6.1平面向量的概念
平面向量小题测试答案
6.1平面向量的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（）A．质量B．功C．温度D．力2．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个-，，则向量AB的长度是（）3．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应11A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．0的长度为0，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动5．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量1e=C．零向量与任意向量平行D．若向量a，b满足||||=，则a ba b=±6．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线7．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量AB与向量BA的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数8．（2022·山东聊城一中高一期中）下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；A B C D四点必在一直线上；②已知向量AB CD∥，则,,,∥；③若,∥∥，则a ca b b c④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022·山东东营·高一期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，CO是（）A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共起点的向量D ．共线向量二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b =D ．向量AB 与BA 相等11．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 三、填空题12．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号） ①密度；②体积；③重力；④质量.13．（2022·全国·高一课时练习）已知圆O 的周长是2π，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，π,6BAC CD AB ∠=⊥于点D ，则CD =___________. 14．（2022·全国·高一课时练习）已知O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO OB CO OD 是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.15．（2022·全国·高一课时练习）“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 16．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知向量()1,a k =，()2,4b =，且a 与b 共线，则实数k =______.17．（2022·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一期中）已知()3,4a =，()4,2b =-，若2a b -与2ka b +为共线向量，则实数k ＝__________．18．（2022·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A ､B ､C ､D ，若()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 的形状是___________.19．（2022·全国·高一专题练习）已知1e ，2e 是两个不共线的向量，而2125(1)2a k e k e =+-，1223b e e =+是两个共线向量，则实数k =________．20．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________. 四、解答题21．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量； (2)求证：BE FD =．22．（2022·全国·高一专题练习）在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b a =；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使5c =，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？23．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===.(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．24．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O 是▱ABCD 对角线的交点，则(1)与OA 的模相等的向量有多少个？ (2)与OA 的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB 共线的向量．【能力提升】一、单选题 1．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、2．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且a b >，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·全国·高一单元测试）已知I 为ABC 所在平面上的一点，且,,AB c AC b BC a ===.若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心4．（2022·陕西渭南·高一期末）设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 5．（2022·浙江丽水·高一期末）若,a b 为非零向量，则“a a bb =”是“,a b 共线”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，若BC a CA b AB c ===，，，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．以上都不对7．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心二、多选题8．（2022·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使//a b 成立的条件有（ ） A ．a b = B ．0a =或0b = C ．2a b =-D ．a 与b 都是单位向量9．（2022·全国·高一单元测试）下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 三、填空题10．（2022·上海市向明中学高一期末）P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知G 为ABC 内一点，且满足0AG BG CG ++=，则G 为ABC 的________心．12．（2022·陕西渭南·高一期末）若a 为任一非零向量，b 为单位向量，给出下列说法： ①a b >； ②a b ∥； ③0a >； ④1b =±；⑤若0a 是与a 同向的单位向量，则0a b =. 其中正确的说法有______个.13．（2022·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，12,R λλ∈，则12λλ+的值为___________.14．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知ABC 的面积为214cm ，D E ，分别为边AB ，BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，AE CD ，交于点P ，则APC △的面积为 _____2cm .四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线；(3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.16．（2022·全国·高一课时练习）情境 我们应该熟悉如下结论：已知A ，B ，C ，O 为平面内不同在一条直线上的四点，则A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m ，n ，使OC mOA nOB =+，且1m n +=． 问题：怎样证明上述的结论呢？17．（2022·全国·高一课时练习）已知向量13(3,1),,22a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥成立，求k 的取值范围.。
2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学必修二6.1《平面向量的概念》高频考点练习题目含答案解析
第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。
【课件】平面向量的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
引导探究
练习一：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积 这些量中，_____________是数量_______________是向量.
练习二： 1.身高是一个向量（ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考： AB 有什么含义？
A
B
表示以A为起点，B为终点的向量。线段的 长度就是向量的大小，即为向量的模。
向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记 作|AB |. 两类特殊向量： 长度为0的向量称为零向量， 记作 0
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
共线向量：平行向量又称为共线向量.
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
引导探究
思考：AB, BA 是相同的向量吗？
A
BB
A
AB, BA 是大小相等但方向相反的两个向 量。这样的两个向量叫做相反向量。
a a 与 长度相等,方向相反的向量叫 的相反向量.记为 a
同理可得，大小相等且方向相同的两个向量叫做 相等向量。
（二）：向量的表示二:字母表示法 思考：你能用表示线段的方法表示向量吗？向量的大小和方向 怎样表示？
字母表示法：
1、用小写字母表示：如 a 、b、c
2、用大写字母表示：如 AB （A为起点、B为终点）
注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体 a，书写
a 用 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
注：向量是否相等（或相反）只与大小和 方向有关，与起点、终点的位置无关.
平面向量的概念重难点解析版
突破6.1 平面向量的概念一、学情分析二、学法指导与考点梳理考点一 向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点二 向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则 (1)交换律： a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b＋c)减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb考点三 经典结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念例1．(1)．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =± B ．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】=仅表示a与b的大小相等，但是方向不确定，A：a b故a b=±未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.(2)．（2019·西藏·林芝一中高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,==，则a ca b b c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【解析】【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,==，则a ca b b c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.【变式训练1-1】、（2021·江苏·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．若0a=a=，则||0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的【答案】B【解析】【分析】由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.【详解】A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；故选：B【变式训练1-2】、（2020·全国·高二课时练习）下列命题中假命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】【分析】利用相反向量的概念可判断A选项的正误；利用相等向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量的定义可判断C选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，AB与BA互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；对于C选项，只有零向量的模等于0，C选项正确；对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.重难点题型突破2 平面向量的简单线性运算例2、(1)．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在ABC中，D为AC的中点，E为BC上靠近B点的三等分点，则DE （）A ．2736AB AC +B ．2136AB AC -C ．1766AB AC -+D ．1166AB AC --【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为AB 和AC 即可． 【详解】()121221232336DE DC CE AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=-. 故选：B(2)．（多选题）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）A ．,AB CD =BC AD = B ．AD OD AO += C ．AO OD AC CD +=+ D ．AB BC CD DA ++=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则、四边形法则，逐一分析选项即可. 【详解】对于A ：在四边形ABCD 中，AB DC =，故A 错误； 对于B ：AO OD AD +=，故B 错误；对于C ：AO OD AD +=，AC CD AD +=，故C 正确； 对于D ：AB BC CD AD ++=，故D 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA 共线的向量有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，直接判断即可. 【详解】由图可知，根据正六边形的性质， 与CA 共线的有AC ，DF ，FD ，共3个， 故选：C.【变式训练2-2】、（多选题）已知M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++=C ．2133BM BA CD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【解析】 【分析】作出示意图，由点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，得到,E F 是,AC AB 的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，因为点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，可得,E F 是,AC AB 的中点，由1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以A 正确；由D 为BC 的中点，根据向量的平行四边形法则，可得2MB MC MD +=，又由M 是ABC 的重心，根据重心的性质，可得2MA MD =，所以20+=MA MD ， 即0MA MB MC ++=，所以B 正确； 根据三角形重心的性质，可得221()332BM BE BA BC ==⨯+112(2)333BA CD BA CD =-=-，所以C 不正确；由重心的性质，可得221112()(2)332333CM CF CA CB CA CD CA CD ==⨯+=+=+，所以D正确.故选：ABD.重难点题型突破3 平面向量共线定理的应用例3．(1)．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为（）A．BA B．CD C．AD D．OD【答案】D【解析】【分析】方向相同，模长相等的向量为相等向量.【详解】AB选项均与BC方向不同，C选项与BC模长不等，D选项与BC方向相同，长度相等.故选：D(2)．（多选题）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（）A．AB＝EFB．AB与FH共线C．BD与EH共线D．CD＝FG【答案】ABD【解析】【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【详解】由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知：AB EF =，即A 正确； 由图形可知：AB 与FH 的方向相反，CD 与FG 方向相同且长度相同即CD ＝FG ， 故B 、D 正确；而BD 与EH 不一定共线，故C 不一定正确. 故选：ABD.【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AC 与CB B ．OB 与ODC ．AC 与BD D ．AO 与OC【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分。
6.1 平面向量的概念 (精讲)(原卷版)
6.1平面向量的概念 (精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终AB. 表点的有向线段记作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示（3）向量的模AB.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作||（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.与0的区别与联系,0是一个向量|0|；书写时0表示零向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行,记作a b .规定:零向量与任意即对于任意向量a ,都有0a .长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等,记作a b =.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量与有向线段的起点无关.）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合·高一课时练习）下列四个命题正确的是（ ）．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．两个相等的向量起点、方向、长度必须都．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是||||a b =，则a b =．若a b =，则||||a b = ||||a b >，则a b > ||0a =，则0a = ．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b |=|，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；m n =，n k =，则m k =；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑥有向线段就是向．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（．向量AB与向量BA的长度相等例题2．（BD=________.例题3．（·全国·高一专题练习）若在一个边长为的正三角形所对应的有向线段为AD（其中则向量AD的模的最小值为高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行机飞行的路程为s，位移为a，那么（a aa a不能比大小2022·高一课时练习）已知在边长为ABCD中，∠，则BD=2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，AB是圆O的直径，是圆周上一点，π=⊥CD=___________.,CD角度2：零向量与单位向量典型例题．向量就是有向线段>，则a b||||a b>．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（e=．单位向量均相等．单位向量1．零向量与任意向量平行．若向量a，b满足||||a b=，则a b=±．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（．若0a =，则0a =．零向量是没有方向的 ．（多选）（2022春·广东佛山向量的说法正确的是（ ）．单位向量：模为1的向量例题1．（2022春·广东揭阳·中，AB DC =，则下列向量相等的是（．AD 与CB．OC 与OA ．AC 与DB D ．DO OB =例题2．（2022·全国·高三专题练习）“a b =”是“||||a b =”的（ ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）||||a b =，则a b = B ．若a b ≠，则||||a b ≠||||a b =，则a 与b 可能共线||||a b ≠，则a 一定不与b 共线(1)分别写出与AO 、BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；写出与AO 的模相等的向量；写出与AO 的夹角为90︒的向量；向量AO 与CO 是否相等？（多选）（2022秋·浙江嘉兴若非零向量a ，b ，下列命题正确的是．若a b =，则a b =．若a b =，则a b = ．若//a b ，则a b = ．若a b =，则//a b．（多选）（2022秋·山东菏泽高一统考期中）设点O 是平行四边形ABCD 点，则下列结论正确的是（ ）．AO OC = B ．AO BO = ．AO BO = D ．AB 与CD 共线 ．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 中点.(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知,,,A B C D 为平面上四点，则“向量AB CD ∥”是“直线AB CD ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3同类题型演练1．（2022秋·湖北·高一校联考期中）“//b a ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）命题：若//,//a b b c ，则//a c ，则命题为_______（填写：真命题或假命题）3．（2022·高一课时练习）已知命题“若//a b ，//b c ，则//a c ”是假命题，则b =__________.。
6.1 平面向量的概念 教学设计
6.1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB .线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB . 思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？【答案】三个要素：起点、方向、长度.2. 向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.3. 向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如CD AB 、。
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a ，b ，c ，…（书写时用注意用 c b a ,,表示）.注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量. （2）.有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
6.1平面向量的概念-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量 OA相等的向量.
OA DO=CB.
变式一：与向量 OA 长度相等的向量有多少个？ 11 个
变式二：是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ 存在，为 FE.
变式三：与向量 OA长度相等且共线的向量有哪些？
CB, DO, FE
A
8.(1).下列说法正确的是 B( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(2).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
相等的有7个.
长度相等且共线的有 15个. A
11、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向
线段一定重合吗？
不一定
练习6、在直角坐标系xoy中，有三点A（1，0），B
（-1，2），C（-2，2），请用有向线段分别表示A
到B，B到C，C到A的位移.
y CB 2
1
A -2 -1 O 1 x
小结
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
有什么关系？ 提示:平行.
4.共线向量与平行向量的关系
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小
和规方定向：有零关向，量与与有向任线一段向的量起平点行位置无关，有向线
段只是向量的一种几何表示！
概念辨析
例1、判断
温馨提示：
1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
6.1平面向量的概念
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
6.1平面向量的概念(课件)
6.1平面向量的概念（课件）平面向量是用来描述平面上空间中的数量和方向的量。
它由有向线段（箭头表示方向）来表示，起点为向量的“原点”(通常用O表示)，终点为线段的另一个端点，长度为线段的长度。
平面向量的三要素：1.方向：表示向量的箭头指向的方向2.大小：向量的长度即线段的长度3.起点：向量的起点被视为原点设有平面向量 $\vec{a}$，它的长度为 $|\vec{a}|$，它的方向与平面内一条射线平行，这条射线的起点可以取为坐标系原点 $O$，则 $\vec{a}$ 用箭头表示为：$$ \vec{a} = \overrightarrow{OA} $$其中，$A$ 点坐标是 $(x,y)$，则上述二元数组 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 被称为向量的坐标，一个二元数组 $(x, y)$ 也可以表示相应的向量。
两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等，方向相同，起点相同。
平面向量的加法和减法：设有向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的起点都是 $O$，则向量 $\vec{a} +\vec{b}$ 表示从 $O$ 出发按 $\vec{a}$ 的方向行进长度为 $|\vec{a}|$，然后沿$\vec{b}$ 方向行进长度为 $|\vec{b}|$，到达终点 $C$，则表示为：平面向量的减法同理，即 $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OD}$，其中$\overrightarrow{BD}$ 为 $\vec{b}$ 的逆向向量。
由于 $-1 \leqslant cos\theta \leqslant 1$，因此可以通过向量的数量积来判断两个向量是否垂直，即 $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的长度，$sin\theta$ 为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角的正弦，$\vec{n}$ 为法向量，其大小为 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin\theta$，方向垂直于 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 所在平面，且满足右手定则，即 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角按逆时针方向，右手法则构成的角度为向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。
平面向量的概念 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
6.1平面向量的概念-高一数学同步教学课件(人教A版必修第二册)
的区分及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段
是向量.
咱俩差不多，
我还可以表示你
有向线段
向量
但是你不是我，
我是不一样的烟火
2
向量的几何表示
印刷体
两种特殊的向量
【1】零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作
【2】单位向量——长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量，则其终点和起点重合.
那么终点的位置就确定了.
向量
的模
向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量
AB的模，记作 |AB|
向量的模
2
向量的几何表示
概念辨析
——向量和有向线段是一回事吗？
【1】从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长
度三个要素，因此这是两个不同的量；
【2】在平面内，向量可以自由平移，而有向线段是固定的线段；
方向两个要素，这也
是判断一个量是否为
向量的重要方法.
1
向量的概念
例①
有人说：由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，
海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量.
你同意吗？温度、角度是向量吗？为什么？
【解】海拔不是向量，它只有大小没有方向.
海拔的正负不表示方向，只表示在海平面的上方还是下方.
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.1平面向量的概念含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.1平面向量的概念含解析第六章平面向量及其应用6．1平面向量的概念[目标] 1。
记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念,并能找共线向量．[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念,会表示向量．[难点］向量的概念，平行向量．要点整合夯基础知识点一向量的概念和表示方法[填一填］1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具—-有向线段．有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．(2)表示方法:向量可以用有向线段错误!表示,向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或称模），记作｜错误!|。
向量可以用字母a,b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：错误!，错误!.［答一答]1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．2．两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．知识点二向量的长度（或称模）与特殊向量[填一填］1．向量的长度定义：向量的大小．2．向量的长度表示:向量错误!的长度记作：|错误!｜;向量a的长度记作：|a｜.3．特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．［答一答］3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗?提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．知识点三相等向量与共线向量［填一填]1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b。
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果向量a，b 平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此，平行向量也叫做共线向量．3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。
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如图：它们表示2条 不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
B
D
C
（1）与任意向量都平行的向量是 什么向量？
（2）与零向量相等的向量必定是 什么向量？
（3）单位向量是相等向量吗？
判断： （1）平行向量是否方向一定相同？ （2）不相等的向量一定不平行吗？
下列结论正确的是：
P188
观看介绍向量概念视频
1.猫能捉住老鼠吗? •老鼠由A向东北方向以
6m/s的速度逃窜,而猫由B向
东南方向10m/s的速度追.
问猫能否抓到老鼠?
A
B
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
D
1、向量的定义：
既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称 为矢量） 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
a
b
(1)向量a与b相等， 记作： a b
规定：0 = 0
(2)向量相等只与大小 和方向有关，而与它的起点 位置无关
6.相反向量的定义：
长度相等且方向相反的向量。 B
B
a 的相反向量记做 a
AB BA
A
A
课堂练习：P189 想一想
7.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 ➢我们规定：零向量与任一向量平行，即 0 // a
a
b
记做：a// b// c
c
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
向量之间的关系：
a
7.1共线向量与平行向量的关系：
b
a// b// c
c
a,b,c为 共线向量
B
l
O
A
C
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
例1．如图，在平行四边形 ABCD中，分别写出:
a
(1) | a || b |
b
(2)a b
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？两架飞机位 移的有向线段表示分别为图中的有向线段 a与 b ． 下列各图中哪个 表示正确？
（1）与CM的模相等且共线的向量；A（2）与FE相 Nhomakorabea的向量。
解：（1）EF、BD、DA、MC D FE、DB、AD
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能 比较大小。
1、向量的定义：
【小游戏】在质量、重力、路程、速度、加速度、 时间、功、面积、位移这些量中，哪些是数量？ 哪些是向量？
2、向量的表示法：
(1) 几何表示：
用有向线段表示；
有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向
平行向量就是共线向量
有向线段：
B（终点）
A（起点）
带有方向的线段叫做有向 线段，以A为起点、B为终点 的有向线段记作AB。
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
能不能说向量就是有向线段?
因为我们现在所研究的向量，与起点位置无关. 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
B（终点） A（起点）
2、向量的表示法：
(2) 字母表示：
i)用有向线段的起点与终点字母来表示；
向量可表示为： AB,
始点
终点
始点
A
终点
B
ii)用小写的字母来表示；
a 向量可表示为：
始点
a 终点
3.向量AB的大小： 指向量AB的长度 （或称为 模 ）
记作： | AB |
注意：向量模是一个数量，是非负数
(1)向量AD与CD相等的向量;
D
C
(2)与向量 AD 的相反向量
A
B
例2．如图，设O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 与向量 OA、OB 、OC 相等的向量．
B
A
O
C
F
D
E
例2．如图，设 O是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中
与向量 OA、OB 、OC相等的向量．
练习∶上题中
（1）如果两向量相等，那么它们的 起点和终点分别重合；
（2）两个相等向量的模相等；
（3）任一向量与它的相反向量 (长度相同,方向相反的向量)不相等.
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？
（2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）若a
//
b,
b
//
c,
则a
//
c成立吗 ？
设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是
(1)向量OA与FE相等吗?
B
A
C
（2）与向量OA 共线的向量有 哪几个？
O F
D
E
★题 １ ２ ３ ★★题 ４ ５ ★★★题 ６
1.向量的定义： 既有大小又有方向的量称为向量. 2.向量的表示方法：1）几何表示；2）字母表示； 3.向量的大小又称为： 模 4.两个特殊向量：
零向量： 长度为0的向量称为零向量 单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 5.平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量.0// a 6.相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量。 相反向量的定义： 长度相等且方向相反的向量。 7.共线向量与平行向量的关系：
（）
A
A.相等向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
B
o C
如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM的模相等且共线的向量；A
（2）与FE相等的向量。
D
F
M
B
E
C
如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
东
b b
A a
A
B
b A a
b A a
南 100km.
C
D
4.两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向.
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
1
5.相等向量的定义：
长度相等且方向相同的向量。