数学：2.3运用公式法(第2课时)教案(北师大版八年级下)

惑,你能运用你所学的知识说明一下其中的道理吗? 【答案】4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,而(x+1)2≥0 则 4x2+8x+11>0. 【点评】 通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及对非负数的再认识,培养学生 的结合思维能力. 链接二:某商场有四层,第一层有商品(a+b)2 种,第二层有商品 a(a+b)种,第三层有商品 (a+b)b 种,第四层有商品(a+b)3 种,则这商场共有商品多少种? 【答案】(a+b+2)(a+b)2 种. 【点评】在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的能力. 2.实践探索 (1)实践活动 ①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题 , 同学之间写几道完全平方式并互相 检查. ②阅读课本第 51 页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”. (2)巩固练习 课本第 53 页习题 2.5. (四)板书设计 运用公式法 完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式:a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 例1 例2 例 3.
b a
a 2-3-4
b
来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 明确 在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式 ,并通过整式乘法的
完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究 a2+2ab+b2=(a+b)2 互动 2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点? (生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的 平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的 2 倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的 a、b 分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b 可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为 单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的 2 倍,等于这两个数(式)的和 (差)的平方. (师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解因式. (师):形如 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 的式子称为完全平方式,大家观察此式的结构特点. (生):完全平方式都是二次三项,若以 a 为字母,则第三项(b2)是中间一项的系数(±ab) 的一半的平方. 明确 通过分析公式特征,让学生准确掌握公式,熟练而灵活地利用公式分解因式,了解 a2-2ab+b2=(a-b)2
1 2 1 x xy y 2 . 2 2
(2)若 9x2+kx+16 是一个完全平方式,则 k=_____. (3)已知 a+b=1,ab=-12,则 a2+b2 的值为________. (4)当 x 取何值时,多项式 x2+4x+9 取得最小值? 【答案】(1)45000 (三)延伸拓展 1.链接生活 链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2+8x+11,并对小刚说:“无论 x 取何值,这 个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困 (2)±24 (3)25 (4)-2
完全平方式的组成. 例1 把下列完全平方式分解因式: (2)(m+n)2-6(m+n)+9
(1)x2+14x+49
【分析】(1)中可化为 x2+2×7×x+72,这里 a 相当于 x,b 相当于 7, 然后“对号入座” 套用公式分解因式;(2)中将(m+n)作为一个整体,此式可化为(m+n)2-2 ×3( m+n)+32,这里 a 相当于(m+n),b 相当于 3. 例2 把下列各式分解因式: (2)-x2-4y2+4xy
2.3 运用公式法(第 2 课时)
(一)本课目标 本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟 练地运用公式. (二)教学流程 1.情境导入 一块长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四块实验田( 如图 2-3-4 所示),以种值不同的 新品种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动 1 (师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗? (生):可以表示为(a+b)2. (生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即 a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为 a2+2ab+b2=(a+b)2. (师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2 ① a2+2ab+b2=(a+b)2 ② 第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系. (师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似 a2-2ab+b2=(a-b)2 也成立. (师):因此我们把 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 看作是因式分解的完全平方公 式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出 ,如果把乘法公式反过来, 那么就可以用
(1)3ax2+6axy+3ay2
互动 3 (师):在(1)中,如何分解因式? (生):此式有公因式 3a 可提,应先提公因式,再套用公式. (师):说得很好,对于(2),又如何处理呢? (生):先提出 “－” 号， 得-(x2+4y2-4xy),然后再按字母 x 的降幂排列为-( x2-4xy+4y2), 显然括号里的二次三项式恰好满足完全平方公式的条件. 明确 例3 引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式,然后分解因式. 已知 x2+2x-y2+6y-8=0,且 x+y≠2,求 x-y 的值.
【分析】 观察发现,由 x2+2x 联想到 1,由 y2 和 6y 联想到 9,于是可以把-8 拆成 1 和-9, 原式可写成 x2+2x+1-y2+6y-9=0,即(x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为 A2-B2=0 的形式,左边可以 利用平方差公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0 的形式,从而由 A+B=0 或 A- B=0 求值,因为 x+y ≠2,所以可求出 x-y 的值. 3.学习小结 (1)内容总结 通过本节课的学习 , 你了解因式分解的完全平方公式吗 ? 你了解完全平方式的意义 吗?(因式分解的完全平方公式是整式乘法的完全平方公式的逆运用.) (2)方法归纳 如何运用完全平方公式分解因式?(了解公式的结构特征, “对号入座”套用公式.) 4.目标检测 课本第 51 页随堂练习. 补充:(1)若 x=156,y=144,求代数式
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