六年级奥林匹克数学十一 不定方程(一)

十一、不定方程（一）

1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .

2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.

3.x 是自然数,••=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .

4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .

5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .

6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是12

7,那么a+b 的最小值等于 .

7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.

8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.

9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了

页.

10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的5

1必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.

11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?

12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.

14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.

十一、不定方程（一）(答案）

第[1]道题答案：

1998.

提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.

第[2]道题答案：

1.

设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:

10047=-y x ①

所以 74100y x +=≥7

2147100=. 又 x +y ≤20 ②

所以 x ≤20-y ≤20,

故 7

214≤x ≤20. 又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20.

当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.

因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.

第[3]道题答案：

750.

根据题意,

999

25100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除,

推知a=9,因此7502530=⨯=x .

第[4]道题答案：

没有整数解.

4若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.

第[5]道题答案：

1975. 设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997

整理得:87211=+b a

所以 11

287b a -=

由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107. 故a =7,从而b =5,他出生于1975年.

第[6]道题答案：

24.

依题意,有12

74328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )

即 12a +35=7b ①

显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .

由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17.

所以, a +b 的最小值是7+17=24.

第[7]道题答案：

14.

设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:

⎩⎨⎧=+=+2984026

3ny x y x ①×40-②,得()742120=-y n ,即

5372)120(⨯⨯=-y n ③

由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n ,

所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.

第[8]道题答案：

32.

设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到

13 x -7=10 y -5.

因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.

为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).

第[9]道题答案：

84.

设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为:

a ,

b , a+b , a+2b , 2a+3b .

上面各个数的和是200,得到

5a +7b =200.

因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解: b =20, a =12; b =25, a =5.

将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.

第[10]道题答案：

15.

以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有

338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x ,

①

②