数理逻辑练习题及答案

一阶逻辑基本概念

1．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：

（1）凡有理数都能被2整除。

（2）有的有理数能被2整除。

其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。

2．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。

（2）存在x，使得x+5=9。

其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。

3．在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）没有不能表示成分数的有理数。

（2）在北京卖菜的人不全是外地人。

（3）乌鸦都是黑色的。

（4）有的人天天锻炼身体。

4．在一阶逻辑中将下列命题符号化：

（1）火车都比轮船快。

（2）有的火车比有的汽车快。

（3）不存在比所有火车都快的汽车。

（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。

5．给定解释I如下：

(a)个体域D I为实数集合R。

(b)D I中特定元素=0。

(c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈D I。

(d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x

说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：

（1）xy(G(x,y)→┐F(x,y))

（2）xy(F(f(x,y）,a)→G(x,y))

（3）xy(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))

（4）xy(G(f(x,y),a)→F(x,y))

6．给定解释I如下：

（a）个体域D=N（N为自然数）。

（b）D中特定元素=2。

（c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。

（d）D上谓词(x,y)：x=y。

说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：

（1）xF(g(x,a),x)

（2）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))

（3）xyz(F(f(x,y),z)

（4）xF(f(x,x),g(x,x))

7．证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：

（1）x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))

（2）xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))

答案

1．

（1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。

(b)中，x(G(x)∧F(x))，其中，G(x)：x为有理数，F(x)同(a)中，真值为0。

（2）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为1。

(b)中，x(G(x)∧F(x))，其中，F(x)同(a)中，G(x)：x为有理数，真值为1。

2．

（1）(a)中，x(x2-2=(x+)(x-))，真值为1。

(b)中，x(F(x)→(x2-2=(x+)(x-))))，其中，F(x)：x为实数，真值为1。

（2）(a)中，x(x+5=9)，真值为1。

(b)中，x(F(x)∧(x+5=9))，其中，F(x)：x为实数，真值为1。

3. 没指定个体域，因而使用全总个体域。

(1) ┐x(F(x)∧┐G(x))或x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x为有理数，G(x)：x能表示成分数。

(2) ┐x(F(x)→G(x))或x(F(x)∧┐G(x))，其中，F(x)：x在北京卖菜，G(x)：x 是外地人。

(3) x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x是乌鸦，G(x)：x是黑色的。

(4) x(F(x)∧G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x天天锻炼身体。

4. 因为没指明个体域，因而使用全总个体域。

(1) xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))，其中，F(x)：x是火车，G(y)：y是轮船，H(x,y):x 比y快。

(2) xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y))，其中，F(x): x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y):x 比y快。

(3) ┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y)))

或x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,y)))，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y快。

(4) ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))

或xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y) )，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x 比y慢。

5.

(1) xy(x

(2) xy((x-y=0)→x

(3) xy((x

(4) xy((x-y<0)→(x=y))，真值为0。

6.

(1) x(x·2=x)，真值为0。

(2) xy((x+2=y)→(y+2=x))，真值为0。

(3) xyz(x+y=z),真值为1。

(4) x(x+x=x·x),真值为1。

7.

(1) 取个体域为全总个体域。

解释I1：F(x)：x为有理数，G(y)：y为整数，H(x,y)：x

在I1下：x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))为真命题，所以该公式不是矛盾式。

解释I2：F(x),G(y)同I1，H(x,y)：y整除x。

在I2下：x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))为假命题，所以该公式不是永真式。

(2) 请读者给出不同解释，使其分别为成真和成假的命题即可。