小学六年级数学竞赛试题及详细答案

说明：本题是抽屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借
两本，共有——（史，史） 、（文，文） 、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只
“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”
说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。
而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把
1992 分解为三个数连乘积的形式， 1992=83
× 3× 2×2× 2，因为 83、 3、 2、2、 2 组成三个乘积为 1992 的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。
11× 13， 39 写成 3× 13，91 写成 7×13，使分子部分和分母部分可以约分，对于迅速推知最后结果是大有帮助的。 本题是《数学之友》 （ 7）第 51 页练习六中的原题。
三、应用题
1. 解法一：假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多，那么两队一共修的路就要比
Hale Waihona Puke Baidu
4200 米少 600 米，这 3600
的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（ “成套”，指（ a）、（ b）两种铁皮同样多） ，并且一点材料也不浪费。
问：（1 ）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（
3 分）
（ 2）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）
（ 5 分）
4.只修改 21475 的某一位数字，就可以使修改后的数能被
原来多行 50 米。又骑了 20 分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑
2 千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办
厂之间的总路程。
3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图 面积之和为 600 平方分米。求这个大长方体的体积。
12）。将这个长方体切成 12 个小长方体，这些小长方体的表
4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 多 35 本。第 2 次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打
（1 ）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数
尽可能多才行。第一名得分是已知的（ 90 分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近
90 分，而且互不相等，只
有第二、三、四名依次得 89 分、 88 分、 87 分时，第五名得分最少。
（ 2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可
2.解： 55+15+25×2=120（厘米）
说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。容易判断：下底最长，应为
55 厘米。关键是判断腰长
是多少， 如果腰长是 15 厘米， 15× 2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长， 四条边不能围成梯形， 所以，
腰长只能是 25 厘米。读者从本报 190 期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。 3. 解：最少有
25 个连续自然数，两年以后，这 25 位老人的年
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少 借的图书属于同一种。
__ __个学生中一定有两人所
7.五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得 选手至少得 __ __分，至多得 __ __分。（每位选手的得分都是整数）
（共 20
分，每小题 5 分）
1.甲乙两个工程队共同修筑一段长 4200 米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修 100 米。现由甲工程队先修 3 天。
余下的路段由甲、乙两队合修，正好花 6 天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？
2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用
30 分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比
90 分。那么得分最少的
8.要把 1 米长的优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗
1 毫米铜管。那么，只有
当锯得的 38 毫米的铜管为 __ __段、 90 毫米的铜管为 _ ___段时，所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）
分子部分括号内三个乘积的和约去了。本题是根据《数学之友》 3. 解法一：
（7）第 2 页例 5 改编的。
解法二：
说明：解法一是求等比数列前 n 项和的一般方法，这种方法本报 217 期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。
由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“
11 包。这批书共有多少本？
四、问答题（共 35 分） 1.有 1992 粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取
证一定获胜的对策是什么？（ 5 分）
1 粒，最多取 4 粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问：保
2.有一块边长 24 厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使
不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座。
（1）●○○●○○●……
（2）○●○○●○○●○……
图 16
4.解法一：由 1992÷ 46=43…… 14
立即得知： a=43， r=14
解法二：根据带余除法的基本关系式，有
1992=46a+r（ 0≤ r＜ a）
做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（
6 分）
3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图
13 所示的（ a）、（ b）两种形状的铁皮毛坯。现有甲、乙两块铁皮下
脚料（如图 14、图 15），图 13、图 14、图 15 中的小方格都是边长相等的正方形。金师傅想从其中选用一块，使选用
要使损耗最少，就应尽可能多锯 90 毫米长的铜管，也就是说上面式中的 X 应尽可能小， Y 尽可能大。由于 X、 Y
都必须是自然数，因而不难推知： X=7，Y=8。即 38 毫米的铜管锯 7 段， 90 毫米的铜管锯 8 段时，损耗最少。
说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯
由 r=1992-46a ≥ 0，推知
由 r=1992-46a ＜ a，推知
因为 a 是自然数，所以 a=43
r=1992-46 ×43=14
说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。解法一是根据
1992 ÷ a 的商是 46，因而直
接用 1992 ÷ 46 得到了 a 和 r 。解法二用的是“估值法” 。
年龄最大的老人今年的岁数为 92-2=90 （岁）
说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报
241 期第一版《“削平”与“补齐” 》一文）。当然，也可以用“削
平”法先求年龄最小的老人的岁数， 再加上 24。解法二着眼于 25 人的平均年龄， 先算年龄处于最中间的老人的岁数，
算起来更简便些。
6.解：根据“抽屉原理” ，可知至少 7 个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
小学六年级数学竞赛试题及详细答案
二、填空题（共 40 分，每小题 5 分） 1. 在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立： （1□ 9□ 9□2 ）×（ 1□9□ 9□ 2）×（ 19□ 9□ 2）=1992
2.一个等腰梯形有三条边的长分别是 梯形的周长是 _ _厘米。
55 厘米、 25 厘米、 15 厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰
3.一排长椅共有 90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无
论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有
_ _人已经就座。
4.用某自然数 a 去除 1992，得到商是 46，余数是 r。 a=_ _， r=_ _。
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了 25 位老人品茶。他们的年龄恰好是 龄之和正好是 2000 。其中年龄最大的老人今年 _ ___岁。
2 倍”，也就是它前面的
一个加数，这就不难想到解法二。
二、填空题
1.解：（ 1× 9×9+2）×（ 1+9-9+2）×（ 19-9-2 ）
=83× 3× 8
=1992
或（ 1× 9× 9＋2）×（ 1× 9÷ 9× 2）×（ 19-9+2）
=83× 2× 12
=1992
（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）
能接近。考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削
平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》 （ 7）第 46 页第 13 题改编的。 8.解：设 38 毫米、 90 毫米的铜管分别锯 X 段、 Y 段，那么，根据题意，有 38X+90Y+（ X+Y-1） =1000 39X+91Y=1001
说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、
，马上就应该知道它可以化为 3.6”，完成了这步，就为正
3.6；而 3.6 与 36 只差一个小数点，于是，又容易想到把“
654.3× 36”变形为“ 6543×
”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。
说明：解这道题可以从不同的角度来观察。解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了 前后之间的倍数关系，从而把“ 1× 3× 24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。而解法二，是着眼于 整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘
米就相当于甲工程队用 15 天（ 15=3+6×2）修完的，列式为
（4200-600 ）÷（ 3+6× 2） =3600÷ 15=240（米）
240+100=340 （米）
解法二：设甲工程队每天修路 X 米，那么乙工程队每天修路“ X+100”米，根据题意，列方程
3X+6×（ X+X+100） =4200
解得 X=240
从而 X+100=340（米）
答：甲工程队每天修路 240 米，乙工程队每天修路 340 米。 说明：“假设”是我们解应用题时经常采用的算术方法，它体现了机智、敏捷，能迅速得到答案。本题根据本报第
说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。但仅从这个结果中还不能肯
定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，
也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图
16 所排出的两种情况， “●”表示已经就座的人， “○”表示空位） ”。
90 毫米长的铜管，但必须符合“两种铜管
都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于
1 米”两个条件，这样算起来就不那么简单了。这种题目，借助
等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程时可别忘掉那损耗的
1 毫米，而且损耗了几个“ 1 毫米”也不能算错，
应该是“总段数 -1”。
列出方程式之后，还有两点应当讲究： （1）变形要合理； （ 2）要选用简便算法。如上面解法中，把 1001 写成 7×
5.解法一：先算出这 25 位老人今年的岁数之和为
2000-25 × 2=1950
年龄最大的老人的岁数为 [1950+（ 1+2+3+4+…… +24）]÷ 25
=2250÷ 25
=90（岁）
解法二：两年之后，这 25 位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为
2000÷ 25=80（岁）
两年后，年龄最大的老人的岁数为 80+12=92（岁）
225 整除。怎样修改？（ 6 分）
5.（ 1）要把 9 块完全相同的巧克力平均分给 4 个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分） ，怎么分？（ 5 分）
（ 2）如果把上面（ 1）中的“ 4 个孩子”改为“ 7 个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？（
5
分）
详解与说明 一、计算题
，那么至少 7 个
苹果放入六个抽屉， 才能有两个苹果放在同一个抽屉内。 本题是由本报 234 期“奥林匹克学校” 拦的例 2 改换而成的。
7. 解：得分最低者最少得
404-（ 90+89+88+87） =50（分）
得分最低者最多得
[404-90- （ 1+2+3） ]÷ 4=77（分）
说明：解这道题要考虑两种极端情形：