中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
2023年九年级中考数学一轮复习:解直角三角形及其应用(含解析)

2023年中考数学一轮复习:解直角三角形及其应用一、单选题1.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A(﹣2,0),与x轴夹角为30°,将△ABO沿直线AB翻折,点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=(k≠0)上,则k的值为()A.4B.﹣2C D.2.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE平分△BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,△ADC=60°,122AB BC==,则下列结论:①△CAD=30°;②14OE AD=;③S平行四边形ABCD=AB·AC;④27BD=⑤S△BEP=S△APO;其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5 3.如图,为了保证道路交通安全,某段高速公路在A处设立观测点,与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。
若△BAC=α,则此车的速度为()A.5tanα米/秒B.80tanα米/秒C.5tanα米/秒D.80tanα米/秒二、填空题4.如图,在 ABC 中,AD 是BC 上的高, cos tanB DAC =∠ ,若 1213sinC =, 12BC = ,则AD 的长 .5.某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ,则他上升的最大高度是 m . 6.如图,建筑物BC 上有一旗杆AB ,点D 到BC 的距离为20m ,在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°,观察底部B 的仰角为45°,则旗杆的高度为 m .(精确到0.1m ,参考数据:520.79sin ︒≈,52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈.)三、综合题7.在Rt△ACB 中,△C=90°,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ,且△CBE=△A.(1)求证:BE 是△O 的切线; (2)连接DE ,求证:△AEB△△EDB ;(3)若点F 为 AE 的中点,连接OF 交AD 于点G ,若AO=5,3sin 5CBE ∠= ,求OG 的长.8.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ,若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C 与点E 重合时移动终止),移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上,如图(2), AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M , AC 与 DE 交于点Q ,其中 AC DF ==,设三角板 ABC 移动时间为x 秒.(1)在移动过程中,试用含x 的代数式表示AMQ 的面积;(2)计算x 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?9.已知AB 是△O 的切线,切点为B 点,AO 交△O 于点C ,点D 在AB 上且DB=DC .(1)求证:DC 为△O 的切线;(2)当AD=2BD ,CD=2时,求AO 的长.10.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度,在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ,此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线,继续向房屋方向走 8m 到达点D 时,又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ,房屋的顶层横梁 12EF m = ,//EF CB , AB 交 EF 于点G (点C ,D , B 在同一水平线上).(参考数据:sin350.6︒≈ , cos350.8︒≈ , tan350.7︒≈ ,1.7≈ )(1)求屋顶到横梁的距离 AG ;(2)求房屋的高 AB (结果精确到 1m ).11.如图,直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点,直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点,连接 OA ,若 OA = ,1tan 3AOC ∠= ,点 (3,)B b - .(1)分别求出直线 AB 与双曲线的解析式; (2)连接 OB ,求 AOBS.12.如图,某港口O 位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?说明理由.(2)若“远航”号沿北偏东60︒方向航行,经过两个小时后位于F 处,此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上,若他从F 处出发,乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗?说明理由.13.如图,某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ,沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ,已知 100OA = 米,山坡坡度 1:2i = ,且O A B 、、 在同一条直线上,其中测倾器高度忽略不计.(1)求电视塔OC 的高度;(计算结果保留根号形式)(2)求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米,参考数据:1.41= , 1.73= )14.我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射,达到了发射技术的新高度.如图,运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。
中考数学三角形试题归类(含答案)

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中考数学三角形试题归类(含答案)选择题1. (天津3分)sin45的值等于(A) (B) (C) (D) 1【答案】B。
【考点】特殊角三角函数。
【分析】利用特殊角三角函数的定义,直接得出结果。
2.(河北省3分)如图,在△ABC 中,C=90,BC=6,D,E 分别在 AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若A为CE的中点,则折痕DE的长为A、 B、2 C、3 D、4【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定和性质。
【分析】∵△ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,EDA=EDA=90,AE=AE,△ACB∽△AED。
又∵A为CE的中点,AE=AE=AC。
ED=2。
故选B。
3.(山西省2分)如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点G、F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为A. cmB.4cmC. cmD. cm【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形中位线定理,正方形的性质,勾股定理。
【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4,由AB=AC,可证明BG=CF=1,由勾股定理可求出CE= ,即可得出AC=2 。
故选D。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】求等腰三角形的周长,即要确定等腰三角形的腰与底的长,根据三角形三边关系知当6为腰,3为底时,6﹣36+3,能构成等腰三角形,周长为6+6+3=15;当3为腰,6为底时,3+3=6,不能构成三角形。
故选D。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,△ACB≌△A1CB1, BCB1=30,则ACA1的度数为A. 20B. 30C. 35D. 40【答案】B。
中考数学复习:解直角三角形的应用

解直角三角形的应用一、填空题1.如图,是一张宽的矩形台球桌,一球从点(点在长边上)出发沿虚线射向边,然后反弹到边上的点. 如果,.那么点与点的距离为().【答案】2.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC为()米(精确到0.1).(参考数据:)【答案】82.03.如图,从点C测得树的顶角为33º,BC=20米,则树高AB=()米(用计算器计算,结果精确到0.1米)【答案】4.如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是()海里(不作近似计算)。
【答案】5.如图5,某渔船在海面上朝正方方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上,那么该船继续航行()分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】156.如图,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是()米。
(假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°)【答案】7.若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2,并且两条对角线所成的锐角为60°,则等腰梯形ABCD的面积为()。
【答案】或8.如图5,一水库迎水坡AB的坡度︰,则该坡的坡角=().【答案】30°(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是()A.()m B.()mC.m D.4m【答案】A9.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m,则他升高了A.m B.500m C.m D.1000m【答案】A10.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比1:(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是()A.5米 B.10米 C.15米 D.10米【答案】A.二、解答题11.若河岸的两边平行,河宽为900米,一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处,AB与河岸的夹角是600,船的速度为5米/秒,求船从A到B处约需时间几分。
河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)

河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类一.待定系数法求反比例函数解析式(共1小题)1.(2022•河南)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,4)和点B,点B在点A的下方,AC平分∠OAB,交x轴于点C.(1)求反比例函数的表达式.(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.(要求:不写作法,保留作图痕迹)(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连接CD.求证:CD∥AB.二.反比例函数的应用(共1小题)2.(2023•河南)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案,如图,在平面直角坐标系中,以反比例函数图象上的点和点B为顶点,分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x轴上,以点O为圆心,OA长为半径作,连接BF.(1)求k的值;(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数;(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.三.二次函数综合题(共1小题)3.(2021•河南)如图,抛物线y=x2+mx与直线y=﹣x+b相交于点A(2,0)和点B.(1)求m和b的值;(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>﹣x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标x M的取值范围.四.三角形综合题(共1小题)4.(2021•河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.小明:如图1,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线l1,l2,交点为P,垂足分别为点G,H;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下:由作图知,∠PGO=∠PHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG=∠POH,即射线OP是∠AOB的平分线.小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.……任务:(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 (填序号).①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=+1.点C,D分别为射线OA,OB上的动点,且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.五.四边形综合题(共2小题)5.(2022•河南)综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30°的角: .(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图2,当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时,直接写出AP 的长.6.(2023•河南)李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题,请你解答.(1)观察发现如图1,在平面直角坐标系中,过点M(4,0)的直线l∥y轴,作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的,旋转角的度数为 ;△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的,平移距离为 个单位长度.(2)探究迁移如图2,▱ABCD中,∠BAD=α(0°<α<90°),P为直线AB下方一点,作点P关于直线AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的情形解决以下问题:①若∠PAP2=β,请判断β与α的数量关系,并说明理由;②若AD=m,求P,P3两点间的距离.(3)拓展应用在(2)的条件下,若α=60°,,∠PAB=15°,连接P2P3,当P2P3与▱ABCD 的边平行时,请直接写出AP的长.六.切线的性质(共1小题)7.(2021•河南)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在⨀O上,当点P在⨀O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与⨀O相切时,点B恰好落在⨀O上,如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证:∠PAO=2∠PBO;(2)若⨀O的半径为5,AP=,求BP的长.七.作图—基本作图(共1小题)8.(2023•河南)如图,△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB.(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE.八.解直角三角形的应用(共1小题)9.(2023•河南)综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪ABCD 为正方形,AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图,测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上,铅垂线AM交BC于点H.经测量,点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m,BH=20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)10.(2022•河南)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°,沿AC方向前进15m到达B处,又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67).11.(2021•河南)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77).河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类参考答案与试题解析一.待定系数法求反比例函数解析式(共1小题)1.(2022•河南)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,4)和点B,点B在点A的下方,AC平分∠OAB,交x轴于点C.(1)求反比例函数的表达式.(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.(要求:不写作法,保留作图痕迹)(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连接CD.求证:CD∥AB.【答案】(1)y=;(2)作图见解析部分;(3)证明见解析部分.【解答】(1)解:∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,4),∴k=2×4=8,∴反比例函数的解析式为y=;(2)解:如图,直线m即为所求.(3)证明:∵AC平分∠OAB,∴∠OAC=∠BAC,∵直线m垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴∠OAC=∠DCA,∴∠DCA=∠BAC,∴CD∥AB.二.反比例函数的应用(共1小题)2.(2023•河南)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案,如图,在平面直角坐标系中,以反比例函数图象上的点和点B为顶点,分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x轴上,以点O为圆心,OA长为半径作,连接BF.(1)求k的值;(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数;(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.【答案】(1)k=;(2)2;60°;(3)3﹣.【解答】解:(1)将A(,1)代入到y=中,得:1=,解得:k=;(2)过点A作OD的垂线,交x轴于G,∵A(,1),∴AG=1,OG=,OA==2,∴半径为2;∵AG=OA,∴∠AOG=30°,由菱形的性质可知,∠AOG=∠COG=60°,∴∠AOC=60°,∴圆心角的度数为:60°;(3)∵OD=2OG=2,∴S菱形AOCD=AG×OD=2,∴S扇形AOC=×π×r2=,在菱形OBEF中,S△FHO=S△BHO,∵S△FHO==,∴S△FBO=2×=,∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=+2﹣π=3﹣.三.二次函数综合题(共1小题)3.(2021•河南)如图,抛物线y=x2+mx与直线y=﹣x+b相交于点A(2,0)和点B.(1)求m和b的值;(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>﹣x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标x M的取值范围.【答案】(1)m=﹣2,b=2;(2)B(﹣1,3),不等式x2+mx>﹣x+b的解集为x<﹣1或x>2;(3)﹣1≤x M<2 或x M=3.【解答】解:(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得:0=4+2m,解得:m=﹣2,将点A的坐标代入直线表达式得:0=﹣2+b,解得b=2;故m=﹣2,b=2;(2)由(1)得,直线和抛物线的表达式为:y=﹣x+2,y=x2﹣2x,联立上述两个函数表达式并解得或(不符合题意,舍去),即点B的坐标为(﹣1,3),从图象看,不等式x2+mx>﹣x+b的解集为x<﹣1或x>2;(3)当点M在线段AB上时,线段MN与抛物线只有一个公共点,∵M,N的距离为3,而A、B的水平距离是3,故此时只有一个交点,即﹣1≤x M<2;当点M在点B的左侧时,线段MN与抛物线没有公共点;当点M在点A的右侧时,当x M=3时,抛物线和MN交于抛物线的顶点(1,﹣1),即x M=3时,线段MN与抛物线只有一个公共点,综上所述,﹣1≤x M<2 或x M=3.四.三角形综合题(共1小题)4.(2021•河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.小明:如图1,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线l1,l2,交点为P,垂足分别为点G,H;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下:由作图知,∠PGO=∠PHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG=∠POH,即射线OP是∠AOB的平分线.小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.……任务:(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 ⑤ (填序号).①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=+1.点C,D分别为射线OA,OB上的动点,且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.【答案】(1)⑤;(2)射线OP是∠AOB的平分线,理由见解答;(3)2或2+.【解答】解:(1)如图1,由作图得,OC=OD,OE=OF,PG垂直平分CE,PH垂直平分DF,∴∠PGO=∠PHO=90°,∵OE﹣OC=OF﹣OD,∴CE=DF,∵CG=CE,DH=DF,∴CG=DH,∴OC+CG=OD+DH,∴OG=OH,∵OP=OP,∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL),故答案为:⑤.(2)射线OP是∠AOB的平分线,理由如下:如图2,∵OC=OD,∠DOE=∠COF,OE=OF,∴△DOE≌△COF(SAS),∴∠PEC=∠PFD,∵∠CPE=∠DPF,CE=DF,∴△CPE≌△DPF(AAS),∴PE=PF,∵OE=OF,∠PEO=∠PFO,PE=PF,∴△OPE≌△OPF(SAS),∴∠POE=∠POF,即∠POA=∠POB,∴射线OP是∠AOB的平分线.(3)如图3,OC<OE,连接OP,作PM⊥OA,则∠PMO=∠PME=90°,由(2)得,OP平分∠AOB,∠PEC=∠PFD,∴∠PEC+30°=∠PFD+30°,∵∠AOB=60°,∴∠POE=∠POF=∠AOB=30°,∵∠CPE=30°,∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°,∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°,∴∠OCP=∠OPC=(180°﹣∠POE)=×(180°﹣30°)=75°,∴OC=OP,∠OPE=75°+30°=105°,∴∠OPM=90°﹣30°=60°,∴∠MPE=105°﹣60°=45°,∴∠MEP=90°﹣45°=45°,∴MP=ME,设MP=ME=m,则OM=MP•tan60°=m,由OE=+1,得m+m=+1,解得m=1,∴MP=ME=1,∴OP=2MP=2,∴OC=OP=2;如图4,OC>OE,连接OP,作PM⊥OA,则∠PMO=∠PMC=90°,同理可得,∠POE=∠POF=∠AOB=30°,∠OEP=∠OPE=75°,∠OPM=60°,∠MPC=∠MCP=45°,∴OE=OP=+1,∵MC=MP=OP=OE=,∴OM=MP•tan60°=×=,∴OC=OM+MC=+=2+.综上所述,OC的长为2或2+.五.四边形综合题(共2小题)5.(2022•河南)综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30°的角: ∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM(任写一个即可) .(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图2,当点M在EF上时,∠MBQ= 15 °,∠CBQ= 15 °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时,直接写出AP 的长.【答案】(1)∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM(任写一个即可);(2)①15,15;②∠MBQ=∠CBQ,理由见解析过程;(3)cm或cm.【解答】解:(1)∵对折矩形纸片ABCD,∴AE=BE=AB,∠AEF=∠BEF=90°,∵沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,∴AB=BM,∠ABP=∠PBM,∵sin∠BME==,∴∠EMB=30°,∴∠ABM=60°,∴∠CBM=∠ABP=∠PBM=30°,故答案为:∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM(任写一个即可);(2)①由(1)可知∠CBM=30°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°,由折叠可得:AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°,∴∠BM=BC,∠BMQ=∠C=90°,又∵BQ=BQ,∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL),∴∠CBQ=∠MBQ=15°,故答案为:15,15;②∠MBQ=∠CBQ,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°,由折叠可得:AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°,∴BM=BC,∠BMQ=∠C=90°,又∵BQ=BQ,∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL),∴∠CBQ=∠MBQ;(3)由折叠的性质可得DF=CF=4cm,AP=PM,∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ,∴CQ=MQ,当点Q在线段CF上时,∵FQ=1cm,∴MQ=CQ=3cm,DQ=5cm,∵PQ2=PD2+DQ2,∴(AP+3)2=(8﹣AP)2+25,∴AP=,当点Q在线段DF上时,∵FQ=1cm,∴MQ=CQ=5cm,DQ=3cm,∵PQ2=PD2+DQ2,∴(AP+5)2=(8﹣AP)2+9,∴AP=,综上所述:AP的长为cm或cm.6.(2023•河南)李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题,请你解答.(1)观察发现如图1,在平面直角坐标系中,过点M(4,0)的直线l∥y轴,作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的,旋转角的度数为 180° ;△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的,平移距离为 8 个单位长度.(2)探究迁移如图2,▱ABCD中,∠BAD=α(0°<α<90°),P为直线AB下方一点,作点P关于直线AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的情形解决以下问题:①若∠PAP2=β,请判断β与α的数量关系,并说明理由;②若AD=m,求P,P3两点间的距离.(3)拓展应用在(2)的条件下,若α=60°,,∠PAB=15°,连接P2P3,当P2P3与▱ABCD 的边平行时,请直接写出AP的长.【答案】(1)8;(2)①β=2α;②2m•sinα;(3)AP=3﹣或2.【解答】解:(1)答案为:8;(2)①如图1,β=2α,理由如下:连接AP1,由轴对称的性质可得:∠PAB=∠BAP1,∠P1AD=∠DAP2,∴∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α,∴β=2α;②如图2,作DF⊥AB于F,作P1E⊥DF于E,∵PP1⊥AB,P3P1⊥CD,可得矩形EFGP1和矩形DEP1H,∴DE=HP1,EF=GP1,∵DF=AD•sin A=m•sinα,∴GP1+HP1=DE+EF=DF=m•sinα,∵HP3=HP1,PG=P1G,∴HP3+PG=GP1+HP1=m•sinα,∴PP3=2m•sinα;(3)如图3,在Rt△KMN中,∠M=90°,∠N=15°,KS=SN,则∠KSM=30°,设KM=1,则SN=KS=2,MS=,则KN=,∴sin15°=,当P2P3∥AD时,作DI⊥AB于I,设P1P2交AD于T,∵P1P2⊥AD,∴P2P3⊥P1P2,∴∠P3P2P1=90°,∵PP3∥DI,∴∠P2P3P1=∠ADI=30°,由(2)知:PP3=2AD•sin60°=6,设AP1=AP=x,则PP1=2AP•sin∠PAB=2x•sin15°=2x•=,∴P1P3=PP3﹣PP1=6﹣,∵∠BAP1=∠BAP=15°,∵∠P1AT=∠DAB﹣∠BAP1=60°﹣15°=45°,由轴对称性质得:∠ATP1=90°,∴TP1=AP1=,∴P1P2=,由P1P2=P1P3•sin∠P2P3P1=P1P3•sin30°得,6﹣=2x,∴x=3,如图5,当P2P3∥CD时,设AP=x,同理可得:P1P2=2P1P3,∴2[6﹣]=x,∴x=2,综上所述:AP=3﹣或2.六.切线的性质(共1小题)7.(2021•河南)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在⨀O上,当点P在⨀O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与⨀O相切时,点B恰好落在⨀O上,如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证:∠PAO=2∠PBO;(2)若⨀O的半径为5,AP=,求BP的长.【答案】(1)见解析;(2)3.【解答】(1)证明:如图①,连接OP,延长BO与圆交于点C,则OP=OB=OC,∵AP与⨀O相切于点P,∴∠APO=90°,∴∠PAO+∠AOP=90°,∵MO⊥CN,∴∠AOP+∠POC=90°,∴∠PAO=∠POC,∵OP=OB,∴∠OPB=∠PBO,∴∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PBO,∴∠PAO=2∠PBO;(2)解:如图②所示,连接OP,延长BO与圆交于点C,连接PC,过点P作PD⊥OC于点D,则有:AO==,由(1)可知∠POC=∠PAO,∴Rt△POD∽Rt△OAP,∴,即,解得PD=3,OD=4,∴CD=OC﹣OD=1,在Rt△PDC中,PC==,∵CB为圆的直径,∴∠BPC=90°,∴BP===3,故BP长为3.七.作图—基本作图(共1小题)8.(2023•河南)如图,△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB.(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE.【答案】(1)见解答;(2)见解答.【解答】(1)解:如图所示,即为所求,(2)证明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE,∵AB=AD,AE=AE,∴△BAE≌△DAE(SAS),∴DE=BE.八.解直角三角形的应用(共1小题)9.(2023•河南)综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪ABCD 为正方形,AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图,测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上,铅垂线AM交BC于点H.经测量,点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m,BH=20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).【答案】9.1m.【解答】解:由题意可知,∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°,FG=1.8m,则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°,∴∠EAF=∠BAH,∵AB=30cm,BH=20cm,则tan∠EAF==,∴tan∠EAF==tan∠BAH=,∵AF=11m,则,∴EF=,∴EG=EF+FG= 1.8≈9.1m.答:树EG的高度为9.1m.九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共2小题)10.(2022•河南)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°,沿AC方向前进15m到达B处,又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67).【答案】拂云阁DC的高度约为32米.【解答】解:延长EF交DC于点H,由题意得:∠DHF=90°,EF=AB=15米,CH=BF=AE=1.5米,设FH=x米,∴EH=EF+FH=(15+x)米,在Rt△DFH中,∠DFH=45°,∴DH=FH•tan45°=x(米),在Rt△DHE中,∠DEH=34°,∴tan34°==≈0.67,∴x≈30.5,经检验:x≈30.5是原方程的根,∴DC=DH+CH=30.5+1.5≈32(米),∴拂云阁DC的高度约为32米.11.(2021•河南)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77).【答案】见试题解答内容【解答】解:根据题意可知:∠DAB=45°,∴BD=AD,在Rt△ADC中,DC=BD﹣BC=(AD﹣4)m,∠DAC=37.5°,∵tan∠DAC=,∴tan37.5°=≈0.77,解得AD≈17.4m,∴BD=AD≈17.4m,答:佛像的高度约为17.4 m.。
2020中考数学专项解析:解直角三角形(三角函数应用)

【文库独家】解直角三角形(三角函数应用)1、(绵阳市)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60º,又从A 点测得D 点的俯角β为30º,若旗杆底点G 为BC 的中点,则矮建筑物的高CD 为( A )A .20米B .米C .米D .米[解析]GE//AB//CD ,BC=2GC ,GE=15米,AB=2GE=30米,AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米,DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米,CD=AB-DF=30-10=20米。
2、(杭州)在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( )A .B .C .D .考点:解直角三角形.专题:计算题.分析:在直角三角形ABC 中,由AB 与sinA 的值,求出BC 的长,根据勾股定理求出AC 的长,根据面积法求出CD 的长,即为斜边上的高.解答:解:根据题意画出图形,如图所示,在Rt△ABC 中,AB=4,sinA=,∴BC=ABsinA=2.4,根据勾股定理得:AC==3.2,∵S △ABC =AC•BC=AB•CD, ∴CD==. 故选B点评:此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.3、(•绥化)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D ,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC 的长.∴AD=AD=4.+44、(•鄂州)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为10 cm.∴OP=5、(安顺)在Rt△ABC中,∠C=90°,,BC=8,则△ABC的面积为.考点:解直角三角形.专题:计算题.分析:根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度,然后利用三角形的面积公式进行计算即可.解答:解:∵tanA==,∴AC=6,∴△ABC的面积为×6×8=24.故答案为:24.点评:本题考查解直角三角形的知识,比较简单,关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式,从而得出三角形的两条直角边,进而得出三角形的面积.6、(11-4解直角三角形的实际应用·东营中考)某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析:过B 作BE ⊥CD 于点E ,设旗杆AB 的高度为x ,在Rt ABC ∆中,tan AB ACB AC ∠=,所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒,在Rt BDE ∆中,BE AC x ==,60BOE ∠=︒,tan BE BDE DE ∠=,所以1tan 3BE DE x BDE===∠,因为CE=AB=x ,所以163DC CE DE x x =-=-=,所以x=9,故旗杆的高度为9米. 7、(•常德)如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1.(1)求BC 的长;(2)求tan∠DAE 的值.BD=2sinB=,∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+,CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、(13年山东青岛、20)如图,马路的两边CF 、DE 互相平行,线段CD 为人行横道,马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。
中考数学应用题分类及参考答案(精编)

中考数学应用题分类及参考答案(精编)一、方程应用1.为加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元.求月平均增长率.2.一带一路给沿线地区带来很大的经济效益,某企业的产品对沿线地区实行优惠,决定在原定价基础上每件降价40元,这样按原定价需花费5000元购买的产品,现在只花费了4000元,求每件产品的实际定价是多少元?3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,甲志愿者计划完成此项工作的天数?二、一次函数应用4.低碳生活绿色出行的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为_________;(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式;并求乙地离小红家多少千米?三、二次函数应用5.如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).(1)若四块矩形花圃的面积相等,求证:AE=3BE;(2)在(1)的条件下,设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.四、解直角三角形应用6.灯塔是港口城市的标志性建筑之一,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,求灯塔的高度AD(结果精确到1m,参考数据:√ 2≈1.41,√ 3≈1.73)7.如图,在一次数学实践活动中,小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度,他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处,然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处,在点D处测得塔顶A的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=1:√ 3,且点A,B,C,D,E 在同一平面内,求小明同学测得古塔AB的高度.8.如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°,求甲楼的高度.五、方程与不等式应用9.某市为创建文明城市,开展美化绿化城市活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?六、方程与函数应用10.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元?七、一次函数与二次函数应用11.某汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数y(辆)有如下关系:(1)观察表格,辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:请求出公司的最大月收益是多少元.八、解直角三角形与方程应用12.如图是某滑雪场的横截面示意图,雪道分为AB,BC两部分,小明同学在C点测得雪道BC 的坡度i=1:2.4,在A点测得B点的俯角∠DAB=30°.若雪道AB长为270m,雪道BC长为260m.(1)求该滑雪场的高度h;(2)据了解,该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求,其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3,且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.九、解直角三角形与圆应用13.如图1,Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,其外接圆半径为R.根据锐角三角函数的定义:sinA=ac ,sinB=bc,可得asinA=bsinB=csinC=2R,即asinA=bsinB=csinC=2R(规定sin90°=1).(1)探究活动:如图2,在锐角△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,其外接圆半径为R,那么:asinA ( )bsinB( )csinC(用>、=或<连接),并说明理由.事实上,以上结论适用于任意三角形.(2)初步应用:在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠A=60°,∠B=45°,a=8,求b.(3)综合应用:如图3,在某次数学活动中,小玲同学测量一古塔CD的高度,在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°,又沿古塔的方向前行了100m到达B处,此时A,B,D三点在一条直线上,在B处测得塔顶C的仰角为45°,求古塔CD的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:√3≈1.732,sin15°=√6−√24)十、方程、不等式与函数应用14.要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒,如图1.现有200张规格为40cm×40cm的木板材,对该种木板材有甲,乙两种切割方式,如图2.切割,拼接等板材损耗忽略不计.(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒__________个;若使用甲种方式切割的木板材y 张,则使用乙种方式切割的木板材__________张;(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B木盒的个数和使用甲,乙两种方式切割的木板材张数;(3)包括材质等成本在内,用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为(20-12a)元,两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元.在(2)的条件下,两种木盒的销售单价分别定为多少元时,这批木盒的销售利润最大,并求出最大利润.参考答案1.解:设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元,三月份的营业额为100(1+x)2万元,依题意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990. 2.解:设每件产品的实际定价是x 元,则原定价为(x+40)元.5000x+40=4000x,解得x =160 ,经检验x =160是原方程的解.3.解:设甲志愿者计划完成此项工作需x 天,故甲的工效都为:1x ,由于甲、乙两人工效相同,则乙的工效为1x ,甲前两个工作日完成了1x ×2,剩余的工作量甲完成了1x (x −2−3),乙在甲工作两个工作日后完成了1x (x −2−3),则2x +2(x−2−3)x=1,解得x=8,经检验,x=8是原方程的解.4.解析:(1)在OA 段,速度=100.5 =20km/h(2)当1.5≤x ≤2.5时,设y=20x+b,把(1.5,10)代入得到,10=20×1.5+b,解得b=﹣20,y=20x ﹣20,当x=2.5时,解得y=30,乙地离小红家30千米.5(1)证明:∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等 ∴ME =BE,AM =GH∵四块矩形花圃的面积相等,即S 矩形AMND =2S 矩形MEFN ∴AM =2ME ∴AE =3BE (2)∵篱笆总长为100m∴2AB+GH+3BC =100即2AB+12AB+3BC=100 ∴AB=40-65 BC 设BC 的长度为xm,矩形区域ABCD 的面积为ym 2则y=BC ·AB=x(40- 65x)=−65x 2+40x ∵x>0,40- 65x>0 ∴0<x<1003∴ y=−65x 2+40x(0<x<1003)6.36m7.(20+10√ 3)m 8.(36﹣10√ 3)m9(1)设原计划每年绿化面积为x 万平方米,则实际每年绿化面积为1.6x 万平方米,根据题意,得360x−3601.6x =4解得x=33.75,经检验x=33.75是原分式方程的解,1.6x=1.6×33.75=54(2)设平均每年绿化面积增加a 万平方米,根据题意得54×2+2(54+a)≥360,解得a ≥72,则至少每年平均增加72万平方米. 10(1)y =10x+100(2)由题意得(10x+100)×(55﹣x ﹣35)=1760,整理得x 2﹣10x ﹣24=0,x 1=12,x 2=﹣2(舍去),55﹣x =43,这种消毒液每桶实际售价43元.11(1)设解析式y=kx+b,由题意得{3000k +b =1003200k +b =96,解得{k =−150b =160 ∴y 与x 间的函数关系是y =−150x +160(2)填表如下:(3)W =(−50x +160)(x −150)−(x −3000) =(−150x 2+163x −24000)−(x −3000) =−150x 2+162x −21000=−150(x −4050)2+307050当x=4050时,W 最大=307050,所以,当每辆车的月租金为4050元时,公司获得最大月收益307050元.12(1)过B 作BF ∥AD,过D 过AF ⊥AD,两直线交于F,过B 作BE 垂直地面交地面于E,如图:根据题知∠ABF =∠DAB =30°,AF =12AB =135m,BE:CE =1:2.4 设BE 长t 米,则CE 长2.4t 米. ∵BE 2+CE 2=BC2∴t 2+(2.4t)2=2602,解得t =100m(负值舍去),h =AF+BE =235m(2)设甲种设备每小时的造雪量是xm 3,则乙种设备每小时的造雪量是(x+35)m 3,根据题意得150x=500x+35,解得x =15,经检验,x =15是原方程的解,也符合题意,x+35=50.答:甲种设备每小时的造雪量是15m 3,则乙种设备每小时的造雪量是50m 3. 13(1)探究活动:a sinA = b sinB = csinC理由:如图2,过点C 作直径CD 交⊙O 于点D,连接BD. ∴∠A=∠D,∠DBC=90°∴sinA=sinD,sinD=a 2R ∴asinA = aa 2R=2R同理可证:b sinB =2R,c sinC =2R ∴a sinA = b sinB = csinC =2R (2)初步应用:∵asinA = bsinB =2R ∴8sin60° = bsin45° ∴b=8sin45°sin60°=8√63(3)综合应用:由题意得:∠D =90°,∠A =15°,∠DBC =45°,AB =100 ∴∠ACB =30°设古塔高DC=x,则BC=√2x ,AB sin∠ACB =BCsinA ,100sin30°=√2xsin15°,x=50(√3-1=36.6,古塔CD=36.6m.14(1)要制作200个A,B 两种规格的顶部无盖木盒,制作A 种木盒x 个,故制作B 种木盒(200-x)个;有200张规格为40cm ×40cm 的木板材,使用甲种方式切割的木板材y 张, 故使用乙种方式切割的木板材(200-y)张.(2)使用甲种方式切割的木板材y 张,则可切割出4y 个长、宽均为20cm 的木板,使用乙种方式切割的木板材(200-y)张,则可切割出8(200-y)个长为10cm,宽为20cm 的木板; 设制作A 种木盒x 个,则需要长、宽均为20cm 的木板5x 个,制作B 种木盒(200-x)个,则需要长、宽均为20cm 的木板(200-x)个,需要长为10cm 、宽为20cm 的木板4(200-x)个; 故{4y =5x +(200−x)8(200−y)=4(200−x),解得{x =100y =150 故制作A 种木盒100个,制作B 种木盒100个,使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张.(3)用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元,且使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张,总成本为150×5+8×50=1150(元)两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元,所以{7≤a ≤187≤20−12a ≤18,解得{7≤a ≤184≤a ≤26,a 的取值范围为7≤a ≤18. 设利润为W,则W=100a+100(20-12a)-1150整理得W=850+50a,当a=18时,W 有最大值,最大值为850+50×18=1750,此时B 种木盒的销售单价定为20-12×18=11(元)即A 种木盒的销售单价定为18元,B 种木盒的销售单价定为11元时,这批木盒的销售利润最大,最大利润为1750元.。
初三中考一轮复习(15)解直角三角形题型分类含答案(全面非常好)

教学过程解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义:在Rtz\ABCt\ /C=9d, /A、ZEk /C的对边分别为a、b、c,则/A的正弦可表示为:sinA= , /A的余弦可表示为cosA= /A的正切: tanA= ,它们统称为/ A的锐角三角函数二、特殊角的三角函数值:三、解直角三角形:1、定义:由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角:如图:在图上标上仰角和俯角i视线水平线⑵坡度坡角:如图:斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度,用i表示, 即1= 坡面与水平面得夹角为用字母%表示,则i=tan %=上。
11 T⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图:OA^Z K OB 表木OC 表木O味示(也可称东南方向)北_ A南例2 在Rtz\ABOt\ /C=90° , AB=2BC现给出下歹U结论:①sinA= § ;②cosB=■1 ;③tanA=殍;④tanB=#,其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号)解:如图所示:故答案为:②③④.对应训练2.计算6tan45 -2cos60 °的结果是()A. 4 3B. 4C. 5 3D. 52. D考点三:化斜三角形为直角三角形例3 在△ABC^, AB=AC=5 sin /ABC=0.8,贝U BC=故答案为:6.对应训练3.如图,四边形ABCD勺对角线AG BD相交于点Q且B阡分AC若BD=8 AC=6/BOC=120,则四边形ABCD勺面积为 .(结果保留根号)3.12 .3考点四:解直角三角形的应用4.如图,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AR现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0米,/PAB=38.5 , / PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A, B为参照点,结果精确到0.1米)(参考数据:sin38.5 =0.62 , cos38.5 =0.78 , tan38.5 =0.80 , sin26.5 =0.45, cos26.5 =0.89 , tan26.5 =0.50)4.解:设PD=x^,・.PDL AB,・•・/ADPN BDP=90 ,在Rt^PAD中,tan / PAD=^ ,AD・•・ AD=-—= 5x, tan38.5o0.8 4在RtWBD中,tan/PBD-DB又.78=80.0 米,55x+2x=80.0 ,4解得:x=24.6,即P[> 24.6 米,・•. DB=2x=492答:小桥PD的长度约为24.6米,位于AB之间距B点约49.2米.【聚焦中考】1.6cos30 °的值是1,但22.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:收,则AB的长为( )A.12B.4石米C. 5痣米D. 673米B2. A3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80方向向海岛C靠近,同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行,20分钟后,救援船在海岛C处处,望见渔船D在南偏东60方向,若海监船的速度为50海里/小时,则A, B之间的距离为(取4=1.7,结果精确到0.1海里).5. 67.56.如图,有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障,急需抢修,调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测,从A岛测得渔船在南偏东37方向C处,B岛在南偏东66°方向,从B岛测得渔船在正西方向,已知两个小岛间的距离是72海里, A岛上维修船的速度为每小时20海里,B岛上维修船的速度为每小时28.8海里,为及时赶到维修,问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船?(参考数据:cos37 =0.8, sin37 =0.6, sin66 =0.9, cos66 =0.4)6.解:如图,作ADLBC的延长线于点D.北D C B在Rt^ADB中,AD=ABcos/BAD=72< cos66 =72X 0.4=28.8 (海里),BD=ABsin / BAD=72 sin66 =72X 0.9=64.8 (海里).在Rt/XADC^, AC=—AD— ^88- 空=36(海里),cos DAC cos37o0.8CD=ACsin / CAD=36 sin37 =36X 0.6=21.6 (海里).BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2 (海里).A岛上维修船需要时间t A=^ ^=1.8 (小时).20 20B岛上维修船需要时间t B=坨432=1.5 (小时).28.8 28.8- t A> t B,.•・调度中心应该派遣B岛上的维修船.10.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CDW l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A B,使/ CAD=30 , / CBD=60 .(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:石=1.73, 72=1.41 );(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒, 这辆校车是否超速?说明理由.S DC10.解:(1)由题意得,在Rtz\ADC^, AD= CD”马=21 阴=36.33 (米),tan30o .33在Rt^BDC^ , BD=_CD V=Z1 =75/3 = 12.11 (米),tan60 3贝U AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22= 24.2 (米)。
中考数学专题训练解直角三角形的应用含答案

2014中考数学专题训练:解直角三角形的应用1. (2012山西省)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A .B 的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°,然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米,在点D 测得端点B 的俯角为45°,求岛屿两端A .B 的距离(结果精确到0.1米,参考数据:)【答案】解:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F ,∵AB ∥CD ,∴∠AEF =∠EFB =∠ABF =90°。
∴四边形ABFE 为矩形。
∴AB =EF ,AE =BF 。
由题意可知:AE =BF =100,CD =500。
在Rt △AEC 中,∠C =60°,AE =100, ∴0AECE tan 60=在Rt △BFD 中,∠BDF =45°,BF =100,∴0BF100DF==1001=。
∴AB =EF =CD +DF ﹣CE =500+100×1.73≈600﹣57.67≈542.3(米)。
答:岛屿两端A .B 的距离为2. (2012江苏)如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°, 然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处,这时,PC =30 m ,点C 与点A恰好在同一水平线上, 点A 、B、P 、C 在同一平面内.(1)求居民楼AB 的高度;(2)求C 、A 之间的距离.(精确到0.1m,参考数据:41.12≈,73.13≈,45.26≈)【答案】解:(1)过点C 作CE ⊥BP 于点E ,在Rt △CPE 中,∵PC =30m ,∠CPE =45°,∴CEsin45PC︒=。
∴CE =PC •sin (m )。
∵点C 与点A 在同一水平线上,∴AB =CE =m )。
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中考数学分类(含答案)解直角三角形应用一、选择题 1.(2010辽宁丹东市)如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度,已知她与树之间的水平距离BE 为5m ,AB 为1.5m 二、填空题1.(2010山东济宁)如图,是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ,一球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ,然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =,CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2.(2010重庆市潼南县)如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,则电梯楼的高BC 为 米(精确到0.1).(参考数据:414.12≈732.13≈)【答案】82.0 3.(2010江西)如图,从点C 测得树的顶角为33º,BC =20米,则树高AB = 米(用计算器计算,结果精确到0.1米)(第15题)13【答案】0.4.(2010 湖北孝感)如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里(不作近似计算)。
6【答案】35.(2010广东深圳)如图5,某渔船在海面上朝正方方向匀速航行,在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上,那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】156.(2010广东佛山)如图,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米。
(假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°)7.(2010辽宁沈阳)若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为2,并且两条对角线所成的锐角为60°,则等腰梯形ABCD 的面积为 。
【答案】3或33 8.(2010四川达州)如图5,一水库迎水坡AB 的坡度1i =, 则该坡的坡角α= .【答案】30°(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是( )A .(32+)m B .(32)m C . m D .4m【答案】A9.(2010江苏宿迁)小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ,则他升高了A .5200mB .500mC .3500mD .1000m 【答案】A10.(2010浙江湖州)河堤横断面如图所示,堤高BC =5米,迎水坡AB 的坡比1图5(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是()A.B.10米C.15米D.【答案】A.三、解答题1.(2010安徽省中中考)若河岸的两边平行,河宽为900米,一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处,AB与河岸的夹角是600,船的速度为5米/秒,求船从A到B3 )处约需时间几分。
(参考数据:7.1【答案】2.(2010安徽芜湖)(本小题满分8分)图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB与地面EH平行,测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面,EF=16cm,求塔吊的高CH的长.解:【答案】3.(2010广东广州,22,12分)目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔.如图8所示,新电视塔高AB 为610米,远处有一栋大楼,某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°,在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC ; (2)求大楼的高度CD (精确到1米)45°39°D CE B【分析】(1)由于∠ACB =45°,∠A =90°,因此△ABC 是等腰直角三角形,所以AC =AB =610;(2)根据矩形的对边相等可知:DE =AC =610米,在Rt △BDE 中,运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长,用AB 的长减去BE 的长度即可.【答案】(1)由题意,AC =AB =610(米);(2)DE =AC =610(米),在Rt △BDE 中,tan ∠BDE =BEDE,故BE =DE tan39°. 因为CD =AE ,所以CD =AB -DE ·tan39°=610-610×tan39°≈116(米)答:大楼的高度CD 约为116米.【涉及知识点】解直角三角形 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题是基本概念的综合题,主要考查考生应用知识解决问题的能力,很容易上手,容易出错的地方是近似值的取舍.4.(2010甘肃兰州)(本题满分8分)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.(1)求新传送带AC 的长度;(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.45)【答案】(1)如图,作AD ⊥BC 于点D ……………………………………1分Rt △ABD 中,AD =AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt △ACD 中,∵∠ACD =30°∴AC =2AD =24≈6.5 (3)分即新传送带AC 的长度约为6.5米. ………………………………………4分(2)结论:货物MNQP 应挪走. ……………………………………5分解:在Rt △ABD 中,BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分 在Rt △ACD 中,CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9<2 ………………………………7分∴货物MNQP 应挪走. …………………………………………………………8分 5.(2010江苏南京)(7分)如图,小明欲利用测角仪测量树的高度。
已知他离树的水平距离BC 为10m ,测角仪的高度CD 为1.5m ,测得树顶A 的仰角为33°.求树的高度AB 。
(参考数据:sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)【答案】6.(2010江苏南通)(本小题满分9分)光明中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走,在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上,20min 后他走到B 处,测得建筑物C 在北偏西45°方向上,求建筑物C 到公路AB 的距离.(已知1.732≈)【答案】过C 作CD ⊥AB 于D 点, 由题意可知AB =50×20=1000m ,∠CAB =30°,∠CBA =45°,AD =CD /tan30°,BC =CD /tan45°, ∵AD +BD = CD /tan30°+ CD /tan45°=1000, 解得CD1-)m ≈366m .7.(2010江苏盐城)(本题满分10分)如图所示,小杨在广场上的A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕,测得屏幕下端D 处的仰角为30º,然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处,又测得该屏幕上端C 处的仰角为45º.若该楼高为26.65m ,小杨的眼睛离地面1.65m ,广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐.求广告屏幕上端与下端之间的距离( 3 ≈1.732,结果精确到0.1m ).(第23题)【答案】解:设AB 、CD 的延长线相交于点E∵∠CBE =45º CE ⊥AE ∴CE =BE ………………………(2分) ∵CE =26.65-1.65=25 ∴BE =25∴AE =AB +BE =30 ……………………………………………(4分) 在Rt △ADE 中,∵∠DAE =30º ∴DE =AE ×tan30 º =30×33=10 3 …………………(7分) ∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………(9分) 答:广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ……………………(10分) (注:不作答不扣分)8.(2010山东青岛)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB =80米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度.(结果保留整数)(参考数据:o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈,,,)A B C DEABC DEA【答案】 解:设CD = x . 在Rt △ACD 中,tan37ADCD ︒=, 则34AD x=, ∴34AD x =.在Rt △BCD 中,tan48° = BDCD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. (4)分∵AD +BD = AB ,∴31180410x x +=. 解得:x ≈43.答:小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米. ………………… 6 9.(2010四川凉山)如图所示,城关幼儿园为加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30,已知原滑滑板AB 的长为4米,点D 、B 、C 在同一水平地面上。
(1) 改善后滑滑板会加餐长多少米?(2) 若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?请说明理由。
1.414=1.732=2.449=,以上结果均保留到小数点后两位)。
【答案】10.(2010四川眉山)如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB .小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ,测得教学楼顶端A 的仰角为30°,然后向教学楼前进40m 到达E ,又测得教学楼顶端A 的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB .【答案】解:在Rt △AFG 中,tan AGAFG FG∠=∴tan AG FG AFG ==∠……………(2分)在Rt △ACG 中,ABCD3045第20题图tan AGACG CG ∠=∴tan AGCG ACG=∠…………(4分)又 40CG FG -=即40=∴AG =…………………………(7分)∴ 1.5AB =(米)答:这幢教学楼的高度AB为 1.5)米.(8分)11.(2010浙江杭州)(本小题满分10分)如图,台风中心位于点P ,并沿东北方向PQ 移动,已知台风移 动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B 市位 于点P 的北偏东75°方向上,距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市; (2)求这次台风影响B 市的时间.【答案】(1) 作BH ⊥PQ 于点H , 在Rt △BHP 中,由条件知, PB = 320, ∠BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,∴本次台风会影响B 市. ---4分(2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.由(1)得BH = 160, 由条件得BP 1=BP 2 = 200,∴P 1P 2 = 222160200-=240, --- 4分∴台风影响的时间t =30240= 8(小时). --- 2分12.(2010浙江嘉兴)设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD ,如图(单位:米).设路基高为h ,两侧的坡角分别为α和β,已知2=h ,︒=45α,21tan =β,10=CD .(1)求路基底部AB 的宽;(2)修筑这样的路基1000米,需要多少土石方?【答案】1)作AB DE ⊥于E ,AB CF ⊥于F ,则2==CF DE ,在Rt △ADE 中,∵︒=45α,∴2==DE AE .αβABCED F(第21题)αβABCD (第21题)在Rt △CFB 中,∵21tan =β,∴21=BF CF ,∴42==CF BF .在梯形ABCD 中,又∵EF =CD =10, ∴AB =AE +EF +FB =16(米). …6分 (2)在梯形ABCD 中,∵AB =16,10=CD ,2=DE ,∴面积为262)1610(21)(21=⨯+=⨯+DE AB CD (平方米),∴修筑1000米路基,需要土石方:26000100026=⨯(立方米). …4分13.(2010浙江绍兴)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球 沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气 球的仰角为45°.(1)求气球的高度(结果精确到0.1m);(2)求气球飘移的平均速度(结果保留3个有效数字).【答案】解:(1) 作CD ⊥AB ,C /E ⊥AB ,垂足分别为D ,E.∵ CD =BD ·tan60°,CD =(100+BD )·tan30°,∴(100+BD )·tan30°=BD ·tan60°, ∴ BD =50, CD =503≈86.6 m , ∴ 气球的高度约为86.6 m.(2) ∵ BD =50, AB =100, ∴ AD =150 ,又∵ AE =C /E =503, ∴ DE =150-503≈63.40, ∴ 气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.第20题图第20题图14.(2010 浙江台州市)施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米,斜面距离BC =4.25米,斜坡总长DE =85米. (1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°);(2)若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺,需要铺几级台阶?【答案】(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94,∴∠D ≈20°.(2)EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ,共需台阶28.9×100÷17=170级. 15.(2010山东聊城)建于明洪武七年(1374年),高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一(如图①).喜爱数学实践活动的小伟,在30米高的光岳楼顶P 处,利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为60º,又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30º(如图②).求商店与海源阁宾馆之间的距离.(结果保留根号)第20题图A PO B图②【答案】由题意知∠PAO =60º,∠B =30º,在Rt △POA 中,tan PO PAO OA∠=,30tan 60OA︒=,(第19题)OA=30,在在Rt△POB中,tan POBAB=,30tan30OA︒=,OA=30÷3=,∴AB=OB-OA=-=16.(2010湖南长沙)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45.求路况显示牌BC的高度.【答案】解:在Rt△ABD,AB=3m,∠ADB =45°所以333tan tan451ABADADB====∠.Rt△ACD中,AD=3m,∠ADC=60°所以t a n3t603333A C A D A D C==⨯=.所以路况显示牌BC的高度为()3m.17.(2010浙江金华)在一个阳光明媚、清风徐来的周末,小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A 的引线(线段AC)长20m,风筝B的引线(线段BC)长24m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.(1)试通过计算,比较风筝A与风筝B谁离地面更高?(2)求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m;参考数据:sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732)全品中考网【答案】解:(1)分别过A ,B 作地面的垂线,垂足分别为D ,E .在Rt △ADC 中,∵AC ﹦20,∠ACD ﹦60°,∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中,∵BC ﹦24,∠BEC ﹦45°,∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高. (2)在Rt △ADC 中,∵AC ﹦20,∠ACD ﹦60°, ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中,∵BC ﹦24,∠BEC ﹦45°,∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC -DC ≈16.97-10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m . 18.(2010 山东济南)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB =40米,坡角∠BAD =600,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? (第19题【答案】解:作BG ⊥AD 于G ,作EF ⊥AD 于F , ∵Rt △ABG 中,∠BAD =600,AB =40,∴ BG =AB ·sin600=203,AG = AB ·cos600=20 同理在Rt △AEF 中,∠EAD =450, ∴AF =EF =BG =203,∴BE =FG =AF -AG =20(13-)米.19.(2010江苏泰州)庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C 处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B 处出发.如图,已知小山北坡的坡度31∶=i ,山坡长为240米,南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ?(将山路AB 、AC 看成线段,结果保留根号)【答案】过点A 作AD ⊥BC 于点D ,在Rt △ADC 中,由3:1=i 得tan C =3331=∴∠C =30°∴AD =21AC =21×240=120(米)在Rt △ABD 中,∠B =45°∴AB =2AD =1202(米) 1202÷(240÷24)=1202÷10=122(米/分钟)答:李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A .20.(2010江苏无锡)在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A相距的C 处.(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?请说明理由.东l【答案】解:(1)由题意,得∠BAC =90°,∴BC ==.∴轮船航行的速度为43=km/时.(2)能.……(4分)作BD ⊥l 于D ,CE ⊥l 于E ,设直线BC 交l 于F ,l东则BD =AB ·cos ∠BAD =20,CE =AC ·sin ∠CAE=,AE =AC ·cos ∠CAE =12. ∵BD ⊥l ,CE ⊥l ,∴∠BDF =∠CEF =90°.又∠BFD =∠CFE ,∴△BDF ∽△CEF ,∴,DF BD EFCE=∴32EF EF+=,∴EF =8.∴AF =AE +EF =20. ∵AM <AF <AN ,∴轮船不改变航向继续航行,正好能行至码头MN 靠岸. 21.(2010湖南邵阳,22,8分)如图(十二),在上海世博会场馆通道建设中,建设工人将坡长为10米(AB =10米),坡角为20°30`(∠BAC =20°30`)的斜坡通道改造成坡角为12°30`(∠BDC =12°30`)的斜坡通道,使坡的起点从点A处向左平移至点D处,求改造后的斜坡通道BD 的长。