概率算法

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3.1 八皇后问题
八皇后问题是在8×8的棋盘上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同 一行、同一列或同一斜线上。
对于八皇后问题的任何一个解而言，每一个皇 后在棋盘上的位置无任何规律，不具有系统性，而 更像是随机放置的。由此想到拉斯维加斯型概率算 法：在棋盘上相继的各行中随机地放置皇后，并使 新放置的皇后与已放置的皇后互不攻击，直至八个 皇后均已相容地放置好，或下一个皇后没有可放置 的位置。
（4）概率算法在不同的运行中，对于相同的输入实 例可以有不同的结果，因此，对于相同的输入实例， 概率算法的执行时间可能不同。
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概率算法的时间性能
对于确定性算法，通常分析在平均情况下以 及最坏情况下的时间复杂性。
对于概率算法，通常分析在平均情况下以及 最坏情况下的期望时间复杂性，即由概率算法反 复运行同一输入实例所得的平均运行时间。
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拉斯维加斯型概率算法的一般形式
void Obstinate(input x, solution y) {
success=false; while (!success) success=LV(x, y); }
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设p(x)是对输入实例x调用拉斯维加斯型概率
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初始键值序列 6 13 19 23 31 35 58 一次划分结果 6［13 19 23 31 35 58］
(a) 以最小值6为轴值，划分不均衡
初始键值序列 6 13 19 23 31 35 58 随机选择一个 23 13 19 6 31 35 58 记录与6交换 一次划分结果 ［6 13 19］23［31 35 28］
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例如，判断表达式f(x1, x2, …, xn)是否恒等于0。
概率算法首先生成一个随机n元向量(r1, r2, …, rn)， 并计算f(r1, r2, …, rn)的值，如果f(r1, r2, …, rn)≠0， 则f(x1, x2, …, xn)≠0；如果f(r1, r2, …, rn)＝0，则或者 f(x1, x2, …, xn)恒等于0，或者是(r1, r2, …, rn)比较特 殊，如果这样重复几次，继续得到f(r1, r2, …, rn)＝0 的结果，那么就可以得出f(x1, x2, …, xn)恒等于0的结 论，并且测试的随机向量越多，这个结果出错的可
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考虑快速排序中的划分过程，选定一个轴值将序
列ri～rj进行划分，使得比轴值小的元素都位于轴值
的左侧，比轴值大的元素都位于轴值的右侧，假定轴
值的最终位置是s，则： （1）若k=s，则rs就是第k小元素； （2）若k<s，则第k小元素一定在序列ri～rs-1中； （3）若k>s，则第k小元素一定在序列rs+1～rj中；
因此，可以采用舍伍德型概率算法来消除算法 的时间复杂性与输入实例间的这种联系。
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如果一个确定性算法无法直接改造成舍伍德型概率算 法，可借助于随机预处理技术，即不改变原有的确定性算 法，仅对其输入实例随机排列（称为洗牌）。假设输入实 例为整型，下面的随机洗牌算法可在线性时间实现对输入 实例的随机排列。
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2.2 选择问题
设无序序列T=(r1, r2, …, rn)，T的第k（1≤k≤n） 小元素定义为T按升序排列后在第k个位置上的元素。 给定一个序列T和一个整数k，寻找T的第k小元素的 问题称为选择问题。特别地，将寻找第n/2小元素的 问题称为中值问题。
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{
if (high-low<=k) return r[high]; //数组长度小于k
else {
Байду номын сангаас
i=Random(low, high); //在区间[low, high]中随机选取一个元素
r[low]←→r[i];
//交换元素
s=Partition(r, low, high); //进行一次划分，得到轴值的位置s
(b) 随机选择轴值，划分均衡 图1 一次划分引入随机选择的示例
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算法3——随机快速排序
void QuickSort (int r[ ], int low, int high) {
if (low<high) { i=Random(low, high); r[low]←→r[i]; k=Partition(r, low, high); QuickSort(r, low, k-1); QuickSort(r, k+1, high);
算法1——随机数发生器
int Random(int a, int b) { return rand( )%(b-a)+a; //rand( )产生[a, b)之间的随机整数 }
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2 舍伍德(Sherwood)型概率算法
2.1 快速排序 2.2 选择问题
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算法2——随机洗牌
void RandomShuffle(int n, int r[ ]) {
for (i=0; i<n; i++) {
j=Random(0, n-i-1); r[i]←→r[j]; //交换r[i]和r[j] } }
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舍伍德型概率算法总能求得问题的一个解，并且所求得 的解总是正确的。但与其相对应的确定性算法相比，舍伍德 型概率算法的平均时间复杂性没有改进。换言之，舍伍德型 概率算法不是避免算法的最坏情况行为，而是设法消除了算 法的不同输入实例对算法时间性能的影响，对所有输入实例 而言，舍伍德型概率算法的运行时间相对比较均匀，其时间 复杂性与原有的确定性算法在平均情况下的时间复杂性相当。
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2.1 快速排序
快速排序算法的关键在于一次划分中选择合适 的轴值作为划分的基准，如果轴值是序列中最小 （或最大）记录，则一次划分后，由轴值分割得到 的两个子序列不均衡，使得快速排序的时间性能降 低。
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2.1 快速排序
舍伍德型概率算法在一次划分之前，根据随机 数在待划分序列中随机确定一个记录作为轴值，并 把它与第一个记录交换，则一次划分后得到期望均 衡的两个子序列，从而使算法的行为不受待排序序 列的不同输入实例的影响，使快速排序在最坏情况 下的时间性能趋近于平均情况的时间性能。
} }
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一次划分算法Partition与经典算法相同。在最 坏情况下的时间复杂性仍是O(n2)，这是由于最坏情 况下，随机数发生器在第i次随机产生的轴值记录恰 好都是序列中第i小（或第i大）记录。但是，作为 随机数发生器，这种情况的出现概率是微乎其微的。 事实上，输入记录的任何排列，都不可能出现使算 法行为处于最坏的情况。因此，该算法的期望时间 复杂性是O(nlog2n)。
能性就越小。
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一般情况下，概率算法具有以下基本特征：
（1）概率算法的输入包括两部分，一部分是原问题 的输入，另一部分是一个供算法进行随机选择的随机 数序列；
（2）概率算法在运行过程中，包括一处或若干处随 机选择，根据随机值来决定算法的运行；
（3）概率算法的结果不能保证一定是正确的，但可 以限定其出错概率；
n 1,2, （式1）
其中，b≥0，c≥0，m＞0，d≤m。d称为随机数发生器的
随机种子（Random Seed），当b、c和m的值确定后，
给定一个随机种子，由式1产生的随机数序列也就确定了。
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计算机语言提供的随机数发生器，一般会需要一个随机 种子，这个随机种子可以是系统当前的日期或时间。下面给 出利用C++语言中的随机函数rand产生的分布在任意区间[a, b)上的随机数算法。
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1.1 概率算法的设计思想
概率算法把“对于所有合理的输入都必须给出 正确的输出”这一求解问题的条件放宽，把随机性 的选择注入到算法中，在算法执行某些步骤时，可 以随机地选择下一步该如何进行，同时允许结果以 较小的概率出现错误，并以此为代价，获得算法运 行时间的大幅度减少。
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算法获得问题的一个解的概率，则一个正确的拉斯 维加斯型概率算法应该对于所有的输入实例x均有 p(x)>0。在更强的意义下，要求存在一个正的常数 δ，使得对于所有的输入实例x均有p(x)>δ。由于 p(x)>δ，所以，只要有足够的时间，对任何输入实 例x，拉斯维加斯型概率算法总能找到问题的一个
解。换言之，拉斯维加斯型概率算法找到正确解的 概率随着计算时间的增加而提高。
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舍伍德型概率算法在一次划分之前，根据随机数在待划 分序列中随机确定一个记录作为轴值，并把它与第一个记录 交换，则一次划分后得到期望均衡的两个子序列，使得选择 问题在最坏情况下的时间性能趋近于平均情况的时间性能。
算法4——选择问题
int Select(int r[ ], int low, int high, int k)
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