专题13 新定义

人大初中数学教研组2011年9月专题十三 新定义1.（2007丰台一模，12，4分） 对于整数a 、b 、c 、d 规定符号bd ac c b da-=，若34b d 11<<，则b+d=__________。

2.（2007宣武二模，12,4分）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“*”如下： 当b a ≥时，;b b *a 2=当b a <时，,a b *a =则当2x =时，)x *3(x )x *1(-⋅的值为__________。

（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号） 3.（2008朝阳二模，12,4分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如21，31，41，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=，1214131+=，2015141+=，…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数ba n 111+=(n 是不小于2的整数，且a ＜b )，那么b －a ＝________．(用含n 的式子表示)4. （2008东城二模，12,4分）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *(a *x )＝－41有两个相等的实数根，则满足条件的实数a 的值是________． 5.（2008石景山二模，12,4分）定义：平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________. 6.（2010石景山二模，12,4分）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如{25}=3，{5}=6，{－1.3}=－1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[27]=3，[4]=4，[－1.5]= －2，如果整数．．x 满足关系式:{}[]1232=+x x ，则=x __________.7.（2011海淀二模，12,4分）某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数字0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。

现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01。

我们用0A 表示没有经过加密的数字串。

这样对0A 进行一次加密就得到一个新的数字串1A ，对1A 再进行一次加密又得到一个新的数学串2A ，依此类推，…，例如：0A ：10，则1A ：1001。

若已知2A ：100101101001，则0A ：______，若数字串0A 共有4个数字，则数字串2A 中相邻两个数字相等的数对至少．．有______对。

8. （2007崇文二模，11，4分）用“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a .b a b 2-=例如，4,97472=-=那么53＝_____________，－1（－12）＝___________。

9．（2007西城二模，11,4分）对于符号*作如下定义：对所有的正数a 和b ，a *b ＝ba ab+．那么10*2＝________．10. （2008崇文二模，10,4分）现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为实数，则3*(－1)的值等于________.11.(2008西城二模，21，4分)阅读下列材料：当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分时，这个矩形的面积为4cm 2或12cm 2．当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和4cm 两部分时，这个矩形的面积为5cm 2或20cm 2．根据以上情况，完成下面填空．(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和5cm 两部分时，这个矩形的面积为______cm 2或______cm 2．(2)当矩形一角的平分线分矩形一边为1cm 和n cm 两部分时，这个矩形的面积为______cm 2或______cm 2(n 为正整数)．12.（2007宣武一模，18，5分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码。

有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。

原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是)y x )(y x )(y x (22++-，若取9y ,9x ==时，则各个因式的值是：162)y x (,18)y x (,0)y x (22=+=+=-，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。

对于多项式23xy x 4-，取x=10，y=10时，写出一个用上述方法产生的密码，并说明理由。

13.（2007东城二模，23,6分）阅读理解下面例题，并回答问题。

例题：解一元二次不等式。

分析：求解一元二次不等式时，应把它转化成一元一次不等式组求解。

解：把二次三项式分解因式，得：，∴。

由“两实数相乘，同号得正，异号得负”得①或②由①，得不等式组无解；由②，得。

∴的解集是。

∴原不等式的解集是。

（1）仿照上面的解法解不等式。

（2）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车行驶在一个限速为40千米/时的弯道上，突然发现异常，马上刹车，但是还是与前面的车发生了追尾，事故后现场测得此车的刹车距离刚刚超过10米，我们知道此款车型的刹车距离S （米）与车速x （千米/时）满足函数关系：，且刹车距离S （米）与车速x （千米/时）的对应值表如下：问该车是否超速行驶？14. （2008石景山二模，25,8分）我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角形板DEF 的顶点D 与三角形板ABC 的AC 边中点O 重合，把三角形板ABC 固定不动，让三角形板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点M ，射线DF 与线段BC 相交于点N ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△ADM ∽△CND ．此 时，AM ·CN= ．（2）将三角形板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<< ，问AM ·CN 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用）P图2图3图1AB CMND(O)EFABCMND(O)EFFED(O)MCB(N)A15. （2007丰台一模，25，8分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示。

（1）如图所示，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°求证：)c b (b a 2+=。

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。

（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A=2∠B ，关系式)c b (b a 2+=是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由。

（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。

16．（2007西城一模，25，8分）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B 的平分线BE 与BC 边上的中线AD 互相垂直，并且BE ＝AD ＝4， (1)猜想AG 与GD 的数量关系，并说明理由； (2)求△ABC 的三边长．17. （2007东城二模，17,5分）对于任何实数，我们规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时的值。

18.（2007西城二模，25,8分）我们给出如下定义：如图1，平面内两直线l 1、l 2相交于点O ，对于平面内的任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1和l 2的距离(p ≥0，q ≥0)，称有序非负实数对[p ，q ]是点M 的距离坐标．图1根据上述定义请解答下列问题：如图2，平面直角坐标系xoy 中，直线l 1的解析式为y ＝x ，直线l 2的解析式为y ＝21x ，M 是平面直角坐标系内的点．．．．．．．．．．．． (1)若p ＝q ＝0，求距离坐标为[0，0]时，点M 的坐标；(2)若q ＝0，且p ＋q ＝m (m ＞0)，利用图2，在第一象限内，求距离坐标为[p ，q ]时，点M 的坐标；(3)若p ＝1，q ＝21，则坐标平面内距离坐标为[p ，q ]的时候，点M 可以有几个位置?并用三角尺在图3中画出符合条件的点M (简要说明画法)．图2 图319.（2008石景山二模，24,8分）研究发现，二次函数2ax y =（0≠a ）图象上任何一点到定点（0，a 41）和到定直线a y 41-=的距离相等.我们把定点（0，a41）叫做抛物线2ax y =的焦点，定直线a y 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.（1）写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长； （3）M 为抛物线241x y =上的一个动点，F 为抛物线241x y =的焦点，P （1，3） 为定点，求MP+MF 的最小值.20.(2009东城二模，24，7分)定义{a ，b ，c }为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的“特征数”．如：函数y ＝x 2－2x ＋3的“特征数”是{1，－2，3}，函数y ＝2x ＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y ＝－x 的“特征数”是{0，－1，0}．(1)将“特征数”是⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,33,0的函数图象向下平移2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解析式是________．(2)在(1)中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线x ＝3分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长．(3)若(2)中的四边形与“特征数”是{1，}21,22+-b b 的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．第24题图21.（2009宣武二模，16,5分） 对于任何实数，我们规定符号d c b a 的意义是dc ba ＝ad －bc ．按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，1231--+x x xx 的值．22.（2009宣武二模，22,5分）定义[p ，q ]为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．(1)若特征数是[2，k －2]的一次函数为正比例函数，求k 的值；(2)设点A 、B 分别为抛物线y ＝(x ＋m )(x －2)与x 轴、y 轴的交点，其中m ＞0，且△OAB 的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．23.（2010昌平二模，22,5分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称： ， ； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）(0,0)O ，(3,0),(0,4)A B ，请你画出以格点为顶点，,OA OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ；（3）如图2，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60 ，得到DBE ∆，连结,AD DC ，30DCB ∠= ．写出线段,,DC AC BC 的数量关系为 ．60°E图2CBAD图1B24.（2010平谷二模，22,5分）如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的ABC △称为格点ABC △．（1）如果A D ，两点的坐标分别是(11)，和 (01)-，，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B ，点C 的坐标；（2））把“格点ABC △图案”向右平移10个 单位长度，再向上平移5个单位长度，以点(114)P ，为旋转中心旋转180 ，请你在方格纸中画出变换后的图案．25.（2010顺义二模，24,7分）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在ABC △中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形； （3）如图2，若点D 在ABC △的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．图2图1H GF DE CBAGFE DCBAD BD CB A26.（2011房山二模，22,5分）已知菱形纸片ABCD 的边长为8，∠A=60°，E 为AB 边上的点，过点E 作EF ∥BD 交AD 于点F ．将菱形先沿EF 按图1所示方式折叠，点A 落在点A '处，过点A '作GH ∥BD 分别交线段BC 、DC 于点G 、H,再将菱形沿GH 按图1所示方式折叠，点C 落在点C '处， C G '与C 'H 分别交A E '与A F '于点M 、N ．若点C '在△A 'EF 的内部或边上，此时我们称四边形A MC N ''（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．图1 图2 备用图（1）若把菱形纸片ABCD 放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A 、B 、C 、D 、E 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A MC N ''的面积；（2）实验探究：设AE 的长为m ，若重叠四边形A MC N ''存在．试用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 解：（1）重叠四边形A MC N ''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积为______________；m 的取值范围为_____________．27.（2011西城二模，23,7分）阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c的代数式表示）；（3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．参考答案1. 3±2. －23. n 2－14. 05. 46. 22，2；7.358. 1 9. (1)6 30 (2)n ＋1 n (n ＋1) 10.解：（1）证明：∵∠A=2∠B ，且∠A=60°∴∠B=30°，∠C=90°1分在Rt △ABC 中，c=2b ，222b c a -=)c b (b )b b 2)(c b ()b c )(b c (a 2+=-+=-+=∴2分（2）解：对于任意倍角三角形ABC ，其中∠A=2∠B ，关系式)c b (b a 2+=仍然成立证明：延长BA 至点D ，使AD=AC=b ，联结CD 则△ACD 为等腰三角形3分∵∠BAC 为△ACD 的一个外角∴∠BAC=2∠D=2∠C∵∠BAC=2∠B ，∴∠B=∠D=∠C ∴△ACD ∽△CBD4分BD CD CD AD =∴，即c b aa b +=)c b (b a 2+=∴5分（3）解：若△ABC 是一个倍角三角形，由∠A=2∠B ，有)c b (b a 2+=，且a>b 当a>c>b 时，设a=n+1，c=n ，1n b -=（n 为大于1的正整数）代入)c b (b a 2+= 得)1n 2)(1n ()1n (2--=+解得n=0（舍去），n=5 5c ,4b ,6a ===∴6分可以证明这个三角形中，∠A=2∠B当c>a>b 和a>b>c 时，均不存在三条边的长恰为三个连续的正整数的倍角三角形。