计算坐标与坐标方位角的基本公式

二 计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。

下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。

一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。

如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y
，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和
AB α，则待定点B 的坐标为
AB
A B AB A B y y y x x x ∆+=∆+= ｝ （5—1）
式中 AB x ∆ 、AB y ∆——坐标增量。

由图5—5可知
AB
AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =∆=∆ ｝ （5—2）
式中 AB S ——水平边长；
AB α——坐标方位角。

将式（5-2）代入式（5-1），则有
AB
AB A B AB AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝ （5—3）
当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。

式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。

从图5—5可以看出AB x ∆是边长AB S 在x 轴上的投影长度，AB y ∆是边长AB S 在y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。

而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。

从式（5—2）知，由于
三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

图5—5 坐标计算 图5—6 坐标增量符号 表5—3 坐标增量符号表
坐标方位角 （°） 所在象限
坐标增量的正负号 ⊿x ⊿y 0～90 90～180 180～270 270～360
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ＋ － － ＋
＋ ＋ － －
例1 已知A 点坐标A x =100.00m ，A y =300.10m ；边长AB s =100m ，方位角AB α=330°。

求B 点的坐标B x 、B y 。

解：根据公式（5—3）有
m
s y y m s x x AB AB A B AB AB A B 6.249330sin 1001.300sin 1.186330cos 100100cos =︒⋅+=+==︒⋅+=+=αα
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。

由式（5—1）有
A
B AB A B AB y y y x x x -=∆-=∆ ｝ （5—4）
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。

在图5—5中AB x ∆ 表示由A 点到达B 点的纵坐标之差称纵坐标增量； AB y ∆表示由A 点到B 点的横坐标之差称横坐标增量。

坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。

在图5—5中如果A 点到B 点的坐标已知，需要计算AB 边的坐标方位角AB α和边长时
AB S ，
则有
AB
AB
A B A B AB x y x x y y ∆∆=
--=
αtan
AB
AB
AB AB AB y x S ααsin cos ∆=∆=
｝ (5—5)
或 ()()22AB AB AB y x S ∆+∆=
公式（5—5）称为坐标反算公式。

应当指出，使用公式（5—5）中第一式计算的角是象限角R ，应根据⊿x 、⊿y 的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。

因此公式（5-—5）中的第一式还可表示为：
AB
AB A B A B AB x y
x x y y R ∆∆=--=arctan arctan
例2．已知A x =300m, A y =500m,B x =500m,B y =300m,求A 、B 二点连线的坐标方位角AB
α和边长AB S 。

解：由公式（5-5）有
)1arctan(300
500500
300arctan arctan
-=--=--=A B A B AB x x y y R
因为AB x ∆为正 、AB y ∆为负，直线AB 位于第四象限。

所以︒=45NW R AB
当直线AB 位于第一象限时为AB
α=AB
R ,当位
于第二象限是AB
α=︒180-AB
R
当直线AB 位于第三象限时AB
α=︒180+AB
R ，当
直线AB 位于第四象限时AB
α=︒360-AB
R ，当AB
x ∆=0
且AB
y ∆>0时则AB
α=︒90，当AB
x ∆=0且AB
y ∆<0时则
AB
α=︒270
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：
︒=︒-︒=31545360AB α
AB 边长为：
m y y x x S A B A B AB 8.282)500300()300500()()(2222=-+-=-+-=
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。

在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。

例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。

二、坐标方位角的推算公式
由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。

下面介绍坐标方位角的推算公式。

如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。

1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图5—7与5—8中，已知AB 边的方位角为AB α，左β为左观测角，需要求得BC 边的方位角BC α。

左β是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角AB α与左观测角
左β之和有两种情况：即大于180°或小于180°。

图5—7中为大于180°的情况，图5—8
中为小于180°的情况。

图5—7坐标方位角推算 图5—8坐标方位角推算 从图5—7可知，BC 边的坐标方位角为
180-+=左βααAB BC
从图5—8可知，BC 边的坐标方位角为
180++=左βααAB BC
综上所述两式则有 180±+=左后前
βαα （5—6）
式（5-6）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知方位角计算前一条边方位角的基本公式。

公式说明：导线前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角，其和大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。

2.观测右角时的坐标方位角计算公式 从图5-7 或图5-8可以看出 右左
ββ-= 360
将该式代入式(5- 6),得
360)180(+±-=右后前βαα
当方位角大于360°时，应减去360°，方向不变。

所以上式变为
180±-=右后前βαα （5—7）
上式说明：导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角减去右观测角， 其差大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。

使用式（5-6）与(5-7)时，还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于360°时，则应减去360°，方向不变。

例3 图5-9 为一条支导线，已知A 点的坐标方位角BA α =101°28´,导线A 点的左观测角左β =108°32´，M 点的右观测角 右β =75°。

试推算坐标方位角 AM α、MN α。

图5—9 支导线 解 ：由式（5-6）得
180±+=左βααBA AM
则有
30180'32108'28101=-+=AM α 由式（5-7）得
180±-=右βααAM MN
则有
1351807530=+-=MN α。