数学：2.3运用公式法(第2课时)教案(北师大版八年级下)
数学北师大版八年级下册第二章《运用公式法》
北师大版八年级下册第二章《运用公式法》的教学设计佛山市南海区西樵镇西樵中学林健【教材分析】《运用公式法》选自义务教育课程标准实验教材北师大版八年级下册第二章分解因式的第三节。
用平方差公式分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。
它被广泛地用于初等数学之中，为解决许多数学问题的计算提供一种优化的方法，同时也为学习分式，利用分解因式解一元二次方程奠定基础，对整个教科书起到了承上启下的作用。
学生在此之前已经学习了整式乘法和提公因式法分解因式，对如何分解因式已经有了初步的认识，但对于平方差公式进一步的应用及正确判断分解因式的彻底性，可能会产生一定的困难，所以通过问题串的形式，引导学生去思考，经历自学、合作交流、归纳等活动，完成教学任务，从而增强学生学好数学的愿望与信心。
【学情分析】从心理特征来说，初中阶段的学生已经具备了一定的观察能力，思考能力和分析问题的能力。
同时，这一阶段的学生爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中抓住这些特点，通过提出问题，引发学生思考，创造条件和机会，让学生发表见解，展示自我，获得成功的体验。
从知识基础来说，在七年级整式乘法运算的学习中，学生已经学习了平方差公式。
在本章前几节课学习了分解因式的概念，并了解整式乘法与分解因式之间的互逆关系，这为这节课的学习提供了必要的基础【设计理念】1、教师的教学活动必须建立在学生的认知发展和已有的知识经验基础上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。
设计中通过设计一连串的问题，引导学生自主构建新概念，力争达到水到渠成效果。
2、教学过程既是学生认识的过程，又是学生发展的过程。
教师的主要任务是为学生设计学习的情境，使问题符合学生的最近发展区，引导学生在情境中，自己开动脑筋进行学习，解决问题。
设计中通过课前创设情境引课，课中自主探究，巩固练习导课，体现了学习过程的环环相扣。
3、根据新课程目标：倡导学生主体参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法(二)教案
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法（二）教案●课题§2.3.2运用公式法〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.〔二〕能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观看、归纳和逆向思维的能力.〔三〕情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观看和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观看多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观看—发明—运用法●教具预备投影片两张第一张〔记作§2.3.2A〕第二张〔记作§2.3.2B〕●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们明白，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大伙自然会想，还有哪些乘法公式能够用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2而且还学习了完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大伙能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］能够.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=〔a+b〕2;a2－2ab+b2=〔a－b〕2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］特别好.那么什么样的多项式才能够用那个公式分解因式呢？请大伙互相交流，找出那个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边基本上三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，确实是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有〔1〕多项式是三项式；〔2〕其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；〔3〕另一项为哪一项这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和〔差〕的平方.用语言表达为：两个数的平方和，加上〔或减去〕这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系能够看出，假如把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影〔§2.3.2A〕［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项为哪一项这两数或式乘积的2倍.［生］〔1〕是.〔2〕不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；〔3〕是；〔4〕不是.ab不是a与b乘积的2倍.〔5〕不是，x2与－9的符号不统一.〔6〕是.2.例题讲解［例1］把以下完全平方式分解因式：〔1〕x2+14x+49;〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9.［师］分析：大伙先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再依照公式分解因式.公式中的a,b能够是单项式，也能够是多项式.解：〔1〕x2+14x+49=x2+2×7x+72=〔x+7〕2〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9=〔m+n〕2－2·〔m+n〕×3+32=［〔m+n〕－3］2=〔m+n－3〕2.［例2］把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2;〔2〕－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，假如发明它不能直截了当用完全平方公式分解时，要认真观看它是否有公因式，假设有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.假如三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，能够先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：〔1〕3ax 2+6axy +3ay 2=3a 〔x 2+2xy +y 2〕=3a 〔x +y 〕2〔2〕－x 2－4y 2+4xy=－〔x 2－4xy +4y 2〕=－［x 2－2·x ·2y +〔2y 〕2］=－〔x －2y 〕2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：〔1〕是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+〔21〕2=〔x －21〕2〔2〕不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.〔3〕是完全平方式41m 2+3mn +9n 2 =〔21m 〕2＋2×21m ×3n +〔3n 〕2=〔21m +3n 〕2 〔4〕不是完全平方式2.解：〔1〕x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +〔6y 〕2=〔x －6y 〕2;〔2〕16a 4+24a 2b 2+9b 4=〔4a 2〕2+2·4a 2·3b 2+〔3b 2〕2=〔4a 2+3b 2〕2〔3〕－2xy －x 2－y 2=－〔x 2+2xy +y 2〕=－〔x +y 〕2;〔4〕4－12〔x －y 〕+9〔x －y 〕2=22－2×2×3〔x －y 〕+［3〔x －y 〕］2=［2－3〔x －y 〕］2=〔2－3x +3y 〕2b .补充练习投影片〔§2.3.2B 〕这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：〔1〕要求多项式有三项.〔2〕其中两项同号，且都能够写成某数或式的平方，另一项那么是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了假设一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题2.51.解：〔1〕x2y2－2xy+1=〔xy－1〕2;〔2〕9－12t+4t2=〔3－2t〕2;〔3〕y 2+y +41=〔y +21〕2; 〔4〕25m 2－80m +64=〔5m －8〕2;〔5〕42x +xy +y 2=〔2x +y 〕2;〔6〕a 2b 2－4ab +4=〔ab －2〕22.解：〔1〕〔x +y 〕2+6〔x +y 〕+9=［〔x +y 〕+3］2=〔x +y +3〕2;〔2〕a 2－2a 〔b +c 〕+〔b +c 〕2=［a －〔b +c 〕］2=〔a －b －c 〕2;〔3〕4xy 2－4x 2y －y 3=y 〔4xy －4x 2－y 2〕=－y 〔4x 2－4xy +y 2〕=－y 〔2x －y 〕2;〔4〕－a +2a 2－a 3=－〔a －2a 2+a 3〕=－a 〔1－2a +a 2〕=－a 〔1－a 〕2.3.解：设两个奇数分别为x 、x －2,得x 2－〔x －2〕2=［x +〔x －2〕］［x －〔x －2〕］=〔x +x －2〕〔x －x +2〕=2〔2x －2〕=4〔x －1〕因为x 为奇数，因此x －1为偶数，因此4〔x －1〕能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式〔要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：此题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab 〔4a 2－4ab +b 2〕=ab 〔2a －b 〕2●备课资料参考练习把以下各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－〔4x2+4xy+y2〕=－〔2x+y〕2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a〔b2+2ab+a2〕=3a〔a+b〕2;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25=［〔s+t〕－5］2=〔s+t－5〕2;4.0.25a2b2－abc+c2=〔0.5ab－c〕2;5.x2y－6xy+9y=y〔x2－6x+9〕=y〔x－3〕2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x〔x2y2－8xy+16〕=2x〔xy－4〕2;7.16x5+8x3y2+xy4=x〔16x4+8x2y2+y4〕=x〔4x2+y2〕2.。
初中数学八年级下第二章分解因式23运用公式法2教案
北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式2.3运用公式法（2）教案一、学情分析：认知基础：学生的知识储备中对于乘法公式的运用还是比较熟练的，但在能力上，对于公式的变形问题可能会处理不当。
二、教材处理中的问题与思考：1、教材采用直接将乘法公式逆过来应用，这种呈现新知方式，不适于学习基础较为困难的学生，如何让学生更好地理解整式乘法与因式分解之间的关系？2、对于形式上与完全平方公式相近的式子与完全平方公式的区别，进一步牢记公式有什么特点？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：会用完全平方公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
2、过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生的整体意识，以及逆向应用公式的能力。
（二）教学重点：掌握公式的形式和特点并能正确运用。
（三）教学难点：将多项式适当变形后运用公式分解因式。
（四）教学过程：创设问题情境，导入新课：某小区规划在边长为a米的正方形场地上，修建两条宽为b米的通路，其余组织学生观察并思考：（1）先求出甬道面积，ab+ab-b2，然后不难求出草地的面积为a2-2ab+b2（2）将两条甬道运用平移法，移到边沿，不难求出种草的面积为(a-b)2。
● 2、尝试发现、探索新知：探索：由上面的问题，可以求出a 2-2ab+b 2=(a-b)2即：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2实际上，这也是乘法公式中的完全平方公式的逆变形所得到的分解因式的方法。
组织学生观察，讨论这类式子的共同特点：x 2+14x+49 216364x x -+ a 4+2a 2b 2+b 4 (m+n)2-6(m+n)+9 总结这类式子的共同特点：（1）公式的左边是一个三项式；（2）在这个三项式中前后两项是两数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数的积的2倍，符号可正可负。
八年级下学期数学第2章教案练习6份北师大版23运用公式法2.doc
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1.会用完全平方公式分解因式2.综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1.熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1.什么是分解因式？我们己经学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式分解因式:② a2-4① 2ax2 -a 'x④ 3x5 - 3x③ 4a' - a【师生探究合作交流】1.请你写出完全平方公式.这个公式倒过来可以写成：a2 + lab + b2 = a2 - lab + b' =2.观察（ci + b）2 = a1 +2ab + h2与 / +2cib + b' = （a + /，）'的不同点是什么？发现：①第一•个等式的左边（。
+月2表示相乘关系；第二个等式的左边/ +赤+ b2表示一•个多项式。
②第-•个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
(1) A -4 -2x 2 +1 3. 完全平方式的特点：形如/+2沥+史和/一2沥+屏的式子都称为完全平方式。
其特点是:（1）公式中的字母a, b 可以用单项式或多项式代替.(2) 能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式，其中首末两项是两个 数的完全平方，且这两项符号相同，而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4. 把下列各式分解因式：(1) 必 + 6x + 9(2) (m — — 1 0(/M — 〃) + 25 解：(1) X 2+6x + 9=x 2+2X 3X + 32= ()2 (2) -10(/n-/?)+25 = (/n-/t)2 - 2x5()+( )2=( )2 (3) ax 1 -ax + — a(4) - 2)/+4y - 24 5. 把下列各式分解因式：(注意方法，观察结果是否不能再分解了)(2) -xy- — x 2 - —y 2. 2 2，【议一议】1 .两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么?你用了 分钟(真棒！)【小试牛刀】1.随堂练习【课堂小结】1.用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处:【今日作业】1.课后习题2.5第1, 2【拓展与延伸】1.课本复习题写P63.第11。
数学北师大版八年级下册公式法教学设计
21.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（师生合作完成板书计算）用配方法解下列方程（1）x ²＋8x －9=0 （2）2x ²＋6=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a =即x=2b a-∴x 1=2b a -+x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-± （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．三、巩固练习由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（师生合作完成）（3）2x ²＋5＝7x（4）4x(x －1)＋3＝0（5）4(y ²＋0.09)＝2.4y分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0==∴x 1=22+x 2=22 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x=(5)57236--±=⨯ x 1=2，x 2=-13四、 加强练习1、用公式法解下列方程．(1) 2x ²－9x ＋8＝0（2）9x ²＋6x ＋1＝0（3）16x ²＋8x ＝33（4）x(x －3)＋5＝0（5）5x ²＋x ＝7（6）(x ＋1)(4x ＋1）＝2x教师巡视、指导例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9134±= x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．x=32-± D ．x=32±22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？五、总结1、b²﹣4ac的符号判别得知方程根个数2、直接用公式求出方程a acbbx24 2-±-=（b²﹣4ac ≧0）六、作业布置1、课本后练习2、课外延伸题七、教学反思本节课通过复习用配方法解一元二次方程的方法导出（b²﹣4ac ≧0）这公式法解一元二次方程及判别根的个数。
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(2)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1． 会用完全平方公式分解因式2． 综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1．熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1．什么是分解因式? 我们已经学习了哪些因式分解的方法?2．把下列各式分解因式：① x a ax 222- ② 42-a③ a a -34 ④ x x 335-【师生探究合作交流】1．请你写出完全平方公式．这个公式倒过来可以写成: 222b ab a ++= 222b ab a +-=2．观察()2222b ab a b a ++=+与()2222b a b ab a +=++的不同点是什么？ 发现：①第一个等式的左边()2b a +表示相乘关系； 第二个等式的左边222b ab a ++表示一个多项式。
②第一个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
3．完全平方式的特点：形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子都称为完全平方式。
其特点是：（1）公式中的字母a,b 可以用单项式或多项式代替.（2）能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式,其中首末两项是两个数的完全平方,且这两项符号相同,而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4．把下列各式分解因式：（1） 962++x x （2） ()()25102+---n m n m 解：（1）962++x x =22332+⨯+x x =（ 2)（2）()()25102+---n m n m =(52)(2⨯--n m )+( 2) =（ 2)（3） a ax ax 412+- （4） 2422-+-y y5．把下列各式分解因式：（注意方法，观察结果是否不能再分解了）（1） 1224+-x x （2） 222121y x xy ---【议一议】1．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1．随堂练习【课堂小结】1． 用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处：【今日作业】1． 课后习题2.5第1，2【拓展与延伸】1．课本复习题写P63．第11。
北师大版八年级下数学2.3运用公式法(教案)
2.3运用公式法教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点：重点：发展学生的逆向思维和推理能力难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.快速反应：1.分解因式：①x 2-y 2= ; x 2-4= ;②a 2b 2-2ab+1= ;412+-a a = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．16a 2-25b 3 B ．-16a 2-25b 2 C ．16a 2+25b 2 D ．-(16a 2-25b 2)3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2+y 2+2xyB ．-x 2+y 2+2xyC ．-x 2-y 2-2xyD ．-x 2-y 2+2xy4. 把下列各式分解因式：(1)9a2m2-16b2n2; (2)22144425b a -; (3)9(a+b )2-12(a+b )+4 (4)2241ay axy ax +- 自主学习：1. (1)观察多项式x 2-25.9x-y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y 2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25= x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).2. 把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a-b )2=a 2-2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2-2ab+b 2=(a-b )2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
数学初二下北师大版2.3运用公式法学案
数学初二下北师大版 2.3 运用公式法（ 2）教案课型：新授主编：张玮审查：周明丽学生姓名：_________[ 目标导航 ]1.学习目标〔1〕经历经过整式乘法的完整平方公式等逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，进展逆向思想能力和推理能力。
〔2〕会用公式法分解因式。
〔3〕在逆用乘法公式的过程中，认识换元的思想方法2.学习要点：会逆用完整平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
3.学习难点：熟练逆用完整平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
[ 课前导学 ]1.课前预习：阅读课本 P57—P58 并完成课前检测。
2.课前检测(1) 分解因式：①0.16a 2 b249m 4 n 2② (2x 3y) 24x2③ (x y) 3( y x)(2) ① (______) 2 20 pq 25q 2 (________) 2；② 4x 2 9x _______ (_________ ) 2；③ ( x 3)( x 2) __________ ______ ；④ ( x 1)( x 2) _________________ ；(3) 默写平方差公式：__________________________________________________ ；( x a)( x b) ___________________________________________________________ ；3.课前学记〔课前学习疑难点、教课要求建议〕[ 课堂商议 ]1.新知研究(1)新课引入：①填空：2 2〔a+b〕〔a-b 〕 =； a –b =；a2 +2ab+b2=；a2-2ab+b2=、②结论：形如：______________________ 和 ____________________ 的式子称为完整平方式。
③填空：〔x+a〕〔x+b〕=；〔ax+b〕〔cx+d〕=；x2+(a+b)x+ ab=； acx2+(ad+bc)x+bd= ；〔x-a 〕〔x-b 〕 =；〔ax-b 〕〔cx-d 〕 =；x2-(a+b)x+ ab=； acx2-(ad+bc)x+bd= ；经过上边的填空说说你的收获：_______________________________________________________ ；④结论：由分解因式与整式乘法的关系能够看出，若是把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这类分解因式的方法叫做______________________ ；(2) 新课讲解①例 1 把以下完整平方式分解因式：x 2 14 49 ( m n) 2 6(m n)9②例 2 逆用乘法公式分解因式：x 2 3x 2 2x 2x 1③例 3 把以下各式分解因式3ax 2 6axy 3ay 2 x 2 4 y 2 4xy2ax 2 3ax a2. 学习过关〔 1〕以下多项式中，哪几个是完整平方式？请把是完整平方式的多项式分解因式：① x 2x 1 () ② 9a 2b 2 3ab 1()③ 1 4m 2 3mn 9n 2 () ④ x 6 10x 3 25 () 4〔2〕把以下各式分解因式：① x 2 12 xy 36 y 2 ② 16a 4 24a 2b 29b 4③ 2xy x 2y 2 ④ 4 12( x y) 9( x y) 2〔3〕运用“十字相乘法”把以下各式分解因式：① x22x3 ② 2x 2 5x 2 ③ ( a b) 23(a b) 2、[ 课外拓展 ]1. 课后记〔收获、领会、疑惑〕2. 分层作业〔班级： _____________ ，学生姓名： ____________ 〕 A 必做题〔限时 10 分钟，实质完成时间： _______分钟〕 〔1〕把以下各式分解因式① x 2 y 22xy1② 9 12t 4t 2 ③ y 2 y 11 x 24④ 25m 280m 64 ⑤ xy y 2 ⑥ a 2 b 2 4ab4〔2〕把以下各式分解因式4① ( x y)2 6(x y) 9 ② a 2 2a(b c) (b c) 2 ③ 4xy 2 4x 2 y y 3④ a 2a 2a 3 ⑤ x 45x 2 4 ⑥ 2x 2 5xy 2y 2B 选做题〔 1〕多项式 x 2 1与一个单项式和一个整式的完整平方，请你找出一个满足条件的单项式、〔 2〕把以下式子分解因式：① ax+bx+2a+2b. ②a 2－ ab － 4b+4a. ③ ab －5a+3b － 15.C 思虑题〔 1〕假设 (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完整平方式，求K 的值。
《公式法》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想．2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式．3.经历通过整式乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力．二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式．难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式．三、教学用具多媒体等．四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.计算下列各式:(1)(x+2)2= ________ ,(2)(2x+1)2= ________，(3)(x-3)2= ________ ,(4)(3x-1)2= ________，预设：（1）x2+4x+4；（2）4x2+4x+1(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1根据上面算式填空:(1) x2+4x+4=_____________,(2)4x2+4x+1=_____________,(3)x2-6x+9=_______________，(4)9x2-6x+1=_____________.预设：（1）(x+2)2；（2）(2x+1)2;(3)(x-3)2;(4)(3x-1)2.提问：你有什么发现呢？预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.【归纳】完全平方公式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.【想一想】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；(2)有两个同号的数或式的平方；(3)中间是这两个数的积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.【做一做】观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？预设：a2+2ab+b2=(a+b)2)，是正确的.提问：你能验证完全平方差公式吗？以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容: 教科书第103页习题4.5 第2、3、4题.。
八年级数学下册第二章,运用公式法教案2北师大版
山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第二章，运用公式法》教案2 北师大版教学目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．教学重点与难点：重点：会用平方差公式进行因式分解；难点：使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．教法及学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围.教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.教学过程：一、问题情境，引入新课1.填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ；2.根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．师：第二组从左向右的变形是分解因式吗？生：是分解因式.师：这种分解因式的方法你看明白了吗？生：是逆用了平方差公式.师：平方差公式即可用于整式乘法，也可用于分解因式.这节课我们一起学习运用公式法（平方差公式）分解因式.（由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．）设计意图：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．二、合作交流，探究新知师：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？生：a 2–b 2=（a +b ）（a –b ）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.师：大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？生：符合因式分解的定义，因此是因式分解.师：对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.师：请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点.生：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.师：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.师：你们能再举出几个这样的例子吗？生：x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.生：a 2－81=（a +9）（a －9）.设计意图：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．三、例题讲解，巩固公式1.把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 （2）9a 2–241b解：（1）25－16x2 =52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）;（2）9a 2－41 b 2 =（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. 2.将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）设计意图：（1）让学生理解在平方差公式a 2–b 2=（a +b ）（a –b ）中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．四、学以致用，知识反馈1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( )（3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( )2、把下列各式因式分解：（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2（3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2（5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积．设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平a b学生板演区 方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．五、课堂小结，反思提高师：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？生：有公因式（包括负号）则先提取公因式；生：整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；生：平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．六、达标检测，反馈矫正1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的共有（ ）(1)x y +22 (2)x y -22 （3）x y -+22 （4）x y --22A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知,,x y x y -=+=22168则x = ________,y =_________.3.利用分解因式计算-⨯2201120102012=__________.4.分解因式：.x y -+22116 .()a b -+22361325.n 为整数，试说明()()n n +--2251的值一定能被12整除.七、作业布置A 组：课本第56页习题2．4第2、3题B 组：课本第56页习题2．4第1题板书设计：2.3.1运用公式法 引例 例1例2教学反思逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．。
(教案说明)运用公式法(2)
课题：2.3 运用公式法（2）--运用完全平方式分解因式教材：北师大版八年级下册“2.3运用公式法”是北师大版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第二章因式分解的第3小节，整个课题按照新课程标准的要求和实际操作需要两个课时，我提交的是第二课时的教案，现对教案的设计做以下说明：一教学内容的分析因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，是整式的一种重要的恒等变形。
它和整式的乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系，分解因式是后续学习的分式的化简与运算，解一元二次方程的重要基础。
二教学目标的确定学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、等知识的学习奠定一个良好的基础。
根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下：1、知识目标：能掌握完全平方式的特征，并能记住完全平方公式；能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
2、能力目标：培养学生的观察分析能力；提高学生的运算能力3、情感目标：培养逆向思维能力与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。
三本节课的教法特点以及预期效果分析（一）为了培养学生的逻辑思维能力、自学能力和自己发现问题---提出问题----解决问题的学习方法,本节课主要采用设疑----观察----发现----公式法的教学方法，以启发式、诱导式和练习指导式的教学手段进行教学。
充分调动学生的积极性,使学生始终处于最佳的思维状态之中,激发学生的兴趣，尽可能的做到把课堂还给学生，让学生成为数学学习的主人。
（二）本节课还采用分层的教学方法。
由于学生的学习基础与能力有较大的差异，所以在练习中，对不同层次的学生提出不同的要求，使每个学生都能有所收获。
（三）小结部分，组织学生交流讨论，让学生归纳刚获得的知识和技能，再引导学生回顾知识发现的过程,使学生对已有知识进行反思,再次明确重、难点,让学生获得解决这类问题的方法.（四）作业的布置,帮助学生对知识的保持和迁移。
北师大版八年级数学下册2.3运用公式法教案
第四、五课时：2.3运用公式法教学目标：1、知识与技能目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式、完全平方公式分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对两个公式的运用能力．3、情感与态度目标：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．教学重点：会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解教学难点：采用适当公式第四课时教学过程：第一环节创设情境引入新课填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．第二环节 探究新知问题1：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）问题2：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．问题3：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．第三环节： 随堂练习55页练习1、2、3第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：56页1、2、3B组：创新设计教材56页1、2C组：创新设计教材56页1板书设计：第五课时教学过程：第一环节复习提问填空：（1）（a+b）（a-b）= ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；第二环节探究新知活动1、结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动2、观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，活动3、把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：(1)培养学生对完全平方公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动4、将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第三环节： 随堂练习58页练习1、2、第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：60页1、2、3 、4B组：创新设计教材60页1、2 C组：创新设计教材60页1板书设计：教学反思。
2017北师大版数学八下《运用公式法》word教案.doc
用平方差公式因式分解异号两个平方项，因式分解有办法。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
用完全平方公式因式分解两平方项在两端，底积2倍在中部。
同正两底和平方，全负和方相反数。
分成两底差平方，方正倍积要为负。
两边为负中间正，底差平方相反数。
一平方又一平方，底积2倍在中路。
三正两底和平方，全负和方相反数。
分成两底差平方，两端为正倍积负。
两边若负中间正，底差平方相反数。
用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数ａｂｃ，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
用常规配方法解一元二次方程左未右已先分离，二系化“1”是其次。
一系折半再平方，两边同加没问题。
左边分解右合并，直接开方去解题。
该种解法叫配方，解方程时多练习。
用间接配方法解一元二次方程已知未知先分离，因式分解是其次。
调整系数等互反，和差积套恒等式。
完全平方等常数，间接配方显优势。
【注】恒等式解一元二次方程方程没有一次项，直接开方最理想。
如果缺少常数项，因式分解没商量。
ｂ、ｃ相等都为零，等根是零不要忘。
ｂ、ｃ同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。
正比例函数的鉴别判断正比例函数，检验当分两步走。
一量表示另一量，是与否。
若有还要看取值，全体实数都要有。
正比例函数是否，辨别需分两步走。
一量表示另一量，有没有。
若有再去看取值，全体实数都需要。
区分正比例函数，衡量可分两步走。
一量表示另一量，是与否。
若有还要看取值，全体实数都要有。
正比例函数的图象与性质正比函数图直线，经过和原点。
K正一三负二四，变化趋势记心间。
K正左低右边高，同大同小向爬山。
K负左高右边低，一大另小下山峦。
一次函数一次函数图直线，经过点。
K正左低右边高，越走越高向爬山。
K负左高右边低，越来越低很明显。
K称斜率b截距，截距为零变正函。
反比例函数反比函数双曲线，经过点。
K正一三负二四，两轴是它渐近线。
《公式法 第2课时》 示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
4.3《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1．经历通过整式乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 理解完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式。
二、教学重点及难点重点：能较熟练地运用完全平方公式分解因式．难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，并且能正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【复习导入】问题1：计算下列各式：（1）(x－3y)2；（2）(x＋3y)2；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．答案：（1）x2－6xy＋9y2；（2）x2＋6xy＋9y2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．问题2：分解因式：（1）4x2－9y2；（2）xm2－xn2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．答案：（1）(2x＋3y)(2x－3y)；（2）x(m＋n)(m－n)；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．设计意图：通过问题1，让学生复习完全平方公式在整式乘法中的应用，为引入利用完全平方公式进行因式分解打下基础，埋下伏笔；问题2让学生首先复习前面学过的因式分解的方法，而后通过（3）和（4）两个小题让学生在交流和感悟中体会逆向思维所引申出的新的知识应用．【探究新知】1．探讨完全平方公式的结构特征．问题1：如果我们将整式乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2反过来，就得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．你能谈谈完全平方公式在反过来前后各有什么不同的用途吗？答案：问题2：我们将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．你能谈谈一个完全平方式的结构具有什么样的特征吗？答案：完全平方式是一个三项式；三项中有两项的和是两数的平方和，另一项是加上(或者减去)这两数的积的2倍．公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2本身可以用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．问题3：16x 2＋24x ＋9是完全平方式吗？请说说你的理由．答案：是完全平方式．因为原式可以写成(4x )2＋2·4x ·3＋32，其满足完全平方式的结构特征．问题4：在横线上填上适当的单项式，使x 2＋__________＋14y 2是一个完全平方式． 答案：±xy在教学时教师可以放手让学生独立解答这些问题，相信学生完全可以解答出来的，问题3和问题4是让学生复习巩固完全平方式而准备的，教师在这里可以多增加这样的问题让学生来练习．2．归纳总结，引入概念由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．设计意图：进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系；明确运用公式法应具备的特征．【典型例题】例1 把下列完全平方式分解因式：（1）x 2＋14x ＋49；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9．分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式．用完全平方公式分解因式时，要根据第二项的符号来正确选择运用完全平方公式．解：（1）x 2＋14x ＋49＝x 2＋2×7x ＋72＝(x ＋7)2；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9＝(m ＋n )2－2(m ＋n )×3＋32＝[(m ＋n )－3]2＝(m ＋n －3)2．例2把下列各式分解因式：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ．分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．解：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2＝3a (x 2＋2xy ＋y 2)＝3a (x ＋y )2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ＝－(x 2－4xy ＋4y 2)＝－[x 2－2·x ·2y ＋(2y )2]＝－(x －2y )2．在问题1的处理上可采用直观的对照操作法．比如：x 2＋14x ＋49＝这样便于引导学生对照完全平方公式，进而确定公式中的a 、b 在此题中分别是什么．对于问题2可以安排学生分小组进行交流学习，自主解决，教师只进行引导，而后让一些学生谈一谈解题思想．设计意图：引导学生对照完全平方公式确定公式中的 ab 在题中分别是什么；进一步体会若有公因式要先提公因式，再进一步分解；引导学生注意，当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数．【课堂练习】1．下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2－x ＋14； （2）9a 2b 2－3ab ＋1；（3）14m 2＋3mn ＋9n 2；（4）x 6－10x 3－25． 2．把下列各式分解因式：（1）x 2－12xy ＋36y 2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4；（3）－2xy －x 2－y 2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2．答案：1．（1）是完全平方式．x 2－x ＋14＝x 2－2·x ·12＋(12)2＝(x －12)2． （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求．（3）是完全平方式．14m 2＋3mn ＋9n 2＝(12m )2＋2×12m ×3n ＋(3n )2＝(12m ＋3n )2． （4）不是完全平方式．2．解：（1）x 2－12xy ＋36y 2＝x 2－2·x ·6y ＋(6y )2＝(x －6y )2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4＝(4a 2)2＋2·4a 2·3b 2＋(3b 2)2＝(4a 2＋3b 2)2；（3）－2xy －x 2－y 2＝－(x 2＋2xy ＋y 2)＝－(x ＋y )2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2＝22－2×2×3(x －y )＋[3(x －y )]2＝[2－3(x －y )]2＝(2－3x ＋3y )2．【课堂小结】1．本节课学习的因式分解公式是什么？它有什么特征？在运用时应如何把握？本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍．在具体应用时要特别关注第二项的符号．2．把一个多项式进行因式分解的一般思路是怎样的？你能归纳吗？将一个多项式分解因式时，先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止．3．在应用平方差公式和完全平方公式时，你怎样做到不混淆？在运用公式法分解因式的过程中，什么时候运用什么样的公式完全取决于对多项式结构特征的把握能力，一般的二项式要考虑平方差公式，而三项式要考虑完全平方公式．用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处在于：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．【板书设计】完全平方式的结构特征：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．。
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的公式法求解。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用。公式法求解是通过判别式来判断方程的根的情况，并利用特定公式来求解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个物体自由落下，不计空气阻力，我们如何根据下落时间和重力加速度来计算落地时的速度？通过公式v^2 = 2gh，我们可以将这个问题转化为一元二次方程的求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“一元二次方程在工程学中如何应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.3用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节选自教材第二章第三节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a, b, c是常数且a ≠ 0）。
2.求解一元二次方程的公式：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。
4.通过小组合作与交流，培养学生的团队协作能力和表达沟通能力，增强合作意识与集体荣誉感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程的公式法求解过程及其应用。
-公式法求解一元二次方程的一般步骤，包括确定a、b、c的值，计算判别式b^2 - 4ac，根据判别式的值选择合适的求解方法。
-应用公式法解决实际问题，如物体自由落体运动、投资收益计算等。
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(1)3ax2+6axy+3ay2
互动 3 (师):在(1)中,如何分解因式? (生):此式有公因式 3a 可提,应先提公因式,再套用公式. (师):说得很好,对于(2),又如何处理呢? (生):先提出 “－” 号， 得-(x2+4y2-4xy),然后再按字母 x 的降幂排列为-( x2-4xy+4y2), 显然括号里的二次三项式恰好满足完全平方公式的条件. 明确 例3 引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式,然后分解因式. 已知 x2+2x-y2+6y-8=0,且 x+y≠2,求 x-y 的值.
b a
a 2-3-4
b
来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 明确 在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式 ,并通过整式乘法的
完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究 a2+2ab+b2=(a+b)2 互动 2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点? (生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的 平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的 2 倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的 a、b 分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b 可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为 单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的 2 倍,等于这两个数(式)的和 (差)的平方. (师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解因式. (师):形如 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 的式子称为完全平方式,大家观察此式的结构特点. (生):完全平方式都是二次三项,若以 a 为字母,则第三项(b2)是中间一项的系数(±ab) 的一半的平方. 明确 通过分析公式特征,让学生准确掌握公式,熟练而灵活地利用公式分解因式,了解 a2-2ab+b2=(a-b)2
【分析】 观察发现,由 x2+2x 联想到 1,由 y2 和 6y 联想到 9,于是可以把-8 拆成 1 和-9, 原式可写成 x2+2x+1-y2+6y-9=0,即(x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为 A2-B2=0 的形式,左边可以 利用平方差公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0 的形式,从而由 A+B=0 或 A- B=0 求值,因为 x+y ≠2,所以可求出 x-y 的值. 3.学习小结 (1)内容总结 通过本节课的学习 , 你了解因式分解的完全平方公式吗 ? 你了解完全平方式的意义 吗?(因式分解的完全平方公式是整式乘法的完全平方公式的逆运用.) (2)方法归纳 如何运用完全平方公式分解因式?(了解公式的结构特征, “对号入座”套用公式.) 4.目标检测 课本第 51 页随堂练习. 补充:(1)若 x=156,y=144,求代数式
2.3 运用公式法(第 2 课时)
(一)本课目标 本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟 练地运用公式. (二)教学流程 1.情境导入 一块长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四块实验田( 如图 2-3-4 所示),以种值不同的 新品种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动 1 (师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗? (生):可以表示为(a+b)2. (生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即 a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为 a2+2ab+b2=(a+b)2. (师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2 ① a2+2ab+b2=(a+b)2 ② 第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系. (师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似 a2-2ab+b2=(a-b)2 也成立. (师):因此我们把 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 看作是因式分解的完全平方公 式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出 ,如果把乘法公式反过来, 那么就可以用
1 2 1 x xy y 2 . 2 2
(2)若 9x2+kx+16 是一个完全平方式,则 k=_____. (3)已知 a+b=1,ab=-12,则 a2+b2 的值为________. (4)当 x 取何值时,多项式 x2+4x+9 取得最小值? 【答案】(1)45000 (三)延伸拓展 1.链接生活 链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2+8x+11,并对小刚说:“无论 x 取何值,这 个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困 (2)±24 (3)25 其中的道理吗? 【答案】4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,而(x+1)2≥0 则 4x2+8x+11>0. 【点评】 通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及对非负数的再认识,培养学生 的结合思维能力. 链接二:某商场有四层,第一层有商品(a+b)2 种,第二层有商品 a(a+b)种,第三层有商品 (a+b)b 种,第四层有商品(a+b)3 种,则这商场共有商品多少种? 【答案】(a+b+2)(a+b)2 种. 【点评】在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的能力. 2.实践探索 (1)实践活动 ①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题 , 同学之间写几道完全平方式并互相 检查. ②阅读课本第 51 页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”. (2)巩固练习 课本第 53 页习题 2.5. (四)板书设计 运用公式法 完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式:a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 例1 例2 例 3.
完全平方式的组成. 例1 把下列完全平方式分解因式: (2)(m+n)2-6(m+n)+9
(1)x2+14x+49
【分析】(1)中可化为 x2+2×7×x+72,这里 a 相当于 x,b 相当于 7, 然后“对号入座” 套用公式分解因式;(2)中将(m+n)作为一个整体,此式可化为(m+n)2-2 ×3( m+n)+32,这里 a 相当于(m+n),b 相当于 3. 例2 把下列各式分解因式: (2)-x2-4y2+4xy