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讨论： 1. 只有确定真假值，才有研究的价值。 2. 判断本身只关心真、假。（二值逻辑）
例1：命题的例子 (1) 今天下雨。 (3) 别的星球上有生物。 (5) 上海是一个村庄。
(2) 明天下雨。 (4) 十是整数。
§ 1.1.1 命题
例2 不是命题的例子 命令句，感叹句，疑问句均不是命题。 （1）把门关上！ （2）你到哪里去？ 悖论 语句既为真，同时又包含假的不是命题， （1）我正在说谎。 其他一些情况 （1）x + y > 4 （2）1 +101 = 110
例2 P: 我们去种树。 Q: 房间里有一台电视机。 则ＰΛＱ: 我们去种树与房间里有一台电视机。
例3 P: 今天下大雨 Q: 3+3=6 则ＰΛＱ: 今天下大雨和3+3=6。
例4 P: 王大和王二是亲兄弟。 Q: 他打开箱子然后（而后）拿出一件衣服来。
§1.1.2.命题联结词
3. 析取词
符号: ”∨”
例2 Q: 我是一位学生和他是一位工人。
§1.1.2 命题联结词
在命题演算中也有类似的日常生活中的联结词称做： “命题联结词”，命题联结词就是命题演算中的运算符。
下面先介绍五个常用的命题联结词：
➢ （否定词） ➢ ∧（合取词）, ∨（析取词）, （蕴含词）, （等值 词）
另外还有一些如 ：
➢ （与非词）, （或非）等。
§1.1.2 命题联结词
1. 否定词
符号: “¬”
设命题为Ｐ，则在Ｐ的前面加否定词¬ ，变成¬Ｐ， ¬Ｐ读做
“Ｐ的否定”或“非Ｐ”。
P ¬P
定义：由真值表定义，如左图。
例1 Ｐ：北京是一座城市。
T/1 F/0
¬Ｐ：北京不是一座城市。 例2 Ｑ：每一种生物均是动物。F
F/0 T/1
¬Ｑ：有一些生物不是动物。T
现代数理逻辑分为四大分支：证明论、模型论、 递归论和公理集合论。我们这里介绍的是属于 四大分支的共同基础 — (命题逻辑和谓词逻辑)。
第一章 数理逻辑
§1.1命题 §1.2.重言式 §1.3.范 式
§1.1 命题
• 命题逻辑是数理逻辑的基础，通过对它的学习， 我们将了解如何用数学的手段进行逻辑研究。
T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 PQ: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含, 即前提和结果有某种形式和内容上 的联系。
例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。
➢ 析取词∨为可兼或 即:P和Q均为T时(P∨Q)为T
例：1. 灯泡有故障或开关有故障。
2. 今晚写字或看书。
3. 今天下雨或打雷。
➢ 异或不可兼或 即 P和Q均为T时(P Q)为F
例： 1. 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。
2. 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
此处的“或”不完全等同于汉语中意思
• 基本内容
– 从实际生活中的逻辑关系入手，通过引入符号体系 （命题符号、联结符号）将所研究的问题转换成为符 号串（命题公式）。
– 从数学角度：运算、求值、相互间关系，给出一些基 本性质。
– 符号表达式的规范化。 – 推理理论：从前提条件，根据基本的规则，推出逻辑
结论的方法。
§1.1.1 命题
命题 具有确定真值，或真或假而不能两者都是 的陈述句叫命题。
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ∨Ｑ称作Ｐ与Ｑ的析取，读作:Ｐ
或Ｑ。
定义 由真值表给出，如左图。
P Q P∨ Q
F/0 F/0 F/0
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时， （Ｐ∨Ｑ）为“Ｆ”。否则，其 真值为“Ｔ”。
F/0 T/1 T/1 T/1 F/0 T/1 T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
区分“可兼或”与“不可兼或” ，异或，排斥或）
含Ｑ,Ｐ仅当Ｑ,Ｑ当且Ｐ,Ｐ是Ｑ的充分条件。
定义 由真值表给出，如左图。
P
Q P→Q
Ｐ:称为前件、条件、前提、假设。 F/0
Baidu NhomakorabeaF/0
T/1
Ｑ:称为后件、结论。
F/0 T/1 T/1
当Ｐ为Ｔ,Ｑ为Ｆ时，则Ｐ→Ｑ为
Ｆ,否则Ｐ→Ｑ均为Ｔ。
T/1 F/0 F/0
Q→P逆命题, ¬P→¬Q 反命题, ¬P→¬Q 逆反命题
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
数理逻辑
是用数学的方法研究概念、判断和推理的科学， 显然数理逻辑是属于形式逻辑的范畴。
第一篇 数理逻辑
数理逻辑 用数学的方法是指引进一套符号体 系，将所研究的问题符号化，并给出理论和规 则来研究概念、判断和推理。即对符号进行判 断和推理。
例：
1. 他做了20或30道题。 （表示约数）
§1.1.2.命题联结词
不可兼或中当P和Q 均为“T”时，则P异 或Q为“F”。
异或用“”表示
P
Q
F
F
F
T
T
F
T
T
P
Q
F
F
F
T
T
F
T
T
P∨Q F T T T
PQ F T T F
§1.1.2.命题联结词
4. 蕴含词
符号: “”
设Ｐ、Ｑ为二个命题,Ｐ→Ｑ为新的命题,称作如果Ｐ则Ｑ,Ｐ蕴
这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物”，为假命题了。
§1.1.2.命题联结词
2. 合取词
符号: “Λ”
设Ｐ,Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取，读作: ”Ｐ与Ｑ”、”
Ｐ与Ｑ的合取”、”Ｐ并且Ｑ”等。
定义 由真值表给出，如左图。
P Q PΛ QΛP
Q
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否
§ 1.1.1 命题
命题符号表示：常用大写２６个英文字母表示命题。用Ａ,Ｂ, Ｃ…Ｚ表示（命题变元）。命题中所有的”真”用Ｔ表示，命 题中所有的”假”用Ｆ表示 （命题常元）。
命题分类
原子命题（基本命题、本原命题）：一个命题，不能分解成为更 简单的命题。
例1 P: 我是一位学生。 分子命题（复合命题）：若干个原子命题使用适当的联结词 所组成的新命题
F/0
F/0
F/0
F/0
则，其真值为Ｆ。
F/0 T/1 F/0 F/0
注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
T/1 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 王华的成绩很好。 Q: 王华的品德很好。 则ＰΛＱ: 王华的成绩很好并且品德很好。
例1：命题的例子 (1) 今天下雨。 (3) 别的星球上有生物。 (5) 上海是一个村庄。
(2) 明天下雨。 (4) 十是整数。
§ 1.1.1 命题
例2 不是命题的例子 命令句，感叹句，疑问句均不是命题。 （1）把门关上！ （2）你到哪里去？ 悖论 语句既为真，同时又包含假的不是命题， （1）我正在说谎。 其他一些情况 （1）x + y > 4 （2）1 +101 = 110
例2 P: 我们去种树。 Q: 房间里有一台电视机。 则ＰΛＱ: 我们去种树与房间里有一台电视机。
例3 P: 今天下大雨 Q: 3+3=6 则ＰΛＱ: 今天下大雨和3+3=6。
例4 P: 王大和王二是亲兄弟。 Q: 他打开箱子然后（而后）拿出一件衣服来。
§1.1.2.命题联结词
3. 析取词
符号: ”∨”
例2 Q: 我是一位学生和他是一位工人。
§1.1.2 命题联结词
在命题演算中也有类似的日常生活中的联结词称做： “命题联结词”，命题联结词就是命题演算中的运算符。
下面先介绍五个常用的命题联结词：
➢ （否定词） ➢ ∧（合取词）, ∨（析取词）, （蕴含词）, （等值 词）
另外还有一些如 ：
➢ （与非词）, （或非）等。
§1.1.2 命题联结词
1. 否定词
符号: “¬”
设命题为Ｐ，则在Ｐ的前面加否定词¬ ，变成¬Ｐ， ¬Ｐ读做
“Ｐ的否定”或“非Ｐ”。
P ¬P
定义：由真值表定义，如左图。
例1 Ｐ：北京是一座城市。
T/1 F/0
¬Ｐ：北京不是一座城市。 例2 Ｑ：每一种生物均是动物。F
F/0 T/1
¬Ｑ：有一些生物不是动物。T
现代数理逻辑分为四大分支：证明论、模型论、 递归论和公理集合论。我们这里介绍的是属于 四大分支的共同基础 — (命题逻辑和谓词逻辑)。
第一章 数理逻辑
§1.1命题 §1.2.重言式 §1.3.范 式
§1.1 命题
• 命题逻辑是数理逻辑的基础，通过对它的学习， 我们将了解如何用数学的手段进行逻辑研究。
T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 PQ: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含, 即前提和结果有某种形式和内容上 的联系。
例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。
➢ 析取词∨为可兼或 即:P和Q均为T时(P∨Q)为T
例：1. 灯泡有故障或开关有故障。
2. 今晚写字或看书。
3. 今天下雨或打雷。
➢ 异或不可兼或 即 P和Q均为T时(P Q)为F
例： 1. 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。
2. 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
此处的“或”不完全等同于汉语中意思
• 基本内容
– 从实际生活中的逻辑关系入手，通过引入符号体系 （命题符号、联结符号）将所研究的问题转换成为符 号串（命题公式）。
– 从数学角度：运算、求值、相互间关系，给出一些基 本性质。
– 符号表达式的规范化。 – 推理理论：从前提条件，根据基本的规则，推出逻辑
结论的方法。
§1.1.1 命题
命题 具有确定真值，或真或假而不能两者都是 的陈述句叫命题。
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ∨Ｑ称作Ｐ与Ｑ的析取，读作:Ｐ
或Ｑ。
定义 由真值表给出，如左图。
P Q P∨ Q
F/0 F/0 F/0
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时， （Ｐ∨Ｑ）为“Ｆ”。否则，其 真值为“Ｔ”。
F/0 T/1 T/1 T/1 F/0 T/1 T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
区分“可兼或”与“不可兼或” ，异或，排斥或）
含Ｑ,Ｐ仅当Ｑ,Ｑ当且Ｐ,Ｐ是Ｑ的充分条件。
定义 由真值表给出，如左图。
P
Q P→Q
Ｐ:称为前件、条件、前提、假设。 F/0
Baidu NhomakorabeaF/0
T/1
Ｑ:称为后件、结论。
F/0 T/1 T/1
当Ｐ为Ｔ,Ｑ为Ｆ时，则Ｐ→Ｑ为
Ｆ,否则Ｐ→Ｑ均为Ｔ。
T/1 F/0 F/0
Q→P逆命题, ¬P→¬Q 反命题, ¬P→¬Q 逆反命题
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
数理逻辑
是用数学的方法研究概念、判断和推理的科学， 显然数理逻辑是属于形式逻辑的范畴。
第一篇 数理逻辑
数理逻辑 用数学的方法是指引进一套符号体 系，将所研究的问题符号化，并给出理论和规 则来研究概念、判断和推理。即对符号进行判 断和推理。
例：
1. 他做了20或30道题。 （表示约数）
§1.1.2.命题联结词
不可兼或中当P和Q 均为“T”时，则P异 或Q为“F”。
异或用“”表示
P
Q
F
F
F
T
T
F
T
T
P
Q
F
F
F
T
T
F
T
T
P∨Q F T T T
PQ F T T F
§1.1.2.命题联结词
4. 蕴含词
符号: “”
设Ｐ、Ｑ为二个命题,Ｐ→Ｑ为新的命题,称作如果Ｐ则Ｑ,Ｐ蕴
这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物”，为假命题了。
§1.1.2.命题联结词
2. 合取词
符号: “Λ”
设Ｐ,Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取，读作: ”Ｐ与Ｑ”、”
Ｐ与Ｑ的合取”、”Ｐ并且Ｑ”等。
定义 由真值表给出，如左图。
P Q PΛ QΛP
Q
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否
§ 1.1.1 命题
命题符号表示：常用大写２６个英文字母表示命题。用Ａ,Ｂ, Ｃ…Ｚ表示（命题变元）。命题中所有的”真”用Ｔ表示，命 题中所有的”假”用Ｆ表示 （命题常元）。
命题分类
原子命题（基本命题、本原命题）：一个命题，不能分解成为更 简单的命题。
例1 P: 我是一位学生。 分子命题（复合命题）：若干个原子命题使用适当的联结词 所组成的新命题
F/0
F/0
F/0
F/0
则，其真值为Ｆ。
F/0 T/1 F/0 F/0
注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
T/1 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1 T/1
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 王华的成绩很好。 Q: 王华的品德很好。 则ＰΛＱ: 王华的成绩很好并且品德很好。