功能关系

5.4功能原理机械能守恒定律

5.4.1质点系的动能定理

现在，我们把几个有相互作用的质点所组成的系统作为研究对象，进一步探讨功与能之间所遵循的规律。首先，把动能定理的关系式推广到由几个质点组成的系统。这时，我们用E k和E k0分别表示系统内所有质点在终态和初态的总动能，W表示作用在各质点上所有的力所做的功的总和，则有

W=E k-E k0

值得注意的是，所有的力所做的功的代数和，不是合力的功。因为由几个质点组成的系统，不同于一个质点，各力作用点的位移不一定相同。作用力又可区分为外力和内力，外力是指系统外其它物体对系统内各质点的作用力，内力是指系统内各质点之间的相互作用力。虽然内力的合力为零，但内力的功一般不为零，因为各力作用点的位移不一定相同。因此，对于系统来说，上式中的W应等于外力所做的功与内力所做的功之和，所以，上式可改写为

W外+W内=E k-E k0

(5.17)

这就是质点系的动能定理，它在惯性参考系中成立。

5.4.2功能原理

我们知道，系统的内力又可分为保守内力和非保守内力。因此，内力的功W

(5.17)式可写为

内应等于保守内力的功与非保守内力的功之和。所以

W外力+W保守内力+W非保守内力

=E k-E k0

由于保守内力所做的功可用系统势能的减少来表示，即W保守内力=E p0-E p，所以，上式可改写为

W外力+W非保守内力

=(E k+E p)-(E k0+E p0)

系统的动能和势能之和叫做系统的机械能E，即E=E k＋E p，则上式又可写为

W外力+W非保守内力=E-E0

(5.18)

上式说明：系统从初态变化到终态时，它的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和，这称为系统的功能原理。因为功能原理是在质点系的动能定理中引入势能而得出的，所以它和质点系动能定理一样也是在惯性参考系中才成立。

值得注意的是，质点系的动能定理和功能原理都给出系统的能量的改变和功的关系。前者给出的是动能的改变和功的关系，应当把所有的力的功都计算在内；后者给出的则是机械能的改变和功的关系，由于机械能中的势能的改变已经反映了保守内力的功，因而只需计算保守内力之外的其它力的功。

例5.3如图5.9(a)所示，一质量m=0.4kg的木块在水平桌面上运动，以

v0=3.0m/s的速率碰上一轻弹簧，弹簧的另一端是固定的。已知弹簧的劲度系数k=80N/m，木块碰上弹簧后使弹簧的最大压缩量为x m=0.2m，设弹簧质量不计，求木块与水平桌面间的滑动摩擦系数μk有多大。

解在木块、弹簧组成的系统中，内力仅有弹性力，为保守力，所受外力如图5.9(b)所示。外力中只有摩擦力做功W fk。又因弹簧质量不计，故系统的动能中可不计弹簧的动能。对系统用功能原理，有

W fx=(E k+E p)-(E k0+E p0)

以木块刚与弹簧接触时系统的状态为初态，这时弹簧具有自然长度，弹性势能为零，系统的机械能为木块的初动能；当弹簧达到最大压缩量时为末态，木块速率应为零，故系统末态机械能等于这时的弹性势能。

由此解得

=0.26

5.4.3机械能守恒定律

如果外力对系统做的功为零，系统内部又没有非保守力做功，则在运动过程中系统的机械能保持不变，即当W外力=0，W非保守内力=0时，

E k＋E p=E k0＋E p0=常量

(5.19)

这就是说：在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。这一结论叫做机械能守恒定律。

机械能守恒条件所包含的意义是：W外力=0，表示外界物体的能量与系统的

机械能之间无能量的传递或转化；W非保守内力=0，表示系统内没有发生机械能和其它形式能量的转化。

在满足机械能守恒的条件下，系统的动能和势能可以相互转化。将5.19式移项后可得

E p0-E p=E k-E k0

即系统势能的减少等于系统动能的增加。由于保守内力做功，系统内各物体的动能还可以互相传递，系统的一种势能和另一种势能也可以互相转化。但是，在运动的任一时刻，或者说系统处于任一状态时，动能和势能的总和都应有同一个值。

例5.4 用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来(如图5.10所示)，这时弹簧伸长了l1=10cm。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘h=30cm处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离l2。

解本题分为三个过程进行分析。首先是泥球自由下落过程。它落到盘上时的速度为

接着是泥球和盘的碰撞过程，此时把盘和泥球看作一个系统。因二者之间的冲力远大于它们所受的外力(包括弹簧的拉力和重力)，所以可以认为系统的动量守恒。设泥球与盘的质量都是m，它们碰撞后刚粘合在一起时的共同速度为v1，写出沿y方向的动量守恒的分量式，可得

由此得

最后是泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球和盘以及地球为系统。以泥球和盘开始共同运动时为系统的初态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有保守内力做功，所以系统的机械能守恒。以弹簧的自然伸长为它的弹性势能的零点，以盘的最低位置为重力势能零点，则系统的机械能守恒应表示为

此式中弹簧的劲度系数可以通过最初盘的平衡状态求出，结果是

解此方程得

l2＝30，l2=-10

取前一正数解，即得盘向下运动的最大距离为l2=30cm。

5.4.4三种宇宙速度

由地球发射人造星体，必须使它有足够的速率才能在空间运转，现在常提到的三种宇宙速度就是从地球发射几种人造星体所需要的，相对于地心参考系的最

低速度。第一宇宙速度就是使人造星体可以环绕地球运动所需的最小发射速度，第二宇宙速度是使人造星体完全脱离地球所需的最小发射速度。第三宇宙速度则是使物体脱离太阳系所需的最小发射速度。

1.第一宇宙速度

假设人造地球卫星沿着圆轨道(圆心在地心)运转，轨道半径为r，环绕速率为v，卫星作匀速圆周运动的向心力应等于地球对卫星的引力，由万有引力定律及牛顿第二定律得

式中M E为地球质量，m为卫星质量，由此可求出

(5.20)

这说明环绕速度随r增加而减小，当r→∞时v=0。

设地球平均半径为R E，从地球表面发射的卫星的速率为v1，对地球卫星系统只有引力做功，系统机械能守恒，于是有

将(5.20)式代入上式，经化简得

由上式可知，r越大，卫星的机械能越大，所需发射速度也越大。因此只有当r取最小值，也即r≈R E，即卫星在地面附近环绕地球运转时，所需发射速度最小，用v1min表示，则有

(5.21)