2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题及答案

2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题分值: 分 时量: 分钟一、选择题,1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥则,a b 夹角为( )A.6π B.3π C.32π D.65π2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A. 11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11n n +-3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )A.3B.5C.3D.54.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i-+-+的最大值为( )A. 1B. 2-C. 1+D. 2+5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若B C 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( ) A.. 216y x = B. 28y x = C. 216y x =- D. 28y x =-6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )A.B.C.2D.27.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( )A. (0,1)B. 1(,1)4C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.如图,内接于O ,过中点作平行于的直线,l l 交于,交O 于,交O10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用k σ表示连续k 次σ的变换,则234στστστσ是( ) A. 4σ B. 5σ C.2στ D.2τσ 二、解答题11.设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+. (1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列; (2)若12lim ()4,n n a a a →∞+++= 求,a b 的值;12.在ABC ∆中,2,A B A C A D =是角A 的平分线,且AD kAC =. (1)求k 的取值范围;(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,B C 最短?13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =-. (1)求椭圆的方程;(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.14.一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= (3)证明:11(1) 1.n n EX EX a b+=-++15.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';(2)设0,a b <<求常数c ,使得1|ln |b ax c dx b a--⎰取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,M a b ,证明,ln 2M a b <.参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B BD二.解答题11.【解】(1)证:由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+,得2112()().n n n n a a a a +++-=-- 令1,n n n b a a +=-则112n n b b +=-,所以{}n b 是以b a -为首项,以12-为公比的等比数列;(2)由(1) 可知1*11()(()2n n n n b a a b a n N -+=-=--∈,所以由累加法得1111(2(),11()2nn a a b a +---=---即121()[1()],32nn a a b a +=+---也所以有121()[1(](2),132n n a a b a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式;所以1*21()[1(]()32n n a a b a n N -=+---∈也所以1211()224412()[]()()()()13399212nnn a a a na b a n na b a n b a b a --+++=+--=+---+--+由于12lim ()4,n n a a a →∞+++= 所以24()0,()4,39a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-.12.【解】(1)过B 作直线BE AC ,交AD 延长线于E ,如图右. 所以,2,BD AB C DAC == 也所以有2D E BE BD ADACD C===,即2,3.B E A C A E B D ==在ABE ∆中,有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠ 即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅ 所以,2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,)99k A =+∈所以403k <<.(2)因为21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∆=⋅⋅==在ABC ∆中,有2222254cos 2cos 54cos sin A BC AB AC AB AC A AC AC A A-=+-⋅=-=记54cos sin A y A-=,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=当sin()1A ϕ+=时,53y =⇒=此时y 取最小值,此时3cos 5A =.故当15k =时,B C13.【解】设椭圆方程为22221(0)x y a b ab+=>>,因为它与直线y x =-,所以方程组22221,x ya b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩只有一解,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.所以2222222()4((3)0,a b a a b =--+-= 得223a b +=.又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b == 所以椭圆方程为2212xy +=.(2)若PQ 斜率不存在(或为0)时,则||||222PM Q N PQ M N S ⋅===四边形.若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则M N 为1k-.所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y联立方程221,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.则22121222422,2121kk x x x x k k --+==++所以12|||21PQ x x k =-==+同理可得||M N =所以222422242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252PM QN kPQ M N k k k S k k k k k k ⋅+++====-++++++四边形 24221114()4()12410424410kk k k =-=-++++因为22144101018k k++≥=（当且仅当21k =时取等号）所以,2211(0,],1184410k k∈++也所以2211164()[,2]1294410k k-∈++所以综上所述,PM QN S 四边形的面积的最小值为169,最大值为2.14.【解】(1)1n =时,袋中的白球的个数可能为a 个(即取出的是白球),概率为a a b+;也可能为1a +个(即取出的是黑球),概率为b a b+,故21(1)a b a ab b EX a a a ba ba b++=⋅++⋅=+++.(2)首先,10(0);n aP X a P a b+=+=⋅+1k ≥时,第1n +次取出来有a k +个白球的可能性有两种;第n 次袋中有a k +个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b +个白球(故此时黑球有b k -个),第1n +次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为;k a k P a b+⋅+第n 次袋中有1a k +-个白球,第1n +次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b +个,故此时黑球的个数为1b k -+.这种情况发生的概率为11(1)k b k P k a b--+⋅≥+.故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a ba b+-+-+=+=⋅+⋅≥++(3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是n EX a b+;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是na b EX a b+-+,此时白球的个数是 1.n EX + 故21()(1)(1)(1)n nn n n n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a ba b a b a b++-=+⋅+=+-+++++22()())11(1)1n n n n n EX EX EX EX EX a ba ba ba b=+-+-=-+++++15.(1)1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+;(2)若ln ,c a ≤则|ln |ln ,x c x c -=-显然,当ln ,ln c a x c =-取最小; 若ln ,c b ≤则|ln |ln ,x c c x -=-当ln ,ln c b c x =-取最小. 故ln ln .a c b ≤≤11|ln |[(ln )(ln )]ccb eb aaex c dx x c dx c x dx b ab a-=-+---⎰⎰⎰1{[(ln 1)(1)][(1)(ln 1)]}ceb xc dx c x dx =+-+++-+⎰⎰由(1)知[(ln 1)(1)]ln |(1)()ccee caax c dx x x c e a +-+=-+-⎰ [(1)(ln 1)](1)()ln |c cb c be ec x dx c e a x x +-+=+--⎰所以,11|ln |(ln ln 2)()b cax c dx a a b b e a b ac bc b ab a-=---+++-*--⎰记()2()ln ln ,c g c e a b c a a b b a b =-++--++ 则令()20c g c e a b '=-++=,得2a b c +=即2a b c +=时,1|ln |b ax C dx b a--⎰取最小值.(3)将2a b c +=代入()*式右边,1,[ln ln ()ln]ln 22a b M a b a a b b a b b a+=--++<-等价于()ln ln ln ()ln 2()ln()ln ln 2ln 22a b a b a a b b b a a b a b a a b b b ++--<-⇔+⋅+<++ln()ln ln()ln 2ln 2ln(1)ln(1)2ln 2.b a a a b a a b a b b b b a b b a b⇔+-++-<⇔+++< 由于0,12a a b b<<+<时,ln(1)ln 2.a b b b+<所以下面只须证明ln(1)ln 2b a b a+<即可.又ln(1)ln 2ln(1)ln 2.b a b a b a b a+<⇔+<令(0,1)a t b=∈,则11ln(1)ln(1)ln(1)t a bt b a t t +=+=+,注意到函数1ln(1)tt +是单调递增的,且 1.t < 所以111ln(1)ln(1)ln 21t t+<+=.得证.。