电路分析基础-耦合电感与变压器
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若i1,i2以及u1,u2的参考方向对同名端不一致，则前表达 式中符号取反。
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
–
–
方法1：网孔分析法
解得
方法2：阻抗变换
1
+
+
–
–
初级等效
方法3：戴维南等效
1 1 : 10
+
+ **
+
–
–
–
求R0： 1 1 : 10
**
R0=1021=100 R0
第8章 耦合电感与变压器
8. 1 互感和互感电压 8. 2 耦合电感电路的分析 8. 3 空芯变压器电路分析 8. 4 理想变压器和全耦合变压器 8. 5 变压器的电路模型
8. 1 互感和互感电压
一、 互感和互感电压 11
21
N1
N2
i1
+ u11 – + u21 –
当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。
二、反映阻抗（reflected impedance）
其中： Z11=R1+j L1 ——初级回路的自阻抗 Z22=R2+ZL+j L2 ——次级回路的自阻抗
——次级在初级回路中的反映阻抗， 或称为引入阻抗。
这说明了次级回路对初级回路的影响可以用反映（引 入）阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然初级、次级没有电 的联系，但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流，反 过来这个电流又影响初级回路电流和电压。
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
同名端的另一种定义： 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则
另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。
例.
1*
2
3
1'
2'*
3'
同名端的实验测定： R S1i *
1'
*2
+
V –
2'
如图电路，当开关S突然闭合时，i增加， 电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
R1
j M
R2
+
**
j L1
j L2
ZL
–
次级等效之二：
+ –
j2 10
+
**
–
j10
j10
ZL
10+j10
+
Zref1=10–j10
–
解：
初级等效 法一：回路电流分析法（略） 法二：利用初级、次级等效电路。
j2 10
+
**
–
j10
j10
ZL
+
– H
0.4H
(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向
互感现象的利与弊： 利用——变压器：信号、功率传递 避免——干扰 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
8. 2 耦合电感电路的分析
一、互感线圈的串联
1. 顺串
i
+
u
–
+*
u1 –
L1 M
+*
u2 L2 –
i +
u
L顺串
–
2. 反串
i
+
u
–
+*
j M
+ *
j L1
+ *
j L2
_
_
相量模型
相量形式的VAR ：
注：上图中将互感电压用受控电压源表示后，L1 与L2就
不再具有耦合关系。
注意：
(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；
有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合 线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
A、B为同名端，B、C为同名端，但A、C不一定 是同名端。
对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。
11
s
N1 i1 *
+ u11 –
0
N2
N3
*
+ u21 – + u31 –
引入同名端可以解决这个问题。
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所 产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端， 否则为异名端。
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
i1 +
u1
L1 +
__
i2
+
L2 +
u2
__
时域VAR ：
i1 M i2
+*
_
u_1 L1
L2 u2 *+
i1 + u1 L_1
_+
i2 _ _L2 u2 ++
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
时域模型
+
+
++
_ __ _
互感的等效相量模型
u2
–
例： R1
+
u1 R2
–
(a)
1:n
**
-
–
i2
i1
+
+
u2
u1
–
–
-
(b)
1 : n n2 R1 i2
**
+
n2 R2
–
注：应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。
应用： 例：电力传输中高压送电减小线路上热损耗
1:n
r0
电 + ** +
220V
几百KV
厂–
升压
n:1
** +
用
220V 户
1:4
+
**
+
+
+
–
–
–
–
次级等
效
8. 5 变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即 L1， L2 , k 1。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还 常用含有理想变压器的电路模形来表示。
一、理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器)
i1
+
u1
–
1:n
**
i2
+
u2
–
二、全耦合变压器(k=1，无损 ，m， 线性)
u1 L1
– +
M
u2 –
L2 *
i + u –
L反串
互感的测量方法： * 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
二、互感线圈的并联
1. 同名端在同侧
i
M
+
i1 * * i2
u
L1
L2
–
解得u, i的关系：
i = i1 +i2
2. 异名端在同侧
i
M
+
i1 *
i2
u
L1
L2
–
*
三、含耦合电感电路的一般分析
a
a
Leq
* L1=10mH
M
c
Leq
* L2=2mH
b
b
14mH -4mH c
6mH
8. 3 空芯变压器电路分析
R1
j M
R2
+
**
–
j L1
j L2
ZL
空芯变压器： （非铁磁性骨架材料） 主圈（原边、初级线圈）： 副圈（副边、次级线圈）：
一、回路分析法
R1
j M
R2
+
**
–
j L1
j L2
ZL
i1
+
1:n
i2
+
**
u1
u2
–
–
由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能， 在电路中只起传递信号和能量的作用。
例: 解：
-j10
+
+ **+
12mV
10
–
-
-
1 : 2.5
3. 理想变压器的阻抗变换性质： 阻抗变换一：
1:n
+
+
+
**
RL u2
–
(a)
–
–
利用伏安关系证明(a),(b)等效：
全耦合（perfect coupling）： K=1
紧耦合
K≈1
无耦合（孤立电感）
K=0
互感小于两元件自感的几何平均值。
二、互感线圈的同名端 具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。
对自感电压： 当u11, i 1关联取向：
当u11, i1 非关联取向：
L1–M12 L2–M12
*
L3+M12
M13
M23
*
L1–M12 –M13 +M23
L2–M12 +M13 – M23
L3+M12 –M13 –M23
8. 4 理想变压器和全耦合变压器
一、. 理想变压器 (ideal transformer) ：1. 理想变压器的伏安关系
i1
+
1:n
i2
+
**
u1
i2
2
(L2+M)
i
3
例：利用互感去耦法求ab端等效电感Leq M
a
a
**
Leq
Leq
L1
L2
-M
3i M
L1-M
L2-M
b
b
例：利用互感去耦法重解前面例题。
+
R1
M R2 去耦
u
**
–
L1
L2
时域模型 列网孔方程：
+
R1
–
j(L1-
M)
jM
相量模型
R2
j(L2-
M)
解之：
例：求ab间等效电感Leq=?。 已知M=4mH
此即为理想变压器。
实际变压器，当其K接近1，L1 、L2很大，或在精度 要求不高的情况下可当作理想变压器处理。
二、全耦合变压器 (K=1)
j M
+
+
**
j L1
j L2
–
–
由此得全耦合变压器的等效电路图：
1:n
+
+
**
j L1
–
–
理想变压器
+
+
**
– –
解： 法一：反映阻抗法
法二：互感去耦法（略） 法三：利用全耦合变压器的等效电路
+
R1
M R2
+
u
**
–
L1
L2
–
时域模型 例：如上，列写网孔方程
R1
jM R2
*
jL1
*
jL2
相量模型 互感电压项
可见，此法麻烦！
四、互感去耦法
1. 同名端相连
i1
M
1
**
L1
i2
2
L2
i
3
i1
1
(L1–M)
i2
2
(L2–M)
M
3i
2. 异名端相连
i1
M
1
* L1
*
i2
2
L2
同理可证
i1
1
(L1+M)
当S突然闭合时： 电压表若正偏，则1、2为同名端 电压表若反偏，则1、2`为同名端
三、耦合电感的伏安特性
互感电压的正负号判定规则：
当电流的流入端与该电流引起的互感电压的参考正极
端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。
i1 M
i1 M
* *+
L1
L2 _uM
*
+
L1
L2 *
_uM
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压。
-
降压
若直接低压传输，传输线上电流较大，r0上热损耗 很大，且用户端不能获得正常的220V额定电压。
实际中采用变压器实现高压传输，传输线路上电流 非常小，热损耗很小。
例: 已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使 RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。
RS n : 1
+
**
uS
–
RS
+
戴维南等效电路：
100
+ +
50
– –
次级等效
例： （不讲）
5:1
*
+
●*
●
–
6:1
+
4
–
+
5
–
理想变压器次级有两个线圈， 变比分别为5:1和6:1。
求初级等效电阻R。
解：
(根据)
R
100 180
4. 理想变压器的实现
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
实际变压器
i1
+
u1
1:n
**
线圈1的自感系数 (self-inductance coefficient)
线圈1对线圈2的互感系数，单位：H (mutual inductance coefficient)
当i1与u11关联取向；u21与磁通符合右手螺旋法则时， 根据电磁感应定律和楞次定律：
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
–
–
方法1：网孔分析法
解得
方法2：阻抗变换
1
+
+
–
–
初级等效
方法3：戴维南等效
1 1 : 10
+
+ **
+
–
–
–
求R0： 1 1 : 10
**
R0=1021=100 R0
第8章 耦合电感与变压器
8. 1 互感和互感电压 8. 2 耦合电感电路的分析 8. 3 空芯变压器电路分析 8. 4 理想变压器和全耦合变压器 8. 5 变压器的电路模型
8. 1 互感和互感电压
一、 互感和互感电压 11
21
N1
N2
i1
+ u11 – + u21 –
当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。
二、反映阻抗（reflected impedance）
其中： Z11=R1+j L1 ——初级回路的自阻抗 Z22=R2+ZL+j L2 ——次级回路的自阻抗
——次级在初级回路中的反映阻抗， 或称为引入阻抗。
这说明了次级回路对初级回路的影响可以用反映（引 入）阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然初级、次级没有电 的联系，但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流，反 过来这个电流又影响初级回路电流和电压。
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
同名端的另一种定义： 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则
另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。
例.
1*
2
3
1'
2'*
3'
同名端的实验测定： R S1i *
1'
*2
+
V –
2'
如图电路，当开关S突然闭合时，i增加， 电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
R1
j M
R2
+
**
j L1
j L2
ZL
–
次级等效之二：
+ –
j2 10
+
**
–
j10
j10
ZL
10+j10
+
Zref1=10–j10
–
解：
初级等效 法一：回路电流分析法（略） 法二：利用初级、次级等效电路。
j2 10
+
**
–
j10
j10
ZL
+
– H
0.4H
(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向
互感现象的利与弊： 利用——变压器：信号、功率传递 避免——干扰 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
8. 2 耦合电感电路的分析
一、互感线圈的串联
1. 顺串
i
+
u
–
+*
u1 –
L1 M
+*
u2 L2 –
i +
u
L顺串
–
2. 反串
i
+
u
–
+*
j M
+ *
j L1
+ *
j L2
_
_
相量模型
相量形式的VAR ：
注：上图中将互感电压用受控电压源表示后，L1 与L2就
不再具有耦合关系。
注意：
(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；
有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合 线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
A、B为同名端，B、C为同名端，但A、C不一定 是同名端。
对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。
11
s
N1 i1 *
+ u11 –
0
N2
N3
*
+ u21 – + u31 –
引入同名端可以解决这个问题。
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所 产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端， 否则为异名端。
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
i1 +
u1
L1 +
__
i2
+
L2 +
u2
__
时域VAR ：
i1 M i2
+*
_
u_1 L1
L2 u2 *+
i1 + u1 L_1
_+
i2 _ _L2 u2 ++
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
时域模型
+
+
++
_ __ _
互感的等效相量模型
u2
–
例： R1
+
u1 R2
–
(a)
1:n
**
-
–
i2
i1
+
+
u2
u1
–
–
-
(b)
1 : n n2 R1 i2
**
+
n2 R2
–
注：应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。
应用： 例：电力传输中高压送电减小线路上热损耗
1:n
r0
电 + ** +
220V
几百KV
厂–
升压
n:1
** +
用
220V 户
1:4
+
**
+
+
+
–
–
–
–
次级等
效
8. 5 变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即 L1， L2 , k 1。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还 常用含有理想变压器的电路模形来表示。
一、理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器)
i1
+
u1
–
1:n
**
i2
+
u2
–
二、全耦合变压器(k=1，无损 ，m， 线性)
u1 L1
– +
M
u2 –
L2 *
i + u –
L反串
互感的测量方法： * 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
二、互感线圈的并联
1. 同名端在同侧
i
M
+
i1 * * i2
u
L1
L2
–
解得u, i的关系：
i = i1 +i2
2. 异名端在同侧
i
M
+
i1 *
i2
u
L1
L2
–
*
三、含耦合电感电路的一般分析
a
a
Leq
* L1=10mH
M
c
Leq
* L2=2mH
b
b
14mH -4mH c
6mH
8. 3 空芯变压器电路分析
R1
j M
R2
+
**
–
j L1
j L2
ZL
空芯变压器： （非铁磁性骨架材料） 主圈（原边、初级线圈）： 副圈（副边、次级线圈）：
一、回路分析法
R1
j M
R2
+
**
–
j L1
j L2
ZL
i1
+
1:n
i2
+
**
u1
u2
–
–
由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能， 在电路中只起传递信号和能量的作用。
例: 解：
-j10
+
+ **+
12mV
10
–
-
-
1 : 2.5
3. 理想变压器的阻抗变换性质： 阻抗变换一：
1:n
+
+
+
**
RL u2
–
(a)
–
–
利用伏安关系证明(a),(b)等效：
全耦合（perfect coupling）： K=1
紧耦合
K≈1
无耦合（孤立电感）
K=0
互感小于两元件自感的几何平均值。
二、互感线圈的同名端 具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。
对自感电压： 当u11, i 1关联取向：
当u11, i1 非关联取向：
L1–M12 L2–M12
*
L3+M12
M13
M23
*
L1–M12 –M13 +M23
L2–M12 +M13 – M23
L3+M12 –M13 –M23
8. 4 理想变压器和全耦合变压器
一、. 理想变压器 (ideal transformer) ：1. 理想变压器的伏安关系
i1
+
1:n
i2
+
**
u1
i2
2
(L2+M)
i
3
例：利用互感去耦法求ab端等效电感Leq M
a
a
**
Leq
Leq
L1
L2
-M
3i M
L1-M
L2-M
b
b
例：利用互感去耦法重解前面例题。
+
R1
M R2 去耦
u
**
–
L1
L2
时域模型 列网孔方程：
+
R1
–
j(L1-
M)
jM
相量模型
R2
j(L2-
M)
解之：
例：求ab间等效电感Leq=?。 已知M=4mH
此即为理想变压器。
实际变压器，当其K接近1，L1 、L2很大，或在精度 要求不高的情况下可当作理想变压器处理。
二、全耦合变压器 (K=1)
j M
+
+
**
j L1
j L2
–
–
由此得全耦合变压器的等效电路图：
1:n
+
+
**
j L1
–
–
理想变压器
+
+
**
– –
解： 法一：反映阻抗法
法二：互感去耦法（略） 法三：利用全耦合变压器的等效电路
+
R1
M R2
+
u
**
–
L1
L2
–
时域模型 例：如上，列写网孔方程
R1
jM R2
*
jL1
*
jL2
相量模型 互感电压项
可见，此法麻烦！
四、互感去耦法
1. 同名端相连
i1
M
1
**
L1
i2
2
L2
i
3
i1
1
(L1–M)
i2
2
(L2–M)
M
3i
2. 异名端相连
i1
M
1
* L1
*
i2
2
L2
同理可证
i1
1
(L1+M)
当S突然闭合时： 电压表若正偏，则1、2为同名端 电压表若反偏，则1、2`为同名端
三、耦合电感的伏安特性
互感电压的正负号判定规则：
当电流的流入端与该电流引起的互感电压的参考正极
端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。
i1 M
i1 M
* *+
L1
L2 _uM
*
+
L1
L2 *
_uM
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压。
-
降压
若直接低压传输，传输线上电流较大，r0上热损耗 很大，且用户端不能获得正常的220V额定电压。
实际中采用变压器实现高压传输，传输线路上电流 非常小，热损耗很小。
例: 已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使 RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。
RS n : 1
+
**
uS
–
RS
+
戴维南等效电路：
100
+ +
50
– –
次级等效
例： （不讲）
5:1
*
+
●*
●
–
6:1
+
4
–
+
5
–
理想变压器次级有两个线圈， 变比分别为5:1和6:1。
求初级等效电阻R。
解：
(根据)
R
100 180
4. 理想变压器的实现
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
实际变压器
i1
+
u1
1:n
**
线圈1的自感系数 (self-inductance coefficient)
线圈1对线圈2的互感系数，单位：H (mutual inductance coefficient)
当i1与u11关联取向；u21与磁通符合右手螺旋法则时， 根据电磁感应定律和楞次定律：