专题13 新定义

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中考数学复习考点题型专题讲解13 数轴动点问题中的新定义问题

中考数学复习考点题型专题讲解专题13 数轴动点问题中的新定义问题例1．（2023·山东沂南期末）有如下定义数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A 表示数﹣4，点B 表示数8，M 为数轴一个动点．若点M 在线段AB 上，且点M 是点A 、点B 的“关键点”，则此时点M 表示的数是________．【答案】5或﹣1.【解析】解设点M 表示的数是x ， ∴MA ＝x ﹣（﹣4）＝x +4；BM ＝8﹣x ，∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”， ∴MA ＝3BM 或BM ＝3MA ，∴x +4＝3（8﹣x ）或8﹣x ＝3（x +4），解得 x ＝5或x ＝﹣1．故答案为 5或﹣1．例2．（2023·北京期中）在同一直线上的三点A 、B 、C ，若满足点C 到另两个点A 、B 的距离之比是2，则称点C 是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C 在线段AB 上时，若2CACB=，则称点C 是[A ，B ]的亮点；若点C 在线段AB 延长线上，2CBCA=，则称点C 是[,]B A 的暗点，例如，如图1，在数轴上A B C D 、、、分别表示数，-1，2，1，0，则的点C 是[,]A B 的亮点，又是[,]A D 的暗点；点D 是[,]B A 的亮点，又是[,]B C 的暗点．（1）如图2，M 、N 为数轴上的两点，点M 表示的数为－2，点N 表示的数为4，则[,]M N 的亮点表示的数是，[,]N M 的暗点表示的数是；（2）如图3，数轴上的点A 所表示的数为点所表示的数为－20，点B 表示的数为40，一只电子蚂蚁P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①求当t 为何值时，P 是[,]B A 的暗点；②求当t 为何值时，P 、A 和B 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．【答案】（1）2，-8；（2）①t =60；②当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45.【解析】解（1）根据题意，[,]M N 的亮点表示的数在线段MN 上，设亮点表示的数为x ，则x +2=2（4-x ），解得 x =2∴[,]M N 的亮点表示的数是 2；根据题意，[,]N M 的暗点表示的数在线段NM 延长线上，设暗点为y ，则4-y =2（-2-y ）解得，y =-8故答案为 2，-8；（2）①根据题意，点P 是[,]B A 的暗点，即点P 在线段BA 的延长线上 ∴PB =2t ，P A =2t -60 ∵PB =2P A ∴2t =2(2t -60)解得 t =60；②当点P 为[,]A B 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴PB =2t ，P A =60-2t ∴60-2t =2×2t ∴t =10当点P 为[,]B A 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴2（60-2t ）=2t ∴t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，即A 在线段PB 上同理，2t -60=2×60 ∴t =90当点A 为[,]B P 亮点时，即A 在线段BP 上 2（2t -60）=60 ∴t =45B 点不可能在线段AP 上，故B 不可能是[A ,P ]、[P ,A ]的亮点综上所述，当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45．例3．（2023·北京市期中）对于数轴上的两点P ，Q 给出如下定义 P ，Q 两点到原点О的距离之差的绝对值称为P ，Q 两点的“绝对距离”，记为POQ ．例如，P ，Q 两点表示的数如图（1）所示，则312POQ PO QO =−=−=．（1）A ，B 两点表示的数如图（2）所示． ①求A ，B 两点的“绝对距离”；②若点C 为数轴上一点（不与点О重合），且2AOB AOC =，求点C 表示的数．（2）点M ，N 为数轴上的两点（点M 在点N 左侧）且2MN =，1MON =，请直接写出点M 表示的数为________．【答案】（1）①2；②2或-2；（2）12−或32−【解析】解（1）①求A ，B 两点的绝对距离=2, ②∵AOB AO BO =−=2,又2AOB AOC =， ∴1AOC =，即1AO CO −= ∴OC =0或OC =2 ∵C 不与O 重合∴点C 表示的数为2或-2.（2）由题可知MON =1MO NO −= 得 MO -NO =1或MO -NO =-1 ∵点M 在点N 左侧∴①当M 、N 都在原点的左侧时，∵MN =2， ∴MO -ON =1≠2，该情况不存在，②当M 、N 都在原点的右侧时，同理知，此情况不存在，③当M 点在原点的左侧，N 点在原点的右侧时， ∵MN =2，即MO +NO =2又MO -NO =1或MO -NO =-1 ∴点M 表示的数为12−或32−．例4．（2023·江苏省锡山期中）如图，数轴上点A 表示的数为-3，点B 表示的数为4，阅读并解决相应问题．（1）问题发现若在数轴上存在一点P ，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n ，则称点P 为点A 、B 的“n 节点”．如图1，若点P 表示的数为1，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为4+3=7，则称点P 为点A 、B 的“7节点”．填空 ①若点P 表示的数为2−，则n 的值为；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为A 、B 的“7节点”，则这样的整点P 共有个．（2）类比探究如图2，若点P 为数轴上一点，且点P 到点A 的距离为1，请你求出点P 表示的数及n 的值．（3）拓展延伸若点P 在数轴上运动(不与点A 、B 重合)，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的34，且此时点P 为点A 、B 的“n 的节点”，请写出点P 表示的数及n 的值．【答案】（1）7①；8②；（2）点P 表示的数为 -4，n =9，或点P 表示的数为 -2，n =7；（3）P 表示的数为25，n =49，或P 表示的数为1，n =7.【解析】解（1）①∵点P 表示的数为-2，∴点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为1+6=7 ∴点P 为点A 、B 的“7节点” ∴n =7故答案为 7；②设出点P 表示的数为x∴点P 到点A 的距离为 ()33x x −−=+，点P 到点B 的距离为 4x −当x >4时，3+47x x +−>，不符合题意；当34x −≤≤时，34=347x x x x ++−++−=，符合题意当3x <−时，3+47x x +−>，不符合题意； ∵P 为整点∴P 表示的数为 -3或-2或-1或0或1或2或3或4 ∴整点P 共有8个故答案为 8；（2）∵点P 到点A 的距离为1，点A 表示的数为-3， ∴点P 表示的数为 -4或-2当点P 表示的数为 -4时，n =9；当点P 表示的数为 -2时，n =7；（3）设点P 表示的数为x由题意，得3344x x ×+=−解得 x =1或x =25 即P 表示的数为25或1 当P 表示的数为25时，n =49 当P 表示的数为1时，n =7．例5．（2023·北京八中期中）数轴上点A 表示10−，点B 表示10，点C 表示18，如图，将数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M 、N 表示的数分别是m 、n ，我们把m 、n 之差的绝对值叫做点M ，N 之间友好距离，即||MN m n =−，那么我们称点A 和点C 在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半点P 从点A 出发的同时，点Q 从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P 到达B 点时，点P 、Q 均停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当14t =秒时，P 、Q 两点在折线数轴上的友好距离为______个单位长度．（2）当P 、Q 两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t 的值．（3）是否存在某一时刻使得P 、O 两点在折线数轴上的友好距离与Q 、B 两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）11.5；（3）存在，t =2或6.5【解析】解（1）当t =14秒时，点P 和点O 在数轴上相距9个长度单位，点Q 和点O 在数轴上相距18-1×14=4个长度单位，P 、Q 友好距离9-4=5 故答案为 5；（2）由题意可得 10+（t -5）+t =28，解得 t =11.5．故运动的时间t的值为11.5；（3）①当点P在AO，点Q在BC上运动时，由题意得10-2t=8-t，解得t=2，②当点P、Q两点都在OB上运动时，t-5=t-8，无解，不存在③当P在OB上，Q在BC上运动时，8-t=t-5，解得t=6.5；即PO=QB时，运动的时间为2秒或6.5秒．综上所述，存在，t的值为2或6.5．例6．（2023·陕西富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数2−，点B表示数2时，下列各数52−，1，4是点A，B的“倍分点”的是____；（2）当点A表示数10−，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数.【答案】（1）1，4；（2）①20，0，50，-30；②20，0，50，-30，103，-130，703−，110，503，-90，150.【解析】解（1）∵点A表示数-2，点B表示数2∴AB=2-(-2)=4当C表示的数是52−时，此时点C不是点A，B的“倍分点”．如图，当点C 表示的数是1时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．如图，当点C 表示的数是4时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．故答案为 1，4.（2）设点D 对应的数为x ．当点D 在AB 之间时，AB =40，所以BD =10，即x =20；当34BD AB =时，BD =30，即x =0．当点D 在点B 右侧，AD =3BD ，即x +10=3(x -30)，解得x =50；当点D 在点A 左侧，BD =3AD ，即30-x =3(-x -10)，解得x =-30．综上所述，点D 表示的数可为20，0，50，-30．例7．（2023·辽宁沈阳月考）在数轴上，若点C 到点A 的距离恰好是3，则称点C 为点A 的“幸福点”；若点C 到点A ，B 的距离之和为6，则称点C 为点A ，B 的“幸福中心”．（1）如图1，点A 表示的数是﹣1，则点A 的“幸福点”C 表示的数是．（2）如图2，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点C 为点M ，N 的“幸福中心”，则点C 表示的数可以是（填一个即可）；（3）如图3，点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是4，点P 表示的数是8，点Q 从点P 出发，以2单位/s 的速度沿数轴向左运动，经过秒后点Q 是点A ，B 的“幸福中心”？【答案】（1）-4或2；（2）-2（答案不唯一）；（3）1.75或4.75.【解析】解（1）由题意得点A的“幸福点”C表示的数为-1-3=-4或-1+3=2，故答案为-4或2；（2）由题意得点M、N的距离为4-（-2）=6，∵点C为点M，N的“幸福中心”，∴点C在点M、N之间，∴点C表示的数可以为-2、-1、0、1、2、3、4，故答案为-2（答案不唯一）；（3）由题意可得A、B之间的距离为5，故有两种可能设经过x秒点Q是A、B的“幸福中心”，①点Q在点B和点P之间，则有8-2x-4+8-2x-（-1）=6，解得x=1.75；②点Q在点A的左侧，4-（8-2x）+（-1）-（8-2x）=6，解得x=4.75，综上所述当经过1.75秒或4.75秒时，点Q是A、B的“幸福中心”.例8．（2023·江苏高港月考）阅读理解点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C 是{A，B}的奇点．例如如图1，点A表示的数为﹣3，点B表80÷（3＋1）＝20，30−20＝10，−50＋20＝−30，−50−80÷3＝−7623（舍去），−50−80×3＝−290．故P点运动到数轴上的−290，−30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为−290，−30或10．例9．（2023·湖南师大附中月考）已知数轴上两点A，B对应的数分别为8−和4，点P为数轴上一动点，若规定点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A B→的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A B→的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A B→的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【答案】（1）-2；（2）①不是；1②秒或10秒；（3）-4，-5，-12，-14，-32，-44.【解析】解（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为-8和4，∴AB=4-（-8）=12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP=P A=12AB=6，∴点P表示的数是-2；（2）①当点P运动到原点O时，P A=8，PB=4，∵P A≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为不是；②根据题意可知设点P运动的时间为t秒，P A=t+8，PB=|4-t|，∴t+8=3|4-t|，解得t=1或t=10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知设点P表示的数为n，P A=n+8或-n-8，PB=4-n，AB=12，①当点A是关于P→B的“好点”时，|P A|=3|AB|，即-n-8=36，解得n=-44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|=3|AP|，即3（-n-8）=12，解得n=-12；或3（n+8）=12，解得n=-4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|P A|=3|PB|，即-n-8=3（4-n）或n+8=3（4-n），解得n=10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|=3|AP|，即4-n=3（n+8），解得n=-5；或4-n=3（-n-8），解得n=-14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|=3|AB|，即4-n=36，解得n=-32．综上所述所有符合条件的点P表示的数是-4，-5，-12，-14，-32，-44．。

专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(解析版)

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
【答案】D
解析：设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，
【小问2详解】，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则的值域为，故的取值范围为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数和有相同最小值．
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设为可导函数，且满足，则为（）
A．1B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为，所以，即
所以 .
2．已知函数，且，则的值为（）
A． B．2C． D．
【答案】D
【分析】利用导数定义，可求得，代入，即得解
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x .
∵点A在曲线上，∴y0＝x ，∴ ＝3x ，∴x －3x ＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.

浙教版七年级下册数学专题13 反比例函数的图象与性质(知识点串讲)(解析版)

专题13 反比例函数的图象与性质知识网络重难突破知识点一反比例函数的相关概念函数()0,0k y ≠≠=x k xk 为常数，叫做反比例函数，这里的x 是自变量，y 是关于x 的函数，k 叫做比例系数。

【典例1】（2018秋•新化县期末）下列函数中，是反比例函数的为（）A ．y ＝2x +1B ．y ＝C ．y ＝D ．2y ＝x【点拨】根据反比例函数的定义，解析式符合（k ≠0）这一形式的为反比例函数．【解析】解：A 、是一次函数，错误；B 、不是反比例函数，错误；C 、符合反比例函数的定义，正确；D 、是正比例函数，错误．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式（k ≠0）中，特别注意不要忽略k ≠0这个条件．【变式训练】1．（2020•复兴区一模）下列关系式中，y 是x 反比例函数的是（）A ．y ＝xB ．y ＝﹣C ．y ＝3x 2D ．y ＝6x +1【点拨】根据反比例函数的概念：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．【解析】解：A、不是反比例函数，故此选项错误；B、是反比例函数，故此选项正确；C、不是反比例函数，故此选项错误；D、不是反比例函数，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．2．（2020春•甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（）A．正方形的边长和面积B．圆的周长一定，它的直径和圆周率C．速度一定，路程和时间D．总价一定，单价和数量【点拨】根据反比例函数定义进行分析即可．【解析】解：A、正方形的面积＝（边长）2，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；B、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意；C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；D、总价＝单价×数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．3．（2019秋•汶上县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝﹣x﹣1C．y＝D．y＝﹣x【点拨】根据反比例函数的定义和一次函数的定义对各选项分析判断即可得解．【解析】解：A、y＝2x是正比例函数，故本选项不符合题意．B、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；D、y＝﹣x是正比例函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y＝（k≠0）是解题的关键．4．（2019秋•龙岗区期末）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是（） A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ≠0的一切实数D ．x 取任意实数【点拨】根据分式有意义可得中x ≠0．【解析】解：函数y ＝中，自变量x 的取值范围是x ≠0，故选：C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的概念形如y ＝（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．知识点二反比例函数的图象反比例函数()0k y ≠=xk 的图象是由两个分支组成的曲线。

【精讲精练】专题13 语言文字运用创新题型解题指导高考语文二轮复习

(3)概括新闻主要内容。在字数允许的范围内兼顾新闻的各个要素，这样能全面概括新闻主要内容。
【例4】
阅读下面的文字，完成后面题目。
互联网技术的发展，让人们逐渐进入数字生活，老年群体也不例外。有数据显示，我国60岁以上的老年网民占总网民的比重正在迅速增加。
不过，视频通话、网上购物、转发分享等新技术在给老年群体带来便利的同时，也给他们带来了一些不便。如何帮助老年群体摆脱 “数字困境”，让他们更顺畅地拥抱数字生活？当务之急是要为他们提供优质方便的数字服务，而这需要政府、社会、家庭的共同努力。
【分析】
本题考查学生语言表达之情境补写能力。
第①空结合上文“东方艺术重主观”判断横线处应该表达为“西方艺术……”，再根据后文“表现在绘画上，西洋画重写实，重形似，而中国画重神韵，重意境”可知，前者为客观写实，后者为主观写意，从而确定答案：西方艺术重客观。
第②空先根据段落特点确定此处为观点句，总领下文，于是根据后文信息“这看起来是以题材为标准分类”“即中国画概括了自然和人生三个方面”“人物画表现的是人类社会中人与人之间的关系；山水画表现的是……；花鸟画……”从而确定答案：分为人物、山水、花鸟三大科。
下定义时，首先在提供的材料中或依据自己的知识找一个比种概念大一级的概念，即邻近属概念。
(2)寻找种差，删除无用信息
就是寻找那些属于被定义者的信息点。要注意有些种差是由多个属性组成的复杂的属性，这些属性提取时一个也不能少，否则会造成定义不严密。
3．下定义(类似于短句变长句) 一般来讲，应该淘汰以下六种信息： ①重复、冗赘信息； ②比较信息； ③成因、背景信息； ④描写信息； ⑤作用、意义信息； ⑥举例信息。
【答案】
鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》使绍兴城的菜地和民居成为天天游客如云的名胜古迹；王羲之的《兰亭集序》使“兰亭”这座绍兴市西南兰渚山下的普通小亭名闻天下；被收入语文课本的俞平伯、朱自清的同题散文使南京的秦淮河名声大噪。

专题13：幂函数知识点归纳(最新整理)

1
1 3
3
2a
1 3
，求实数
a
的取值范围．
(C) m 为偶数， n 为奇数，且 m 1 n
(D) m 奇数， n 为偶数，且 m 1 n
y
x O
3、比较下列各组数的大小：
1
1
（1）1.53 ，1.73 ，1；（2）
3
2 7，
3
3 7，
3
5 7 ；（3）
2 2
2 3
，
10 7
2 3
，
1.1
4 3
．
4、若 a
解析式为__________
5、设 a 2, 1, 1 , 1 , 1 ,1, 2,3 ，已知幂函数 f x x 是偶函数，且在区间 0, 上是
232
减函数，则满足要求的值的个数是__________.
6、设 y f x 和 y g x 是两个不同的幂函数，集合 M x | f x g x ，则集合 M
幂函数知识点归纳
一、幂函数定义：对于形如： fx x ，其中为常数.叫做幂函数
定义说明：
1、定义具有严格性， x 系数必须是 1，底数必须是 x
2、取值是 R .
3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1 五种情况
二、幂函数的图像
幂函数的图像是由决定的，可分为五类： 1）＞1时图像是竖立的抛物线.例如： fx x2
3、 0
① y x2
② y x1
3
—4
③yx 2 ④yx 3
三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。
1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解

小升初数学计算分类专题--简便运算

小升初数学计算分类专题--简便运算在小学计算题中，有许多新颖独特的题型和方法。

这些题型在升重点中学考试和进入中学分班考试中经常出现。

有些学生由于没有见过这种题型，常常得分很少或得零分。

其实，只要掌握一定的解题方法和规律，这些题型一点都不难。

下面是一些计算专题的介绍和解题技巧：计算专题1：小数分数运算律的运用这个专题主要是针对小数和分数的运算，包括加减乘除等。

掌握这些运算律可以帮助我们更快地解决相关的计算题。

在这个专题中，我们需要掌握一些例题，例如：例一：4.75+9.63+（8.25-1.37）例二：×79+790×例三：3×25+37.9×6例四：36×1.09+1.2×67.3例五：81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5通过这些例题的练，我们可以更好地掌握小数分数运算律的运用。

计算专题2：大数认识及运用在这个专题中，我们需要掌握对大数的认识和运用。

大数一般是指超过一定位数的数字，例如千位、万位、亿位等。

在解决这些计算题时，我们需要掌握一些技巧，例如竖式计算、进位借位等。

以下是一些例题：例一：1234+2341+3412+4123例二：2×23.4+11.1×57.6+6.54×28例三：（9+7）÷（4+5）例四：1993+1992×1994例五：有一串数1.4.9.16，25……它们是按照一定规律排列的，那么其中第2010个数与2011个数相差多少？通过这些例题的练，我们可以更好地掌握大数的认识和运用。

计算专题3：分数专题在这个专题中，我们需要掌握对分数的认识和运用。

分数是指一个数被另一个数除后所得到的结果，例如1/2、3/4等。

在解决这些计算题时，我们需要掌握一些技巧，例如通分、约分等。

以下是一些例题：例一：2/3+1/4例二：5/6-1/3例三：1/2×3/4例四：2/5÷1/4例五：3/4的三倍是多少？通过这些例题的练，我们可以更好地掌握分数的认识和运用。

《新定义与规律探究题》(共57题)中考专项配套练习(重庆专用)

A．64B．77C．80D．85
8．〔2021•重庆〕观察以下一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,…,按此规律,图形⑧中星星的颗数是〔〕
A．43B．45C．51D．53
二．解析题〔共7小题〕
9．〔2021•重庆〕在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数〞．
定义：对于一个自然数,如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,那么称这个数为“差一数〞．
例如：14÷5＝2…4, 14÷3＝4…2,所以14是“差一数〞；
19÷5＝3…4,但19÷3＝6…1,所以19不是“差一数〞．
〔1〕判断49和74是否为“差一数〞？请说明理由；
〔2〕求大于300且小于400的所有“差一数〞．
A．12B．14C．16D．18
4．〔2021•重庆〕以下图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为〔〕
A．11B．13C．15D．17
5．〔2021•重庆〕以下图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为〔〕
5年〔2021-2021〕中考1年模拟数学试题分项详解〔重庆专用〕
专题12新定义与规律探究题〔共57题〕
一．选择题〔共8小题〕
1．〔2021•重庆〕把黑色三角形按如下图的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,…,按此规律排列下去,那么第⑤个图案中黑色三角形的个数为〔〕

2020年上海新高一新教材数学讲义-专题13 对数函数(学生版)

专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：O y(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。

2、性质：（1）对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方；（2）对数函数log a y x =的图像经过点（1,0）；（3）对数函数log (1)a y x a =>,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0；对数函数log (01)a y x a =<<,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数log (1)a y x a =>在（0，+∞）上是增函数，对数函数log (10)a y x a =>>在（0，+∞）上是减函数。

（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C 1，C 2，C 3，C 4对应1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =，则0<a 4<a 3<1<a 2<a 1。

3、复合函数的单调性在复合函数[()]y f g x =中，如果()u g x =和()y f x =的增减性相异，则[()]y f g x =为减函数，如果()()u g x y f x ==和的增减性相同，则[g()]y f x =为增函数。

例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）2log (162)x x y +=- （2）1lg(23)y x =+【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数1[log (3)]y f x =-的定义域。

【例3】若132log >a ，则a 的取值范围是（） A ．231<<a B ．23110<<<<a a 或C ．132<<a D ．1320><<a a 或【例4】函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16]【例5】已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

专题13 导数与函数的极(最)值--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．【重点知识回眸】（一）函数的极值1.函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2.函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点4.极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点5.()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 6.求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点（2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点（二）函数的最值1.在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．2.若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到.()f x 没有最大值.5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.6．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．7.结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点. 9.利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 10.最值(点)的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.x 3x 2x 1baxOy【典型考题解析】热点一函数极值的辨析【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f【典例2】【多选题】（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数221()e 4x f x x x x =---，则（）A ．12-和0是函数()f x 的极值点B ．()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的极大值为12e-D ．()f x 的极小值为14-【总结提升】1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f (x )的图象还是f ′(x )的图象，若给的是f (x )的图象，应先找出f (x )的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x )的图象，应先找出f ′(x )的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2.f (x )在x ＝x 0处有极值时，一定有f ′(x 0)＝0，f (x 0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f (x )在x ＝x 0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x 0)＝0，则f (x )未必在x ＝x 0处取得极值，只有确认x 1<x 0<x 2时，f (x 1)·f (x 2)<0，才可确定f (x )在x ＝x 0处取得极值．3.易错提醒：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．热点二已知函数（图象），求极值点的个数【典例3】（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(a ，b )，导函数()'f x 在(a ，b )上的图象如图所示，则函数()f x 在(a ，b )上的极大值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例4】【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【易错提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．热点三已知函数（图象），求极值（点）【典例5】（陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上【典例6】（2017·全国·高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（）． A ．B ．C ．D ．【典例7】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数21()ln 2f x x x =-的极值点是_________. 【方法总结】一般地，有两种类型，即根据函数图象和已知函数求极值（点）问题，已知函数求极值（点）3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =2x =-21()(1)x f x x ax e -=+-()f x 1-32e --35e -1问题，求已知函数的极值，要注意f ′(x)＝0的根是否在定义域内．热点四已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例8】（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（） A ．B ．C ．D ．【典例9】（广东·高考真题（文））设，若函数，，有大于零的极值点，则（） A ．B ．C ．D ．【典例10】（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（） A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【典例11】（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【典例12】（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））若函数()2x f x e ax =+无极值点，则a 的取值范围是______．【规律方法】1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2.由函数极值（个数）求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．热点五利用导数求函数的最值【典例13】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【典例14】（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+． (1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．0a ≠x a =()()()2f x a x a x b =--a b <a b >2ab a <2ab a >a R ∈e x y ax =+x ∈R 1a <-1a >-1a e<-1a e>-【典例15】（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【规律方法】1.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．2.当导函数y ＝f ′(x )无法判断正负时，可令g (x )＝f ′(x )再求g ′(x )，先判断g (x )＝f ′(x )的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x )的正负号．热点六函数的最值求参数值（范围）【典例16】（2021·全国高三二模）已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切，当b 取得最大值时，k 的值为_______________________．【典例17】（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中R k ∈.(1)当3k =时，求函数()f x 在()0,3内的极值点；(2)若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围. 【易错提醒】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．热点七利用导数解决生活中的优化问题【典例18】](2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(k ＞0)，问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【易错提醒】1.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答．2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点2．（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，以下结论：①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点 ②()'f x 在1x =-处取得极小值 ③()f x 在区间(2,3)-上单调递减④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0 正确的序号是（） A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f4．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（） A ．1B ．12C 5D 2 5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数()f x 321132x x cx d =+--有极值，则c 的取值范围为（） A ．14c <-B ．14c ≤-C ．14c ≥-D ．14c >-6．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））若函数()2ln f x x x=-，满足() f x a x ≥-恒成立，则a 的最大值为（） A ．3B ．4C ．3ln 2-D ．3ln 2+7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）若函数2()()2f x x x c x =-=在处有极大值，则常数c 的值为（） A ．4B ．26或C ．2D ．68．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（） A ．1ππB ．22ππC ．-1D ．09．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期8月数学（理）开学考试巩固试题）已知函数()sin f x x x =-，12,0()e ,0x x x g x x -+≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则12x x +的最大值是（）A ．0B ．2C ．1ln2+D ．42ln 2+10．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知1x ，2x 是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <，当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围（） A ．8ln 2,09⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．8,ln 29⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦C ．8ln 2,09⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．8ln 2,9⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题11．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（）A ．-2B ．14C ．1D ．2 三、填空题13．（2019·浙江·杭州四中高三开学考试）已知函数()4f x a x a x=-++在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围是________．14．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点1x 、2x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.15．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知关于x 不等式e x a x b ≥+对任意R x ∈和正数b 恒成立，则a b的最小值为______．16．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）若1x =-是函数()()221e -=-+x f x x ax 的极值点，则=a ______；()f x 的极大值为______.三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣ln x （a ∈R ）．(1)讨论函数f （x ）的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f （x ）在x ＝1处取得极值，∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥bx ﹣2恒成立，求实数b 的最大值．18.（2018·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x . （Ⅰ）若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.。

新高考语文专题13 第2讲概括内容要点,比较材料异同

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通信安全是国家信息安全和人类经济社会生活的基本需求。千百年来，人们对于通信安全的追求从未停止。然而，基于计算复杂性的传统加密技术，在原理上存在着被破译的可能性。随着数学和计算能力的不断提升，经典密码被破译的可能性与日俱增。中国科学技术大学潘建伟教授说：“通过量子通信可以解决这个问题。把量子物理与信息技术相结合，利用量子调控技术，用一种革命性的方式对信息进行编码、存储、传输和操纵，从而在确保信息安全、提高运算速度、提升测量精度等方面突破经典信息技术的瓶颈。”
第三部分现代文阅读
第2讲概括内容要点，比较材料异同
预热：激趣·热身
今年 3 月，南海市明湖公园采取公园与职工个人共同筹资的方法购买了一台“挑战者号”时空穿梭机。时空穿梭机又名娱乐仿真模拟器，是仿真科技与多媒体技术结合的产物。三维立体图像、震撼人心的音响效果和高度仿真运动，使人惊心动魄，会产生超越时空的感觉。这台时空穿梭机开始营业以来，三个月的营业收入就达到 40 万元人民币，其中仅“五一”劳动节一天的收入就超过了公园 300 条游船的总收入。在近两年来许多公园经济效益很不景气的情况下，明湖公园这台时空穿梭机所带来的如此大的收益，使全园职工倍受鼓舞。据说，娱乐仿真模拟器已经成了国外许多公园、游乐园换代的标志性设备，无论是好莱坞还是日本海洋公园，仿真模拟器都是当地的“盈利明星”。
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南开大学新能源材料化学研究所所长周震说：“从行业角度来看，美国有比较强的研发设计能力，目前仍然引领锂电池原始创新、核心材料研发；日本作为电池材料制造大国，生产规范严格，能够最先制造出新的成品电池；我国和韩国作为第二梯队，后续跟进。”据了解，电池四大核心材料中，正、负极材料、电解液都已实现了国产化，唯独隔膜仍是短板。核心专利缺乏，隔膜等关键材料不给力，不仅成了国产锂电池难以承受之痛，也拖了国产锂电池企业“走出去”的后腿。

小学数学专题定义新运算例题+练习

定义新运算一、知识点总结：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、例题讲解：【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

解答：13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

解答：3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

专题13 动态几何题--2020年中考母题题源解密(上海专用)(解析版)

专题13动态几何题【母题来源1】（2019•上海中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么△EDF的正切值是．【答案】由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到△AEB＝△EDF，进而得到tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．【解析】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB＝△AEF，△正方形ABCD中，E是AD的中点，△AE＝DE＝AD＝AB，△DE＝FE，△△EDF＝△EFD，又△△AEF是△DEF的外角，△△AEF＝△EDF+△EFD，△△EDF＝△AEF，△△AEB＝△EDF，△tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．故答案为：2．【母题来源2】（2017•上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF△AB，那么n的值是．【答案】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解析】解：△如图1中，EF△AB时，△ACE＝△A＝45°，△旋转角n＝45时，EF△AB．△如图2中，EF△AB时，△ACE+△A＝180°，△△ACE＝135°△旋转角n＝360﹣135＝225，△0＜n＜180，△此种情形不合题意，故答案为45【母题来源3】（2016•上海中考真题）如图所示，梯形ABCD中，AB△DC，△B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且△AGE＝△DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【答案】（1）作DH△AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝12，CD＝BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，则判断G点与D点重合，即ED＝EA，作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，通过证明Rt△AME△Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA＝GE 时，则△AGE＝△AEG，可证明AE＝AD＝15，（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE＝，再证明△EAG△△EDA，则利用相似比可表示出EG＝，则可表示出DG，然后证明△DGF△△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解析】解：（1）作DH△AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，△DH＝BC＝12，CD＝BH，在Rt△ADH中，AH＝＝＝9，△BH＝AB﹣AH＝16﹣9＝7，△CD＝7；（2）△EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，△△AGE＝△DAB，△△GAE＝△DAB，△G点与D点重合，即ED＝EA，作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，△△MAE＝△HAD，△Rt△AME△Rt△AHD，△AE：AD＝AM：AH，即AE：15＝：9，解得AE＝；△GA＝GE时，则△GAE＝△AEG，△△AGE＝△DAB，而△AGE＝△ADG+△DAG，△DAB＝△GAE+△DAG，△△GAE＝△ADG，△△AEG＝△ADG，△AE＝AD＝15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，在Rt△HDE中，DE＝＝，△△AGE＝△DAB，△AEG＝△DEA，△△EAG△△EDA，△EG：AE＝AE：ED，即EG：x＝x：，△EG＝，△DG＝DE﹣EG＝﹣，△DF△AE，△△DGF△△EGA，△DF：AE＝DG：EG，即y：x＝（﹣）：，△y＝（9＜x＜）．1、抓住图形运动后角度和长度等性质的特点；2、寻找几何模型突破点；3、主要有以下几点思路：数量关系突破：1、勾股定理（比较初级，实用）；2、锐角三角比；3、相似；角度关系突破：平行，全等，相似，其他几何性质；4、分类讨论多种情况（可以以某一种情况切入），记得验证是否均满足题意，有些需要舍去；5、综合分析法，从已知和结果同时出发往中间靠（也就是寻找第3点的突破点）。

华师一附中2024届高三数学“新定义”专题习题

华师一附中高三数学“新定义”专题第I 卷（选择题）一、单选题1．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n 倍角公式，即()cos cos n nx T x =，()01T x =，()1T x x =，()2221T x x =-，()3343T x x x =-，()424881T x x x =-+，()53516205T x x x x =-+，…，则2cos 18︒=（）A ．558+B ．558C ．558D ．524二、多选题2．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )3．设,,Ox Oy Oz 是空间中两两夹角均为π0,2θθ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的三条数轴，123,,e e e 分别是与,,x y z 轴正方向同向的单位向量，若()123,,OP xe ye ze x y z =++∈R，则把有序数对(,,)x y z θ叫作向量OP在坐标系Oxyz 中的坐标，则下列结论正确的是（）A ．若向量(1,3,7)a θ=-- ，向量(3,2,4)b θ=- ，则(2,1,3)a b θ+=B ．若向量2π(2,6,3)a =- ，向量2π(3,1,0)b =- ，则0a b ⋅= C ．若向量(,,0)a x y θ= ，向量(1,2,0)b θ= ，则当且仅当:1:2x y =时，π6θ=D ．若向量3π(1,0,0)OA = ，向量3π(0,1,0)OB =，向量3π(0,0,1)OC = ，则二面角O AB C --的余弦值为13第II 卷（非选择题）三、解答题4．椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线{}2332(,),4270C x y y x ax b a b ==+++≠∣．P C ∈关于x 轴的对称点记为P ．C 在点(,)(0)P x y y ≠处的切线是指曲线y =在点P 处的切线．定义“⊕”运算满足：①若,P C Q C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点R ，则P Q R⊕= ；②若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，则P Q P ⊕= ；③若P C ∈，规定*0P P ⊕= ，且**00P P P ⊕=⊕=．(1)当324270a b +=时，讨论函数3()h x x ax b =++零点的个数；(2)已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，证明：P P Q⊕= ；(3)已知()()1122,,,P x y C Q x y C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点，求P Q ⊕的坐标．参考公式：()3322()m n m n m mn n -=-++5．某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =⋅⋅⋅）；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B种数目为N ，每一次试验都相互独立．(1)已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；(2)该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅），并计算了数据ix （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．6．记集合{}{|n S a =无穷数列{}n a 中存在有限项不为零，}*n ∈N ，对任意{}n a S ∈，设变换{}()112n n n f a aa x a x -=++++ ，x ∈R ．定义运算⊗：若{}{},n n ab S ∈，则{}{}n n a b S ⊗∈，{}{}(){}(){}()nnnnfa b f a f b ⊗=⋅．(1)若{}{}{}n n n a b m ⊗=，用12341234,,,,,,,a a a a b b b b 表示4m ；(2)证明：{}{}(){}{}{}{}()n n n n n n a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗；(3)若()()211,110010,100n n n a n n n ⎧++≤≤⎪=+⎨⎪>⎩，2031,150020,500nn n b n -⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，{}{}{}n n n d a b =⊗，证明：20012d <．7．英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xnx x x x n =+++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+；(2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.8．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：()y f x =上的曲线段 AB ，其弧长为s ∆，当动点从A 沿曲线段 AB 运动到B 点时，A 点的切线A l 也随着转动到B 点的切线B l ，记这两条切线之间的夹角为θ∆（它等于B l 的倾斜角与A l 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义ΔΔK sθ=为曲线段 AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即s ∆越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义()3Δ022ΔlimΔ1s y K sy θ→'''==+（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率．（其中y ＇，y ＇＇分别表示()y f x =在点A 处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆2214x y +=在12⎫⎪⎭处的曲率；(3)定义()y ϕ'+()y f x =的“柯西曲率”．已知在曲线()ln 2f x x x x =-上存在两点()()11,P x f x 和()()22,Q x f x ，且P ，Q 处的“柯西曲率”+9．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程()0f x =的其中一个根r 在0x x =的附近，如图所示，然后在点()()0,x f x 处作()f x 的切线，切线与x 轴交点的横坐标就是1x，用1x 代替0x 重复上面的过程得到2x ；一直继续下去，得到0x ，1x ，2x ，……，n x ．从图形上我们可以看到1x 较0x 接近r ，2x 较1x 接近r ，等等．显然，它们会越来越逼近r ．于是，求r 近似解的过程转化为求n x ，若设精度为ε，则把首次满足1n n x x ε--<的n x 称为r 的近似解．已知函数()()32f x x a x a =+-+，R a ∈．(1)当1a =时，试用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解（取01x =-，且结果保留小数点后第二位）；(2)若()32ln 0f x x x x -+≥，求a 的取值范围．10．曲线的曲率定义如下：若'()f x 是()f x 的导函数，"()f x 是'()f x 的导函数，则曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率{}322|"()|.1['()]f x K f x =+已知函数()cos xf x e x =，()()cos 0g x a x x a =+<，曲线()y g x =在点(0,(0))g处的曲率为4．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()()f x g x '=在区间ππ2π,2π32n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（N n +∈）内的根从小到大依次为12,,,,n x x x ，求证：12n n x x +->π．11．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =-+-，余弦相似度为：()cos ,A B =，余弦距离为()1cos ,A B -(1)若()1,2A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ-，若()1cos ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值(3)已知π02αβ<<<，()5cos ,5sin M αα、()13cos ,13sin N ββ，()()()5cos ,5sin P αβαβ++，若()5cos ,13M P =，()63cos ,65M N =，求M 、P 之间的曼哈顿距离.12．定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：(1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.13．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为e e 2x xccc y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中c 为参数.当1c =时，该方程就是双曲余弦函数()e e cosh 2x x x -+=，类似的我们有双曲正弦函数()e e sinh 2x xx --=.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值；①()()22cosh sinh 1x x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；②()()()sinh 22sinh cosh x x x =；③()()()22cosh 2cosh sinh x x x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(2)求证：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.14．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．15．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a ab b b a bc a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b xy z x y z ⨯=，则称a b ⨯为空间向量a 与b的叉乘，其中()111111,,R a x i y j z k x y z =++∈ ，()222222,,R a x i y j z k x y z =++∈ ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点、分别以i ，j ，k的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A ，B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点(1)①若()1,2,1A ，()0,1,1B -，求OA OB ⨯；②证明0OA OB OB OA ⨯+⨯=.(2)记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯.(3)证明：()2OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面、OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.。

2024年新高考版物理专题十三近代物理初步讲解部分

过程,称为核反应。
2.规律:在核反应中,质量数守恒、电荷数守恒。
3.三个重要核反应
1)1919年卢瑟福发现质子的核反应:174
N+
4 2
He
18 7
O
11
H。
2)1932年卢瑟福的学生查德威克用实验证实了中子的存在,其核反应方
程为:94
Be+
4 2
He
16 2
C
10
n。
3)1934年约里奥—居里夫妇发现人工放射性同位素、发现正电子的核反
4.爱因斯坦光电效应方程 1)光子 ①定义:在空间传播的光不是连续的,而是一份一份的,每一份叫一个光量子,简称光子。 ②光子的能量:每个光子的能量只决定于光的频率,即ε=hν,ν表示光的频率。 2)逸出功:要使电子脱离某种金属,需要外界对它做功,做功的最小值叫这种金属(不同金属的逸出功不同)的逸出功,一般用W0表示。 3)爱因斯坦光电效应方程:Ek=hν-W0,Ek为光电子的最大初动能。光电子的最大初动能随入射光频率的增大而增大。
黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关。黑体的颜色不一定是黑色,黑体不反射电磁波,但会向外辐射电磁波。 2.能量量子化 1)能量子:组成黑体的振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值ε 的整数倍。带电微粒辐射或吸收能量时也是以这个最小能量值为单位一份一份地进行的,这个不可再分的最小能量值ε叫能量子。 2)公式:ε=hν。ν是带电微粒的振动频率,也是带电微粒吸收或辐射电磁波的频率,h是普朗克常量,其值为h=6.626×10-34 J·s。 3)能量量子化:在微观世界中,能量不能连续变化,只能取某些分立值,这种现象叫能量量子化。
3.质量亏损 1)概念:原子核的质量小于组成它的核子的质量之和,这个现象叫作质量亏损。 2)质能关系:ΔE=Δmc2。 3)核子平均质量:比结合能大的原子核,平均每个核子的质量亏损大,核子的平均质量就小,故核子的平均质量大小也能够反映原子核的稳定性,即核子的平均质量越小,原子核越稳定。核子平均质量随原子序数变化的定性关系图像如图所示。

专题13 二元一次方程(组)的定义压轴题五种模型全攻略(原卷版)

专题13 二元一次方程(组)的定义压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二元一次方程的定义】 .................................................................................................................... 1 【考点二二元一次方程的解】 ........................................................................................................................ 1 【考点三求二元一次方程的正整数解】......................................................................................................... 2 【考点四判断是否是二元一次方程组】......................................................................................................... 2 【考点五判断是否是二元一次方程组的解】 ................................................................................................. 3 【考点六已知二元一次方程组的解求参数】 ................................................................................................. 3 【过关检测】 . (4)【典型例题】【考点一二元一次方程的定义】【考点二二元一次方程的解】例题：（2023春·七年级课时练习）下列四组数值中，不是方程29x y +=的解的是（）A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．111x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =⎧⎨=⎩D ．17x y =⎧⎨=⎩【变式训练】【考点三求二元一次方程的正整数解】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）方程2=5x y +的非负整数解有（） A ．1组 B ．2组C ．3组D ．4组【变式训练】1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程28x y +=的正整数解有（） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程4320x y +=的所有正整数解为______．3．（2022春·云南西双版纳·七年级统考期末）若x ay b =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程27x y +=的正整数解，则a b +的值为_______．【考点四判断是否是二元一次方程组】【考点五判断是否是二元一次方程组的解】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知一个二元一次方程组的解是12xy=-⎧⎨=-⎩，则这个方程组可以是（）A．320x yx y+=-⎧⎨-=⎩B．321x yx y+=-⎧⎨-=⎩C．23x yy x=⎧⎨-=-⎩D．124x yx y-=⎧⎨-=-⎩【变式训练】【考点六已知二元一次方程组的解求参数】例题：（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则代数式2a b-的值是（）A．2-B．2C．3D．3-【变式训练】1．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组6 28 ax yx by-=⎧⎨+=⎩的解是22xy=⎧⎨=⎩，则a b-的值是（）A．0B．1C．2D．32．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）若23xy=-⎧⎨=⎩是方程组23x y mx ny-=⎧⎨+=-⎩的解，则m=___________；n=___________．【过关检测】16．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）已知关于x ，y 的方程组252398x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩，其中a 是实数．(1)若方程组的解也是方程53x y -=的一个解，求a 的值；(2)求k 为何值时，代数式229x ky y -+的值与a 的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．。