初三数学中考总复习教研：《几何综合》复习指导
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。
北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案
几何综合7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH . (1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思图Z92．[2014·北京] 在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F . (1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB ＝20°，求∠ADF 的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB <90°，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．图Z93．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图 34．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z95．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－] ，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角2．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z93．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC ＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；________．图Z9－84．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z95．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.(1)如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，AFBE＝________；(2)如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和AFBE的值，并证明你的结论；(3)如果∠BAC＝α，那么AFBE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－6．[2015·丰台一模] 在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点(不与点C重合)，过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G. (1)如果∠ACB＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图(b)，当点P不与点A重合时，求CFPE的值．(2)如果∠CAB＝a，如图(c)，请直接写出CFPE的值．(用含a的式子表示)7．[2015·海淀] 将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求图Z98．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9参考答案1.. 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP .∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°，.过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°，∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2.由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.(2)AE ，则∠PAB ＝∠PAE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°，∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形． 证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB. 又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ， ∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠PAD ＋∠PQD )＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α， ∴2∠CDB ＝180°－2α， ∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠PAD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α. ∵点P 不与点B ，M 重合， ∴∠BAD ＞∠PAD ＞∠MAD ， ∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5AF 平分∠BAD ∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F .∴∠CEF ＝∠F .(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°，∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°.∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形，∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°， ∴△ECG 与△FCG 是等边三角形，∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ，∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°，∴∠BDG ＝180°－∠BGD ＝60°.1.解：(1)(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．AP对称，∴AD＝AB，DE＝BE，可证得∠EDA＝∠EB A.∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.设AC，BE交于点F，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．(a)所示．)，由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB＝90°.∴∠ADF＝∠ED B.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DFB＝45°.∴DB＝DF.∴△ADF≌△EDB.∴AF＝EB.∵AC DF＝3，∴AB＝8 2，BF＝3 2.AF＝AB－BF＝5 2，即BE＝5 2，(2)2BD＝BE＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)BE∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°.∴∠GEB ＝∠CBE .∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°.∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF.∴∠EDC＝∠ABC＝α.由(1)知∠ADE＝90°－α，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，∴∠C＝α.∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF.∴∠EAC＝∠C＝α.由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α，∴∠DAC＝α.∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.5．解：(1)90 1 2(2)结论：∠AHB＝90°，AFBE＝32..°，∴△ABC是等边三角形．∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°.∴∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C＝60°.设AB＝BC＝k(k>0)，则CE＝12CD＝k4，DE＝34k.∵F为DE的中点，∴DF＝12DE＝38k，AD＝32AB＝32k.∴ADBC ＝32，DFCE＝32.∴AD BC ＝DF CE. 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE .∴AF BE ＝AD BC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．交CG 于点N ，交CD 于点M ，∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°.∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN .由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°.方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D. ∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D.∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α. ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α.∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴α＝∠CAD ＝90°.8．解：(1)CH ＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE .AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°.∵DE ＝DF ，∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°，∴∠4＝∠HB C.∴CH＝CB.∴CH＝AB. (3)3 2＋3.。
中考数学复习-几何专题复习-教案
中考数学复习-几何专题复习-教案一、教学目标1. 知识与技能：巩固和掌握初中阶段几何的基本知识和技能，提高解题能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够灵活运用几何知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，提高学生对数学学科的认同感和自信心。
二、教学内容1. 第一课时：三角形的全等和相似教学重点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
教学难点：全等三角形和相似三角形的应用。
2. 第二课时：四边形的性质和判定教学重点：四边形的性质和判定方法。
教学难点：四边形性质和判定方法的综合运用。
3. 第三课时：圆的性质和判定教学重点：圆的性质和判定方法。
教学难点：圆的性质和判定方法在实际问题中的应用。
4. 第四课时：角的计算和证明教学重点：角的计算方法和证明方法。
教学难点：角的计算和证明在实际问题中的应用。
5. 第五课时：几何图形的面积和体积教学重点：几何图形的面积和体积计算方法。
教学难点：几何图形面积和体积计算在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 复习导入：通过复习已学过的几何知识，引导学生回顾和巩固相关概念、定理和公式。
2. 讲解与示范：针对每个课时的教学内容，进行详细的讲解和示范，引导学生理解和掌握相关知识和技能。
3. 练习与讨论：布置适量的练习题，组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检查学生对知识的掌握程度。
3. 期中期末考试：通过期中期末考试，全面评估学生的复习效果。
五、教学资源1. 教材：选用合适的中考数学复习教材，为学生提供系统的复习资料。
2. 习题集：挑选适合学生水平的习题集，提高学生的解题能力。
3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示教学内容。
4. 教学视频：收集相关的教学视频，为学生提供更多学习资源。
浙教版初中数学初三中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE ，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE 与FC 的延长线交于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF 和△DCE 中，，∴△CBF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-． ∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B ′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB ′，交CD 于点M ． ①CF 的长为 ；②判断AM 与FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B ′恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为 ，= ．拓展运用：（3）当=2时，求sin ∠DAB ′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，∴NA=NE=12﹣B ′N ，在Rt △AB ′N 中，由勾股定理得：B ′N 2=（12﹣B ′N ）2﹣62，解得：B ′N=， AN=，∴sin ∠DAB ′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【：几何综合问题 例3】【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，5．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF ∠=-∠°，1190PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°．∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==． FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△． ∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握几何图形的性质和判定方法；（2）提高解题能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过复习，使学生掌握几何图形的性质和判定方法；（2）培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）几何图形的性质和判定方法；（2）解题策略和逻辑思维能力的培养。
2. 教学难点：（1）复杂图形的分析和解题；（2）几何知识的灵活运用。
三、教学过程1. 课堂导入：回顾之前学过的几何知识，引导学生思考几何图形在实际生活中的应用。
2. 知识梳理：（1）复习平面几何的基本概念和性质；（2）总结三角形、四边形、圆等图形的判定方法和性质。
3. 典题解析：分析典型题目，引导学生运用几何知识解决问题，讲解解题思路和技巧。
4. 课堂练习：设计相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调几何知识在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成练习册上的相关题目；2. 选择一道有兴趣的几何题目进行深入研究，下周分享研究成果。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对课堂知识的掌握程度。
3. 课后分享：听取学生对研究成果的分享，评估学生的自主学习能力和创新意识。
4. 中考模拟试题：定期进行中考模拟试题的测试，评估学生的复习效果和备考状态。
六、第六章节：三角形的全等与相似1. 教学目标（1）理解三角形全等的条件和判定方法；（2）掌握三角形相似的性质和判定方法；（3）培养学生在实际问题中运用全等和相似三角形的知识解决问题的能力。
2. 教学重难点（1）三角形全等的判定方法；（2）三角形相似的性质和判定方法；（3）全等和相似三角形在实际问题中的应用。
初三数学几何综合复习指导
几何综合几何综合题常研究以下几个方面的问题：①证明线段、角的数量关系（包括相等、和差、倍、分关系以及比例关系）；②证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等）；③面积计算问题；④动态几何问题等等。
在解几何综合问题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中隐含的数量关系，另外，也需要注意使用数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法来解决问题。
有时借助变换的观点也能帮我们找到更有效的解决问题的思路。
在做几何综合题时，建立综合与分析的思维方法，思维受阻时及时改变方向;熟悉常用的辅助线;强化变换的意识;从特殊或极端位置探究结论;熟悉导角导边的能力一、几何的基本计算和证明问题 1、（市编195页4）直线CF 垂直且平分AD 于点E ，四边形ABCD 是菱形，BA 的延长线交CF 于点F ， 连接AC 。
（1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来。
（2）证明：ΔABC 是正三角形。
2、（市编196页6）在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB的延长线于G 。
（1） 求证：ΔADE ≌ΔCBF （2） 若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
3、在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=°，5AB =，10BC =，tan 2ADC ∠=． （1）求DC 的长；（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若BF DE =，FBC CDE ∠=∠，试判断ECF △的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BE EC ⊥，:4:3BE EC =，求DE 的长．解（1）过A 点作AG DC ⊥，垂足为G90AB CD BCD ABC ∴∠=∠=∥，∴四边形ABCG 为矩形510CG AB AG BC ∴====，tan 2AGADG DG∠==510DG DC DG CG ∴=∴=+=，（2）DE BF FBC CDE BC DC =∠=∠=，， DEC BFC ∴△≌△EC CF ECD FCB ∴=∠=∠，9090BCE ECD ECF ∠+∠=∠=，ECF ∴△是等腰直角三角形 （3）过F 点作FH BE ⊥BE EC CF CE CE CF =⊥，⊥，∴四边形ECFH 是正方形，6FH EC ∴==:4:390BE EC BEC =∠=， 222BC BE EC ∴=+68EC BE ∴==， 2BH BE EH ∴=-=DE BF ∴===4、（学、探、诊168页1）如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC ＝CD ，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一点，PQ ∥BA 交AD 于点Q ，PS ∥BC 交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形。
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神，提高学生对数学美的鉴赏能力。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章：三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章：四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章：圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章：几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 利用多媒体教学手段，直观展示几何图形的性质和变换过程，提高学生的空间想象能力。
3. 注重个体差异，针对不同学生进行分层教学，使每位学生都能在复习过程中得到提高。
四、教学评价1. 定期进行课堂检测，了解学生掌握几何知识的情况。
2. 组织中考模拟试题训练，检验学生的应用能力和解题水平。
3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神，进行全面评价。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照章节顺序进行复习，每个章节安排一周时间。
3. 复习方法：先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式，进行典型例题分析，进行课堂练习和总结。
4. 课外作业：每章节安排2-3道课后习题，巩固所学知识。
5. 课后辅导：针对学生疑难问题进行解答，提供个性化的学习指导。
中考数学平面几何的复习指导
2019年中考数学平面几何的复习指导1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
中考数学复习几何专题复习教案
中考数学复习几何专题复习教案Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】中考数学专题复习六几何（一）【教学笔记】题型一：图像的几何变换1、主视图、左视图、府视图2、图形旋转、折叠3、求最短路径问题题型二：平面几何基础1、平行线、相交线题型三：三角形(全等、相似、三角函数)1、勾股定理1、题型一：图像的几何变换【例1】（2016资阳）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C 符合题意．故选C ．【例2】（2015资阳）如图1是一个圆台，它的主视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．解：B ． 【例3】（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π【例4】(2014年四川资阳)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度等于（ ）A ．55°B ． 60°C ． 65°D ． 80°解答：∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=BC ，BB 1=B 1C ，AB=AB 1，∴BB 1=AB=AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选：B ．【例5】（2015自贡）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连接B′D ，则B′D 的最小值是（ ）A ．2102-B ．6C ．2132-D ．4解析：【课后练习】1、(2014年四川资阳)下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）A．B．C．D．解答：解；A、的俯视图是正方形，故A正确；2、（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（B）A．3 B．23 C．26 D．6解：连接BD，与交于点F．∵点B与D关于对称，∴=，∴+PE=+PE=BE最小．∵正方形的面积为12，∴AB=23=BE3、（2015甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）A． B． C． D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．故选B.4、（2015遂宁）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（C）A．2 B．3 C．4 D．5解：平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；而等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故中心对称图形的有4种．5、（2015泸州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（A）A．13 B．152C．272D．12解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=24，tanC=2，∴AQ/QC=2，QC=BQ=12，∴AQ=24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，设BD=x，则DE=x，∴DF=24-x-6=18-x，∴x2=（18-x）2+122，得：x=13，则BD=13．故选A．6、（2015绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（B）A．34B．45C．56D．677、（2015广元）如图，把RI△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5．点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线26y x=-上时，线段BC扫过的面积为（ C ）A．4 B．8 C．16 D．82解：∵∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AC=4，当点C落在直线y=2x﹣6上时，如图，∴四边形BB'C'C是平行四边形，∴A'C'=AC=4，把y=4代入直线y=2x﹣6，解得x=5，即OA'=5，∴AA'=BB'=4，∴平行四边形BB'C'C的面积=BB' ×A'C'=44=16；故答案为：16．8、（2015成都）如图，在平行四边形ABCD中，AB=13，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_______．试题分析：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据翻折的性质，则AE⊥BC，BE=CE=2，在Rt△ABE 中，由勾股定理得．故答案为：3．9、（2015达州）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C ′D ′交AE 于点M ．若AB =6，BC =9，则AM 的长为 ．10、（2015内江）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD =2，BC =3，则EF 的长为 ．11、（2015宜宾）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB ．若C （323），则该一次函数的解析式为 ． 12、（2015凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．13、（2015绵阳）如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则∠CDE 的正切值为 ．14、（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE +DE 的最小值为 ．15、（2015乐山）如图，已知A （232）、B （31），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，3）的位置，则图中阴影部分的面积为 ．16、（2015南充）（10分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A 、B 和D 的距离分别为1，22，10，△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连结PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q ．（1）求证：△APP ′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ 的大小；（3）求CQ 的长．17、（2015自贡）（14分）在△ABC 中，AB=AC=5，cos ∠ABC=53，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ．（1）如图①，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是F 1，求线段EF 1长度的最大值与最小值的差．题型二：平面几何基础【例1】（2015资阳）如图，已知AB ∥CD ，∠C =70°，∠F =30°，则∠A 的度数为（ C ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例2】（2015广安）如图，半径为r 的⊙O 分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为1t 、2t 、3t ，则1t 、2t 、3t 的大小关系为 ．解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为，等边三角型的边长为a≈2，等边三角形的周长为6；正方形的边长为b≈，正方形的周长为×4=；圆的周长为×2×1=，∵＞＞6，∴t 2＞t 3＞t 1．【例3】（2016资阳）如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠ACB= 36° ． 【解答】解：正多边形内角和；∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB ，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为：36°．【课后练习】1、（2015内江）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交C B 的延长线于点E ．若∠E =35°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．60°D ．70°2、（2015凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）A ．52°B ．38°C ．42°D ．60°3、（2015泸州）如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ABD ．若∠C =40°，则∠D 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°4、（2015成都）如图，直线m ∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，则∠1=________度．5、（2015遂宁）下列命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②点G 是△ABC 的重心，若中线AD =6，则AG =3；③若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则k ＜0，b ＞0；④定义新运算：a *b =22a b -，若（2x ）*（x ﹣3）=0，则x =1或9；⑤抛物线2243y x x =-++的顶点坐标是（1，1）． 其中是真命题的有 （只填序号） 6、（2015宜宾）如图，A B ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B =35°，∠D =45°，则∠AEC = ．7、（2015绵阳）如图，AB ∥CD ，∠CDE =119°，GF 交∠DEB 的平分线EF 于点F ，∠AGF =130°，则∠F = ． 题型三：三角形(全等、相似、三角函数)【例1】（2016资阳）如图6，在△ABC 中，∠ACB =90o ，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB =2；②当点E 与点B 重合时，MH =12；③AF+BE=EF ；④MGMH =12，其中正确结论为（ C ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④解答：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确； ②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，∴MB ⊥BC ，∠MBC=90°，∵MG ⊥AC ，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC ，∴MG ∥BC ，四边形MGCB 是矩形，∴MH=MB=CG ，∵∠FCE=45°=∠ABC ，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF ，∴FG 是△ACB 的中位线，∴GC=AC=MH ，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF 顺时针旋转90°至△BCD ，则CF=CD ，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF ；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD 中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠EBD=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴AE/BC=，∴AEBF=ACBC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MH∥AC ，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=，故④正确．故选：C．【例2】（2016资阳）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）图5 A．13cm B．261cm C．61cmD．234cm考点：平面展开-最短路径问题．解答：解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===13（Cm）．故选：A．【例3】（2016资阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是①②③④．【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，在△ADO和△CEO中，，∴△ADO≌△CEO，∴DO=OE，∠AOD=∠COE，∴∠AOC=∠DOE=90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE=∠COE，故②正确．③正确．∵AC=BC=1，∴S△AB C=×1×1=，S四边形DC EO=S△DOC+S△C EO=S△C DO+S△ADO=S△AOC=S△AB C=，故③正确．④正确．∵D、C、E、O四点共圆，∴OPPC=DPPE，∴2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP （OP+PC）=2OPOC，∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，∴△OPE∽△OEC，∴=，∴OPOC=OE2，∴2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，∵CD=BE，CE=AD，∴AD2+BE2=2OP2+2DPPE，∴AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE．故④正确．【例4】（2016资阳）在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．【解答】解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠BAC=∠BAD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴AC=CB，（2）①由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠DAF=∠ABD，∴∠DAF=∠ADB，∴AF∥BB，∴∠BAC=∠ABD，∵∠ABD=∠FAD由旋转得，∠BAC=∠BAD，∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，由旋转得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，在△AFD和△BED中，，∴△AFD≌△BED，∴AF=BE，②如图，由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=36°，设BD=x，作BG平分∠ABD，∴∠BAD=∠GBD=36°∴AG=BG=BC=x，∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，∵∠BDG=∠ADB，∴△BDG∽△ADB，∴．∴，∴，∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，∴△AFD∽△BED，∴，∴AF==x．【课后练习】1、（2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．42、（2015达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°3、（2015遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4、（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1）5、（2015泸州）在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（32，32），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56、（2015眉山）如图，A ．B 是双曲线x k y =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．34B ．38 C ．3 D ．4 7、（2015眉山）如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB =l ，BC =3，DE =2，则EF '的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．88、（2015绵阳）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ ）A ．34B ．45C ．56D ．679、（2015绵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD =90°，BC =4，BE =ED =3，AC =10，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．20D ．2410、（2015绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC =42°，∠A =60°，则∠BFC =（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°11、（2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长A ．12B ．9C ．13D ．12或912、（2015甘孜州）如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =30°，延长BA 至点D ，则∠CAD 的大小为（ ）A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°13、（2015乐山）如图，1l ∥2l ∥3l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知32AB BC =，则DE DF 的值为（ ） A ．32 B ．23 C ．25D ．3514、（2015成都）如图，在平行四边形ABCD中，ABAD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．15、（2015南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度．16、（2015自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．17、（2015宜宾）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②35PFPH=；③2DP PH PB=⋅；④ΔBPDABCD14SS=正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）18、（2015宜宾）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为．19、（2015宜宾）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．20、（2015凉山州）在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．21、（2015泸州）如图，在矩形ABCD中，BCAB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：①∠AEB=∠AEH；②DH=；③HO=12AE；④BC﹣BFEH．其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）．22、（2015眉山）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________．（请写出正确结论的番号）．23、（2015绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．24、（2015广元）一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为________cm．25、（2015巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为．26、（2015巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．27、（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE +DE 的最小值为 ．28、（2015乐山）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °．29、（2015乐山）（10分）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ．（1）求证：△DCE ≌△BFE ；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE 的长．30、（2015南充）（8分）如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP ＞AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．（1）判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形（不需说明理由）（2）如果AM =1，sin ∠DMF =53，求AB 的长． 31、（2015南充）（8分）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE =CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF =2CD ．32、（2015内江）（本小题满分9分）如图，将ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB =BE ，连接DE ，EC ，DE 交BC 于点O ．（1）求证：△ABD ≌△BEC ；（2）连接BD ，若∠BOD =2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．33、（2015广安）（6分）在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O ，求证：OA =OE ．解析：∵AD ∥BC ∴∠CBD=∠ADB又∵∠EBD=∠CBD ∴∠EBD=∠ADB ∴OB=OD∵BC=BE AD=BC ∴BE=AD∴AD-OD=BE-OB∴OA=OE34、（2015巴中）（10分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，MN 过点O 且与边AD 、BC 分别交于点M 和点N ．（1）请你判断OM 和ON 的数量关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，当AB =6，AC =8时，求△BDE 的周长．。
北京市第四中学九年级中考数学复习学案 09几何综合问
几何综合问题北京四中 梁威以几何为主的综合题常研究以下几个方面的问题：① 证明线段、角的数量关系(包括相等、和、差、倍、分关系及比例关系等)；② 证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等)； ③ 几何计算问题；④ 动态几何问题．在解几何综合题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中隐含的等量关系．另外，也要注意使用数形结合、方程、分类讨论、转化等数学思想方法来解决问题．有时借助变换的观点也能帮助我们更有效地找到解决问题的思路．例1．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．例2．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A，直线DE 交直线CH 于点F ．(1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ；(3) 当AB=BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图2例3．已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN 上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.。
初三中考总复习代数几何综合题解题策略
从本题解的过程可以看到，善于构造恰当的直角三角形，以及灵活恰当地实施“坐标”与“线段长”之间的转换，是落实解法的可靠保证。
练习：
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 是等腰梯形， ，点P为 轴上的一个动点，点P不与点 ，点A重合，连结CP，过点P作 交AB于点D。
轴向右平移轴向右平移轴向右平移11个单位个单位个单位轴向上平移轴向上平移轴向上平移22个单位个单位个单位关于关于关于xx轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿xx关于关于关于yy轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿yy关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转180180180从数的角度从数的角度从数的角度由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变所以所以所以aa不变不变不变根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定aaa代入顶代入顶代入顶点式求得解析式
代数几何综合题解题策略
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题．
从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目是以函数为背景，在平面直角坐标系下研究几何问题（简称坐标几何问题），以及在图形运动过程中的探究性问题等。
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：巩固初中阶段几何基本概念、性质、定理和公式，提高解题能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握几何知识间的联系，形成知识体系。
3. 情感、态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念点、线、面的位置关系平行线、相交线垂直和平行线的性质2. 第二章：三角形三角形的分类三角形的性质三角形的证明3. 第三章：四边形四边形的分类四边形的性质特殊的四边形（矩形、菱形、正方形）4. 第四章：圆圆的基本性质圆的周长和面积弧、弦、圆心角的关系5. 第五章：几何变换平移旋转轴对称三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与学习过程。
2. 利用几何模型、图示等直观教具，帮助学生理解几何概念和性质。
3. 注重培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，引导学生运用几何知识解决实际问题。
四、教学评价1. 定期进行课堂测试，检查学生对几何基本概念、性质、定理和公式的掌握情况。
2. 组织课后作业，督促学生巩固所学知识。
3. 结合期末考试，全面评估学生在本部分的学习成果。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照教材顺序，逐章节进行复习。
3. 复习方法：课堂讲解与练习相结合，课后进行巩固复习。
六、教学内容6. 相似三角形与全等三角形相似三角形的性质全等三角形的判定与性质三角形相似和全等的应用7. 第五章：圆圆的切线圆的割线圆与圆的位置关系8. 立体几何棱柱、棱锥、棱台的性质立体图形的表面面积和体积平面与立体图形的截面9. 几何概率几何概率的定义几何概率的计算几何概率在实际问题中的应用10. 综合复习与应用分析中考数学几何部分的重点、难点、热点问题指导学生进行中考模拟试题训练分析学生答题情况，进行针对性的辅导七、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与学习过程。
初三数学总复习——几何内容为主的综合题
初三数学总复习——几何内容为主的综合题北京八中刘颖几何综合题大多采用“问题探究——问题解决”的模式展开问题，立意新颖，构思巧妙，各小题之间承接性强，层层深入，从而出现更多的思维层次，体现试题的甄别和选拔功能。
一. 考试说明要求（与几何内容有关的“C”级要求）“C”级要求：通过观察、实验、猜想、计算、推理、验证等思维活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路；综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法，实现对数学问题或实际问题的分析与解决。
1.图形的性质（1）推理与证明——C：运用归纳和类比发现结论（2）直线、射线和线段——C：运用两点间距离的有关内容（3）角平分线——C：运用角平分线的有关内容解决有关问题（4）线段垂直平分线——C：运用线段垂直平分线的有关内容解决有关问题（5）三角形——C：运用三角形三边关系的有关内容解决有关问题；运用三角形内角和定理的有关内容解决有关问题（6）三角形中位线——C：运用三角形中位线的有关内容解决有关问题（7）全等三角形——C：运用全等三角形的有关内容解决有关问题（8）等腰三角形和等边三角形——C：运用等腰三角形和等边三角形的有关内容解决有关问题（9）直角三角形、勾股定理、锐角三角函数及解直角三角形——C：运用直角三角形的有关内容解决有关问题（10）平行四边形——C：运用平行四边形的有关内容解决有关问题（11）特殊的平行四边形——C：运用矩形、菱形、正方形的有关内容解决有关问题（12）圆的有关性质——C：运用圆的性质的有关内容解决有关问题（13）直线和圆的位置关系——C：运用圆的切线的有关内容解决有关问题2. 图形的变化（1）图形的平移——C：运用平移的有关内容解决有关问题（2）图形的轴对称——C：运用轴对称的有关内容解决有关问题（3）图形的旋转——C：运用旋转的有关内容解决有关问题3. 图形与坐标坐标与图形运动——C ：运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题二. 复习建议1. 对于综合题的复习，是要通过数量有限的题目的练习、分析、讲解和总结，来提高学生的分析问题、解决问题的能力，适宜“以点带面”、“以问题带方法”的方法. 即在选择典型问题加以分析的基础上，将题目讲深、讲透，也可将问题适当进行变化、类比，力求充分让学生体会数学思想与数学方法在解决问题中的灵活、综合的应用.2. 可以将一道综合题拆分成若干个小问题，将一个复杂图形拆分成若干个基本图形，这样做，一方面帮助学生提高分析问题的能力，另一方面也可以提高学生处理综合题的自信.3. 轴对称、平移和旋转变换在“考试说明中”均有“C ”级的要求，要引起注意.4. 针对“有关运动变换”、“有关阅读、探究、操作”等问题，重点要教给学生分析和解决这类问题的通用的、简单易行的方法. 例如：“运动变换型”问题一定要多画图形来帮助寻找变化规律，注意一般位置和特殊位置的关系，并关注在变化过程中的一些不变的量或不变的关系；“阅读、探究、操作”问题通常有定义新概念和定义新方法两类，要认真审题，既要“照猫画虎”，又要体现虎与猫的“根本区别”，等等. 举例：（1）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中， 点B 到原点的最大距离是( )A . 222B . 52C . 62D . 6 （2） （学探诊第33页第6题）已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD =21AB ，则△ABC 底角的度数为_____________（3）（2014门头沟一模）已知：在△ABC 中，∠ABC =∠ACB =α，_______________________________________________________________________________________ 点D 是AB 边上任意一点，_______________________________________________________________________________________将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E ._______________________________________________________________________________________ ① 如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；______________________________________________________________________________________________________ ② 如图2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；_______________________________________________________________________________________ ③ 如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a << ）_______________________________________________________________________________________三. 对于进一步培养和提高解决几何综合问题的能力的几点想法1. 准确理解和使用定义、定理，重视基本图形、基本方法及常添辅助线的总结和归纳，加强基本图形的识别（1）部分常用辅助线的作法举例 ① 与角平分线有关的辅助线的作法 ※ 向角两边作垂线段； ※ 作平行线，构造等腰三角形；※ 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
《中考专题复习——几何综合》教学设计
《中考专题复习——几何综合》教学设计学情说明【适用对象】用于完成中考第一阶段复习后需要综合提高的九年级学生.【设计思想】几何综合是中考数学中的必考题型，最近几年广东省题的第 24 题几何综合题都是圆与三角形、四边形的综合，主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答，题目难度系数较大，是每一届中考考生的绊脚石之一.其所考查的内容及方法都是初中几何学习的核心内容及重要方法,是课程学习效果及评价的重要体现.由于这类题目分值较大，要想在中考中取得较高的分数，考生在备考过程中必须强化训练．【教学目标】1.让学生熟练掌握初中几何基础知识；2.让学生学会综合运用几何知识解决复杂背景下的几何问题.【过程与方法】1.通过回顾梳理，使学生进一步熟悉几何基础知识；2.通过典例分析，让学生体会如何综合处理复杂问题;3.通过当堂训练,让学生学以致用,提升解题能力;【教学重点、难点】重点：让学生掌握常规的证题方法和思路;难点：灵活运用数学思想方法分析处理复杂图形中的各种关系.教学建议1.教师要注重知识储备，教师自身需要拥有大量的知识储备和提高解题能力。
通过把近几年中考题都做一遍,做到心中有数,了解中考题型的分布,重点考查的知识点有哪些,解答题的步骤及得分点是什么.通过了解清楚这些,教师可以选择有针对性的题目和重点知识对学生.2.教学时,认真研究本班学生的实际,实施分层教学,对不同的学生,确定不同的教学目标,这样才能达到最好的教学效果.3.在中考复习过程中,教师要注重数学思想方法的渗透,加强通性通法的指导与训练,培养学生的数学思维能力.解题后要注意引导学生反思,研究问题解决过程中的思想方法,思维方式,把数学教学过程转化为数学思维活动过程,从而提高学生理性思维能力.教学过程2.1基础知识回顾以提问、口答形式回顾以下知识点：1.与三角形有关的主要知识点；2.等腰三角形的性质；3.直角三角形的性质与三角函数；4.平行四边形的性质；5.全等三角形，相似三角形的性质与判定；6.垂径定理，切线的性质与判定，与正多边形有关的计算；7.弧长公式与扇形面积公式.功能分析：几何型综合问题，常常涉及到以上各部分的知识，通过此环节回顾,让学生进一步熟练掌握初中几何基础知识，为综合运用打下基础。