又PA 和PB 都过P 点，所以211222420420tx y t tx y t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=．联立22421y tx t y x ⎧=+-⎨=+⎩得22410x tx t -+-=， 所以1221241x x t x x t +=⎧⎨=-⎩，12||x x -=所以12|||AB x x =-=点P 到直线AB的距离2222d ==．所以PAB ∆的面积32221||2(32(31)2S AB d t t ==+=+，所以当0t =时，S 取最小值为2．即PAB ∆面积的最小值为2．23．（2021•嘉兴二模）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线1C 的方程为22x py =，∴抛物线的焦点为(0,)2pF ，⋯（2分）抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线2C 上∴12p=，可得2p =．⋯（4分） 故抛物线1C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =-．⋯（6分）（Ⅱ）设2(2,)P t t ，2111(,1)2M x x +，2221(,1)2N x x +，可得PM 的方程：21111(1)()2y x x x x -+=-，∴点P 坐标代入，化简得22111212t tx x =-+，即22114220xtx t -+-=．同理可得2221:12PN y x x x =-+，得22224220x tx t -+-=．⋯（8分）由2211222242204220x tx t x tx t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩得1x 、2x 是方程224220x tx t -+-=的两个实数根， 124x x t ∴+=，21222x x t =-．(*)⋯MN 的方程：221221112111(1)122(1)()2x x y x x x x x +-+-+=--， ∴化简整理，得2112111(1)()()22y x x x x x -+=+-代入(*)式，可得MN 的方程为222y tx t =+-．⋯（12分） 于是，点P 到直线MN的距离222d ==令214(1)s t s =+，则16662d =+3s =时取等号）．由此可得，当P 坐标为(，1)2时，点P到直线MN 的距离d ⋯（15分）24．（2009秋•宁波期末）点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2:2C x y =上的不同两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点0(P x ，0)y ．（1）求证：0x 是1x 与2x 的等差中项；（2）若直线AB 过定点(0,1)M ，求证：原点O 是PAB ∆的垂心； （3）在（2）的条件下，求PAB ∆的重心G 的轨迹方程． 【解答】解：（1）对22x y =求导 得y x '=， 所以直线111:()PA y x x x y =-+，即2112x y x x =-同理，直线222:2x PB y x x =-，解得12012022x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以0x 是1x 与2x 的等差中项；（5分）（2）设直线:1AB y kx =+，代入22x y =整理得2220x kx --=．∴121222x x kx x +=⎧⎨=-⎩，得001x k y =⎧⎨=-⎩ ∴001OP y k x k==-即AB OP ⊥；1AP k x =，22212OB y k x x ==∴12112AP OBk k x x ==-， AP OB ∴⊥，同理BP OA ⊥，所以原点O 是PAB ∆的垂心；(（10分），只需证明两个垂直就得满分） （3）设PAB∆的重心(,)G x y ，则1201()3x x x x k =++=，22221212012121111121()()()3636333x x y y y y x x x x k +=++=+-=+-=+因为k R ∈，所以点G 的轨迹方程为22133y x =+．（15分） 25．（2021•合肥二模）如图，抛物线2:2(0)E y px p =>与圆22:8O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB 上动点0(P x ，0)y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M ．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入22y px =，解得1p =，（Ⅱ）设211(,)2y C y ，222(,)2y D y ，10y ≠，20y ≠．切线2111:()2y l y y k x -=-，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由△0=解得11k y =， 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+， 联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， CD 方程为008x x y y +=，其中0x ，0y 满足22008x y +=，0x ∈，联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2002160x y y y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，代入121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可知(,)M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入2208x y +=得2218x y -=，考虑到0x ∈，知[4,x ∈--．∴动点M 的轨迹方程为2218x y -=，[4,x ∈--．。
抛物线中的切线问题(推荐完整)
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
x2
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意 一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ． 求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1
抛物线的切线
p xx (y ) 0 p 2 设 A ( x , y ), B ( x , y )
1 1 2 2
联立方程：
p xx p ( y ) 0 2 2 x 2py
由 x 2 py ，得 y
2
2 2 得： x 2 xx p 0 0
解题方法研究
解： （1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
MB (2 x,1 y)
| MA MB | (2 x) 2 (2 2 y) 2 , OM (OA OB) ( x, y ) (0, 2) 2 y
2 2 由已知得 (2 x) (2 2 y ) 2 y 2 ，
是y
解题方法研究
x0 t 1 t 1 1 ，存在 x0 (2, 2) ，使得 ， 2 2 2 2 即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意 x 1 t x t 1 1 0 , 1 0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定 ②当 t 1 时， 2 2 2 2
F A B
O
P
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点． 证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A( x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C ( x0 , y0 ) ，由
①当 1 t 0 时， 1
t 1 y xt 2 , 相交，分别联立方程组 2 y x0 x x0 2 4
1 t y xt 2 ， 2 y x0 x x0 2 4
抛物线经典性质总结30条
2124p x =;212y p =-;'90AC B ∠=; ''90A FB ∠=;6. 123222()2sin p pAB x x p x α=++=+=; 7.112AF BF P+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线；10. 22sin AOB P S α=；11. 23()2AOB S PAB =〔定值〕； 12. 1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. AB 3P K =y ； 19. 2p 22ytan =x -α;20. 2A'B'4AF BF =⋅; 21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上． 证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=〔p ＞0〕焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2PF FB FA =结论11PAB S ∆2minp =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ结论162PF =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=〔λ＞0〕，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，〔1〕证明：AB FM ⋅的值；〔2〕设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； 〔1〕过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；〔2〕假设直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， 〔1〕试证：4-=⋅n n s x 〔n ≥1〕〔2〕取nn x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC 〔n ≥1〕抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。
本文将详细探讨该问题。
1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。
早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。
随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。
在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。
1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。
通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。
此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。
以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。
接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。
2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。
其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。
抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。
- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。
- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。
2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。
切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。
切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。
【高中数学】秒杀秘诀MS11抛物线切线
29.已知抛物线 C：y=x2，直线 l：x﹣2y﹣2=0，点 P 是直线 l 上任意一点，过点 P 作抛物线 C 的切线 PM，PN，切点 分别为 M，N，直线 PM，PN 斜率分别为 k1，k2，如图所示（1）若 P（4，1），求证：k1+k2=16；（2）若 MN 过抛 物线的焦点，求点 P 的坐标．
26.已知抛物线 x2 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两
点处的切线交于点 M .(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求 四边形 ACBD 面积的最小值.
(1)求抛物线 P 的方程;(2)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程;
解：（1）
MF
yM
p 2
2
p 2
3
p 2 ，故抛物线的方程为 x2
4y
；
（2）E
点坐标为
0， 1
，设抛物线的切点为
Q
x0 ,
y0
，求导得
y
2x 4
x 2
，故切线方程为
y
y0
y
y0
x0 p
x
x0 即
py
py0
xx0
x0 2
xx0
py
y0
同理，在抛物线 y2 2 px 上任意一点 Ax0 , y0 的切线方程为： yy0 px x0
证明： 点
Ax0 , y0 在抛物线上
y02
2 px0 ；又
y2
2 px
x
y2 2p
高一数学复习考点知识讲解课件41---曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
过抛物线焦点弦端点的切线的探究
过【证明】由上面可知过点A 、B 的切线的斜率 分别为11'x x x y p==，22'x x x y p==即1PA x k p=，2PBx k p =易知212221PA PBx x p k k p p-⋅===- 故AP BP ⊥.结论2——连结PF 可证PF AB ⊥.【证明】如图2，易知12(,)2x x PF p +=-u u u v ，故PF AB ⊥.由结论2我们还可以推导出更多结论比如：①PF 是直角PAB ∆斜边上的高，从而2PFFA FB =⋅．②2||||||AP AF AB =g ③2||||||BP BF BA =g④222||||||AP BP AB +=学生分组合作，共同探究新的结论 整个教学过程中，教师只是启发、引导，证明推理过程由学生来完成，充分体现学生的主体地位和教师的主导作用.教学过教师活动 学生活动 设计意图结论3——设PA 与x 轴交于点C ，PB 与x 轴交于点D ，可证CF AP ⊥、DF BP ⊥和FC FD ⊥.【证明】如图3由题意可知211:2PA x x l y x p p =-；222:2PB x x l y x p p=-PA 与x 轴交于点C ，点C 坐标为1(,0)2x ， PB 与x 轴交于点D ，点D 坐标为2(,0)2x，由1(,)22x pCF =-u u u v ，22121(,)22x x x p PA p -+=u u u v 可知 22211102222x x x x p p CF PA p--=+=u u u v u u u v g g g 故CF AP ⊥，证明DF BP ⊥思路相同（略）.由上面可知在四边形FCPD 中，三个角FCP ∠、CPD ∠、PDF ∠都是90°，可知DFC ∠也为90°，即FC FD ⊥. （到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）思考:以AB 为直径的圆（即ABP V 的外接圆）与抛物线的准线有什么位置关系？并证明你的结论.结论4——以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点P . (过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线)学生分组合作，共同探究新的结论 通过学生分组学习，发挥学生自主学习的能动性，提高分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神.教 学过教师活动 学生活动 设计意图过教学设计说明圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分知识的特点是：综合性强，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何等很多方面的知识，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数学学习能力及思维能力的考察要求较高。
抛物线上或外一点切线问题研究经典(20210501094118)
抛物线上或外一点切线问题研究经典
抛物线上或外一点切线问题研究经典
证明:（1 ）抛物线y2 = 2px（p > 0）上一点M（x0,y0）处的切线方程为y o y= /?（x + x0）: ⑵过抛物线y2=2px（p>0）外一点引两条切线，切点弦所在直线方程为）‘0）'=“匕+ 儿）。
（1）设切线方程为x = ty + A,则兀=$。
+儿，①
由［X^ty + A得『2一2“处一2“兄=0.所以△ = 4pW+8p/l = 0,
=2px
所以pt2 + 22 = 0②又因为儿彳=2/如③
2 解①②（㉚得（儿一/"）2=0,所以y0 = pt,即f =如，所以兄=勺一也•
P P
2
所以切线方程为x =卫y +心一卫-即y o y = p（x + ）。
P P
（2）设两切点坐标为（兀，必）,匕2，比），
由（1）知，两条切线方程分别为y x y = p{x+x x Y y2y = p（x+x2）,
因为点M（兀,儿）同时在两条切线上，
所以儿凡=P（X0 + X］）,儿儿=P（x o+ “2），
所以3, y）（吃os）均满足方程y Q y = P（X+x0）,
所以切点弦所在直线方程为y（）y = p（x+x Q）o。
切点弦场景创设,定点与动点轨迹——一道抛物线题的探究
２０２４年５月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀切点弦场景创设,定点与动点轨迹一道抛物线题的探究◉江苏省苏州工业园区星海实验高级中学㊀卢㊀闯㊀㊀切点弦是二次曲线中一类比较特殊的弦,其是由二次曲线外的一点向二次曲线引两条切线,连接两切点的线段．特别对于抛物线中的切点弦问题,更是其中一个具有独特属性的知识点,备受关注．１问题呈现问题㊀(２０２４届广东四校高三第一次联考数学试卷 １６)过P(m,－２)向抛物线x２＝４y引两条切线P Q,P R,切点分别为Q,R．又点A(０,４)在直线Q R上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是．２问题剖析此题以过定直线中的动点向抛物线引两条切线来设置问题场景,结合抛物线切点弦的构建,以及定点到切点弦上的射影的给出,确定焦点到对应射影的连线的斜率问题,以直线斜率的取值范围来构建问题．本题涉及动点㊁切点㊁定点㊁射影㊁焦点等众多类型的点,切线㊁弦点弦㊁焦点与射影的连线等对应类型的直线,创设一个 动 静 结合的和谐场景,以定直线上动点的变化带动切线的变化,引起切点弦的变化,进一步带动定点在切点弦上的射影的变化,最后直接关系到焦点与射影连线的斜率的变化, 定值 与变量 的巧妙转化,构建一个动态情景,同时也为问题的解决提供切入点．本题可以从众多类型的点入手加以设点法处理,也可以从众多类型的直线入手加以设线法处理,都可以很好达到解决问题的目的．若理解并掌握圆锥曲线切点弦公式的话,可直接利用 二级结论 快捷处理．而对于该问题,当动点P(m,－２)中m＝０时,焦点F与点H的连线是一条怎样的直线,是否存在斜率呢这也是该问题命制过程中的一个弊端所在,要加以合理的修正与改进,以保证命题的完善性．３问题破解方法１:设点法 导数思维．解析:设Q(x１,y１),R(x２,y２),则有y１＝１４x２１,y２＝１４x２２．依题y＝１４x２,求导可得yᶄ＝１２x．根据导数的几何意义可得,切线P Q的方程为y－１４x２１＝１２x１(x－x１),整理有y＝１２x１x－y１．而点P(m,－２)在切线P Q上,则有－２＝１２x１m－y１,即x１m－２y１＋４＝０,所以(x１,y１)是方程m x－２y＋４＝０的解,即点Q是直线m x－２y＋４＝０上的点．用x２替换x１,用y２替换y１,可知点R也是直线m x－２y＋４＝０上的点．所以直线Q R的方程为m x－２y＋４＝０．将上述方程变形,得m x＝２(y－２),从而直线Q R过定点B(０,２)．而由于AHʅB H,|A B|＝２,则知点A在直线Q R上的射影H的轨迹就是以A B为直径的圆,其方程为x２＋(y－３)２＝１．图１当F H与该圆相切时,结合平面几何性质可知,直线F H的斜率分别为－３,３,如图１所示．故焦点F与H连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:通过设点法,结合导数的几何意义来确定圆锥曲线的切线方程,为进一步求解圆锥曲线的切点弦提供条件．这是圆锥曲线的切点弦方程求解的一种 通性通法 ．而基于抛物线的切点弦方程,通过对直线过定点的挖掘,以及射影轨迹的判断,为数形结合确定对应直线斜率的极端情况打下基础．同时要注意直线斜率的取值范围以及图形之间的联系,不要出现混淆．方法２:设线法 方程思维．解析:设切线P Q,P R的方程分别为y＝k１(x－m)－２,y＝k２(x－m)－２．联立y＝k１x－k１m－２,x２＝４y,{消去参数y并整理可得３８试题研究２０２４年５月上半月㊀㊀㊀x ２－４k １x ＋４k １m ＋８＝０,由判别式Δ＝１６k ２１－４(４k １m ＋８)＝０,化简有k ２１－k １m －２＝０,可得x １＝x ２＝２k １,则Q (２k １,k ２１),用k ２替换k １,同理可得R (２k ２,k ２２)．于是可知k １,k ２是方程k ２－k m －２＝０的两个根,利用韦达定理可得k １＋k ２＝m ,k １k ２＝－２．而直线Q R 的方程为y －k ２１＝k ２２－k ２１２k ２－２k １(x －２k １),即y ＝k １＋k ２２x －k １k ２,亦即y ＝m ２x ＋２,变形可得m x ＝２(y －２),从而直线Q R 过定点B (０,２)．以下部分同方法１(此略),可知焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:通过设线法,结合方程的判别式来确定圆锥曲线的切点弦所在的直线方程,为进一步求解圆锥曲线的切点弦提供条件．这是圆锥曲线的切点弦方程求解的另一种 通性通法 ．思维视角不同,对数学基础知识的理解与应用也有所侧重,关键是把握问题的内涵与实质,巧妙加以综合与应用．方法３:性质法．解析:由圆锥曲线的切点弦方程的 二级结论 可知,直线Q R 的方程为m x ＝４ˑ－２＋y２＝２(y －２),从而直线Q R 过定点B (０,２)．以下部分同方法１(此略),可知焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:熟练掌握圆锥曲线的切点弦方程的二级结论 过曲线A x ２＋C y ２＋D x ＋E y ＋F ＝０(A ,C 不同时为零)外一点M (x ０,y ０)作曲线的两条切线M P ,M Q ,切点分别为P ,Q ,则切点弦P Q 所在的直线方程为A x ０x ＋C y ０y ＋Dx ０＋x ２＋E y ０＋y２＋F ＝０．作为课外拓展与提升知识,供学有余力或参与竞赛的学生参考,在把握 二级结论 的基础上,解题更加简单快捷,很好地提升解题效益．４问题辨析在以上问题中,对于动点P (m ,－２),若m ＝０时,此时点P (０,－２),过点P 向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,利用抛物线的对称性可知,切点Q ,R关于y 轴对称,由此可得点A (０,４)在直线Q R 上的射影H 在y 轴上,而焦点F (０,１)也在y 轴上,可知F H 的方程为x ＝０,此时,F H 的斜率不存在．由以上问题的特殊场景分析可知,在原问题的设置中,应该把m ＝０这一特殊情况排除在外,由此对原问题进一步加以改进如下:问题㊀过P (m ,－２)(m ʂ０)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ．又点A (０,４)在直线Q R 上的射影为H ,则焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是．这样修改后,问题更加合理与完善,不存在漏洞或不合理的地方,而具体的解析过程也更加合理有效．５变式拓展借助原问题解析过程中的产物,可以得到一些相应的变式问题．５．１定点问题变式１㊀过P (m ,－２)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ,则直线Q R 恒过的定点的坐标是．(答案:(０,２)．)由此可得更加一般性的结论:结论:过P (m ,a )(a ＜０)向抛物线x ２＝２p y (p ＞０)引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ,则直线Q R 恒过的定点的坐标是(０,－a )．５．２轨迹问题变式２㊀过P (m ,－２)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ．又点A (０,４)在直线Q R 上的射影为H ,则动点H 的轨迹方程是．(答案:x ２＋(y －３)２＝１．)６教学启示二次曲线(圆㊁椭圆㊁双曲线与抛物线)中的切点弦问题,是平面解析几何中一类综合性较强的问题,解决这类问题的 通性道法 主要有两种:(１)结合函数与导数的应用,利用导数的几何意义确定对应的切线方程,进而加以深入综合与应用;(２)结合函数与方程的应用,利用方程的判别式确定对应的切线方程,同时为切点弦的确定提供条件．而特殊的思维技巧就是借助二次曲线的切点弦方程的 二级结论 ,直接利用公式确定切点弦方程,快速解决问题．常规的技巧方法是我们必须理解并掌握的知识,也是对此类问题的基本要求,需要借助知识的学习与练习的训练加以掌握与应用;而特殊的思维技巧给我们的课外学习开辟了一个更加宽广的空间,提供了更加简单快捷的技巧与方法．Z４８。
高中数学抛物线经典例题
抛物线（1）抛物线——二次曲线【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ，122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程：2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p p p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有p BF AF 211=+成立.（3）切线——抛物线与函数l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ， 那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅== 设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A 、B ，则|AB|等于（ ）A.3B.4C.32D.42 【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+.由()223013y x m x x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-.11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得：2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴XYAB FA 1B 11M CXOY ABMl x y +=ÿxyM(x,y)F 1(-c ,0)F 2(c,0)O H2:a l x c=-r 1r 2r 2上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ） A ．4B ．33C ．43D ．8【解析】如图直线AF 3AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p == 且∠KFM=60°，∴234,43AKF KF S ∆===选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式23S ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令 1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上， 1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到：()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.线x y 82=的【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
抛物线切线的几个性质及其判定
… + am)n 展开式共有 Cmm-+1n -1 项 .
抛物线切线的几个性质及其判定
周 平
(甘肃省兰州市窑街煤电公司第四中学 730084)
笔者在研究抛物线 的有关 问题时 , 意 外地 得到
了抛物线切线的几个 性质 及其 判定 方法 , 现以 定理
的形式介绍如下 :
定理 1 P 是抛物线 y2 = 2 px 上一动 点 , M 是 点 P 在准线上 的射影 , F 为焦点 .过 P 点的直线 l 是
性 质 1 .1 过 点 Q(- a , 0)(a > 0)的直 线 与 抛 物 线 y2 = 2 px(p >0)相交于 M 、 N 两点 , H 为(a , 0), 则 ∠MHQ = ∠NHx . 图 1
性质 1.2 M 、N 是抛物线 y 2 = 2px(p >0)上
非顶点且 位于 x 轴同侧的两点 , H 为(a , 0)(a >0), Q 为(-a , 0), 若 ∠MHQ = ∠NHx , 则直线 MN 交 x 轴于点 Q .
x 3个 1
1 …1, 为得到所有非负整数 解 , 只需 将隔号“|” 的 位
xm 个1
置 移动即可 .可以看出 , n 个 1 和(m -1)个隔号“|” ,
共有(m +n -1)个位置 , 从(m + n -1)个位置中
任选出 n 个 位 置 放 数字 1 , 其 余 放 隔 号“|” , 共 有 Cnm+n -1 = Cmm-+1n -1 种放法 , 即多项式(a1 +a2 +a3 +
P(x 0 , y 0)的切线 , 知 l 的直线方程为 y 0 y = p(x + x 0),
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程To find the equation of the line connecting the points where two tangents are drawn from an external point to a parabola, we can follow these steps:1. Given a parabola with equation y = ax^2 + bx + c and an external point P (h, k).我们要求的是从一点P（h，k）引出两条切线，并连接切点得到的直线方程。
我们已知一个抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，和一个外部点P。
2. Determine the x-coordinate of the points of tangency.确定切点的x坐标。
3. Use the derivative of the parabola equation to find the slopes of the tangent lines.利用抛物线方程的导数来确定切线的斜率。
4. Write the equations of the tangent lines using point-slope form.使用点斜式写出切线的方程。
5. Find the intersection point of the two tangent lines.找到两条切线的交点。
6. Write the equation for the line passing through these two points.写出通过这两个点的直线方程。
Now let's go through these steps in detail:现在让我们逐步详细说明这些步骤：Step 1: Determine x-coordinate of tangency points步骤1：确定切点的x坐标The x-coordinate of each tangency point is equal to h sinceboth tangent lines intersect at this point.每个切点的x坐标等于h，因为两条切线在这一点相交。