中考数学压轴题：特殊四边形存在性问题

⎪⎪

⎩⎩

探究特殊四边形存在性问题

1．如图，抛物线y＝x2－2x－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

(1)求点B，C的坐标；

(2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；

(3)若点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

第1题图

解：(1)令x＝0得y＝－3，

∴C(0，－3)，

∴OC＝3，

∵OC＝3OB，

∴OB＝1，

∴B(－1，0)，

把A(2，－3)，B(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3得：

⎧a－b－3＝0⎧a＝1

⎨，解得⎨，

⎪4a＋2b－3＝－3⎪b＝－2

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；

(2)如解图①，过点B作BE⊥AC，交AC延长线于点E.

第1题解图①

∵C(0，－3)，A(2，－3)，

∴AC∥x轴，

∴BE＝3，

又∵OB＝1，

∴AE＝3，∴AE＝BE，

∴∠BAE＝45°，

∵∠BDO＝∠BAC＝45°，

∴OB＝OD，

∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)，

(3)存在．如解图②.

第2题解图②

当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1，

∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标，

把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5，

(－2，5)．

∴M

1

把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5，

(4，5)，

∴M

2

当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)，

∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)．

2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；

(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)．

∵抛物线过点C(0，3)，

∴a＋4＝3，∴a＝－1.

∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；

(2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，

⎧⎪x1＝1⎧⎪x2＝2

⎩

⎩⎩

⎩

⎧x＝3＋17⎧x＝3－17

解得

⎨，⎨

⎪⎩y＝－1－17⎪⎩y＝－1

＋17

2

2

∴Q

2

(，)，Q

3

(，)．

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，3)或(，)或(，)；令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，

∵C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，

∵△S

BCP

＝△S

BCQ

，

∴点P、Q到BC的距离相等．

①当点P、Q位于BC的同侧时，如解图①，过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，

又∵P(1，4)，

∴直线PQ的解析式为y＝－x＋5，

⎧⎪

y＝－x＋5，

联立⎨

⎪y＝－x2＋2x＋3.

解得⎨(舍去)，⎨，

⎪y1＝4⎪y2＝3

∴Q

1

(2，3)．

第2题解图①

②当点P、Q位于BC的异侧时，设抛物线的对称轴交BC于点G，交x轴于点H，∴G(1，2)，∵此时点P、H到BC的距离相等，∴H(1，0)，

∴PG＝GH＝2，

如解图①，过点H作Q2Q3∥BC交抛物线于点Q2，Q3.

直线Q2Q3的解析式为

y＝－x＋1，

⎧⎪

y＝－x＋1，

联立⎨

⎪y＝－x2＋2x＋3.

1

22

122

，

3－17－1＋173＋17－1－17

2222

3－17－1＋173＋17－1－17

2222

∵NE ＝ 2

NH ，

∴NE 2＝ (b －3)2.

∴42－8b ＝ (b 2－6b ＋9)．

⎩

第 2 题解图②

(3)存在满足条件的 M ，N .

如解图②，过点 M 作 MF ∥y 轴，过点 N 作 NF ∥x 轴交 MF 于点 F ，过点 N 作 NH ∥y 轴交 BC 于点 H . 则△MNF 与△NEH 都是等腰直角三角形．

设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线 MN 的解析式为 y ＝－x ＋b .

⎧⎪y ＝－x ＋b ，

∵⎨ ⎪y ＝－x 2＋2x ＋3，

∴x 2－3x ＋(b －3)＝0.

∴NF 2＝|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21－4b .

∵△MNF 为等腰直角三角形，

∴MN 2＝2NF 2＝42－8b .

∵直线 MN 与 y 轴交点(0，b )到点 C (0，3)的距离为|b －3|，

∴NH 2＝(b －3)2，

2

1 2 如果四边形 MNED 为正方形，

∴NE 2＝MN 2，

1

2 ∴b 2＋10b －75＝0，

∴b 1＝－15，b 2＝5.

∵正方形边长为 MN ＝ 42－8b ，

∴MN ＝9 2或 2，

∴正方形 MNED 的边长为 9 2或 2.