卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解
卡尔曼滤波简述
Kalman FilterXianling WangJuly23,2016v1.0目录一、简介2二、线性卡尔曼滤波方法22.1滤波方法描述 (2)2.2滤波过程的其他细节 (3)三、后记4一、简介卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的核心功能是对观测值进行优化，尽可能降低误差的影响，使其更加贴近系统的实际值。
二、线性卡尔曼滤波方法2.1滤波方法描述假设系统在t时刻的状态由x t描述，x t包含了若干个变量，因此以向量的形式出现。
同时假设系统状态相对于时间变化的机理是可知的，由式（1）描述，即x t+1=F t x t+B t u t+w t(1)其中，F t为状态转移矩阵，描述t时刻状态对t+1时刻状态的影响程度；u t表示外界控制因素；B t为控制矩阵，描述外界控制因素对t+1时刻状态的影响程度；w t表示不可控的过程噪声，假设其协方差矩阵为Q t。
式（1）所描述的关系是线性的，因此对其误差消除的滤波方法称为线性卡尔曼滤波方法。
假设对系统状态的观测是间接的，而且存在一定误差，即z t=H t x t+v t(2)其中，z t为所用观测工具可以观测到的直接变量，不一定等同于系统状态中的变量，但却是和系统状态中的变量存在一定线性关系的变量；H t描述直接观测变量和系统状态变量之间的线性关系；v t表示观测误差，假设其协方差矩阵为R t。
虽然t时刻的观测值都是带有误差的，但由于系统状态相对于时间变化的机理是可知的，因此结合t−1时刻的某些信息可以削减该误差，提升t时刻观测值的精确度，得到t时刻的最优估计值，该估计值相对实际值的误差协方差为P t。
为了获得t时刻系统状态的最优估计值，线性卡尔曼滤波器需要以下3个方面的信息：1.t−1时刻的最优估计值ˆx t−1；2.t−1时刻最优估计值相对于实际值的误差协方差P t−1；3.t时刻的观测值z t；在获知这些信息的条件下，t时刻系统状态的最优估计值可以依据以下5个公式逐步获得：1.由t−1时刻的最优估计值ˆx t−1，结合式（1）系统状态相对时间变化的机理，预测t时刻的系统状态ˆx t|t−1，即ˆx t|t−1=F t−1ˆx t−1+B t−1u t−1(3)2.由t−1时刻最优估计值相对实际值的误差协方差P t−1，结合式（1）获得t时刻预测状态相对于实际状态的误差协方差P t|t−1，即P t|t−1=F t−1P t−1F Tt−1+Q t−1(4)该式可以根据定义展开P t|t−1，并且结合最优估计误差x t−1−ˆx t−1与过程噪声w t之间的非相关性获得。
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用来估计系统状态的算法。
它是一种有效的滤波算法，被用于许多模式拟合场合，如智能位置跟踪或自动控制系统。
卡尔曼滤波的核心思想是，通过先验概率分布来估计状态，而这种先验概率分布是基于观察到的测量值，以及我们对变化过程的知识，形成的。
也就是说，卡尔曼滤波给出了一种融合当前观测值和之前观测值的知识技术，用之来估计状态变量，而不仅仅是根据当前观测值来估计。
它的工作原理是，从先前状态估计，然后反馈新观测的量，根据测量值更新估计状态。
这样就可以得到一个更准确的估计。
简而言之，卡尔曼滤波使得我们可以使用当前测量值和先前观测值的组合，以估计一个可能的状态，而不仅仅是根据当前测量值来估计。
这就是卡尔曼滤波的优势所在。
卡尔曼滤波器的原理与应用
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
卡尔曼滤波器介绍
卡尔曼滤波器介绍摘要在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。
它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。
本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。
这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。
1、离散的kalman滤波器在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。
在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。
估值过程Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈R n的一般性问题，定义线性随机差分方程其中，测量值Z∈R m，定义为随机变量W K和V K各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布在实际中，系统噪声协方差矩阵Q和测量噪声协方差矩阵R可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。
在差分方程（1.1）中，n×n阶矩阵A与前一时刻（K－1）和当前时刻K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。
注意的是，在实际中，A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量，n×l阶矩阵R与非强制性输入U∈R l和状态x有关，在测量公式（1.2）中，m×n阶矩阵H 与状态及测量值Z K有关，在实际中，H可能随各自过程或测量时刻而改变，这里假定它们是常数。
卡尔曼滤波 参数
卡尔曼滤波参数一、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程，通过观测数据对系统状态进行估计的最优滤波方法。
它可以在不知道系统初始状态和测量噪声精度的情况下，通过迭代递推计算出系统状态最优估计值和误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波广泛应用于航空、导航、控制、信号处理等领域。
二、卡尔曼滤波参数1. 系统模型参数：包括状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、观测矩阵C和过程噪声Q等。
2. 初始状态估计值：指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始状态的估计值。
3. 初始误差协方差矩阵：指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始误差协方差矩阵的估计值。
4. 观测噪声精度：指观测噪声服从高斯分布时的标准差。
三、系统模型参数详解1. 状态转移矩阵A：描述了系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，状态转移矩阵可以描述当前位置、速度和加速度之间的关系。
2. 控制输入矩阵B：描述了控制量与系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，控制输入矩阵可以描述飞行员对油门、方向舵和升降舵的控制与速度和加速度之间的关系。
3. 观测矩阵C：描述了观测量与系统状态之间的关系。
例如，对于一个飞行器，观测矩阵可以描述雷达或GPS测量到的位置、速度和加速度与系统状态之间的关系。
4. 过程噪声Q：描述了系统状态转移时由于外部因素而引起的噪声。
例如，在飞行过程中由于气流等因素会引起位置、速度和加速度发生变化。
四、初始状态估计值详解初始状态估计值是指在没有任何观测数据的情况下，对系统初始状态进行估计得到的值。
这个值可以基于经验或者先验知识来确定。
例如，在飞行器起飞前可以通过预测模型来估计出初始位置、速度和加速度等参数。
五、初始误差协方差矩阵详解初始误差协方差矩阵是指在没有任何观测数据的情况下，对系统状态估计误差的协方差矩阵进行估计得到的值。
这个值可以基于经验或者先验知识来确定。
例如，在飞行器起飞前可以通过预测模型来估计出位置、速度和加速度等参数的误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波的原理说明(通俗易懂)
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卡尔曼滤波的原理说明在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名RudolfemilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《AnewApproachtoLinearFilteringandpredictionproblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（IntroductiontotheKalmanFilter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于控制系统、信号处理、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据的信息来对系统状态进行估计，同时最小化估计误差的方差。
在实际应用中，卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并具有良好的鲁棒性和适应性。
卡尔曼滤波的核心思想可以简单概括为“测量并补偿”，即先通过传感器测量得到当前的状态信息，然后利用系统动态模型来预测下一时刻的状态，再将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式得到最终的估计值。
要实现这个过程，需要建立卡尔曼滤波的基本模型，包括状态转移方程、观测方程、协方差矩阵和初始状态。
卡尔曼滤波的核心步骤包括预测阶段和更新阶段。
预测阶段主要利用系统动态模型对状态进行预测，以及计算预测误差的方差。
预测阶段包括以下几个步骤：1. 状态预测：根据系统动态模型和当前状态估计值，预测下一时刻的状态估计值。
2. 协方差预测：根据系统动态模型和当前状态协方差矩阵，预测下一时刻的协方差矩阵。
3. 估计误差的量化：计算预测值与真实值之间的估计误差，以及预测误差的方差。
更新阶段主要利用测量数据对状态进行修正，以及更新协方差矩阵。
更新阶段包括以下几个步骤：1. 估计增益：根据协方差矩阵和观测噪声方差，计算估计值与观测值之间的加权比例。
2. 状态修正：利用估计增益和测量值对状态进行修正。
3. 协方差修正：利用估计增益对协方差矩阵进行修正。
卡尔曼滤波的应用非常广泛，包括导航系统、车辆控制、信号处理、自动驾驶、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并且具有良好的鲁棒性和适应性，对噪声和误差具有较好的鲁棒性。
此外，卡尔曼滤波具有良好的数学基础和理论支撑，能够直接应用于许多复杂的系统中。
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10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。
如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。
人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。
为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。
最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。
当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。
这项研究是用于防空火力控制系统的。
维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。
这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。
卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。
在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。
对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。
这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。
维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。
1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。
1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。
他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。
空间时代的到来推动了这种滤波理论的发展。
维纳滤波与卡尔曼滤波所研究的都是基于最小均方误差准则的估计问题。
维纳滤波理论的不足之处是明显的。
在运用的过程中，它必须把用到的全部数据存储起来，而且每一时刻都要通过对这些数据的运算才能得到所需要的各种量的估值。
按照这种滤波方法设置的专用计算机的存储量与计算量必然很大，很难进行实时处理。
虽经许多科技工作者的努力，在解决非平稳过程的滤波问题时，给出能用的方法为数甚少。
到五十年代中期，随着空间技术的发展，这种方法越来越不能满足实际应用的需要，面临了新的挑战。
尽管如此，维纳滤波理论在滤波理论中的开拓工作是不容置疑的，维纳在方法论上的创见，仍然影响着后人。
五十年代中期，空间技术飞速发展，要求对卫星轨道进行精确的测量。
为此，人们将滤波问题以微分方程表示，提出了一系列适应空间技术应用的精练算法。
1960年和1961年，卡尔曼（R.E.Kalman）和布西(R.S.Bucy)提出了递推滤波算法，成功地将状态变量法引入到滤波理论中来，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散时间更新连系起来，适于计算机直接进行运算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。
这种方法得出的是表征状态估计值及其均方误差的微分方程，给出的是递推算法。
这就是著名的卡尔曼理论，或称卡尔曼-布西滤波。
从维纳-霍夫方程来看，维纳滤波算法是十分低效的。
这种算法要求设置大量存储器保存过去的测量数据，新的一个数据来到后，要进行刷新，重新计算自相关和互相关序列。
再者，求解这个方程需要耗费大量机时对高阶矩阵求逆。
因此，维纳滤波算法难以用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航天等领域。
在维纳滤波中，必须首先求解维纳-霍夫方程，得到有限长度的冲激响应序列，在这个意义上，维纳滤波器属于FIR滤波器的范畴。
卡尔曼滤波不要求保存过去的测量数据，当新的数据到来时，根据新的数据和前一时刻的诸量的估值，借助于系统本身的状态转移方程，按照一套递推公式，即可算出新的诸量的估值。
这一点说明卡尔曼滤波器属于IIR滤波器范畴。
这就是说，与维纳滤波器不同，卡尔曼滤波器能够利用先前的运算结果，再从当前数据提供的最新信息，即可得到当前的估值。
卡尔曼递推算法大大减少了滤波装置的存储量和计算量，并且突破了平稳随机过程的限制，使卡尔曼滤波器适用于对时变信号的实时处理。
因此，卡尔曼滤波器在应用上有更加广泛的可能性和更加美好的前景。
请读者回顾第2章的两个例子，即例2.5.1 和例2.6.5。
这两个例子有助于理解维纳滤波和卡尔曼滤波的主要区别。
例2.5.1用FIR滤波器实现5点滤波。
这有点像维纳滤波。
例2.5.2则用IIR滤波器实现同样的功能，而且滤波效果还稍好。
在这个例子中，利用前一个时刻的滤波输出，再添上当前的输入（新息），即可递归地求出当前的滤波输出。
这有点像卡尔曼滤波。
为了导出维纳滤波器和卡尔曼滤波器，以下各小节先介绍两种估计器：非递归估计器和递归估计器。
然后依次介绍标量维纳滤波、向量维纳滤波、标量卡尔曼滤波和向量卡尔曼滤波。
重点是对标量卡尔曼滤波算法的推导。
整个过程不涉及繁琐的数学推导。
10.7 非递归估计器y与设x表示慢变化（相对于叠加于其上的噪声）的时变信号，信号的测量值)(ix成线性关系，并加上均值为零而方差为2σ的白色噪声成分)(i v。
这个噪声成分源v自测量或其他原因引起的随机误差。
这样就有=i y+)()(i vx（10.7.1）这里把信号看作是均值为x i y E =)]([，方差为2v σ的随机变量。
人们能够测到的信号是)(i y 。
由于噪声的存在，人们只能够估计x 值，而永远无法直接测到有用信号x 。
)(i y 的平均值)]([ˆi y E x=是一个最好的估值。
如果用如下的N 阶FIR 滤波器对信号)(i y 进行滤波，∑==Nn i y i h Nx1)()(1ˆ（10.7.2A ） 式中，)(,),2(),1(N y y y 是N 个数据。
则滤波值xˆ可以被作为x 的估计值。
由于)(i v 的均值为零，故随着平均次数N的增大，xˆ中的随机噪声成分趋于零。
若1)()2()1(===N h h h ，则x i v Nx N i y NxN i N i ≈+==∑∑-=-=])([1)(1ˆ110 （10.7.3）所以，FIR 滤波器可以作为一个估计器（estimator ）。
随着平均次数N 的增大，估计值无限地接近真值。
这样的估计称为无偏估计(unbiased estimation)。
估计器的均方误差为2110}])([1{x i v x N E p N i N i e -+=∑∑-=-=N i v NE v N i /])(1[2210σ==∑-=（10.7.4）由此可见，经滤波后，估计量的方差是原信号方差除以N 。
增大N 值可以提高估计器质量。
但N 值不能过大，因为估计器本质上是一个低通滤波器，N 值增大时，有用信号的细节（高频分量）也将被滤除了。
上述估计器只是简单地进行求和-平均运算，所依据的准则是使平均误差最小，而不是均方误差最小。
10.3节已导出基于LME 准则的最佳系统方程，即W-H 方程（10.3.6）。
基于这个方程，曾导出10.5节的维纳滤波器。
以这个滤波器作为估计器，就得到均方误差最小的非递归估计器。
在目前的场合，输入信号已按式（10.7.1）定义为)()(i v x i y +=，即变量y 代表输入信号，而x 则代表期望信号。
所以，在对非递归估计器进行分析前，应将式（10.3.6）修改为下式：∑-===-10110 ),()()(N k xy yy ,N-,,l l r k l r k h（10.7.5A ）相应的矩阵方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---- )1( )1( )0( )1( )1( )0( )0( )2( )1( )2( )0( )1( )1( )1( )0( N r r r N h h h r N r N r N r r r N r r r xy xy xy yy yy yy yy yy yy yy yy yy （10.7.6）这里，假定信号是平稳过程，故自相关矩阵是对称的。
应该记住，被估计量是式（10.7.1A ）中的x ，而估计量xˆ则由式(10.7.2)算出。
估计误差为∑=-=-=Ni i y i h x xx e 1)()(ˆ （10.7.7） 方差为][2e E p e =（10.7.8）在按LME 准则导出W-H 方程时，曾令0)(])()([2)(1=--=∂∂∑=j y i y i h x E j h p Ni eMj ,,2,1 = (10.7.9)由此得N j j ey E ,,2,1 0)]([ ==(10.7.10) 式中，xx eˆ-=是估计误差。
在估计理论中，把 0)]([=j ey E 称为正交原理。
它的意思是：误差xx e ˆ-=与被测采样值)(j y 的乘积在期望（即平均值）意义上等于零。
根据这个式子，由)(]})()([{][12ex E i y i h x e E e E p Ni e =-==∑=得到对应于上述最优解的最小均方误差。
因此有 ])([)()(12∑=-=Ni e i xy E i h x E p或 ∑=-=Ni xy e i r i h x E p 12)()()((10.7.11)其中，)(i r xy 是互相关函数 )]([)(i xy E i r xy =(10.7.12A)这样，用方程组(10.7.5A)、估计方程(10.7.2A) 以及由式(10.7.11)给出的最小均方误差就得到了估计问题的完整解。
这三个式子的矩阵形式为xy yy r h r = (10.7.5B) 式中，yy r 是)(M M⨯自相关矩阵，h 和xy r 是)1(⨯M 列向量。
方程(10.7.5B)的形式解为xyyy r r h 1-=(10.7.13) 估计方程可写为y h xT =ˆ(10.7.2B)这里yy r 和y 是)1(⨯M列向量，T h 是行向量。
把式(10.7.13)代入式(10.7.2B)，由于矩阵yy r 是对称的，故x 的估计为y r r x 1yy T xy -=ˆ (10.7.14)用同样的方法可以得到最小均方误差为=e p )(2x E xy 1yy T xyr r r -- (10.7.15) 上面分析了基于维纳滤波器的标量估计器。
应该指出，在推导中还没有使用关系式(10.7.1)，即)()(k v x k y +=。
因此所得结论更具有一般性。