四年级奥数讲义 教案库3第三讲加乘原理综合
四年级奥数系列第3讲-加乘原理
加乘原理
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5 次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
练一练
加乘原理 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角 形？多少个四边形？
加乘原理 例五 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位 置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置 表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？
加乘原理
练一练
五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信 号，问：共可以表示多少种不同的信号？
加乘原理
例十
从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理
练一练
从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
加乘原理 <作业1> 玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红黄蓝三种颜色给每节涂色。这家工 厂共可以上产多少种颜色不同的玩具棒？
加乘原理 &l点．一只蚂蚁从A点出发，沿棱爬行，
要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？
C
D E F B
A
加乘原理 如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
例四
加乘原理
练一练
某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个 车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种 不同的车票？
例二
小学4年级暑假奥数：加乘原理-讲义-教师版
第1讲 加乘原理【学习目标】1、进一步学习加法原理和乘法原理；2、学会加法原理和乘法原理的解题方法。
【知识梳理】1、加法原理：如果完成一件任务有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
那么完成这件任务共有N ＝1m ＋2m ＋3m ＋……＋n m 种不同的方法。
2、乘法原理（分步）：如果完成一件任务需要分成N 个步骤进行，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法，……做第N 步有n m 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N=1m ×2m ×…×n m （种）不同的方法。
【典例精析】【例1】从成都到上海每天有6班火车、3班飞机、1班汽车，请问从成都到上海乘坐这些交通工具有多少种不同的选择？6+3+1=10(种）【趁热打铁-1】老师要求培培在暑假要读一本书，爸爸给小明买了中国4大名著、2本外国名著、3本科普书，培培要从这些书里任选一本书读，请问有多少种不同的选择？4+2+3=9(种）【例2】】海海有红、黄、蓝三件上衣和绿、白两条裤子。
请问他从上衣和裤子中各选一件，有多少种不同的搭配方法？3×2=6(种）【趁热打铁-2】题库中有三种类型的题目，数量分别为 30 道、40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？30×40×45=54000(种）【例3】在图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫有几种不同走法？3×1×3=9(种）【趁热打铁-3】如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路，培培要从甲村经乙村、丙村到丁村共有多少种不同的走法？3×2×4=24(种）【例4】用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的五位数？5×4×3×2×1=120(个）【趁热打铁-4】有3、4、5三个数字，能组成____个无重复数字的三位数。
2018四年级奥数.计数综合.加乘原理(C级).学生版
加乘原理1.区分加法与乘法并应用2.熟练运用常用计数方法3.计数与其他专题的综合运用知识结构一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、加法原理无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.重难点1.掌握加法乘法原理2.熟练运用加乘方法3.解决加乘及计数综合性题目例题精讲【例1】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【例2】三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？【巩固】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？【例3】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【巩固】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【例4】如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有（）条．(途中不再回A)欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？FE DCB【例5】用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？【巩固】由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？【例6】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．【巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例7】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?【巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?【例8】如果一个三位数ABC满足A B>，B C<，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．【巩固】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春数．那么，小于2008的迎春数一共有多少个？【例9】四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．)【巩固】编号为1到10的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放．5对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇不能相邻或对面而坐，有种入座的分配方式．1098754 321【例10】某次武林大会有九个级别的高手参加，按级别从高到低分别是游侠、火枪手、骑士、剑客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择．【巩固】两个篮子中分别装有很多同样的牵牛花和月季花，从中选出6朵串成花环（图是其中的一种情况），可以得到不同的花环种。
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-加乘原理(一)(含答案解析)全国通用
历届杯赛考试中，对计数问题的考察是必不可少的。
这部分的题目有一定的方法，目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力。
要做好这些题目，就需要同学们掌握计数问题的各类方法，枚举法是一种很重要的数学思考方法，是大家必须掌握的一种计数方法。
加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法，帮助我们提高解决问题的准确率。
名师点题加乘原理（一）知识概述1. 计数问题类型：① 图形计数：线段、三角形、长方形、正方形计数； ② 应用题类型的计数问题。
2. 解决计数问题常用的方法：① 分类计数（加法原理）：如果完成一件工作有几类不关联的方式，在每一类方式中又各有几种不同的方法，使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作的各类方法的总数之和；② 分步计数（乘法原理）：如果完成一件工作有几个相关的步骤，要依次完成这几个步骤，这件工作才能完成，而每一个步骤各有几种不同的方法去完成，那么，完成这件工作的方法总数，就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积。
1，2，3，…，299，300，这300个自然数中，完全不含有3的自然数共有_____个。
【解析】可以先计算出来含有3的自然数的个数，然后用300减去含有3的自然数的个数，就可以得到完全不含有3的自然数的个数。
1-99中，含有数字3的数有：9+10=19（个）100-199中，含有数字3的数有19个200-300中，含有数字3的数有19+1=20（个）含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个）完全不含有3的自然数共有：300-58=242（个）从A点沿直线走最短的路径到B点，共有多少种不同的走法？【解析】标数法解图表类题型从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【解析】用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
四年级奥数专题加法原理和乘法原理
四年级奥数专题加法原理和乘法原理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】二讲加法与乘法原理知识导航加法原理：做一件事情，完成．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+m n种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
精典例题例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路点拨①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。
所以是加法原理的问题。
②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。
模仿练习孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。
小学四年级奥数(乘法原理和加法原理)
小学四年级奥数第4讲乘法原理和加法原理知识方法…………………………………………………在现实生活中，经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。
如果完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。
这种方法我们称之为加法原理，也叫分类计数原理。
如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤中又有很多种不同的方法，那么完成这件工作的方法，就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。
这种方法我们称之为乘法原理，又叫做分步计数原理。
重点点拨…………………………………………………【例1】小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法?分析我们可以把他们所排列的位置分为一、二、三号位。
把他们的排列分成三个步骤。
从一号位开始可以有三个选择，这时二号位只能有两个选择(因为一号位已经站了一个人)，这时三号位只能有一个选择。
这样我们可以根据乘法原理进行解决。
解答2×3=6(种)答:有6种不同的排法【例2】书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。
如果从中各取一本科技书、一本故事书和一本英语书，那么共有多少种取法?分析完成这件工作可以分三步完成，第一步取科技书有5种取法，再取一本故事书有6种取法，最后取一本英语书有8种取法，根据乗法原理可以求出所有的取法。
解答5×6×8=240(种)答:共有240种取法。
【例3】一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。
(1)从两个盒子任取一个小球，有多少种不同的取法?(2)从两个盒子里各取个球，有多少种不同的取法？分析 (1)从两个盒子里任取一个球，可以从第一个金子里取，也可以从第二个盒子里取，这是两大类不同的方法，所以是加法原理的间题。
(2)从两个金子里各取一个小球，这要分两个步骤进行。
可以先从第一个盒子里取球后，再从第二个盒子里取球，这是乘法原理的问题。
四年级奥数讲义26学子教案库3.第三讲加乘原理综合
域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？
个人收集整理 勿做商业用途
B
E
A
C
D
【巩固】 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必
须要用．问：共有多少种不同的染色方法
?个人收集整理 勿做商业用途
学
而
奥
数
思
【例 16 】 分别用五种颜色中的某一种对下图的 A ， B ， C ， D ， E ， F 六个区域染色，要求相邻的
区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？
个人收集整理 勿
做商业用途
E
F
A
C
D
B
5/6
课后作业
练习 1. 用数码 0， 1， 2， 3， 4，可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数？
练习 2. 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个 ?
2， 2， 3， 3 面，任意取出三面按顺序排成一行，
表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？
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理 勿做商业用途
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乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影．响．．． 的独．立．步．骤． 来完成，这几步是完成这件任务
缺．一．不．可．的． ，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
集整理 勿做商业用途
个人收
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例题精讲
模块一：简单加乘原理综合应用
【例 1】 商店里有 2 种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 2 种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买 一些糖送给他的小朋友。 个人收集整理 勿做商业用途 ⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？ ⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各 1 种，他有几种选法？
小学奥数《加乘原理》教学课件
数学例题
mathematics
练习5：桌上有 3 瓶不同的纯净水，1 瓶可乐和 2 瓶不同的果汁，5 名同学从中各选一瓶. 小 李想从纯净水和可乐中选一瓶，小王想从可乐和果汁中选一瓶，那这五位同学一共有多少种 不同的选择方法？
数学例题
mathematics
例题6：如果从 15 本不同的语文书、20 本不同的数学书、10 本不同的外语书中选取 2本不 同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
复习巩固
mathematics
作业3：用数字 3、5、6、8、9 组数； （1）可以组成__________个两位数； （2）可以组成__________个无重复数字的三位数； （3）可以组成__________个无重复数字的四位偶数； （4）可以组成__________个无重复数字的四位奇数。
复习巩固
加乘原理
本讲主要内容： 加法原理的认识； 乘法原理的认识； 加乘原理综合； 加乘原理典型题目。
新知探究
mathematics
知识梳理
数学知识点
mathematics
总结归纳
例题讲解 复习巩固
闯关任务
新知探究
mathematics
第三关：加乘原理综合
第一关：加法原理 加法分类，累累相加
第二关：乘法原理 乘法分步，步步相乘
加法原理
加法分类，类类相加
总结归纳
mathematics
乘法原理
乘法分步，步步相乘
• IPdleanteifyanthdeOProgtaenniztieal
A
加乘原理综合
先分类，再分步； 类类相加，步步相乘
B
C
D
• PMreaprakreetRfoesroSuruccecsess
四年级奥数之加乘原理与归纳递推
本讲主线
本讲
1．加法原理、乘法原理
2．加乘原理的综合考察
3.
1. 乘法原理，
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步果件事情需要分
中方法数相乘.
2. 加法原理，分类相加
3. 经典案例：穿衣服，组数字，站队问题，染色问题
(乘法)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有
色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同
共有多少种不同用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同
要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
问：共有多少种不同的染色方
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步件事情需要分几步完成。
第3讲 加法原理与乘法原理(教案)西师大版四年级下册数学
第3讲加法原理与乘法原理（教案）一、知识目标1.理解加法原理和乘法原理。
2.掌握加法原理和乘法原理的运用。
二、教学重难点1.加法原理和乘法原理概念的理解和应用。
2.加法原理和乘法原理的区别和联系。
三、教学内容1.加法原理–意义：对于两个互不相交的集合A和B，其并集的基数等于A集合的基数加B集合的基数。
–公式表达：$|A \\cup B|= |A| + |B|$–应用实例：班里有20个男生，15个女生，总数为20+15=35人。
2.乘法原理–意义：对于两个有序事件A和B，其组成事件的方案数等于第一个事件的方案数乘以第二个事件的方案数。
–公式表达：$N(A \\cdot B)= N(A) \\times N(B)$–应用实例：小明有4件上衣和3件裤子，问他有几种穿法？答案为$4\\times 3=12$种穿法。
四、教学过程1.学生复习小学数学中的集合概念和基本符号，如集合与元素的定义，集合的运算符号$\\cup$和$\\cap$等。
2.引入加法原理和乘法原理概念，让学生理解两个原理的本质区别。
3.分别讲解加法原理和乘法原理的公式表达，并结合实例让学生操作计算。
4.针对加法原理和乘法原理的应用实例进行课堂练习，让学生学会如何运用加法原理和乘法原理解决实际问题。
5.收集学生的加法乘法应用实例，并适当扩展课程难度，提高学生综合运用两个原理解决复杂问题的能力。
五、教学评价1.教师在课程中通过讲解明确的加法原理和乘法原理概念，帮助学生理解两个原理的本质区别和基本公式表达。
2.教师针对实际应用场景进行了充分的解释，有助于学生理解和应用两个原理。
3.教师在课程中引导学生通过讨论、练习和分享加深理解，并提高学生综合应用加法原理和乘法原理的能力。
六、教学扩展1.引导学生深入了解其他高级数学思维方式，如排列组合、图形数量和多元实际问题的计算方法等。
2.选取课程内容中涉及的实例，引导学生进一步思考和探究，如计算类似情境下每个方案的概率、多个事件共同发生的概率等。
《加法乘法结合律》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解加法乘法结合律的基本概念。加法结合律是指三个数相加时，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。乘法结合律是指三个数相乘时，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。它们是基本的运算定律，可以帮助我们简化计算过程，提高运算效率。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，了解加法乘法结合律在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了加法乘法结合律的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对加法乘法结合律的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.通过实际例题，让学生掌握加法结合律和乘法结合律的应用。
4.能够运用加法结合律和乘法结合律简化计算过程，提高计算速度和准确性。
5.培养学生运用运算定律解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探索加法乘法结合律的过程，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养，提高对数学运算规律的理解和运用能力。
2.培养学生运用加法乘法结合律解决实际问题的能力，加强数学应用意识，提高解决生活中数学问题的素养。
-在解决实际问题时，如何灵活运用结合律简化计算，尤其是面对较复杂的计算时。
-对于学习困难的学生，如何让他们理解并结合律的意义，而不是仅仅死记硬背公式。
举例：在突破加法结合律的难点时，可以通过具体的物理解释，如三个苹果先分给两个人，再把剩下的一个人分到第三个苹果上，或者先分给一个人，剩下的两个苹果再分给剩下的两个人，最终每个人得到的苹果数量是相同的。对于乘法结合律，可以通过面积的例子，如三个相同的长方形，无论是先算两个长方形的面积再乘以第三个长方形的长，还是先算两个长方形的长再乘以第三个长方形的面积，得到的结果都是相同的。
第3讲加法原理与乘法原理(教案)西师大版四年级下册数学
第3讲加法原理与乘法原理（教案）西师大版四年级下册数学在今天的课堂上，我们要学习的是加法原理与乘法原理，这是数学中非常重要的概念。
通过学习这两个原理，同学们可以更好地理解数学中的组合与排列问题。
我们来看加法原理。
加法原理是指，如果要完成一项任务，有m 种方法，完成另一项任务有n种方法，那么完成这两项任务总共有m+n 种方法。
这个原理在实际生活中应用非常广泛，比如我们要安排一次旅行，可以选择不同的交通工具和路线，每种交通工具和路线都有可能成为完成旅行的方法，那么我们就可以用加法原理来计算出完成旅行的总方法数。
练习1：如果小明有3种方法可以选择去学校，小红有4种方法可以选择去图书馆，那么他们两个人一起去学校再去图书馆总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以他们两个人一起去学校再去图书馆总共有12种方法。
练习2：如果一部手机有3种不同的解锁方式，一把钥匙有4种不同的开锁方式，那么用这部手机打开这把锁总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以用这部手机打开这把锁总共有12种方法。
重点和难点解析：1. 加法原理的应用场景：加法原理主要应用于解决组合问题，即从多个集合中选择元素的方法数。
在实际生活中，比如安排旅行、规划活动等，我们需要考虑不同的交通工具、路线、时间等因素，这时就可以用加法原理来计算完成任务的总方法数。
2. 乘法原理的应用场景：乘法原理主要应用于解决排列问题，即从多个集合中按照一定顺序选择元素的方法数。
在实际生活中，比如安排聚会、设计活动等，我们需要考虑不同的地点、时间、人员等因素，这时就可以用乘法原理来计算完成任务的总条件数。
3. 理解两个原理的区别：加法原理和乘法原理虽然都是解决组合与排列问题的方法，但它们的核心区别在于是否考虑元素的顺序。
加法原理不考虑元素的顺序，只关注方法数；而乘法原理则考虑元素的顺序，关注条件数。
4. 掌握计算方法：在运用加法原理和乘法原理时，我们需要掌握正确的计算方法。
小学四年级奥数竞赛班《加乘原理与归纳递推》
加乘原理与归纳递推是一种数学思维学习方法，它可以帮助学生更有
效地掌握知识和解决问题。
加乘原理是指，如果将两个数A和B相加，同时将这两个数分别乘以
一个数C，那么我们得到的结果是：(A+B)C=AC+BC。
这种思维原理可以用
来解决一些计算方面的问题，如几何图形的分析、几何问题的求解等等。
归纳递推是指，从一个具有特定特征的基本元素出发，通过研究它的
特征并将其包含在其他元素当中，这样就可以一步步地求得一系列新元素
的特征及它们之间的关系。
此外，归纳递推还可以更详细地分析其中一元素，比如一个几何图形，从而理解它的形状与特征。
在学习数学时，学生应该结合加乘原理和归纳递推来学习，不仅可以
更好地理解课程内容，还可以更好地记住。
在解决实际数学问题时，也可
以考虑使用加乘原理和归纳递推等数学思维方法，从而更容易地解决问题。
尤其是学习奥数时，更需要学生学习加乘原理与归纳递推的思维方法，可以使孩子们记忆数学知识和掌握解题的思维模式更加系统化，让孩子们
更有效的解决问题，从而取得更好的学习成绩。
因此，在小学四年级的奥数竞赛班中。
四年级奥数加乘原理
加乘原理是组合数学中的一个重要概念，也是解决组合问题的一个有效方法。
在数学中我们经常遇到这样的问题：有n件物品，如何从中选取k件物品进行排列组合？加乘原理可以帮助我们解决这类问题。
加乘原理的基本思想是将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，并将子问题的解合并得到原问题的解。
具体而言，加乘原理分为两个步骤：加法原理和乘法原理。
加法原理是指当一个问题可以分解为若干个互不相交的子问题时，原问题的解等于所有子问题解的和。
以一个简单的例子来说明加法原理：假设小明去买糖果，他可以选择购买巧克力、薄荷糖或者口香糖。
如果他可以选择一种或多种糖果，那么他一共有多少种购买方式？假设巧克力有4种选择，薄荷糖有3种选择，口香糖有2种选择，根据加法原理，小明一共有4+3+2=9种购买方式。
乘法原理是指当一个问题可以分解为若干个相互独立的子问题时，原问题的解等于所有子问题解的积。
以一个具体的例子来说明乘法原理：小明有4种T恤和3种裤子，他想知道自己一共有多少套搭配方式。
根据乘法原理，小明一共有4*3=12种搭配方式。
接下来我们介绍一个综合例子来说明加乘原理的应用。
假设班级内有10个学生，其中男生有5个，女生有5个。
老师要选出3个学生组成一个小组，要求这个小组至少有1个男生和1个女生。
那么一共有多少种不同的选组方式？首先我们可以分别计算出只包含1个男生和只包含1个女生的组合数分别是C(5,1)和C(5,1)，即分别为5和5、然后我们再计算只含有男生或者只含有女生的组合数，这样的组合数分别为C(5,3)和C(5,3)，即分别为10和10。
最后计算只有女生或者只有男生的组合数，这样的组合数分别为C(5,0)和C(5,0)，即分别为1和1根据加法原理，将以上的4种情况的组合数相加，即5+5+10+10+1+1=32、所以，一共有32种不同的选组方式。
通过这个例子我们可以看出，加乘原理可以帮助我们有效地解决各种组合问题。
通过将问题分解为若干个子问题，然后根据加法原理和乘法原理计算子问题的解，最后将子问题解合并得到原问题的解。
小学四年级奥数教程-加法原理
它们的区别是，乘法原理是把一件事分几步完成，这几 步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法 数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类， 每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务 的不同方法数等于各类方法数之和。
小学四年级 奥数教程-加
例法1：原理
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，
分析与解况，其中A，C可以是2，3，4中任一个，B可以是1，
2，3，4中任一个。所以对于111AB有3×4（种）， A111C有3×3（种），BA111有4×3（种） 3×4＋3×3＋4×3 ＝33（种）。 由加法原理，这样的五位数共有 1＋6＋33＝40（种）。
小学四年级 奥数教程-加
小学四年级 奥数教程-加
法原理
例5：
用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字
例题精选可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
小学四年级 奥数教将至程少-有加连续三位数是1的五位数分成三类：连
续 法五 位连原是续理1五、位连是续1四，位只是有11、11连11续一三种位；是1。
连续四位是1，有1111A与A1111两种情况。其中 A可以是2，3，4中任一个，所以有3＋3＝6（种）； 连续三位是1，有111AB，A111C，1三种情
分析与解有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有
9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为
偶数的情况有9＋9＝18（种）。
小学四年级 奥数教程-加
例法4：原理
用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区
例题精选域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：
共有多少种不同的染色方法？
小学四年级
奥数教在本程例-中加没有一个区域与其它所有区域都相邻， 那法么当就原区要理域分A颜与色区相域同E颜与色不相同同两时种，情A况有分5析种。颜色可选；
小学四年级奥数教程乘法原理
在现代数学中，乘法原理不仅是基础数学知识之一，还被广泛应用于数论、代数、组合数学等学科中，为解决实际问题提供了重要的理论支持。
乘法原理的历史与发展
02
乘法原理基3
整数乘法是把一个数与另一个数合并的运算。
整数乘法定义
按照从左到右的顺序进行乘法运算，也可以使用括号改变运算顺序。
乘法结合律
乘法的交换律和结合律
乘法分配律的定义
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加。用字母表示为：a × (b + c) = a × b + a × c。
乘法分配律的应用
在解决实际问题时，常常会用到乘法分配律，例如购物时计算总价等。
乘法的分配律
03
乘法原理的应用
乘法原理公式
什么是乘法原理
基础数学知识
乘法原理是小学数学中的基础知识，对于理解乘法的本质和解决乘法问题具有重要意义。
数学思维的培养
学习乘法原理有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
乘法原理的重要性
古代数学中的乘法原理
在古代数学中，乘法原理已经得到广泛应用。例如，在古埃及和古希腊的数学文献中，都有关于乘法原理的记载和应用。
乘法运算的顺序
例如，3 × 4读作“3乘4”，或“三乘以四”。
乘法算式的读法
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。例如，a × b = b × a。
乘法交换律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。例如，(a × b) × c = a × (b × c)。
乘法原理在商业中有着广泛的应用，如计算销售额、库存管理等。掌握乘法原理可以帮助我们更好地理解商业活动中的数量关系。
小学四年级奥数教程乘法原理PPT学习教案
例1： 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、
白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿 一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配 ？
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由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第 一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方 法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法 ，所以不同的搭配共有
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先 进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少 种不同的评选结果？
（ 30）
6.在下图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚 棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种 不同的放法？
（ 提 示 ： 第 一枚棋 子有25种 放法 ，去掉 这枚棋 子所在 的行和 列，还 有16个 空格， 所以第 二枚棋 子有16种 放法 。）
5×4×3×3×2＝360（种）。
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例5： 求360共有多少个不同的约数。
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由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后 的形式为：
其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…， nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：
（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。 例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不 同的约数： （4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝ 60（个）。
事实上，从甲到丁是分三步走的。甲到乙有2 种方法，乙到丙有3种方法，丙到丁有2种方法。 所以不同的走法共有：
2×3×2＝12（种）。
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例3： 用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三
位数（各位上的数字允许重复）？
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一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。
还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．
⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．
，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
第三讲 加乘原理综合
知识点拨
例题精讲
模块一：简单加乘原理综合应用
【例 1】商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友。
⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？
⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？
【巩固】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
【例 2】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多
少种不同的信号？
【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？
【例 3】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？
【例 4】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母a后边必
然紧跟着字母b，⑶c和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有
多少种？
【巩固】从6名运动员中选出4人参加4100
接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：
⑴甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒
【例 5】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
【巩固】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？
【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？
模块二：加乘原理与数论的综合
【例 6】由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？
【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？
【例 7】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数。
【巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【例 8】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？
【巩固】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?
【巩固】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？
【例 9】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
【巩固】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?
【例 10】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
【巩固】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？
【例 11】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？
【巩固】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
【巩固】直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
【巩固】三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
【例 12】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？
【巩固】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直
角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形)。
【例 13】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中15
的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法。
【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】
【巩固】 在如图所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相
同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 种不同的填法。
【例 14】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国
家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？
D
C
B A
【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种
颜色都必须要用，问有多少种染色方法？
【例 15】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区
域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？
E
D
C B
A
【巩固】 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必
须要用．问：共有多少种不同的染色方法?
学奥
而思
数
【例 16】 分别用五种颜色中的某一种对下图的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域染色，要求相邻的
区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？
F E D
C
B A
练习1. 用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？
练习2. 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?
练习3. 直线a ，b 上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？
课后作业
练习4.如右图，有A，B，C，D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？
A
D
C
B
练习5.红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？。