近世代数练习题部分答案(12级)(1)

练习题参考答案
一、 判断题
1. R 是A 的元间的等价关系.
（错 ）见教材第27页习题2（2）
2. 则G 是交换群.
（正确）见教材第37页习题6
3、则该群一定为有限群.
（错 ）见教材第39页例4
4、则G 与整数加群同构.
（正确）见教材49页定理1（1）
5、那么G 也是循环群.
（错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群.
6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -∀∈⊆.
（正确）见教材84页定理1
7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈∀,.
（正确）见教材83页定义1
8、那么R 必定没有右零因子.
（正确）见教材139页推论
9、则N G /也是循环群.
（正确）见教材95页定理3
10、那么R 的单位元一定是非零元.
（正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是
单位元.
11、整数环与偶数环同态.
（错误）设Z Z 2:→ϕ为同态满射，且k 2)1(=ϕ，则
24)1()1()11()1(k ==⨯=ϕϕϕϕ，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者
不可能，因此有02=k ，则0)1(=ϕ，得0)(=n ϕ，与ϕ为满射矛盾.
12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6-
-----=Z ,47Z 均是整环.
（错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环.
13、素数阶群一定是交换群.
（正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的
阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.
二、单项选择题
1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（ ④ ）
2、设 是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算 ，下列结论不正确的是（ ④ ）
3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ）
4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①）
5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G H
aH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ）
6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ）
7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定
)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈∀+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ）
三、填空题
1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.
2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构.
3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是 __±1，±i _______.
4、设)57)(134(),234)(1372(==στ，则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.
5、设R 是有单位元的环，且理想I =<a >，那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.
6、已知---++=253)(3x x x f ，-
--++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式，
则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ，)(x g 在6Z 上的全部根为 3,1. 7、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha H ba ∈-1.
8、设G =><a 是12阶循环群，则G 的生成元有 a ,a 5,a 7,a 11 .
9、实数域R 的全部理想是 0, R .
10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,2
11、阶大于1、有单位元且无零因子的交换 的环称为整环.
四、计算与证明题
1.
解：（2）单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----；
（3）1阶子群：}{1π；
2阶子群：},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ，
4阶子群：},,,{4321ππππ=G .
（1）乘法表如下： 4321ππππ
43211πππππ
34122πππππ
21433πππππ
12344πππππ
4. 设Z 为整数环，
证明：（1）利用理想的定义验证，略
（2）设有理想K 包含N ，即,R K N ⊆⊆由于Z 为主理想整环，所以K 为主理想，即有整数正k ，使>=<k K ，
由于K N ⊂，且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数，所以1k =或p k =，
若k=p ，则K=N ；若k=1，则K=R ，所以除了Z 和N ，没有其它理想包含N .
5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.
证明：设，},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠∀，且a 不是可逆元，令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性，知 ,R S ⊆又元素a 不是可逆元，所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1，所以S 为R 的真子集，又,n R =从而
,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-）
（j i a a a 所以a 为环R 的零因子.
6、设环R 含单位元1，
证明：首先有N ⊆R ，又R a ∈∀，有1⋅=a a ，由于N 是R 的一个理想且1∈N ，根据理想的吸收性，有N a a ∈⋅=1，所以R ⊆N ，因此N=R.
7、设K 是一个有单位元的整环，证明：K=<a >当且仅当a 是K 的可逆元. 证明：必要性 由于K 有单位元且可交换，故<a >={a r |任意r ∈K}，如果K=<a >，则1∈<a >,所以存在r ∈K ，使a r =1，因此a 是K 的可逆元； 充分性 a 是K 的可逆元，则存在r ∈K ，使a r =1，所以1∈<a >，
任意s ∈K,由理想的吸收性，可知>∈<⋅=a s s 1,得K ⊆<a >，又显然<a >⊆ K ，所以K=<a >
19、设环R 的特征char R=n 为合数，且|R|>1，证明环R 存在零因子.
祝大家考试取得好成绩！。