高等数学 全微分PPT课件

例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u d u x y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
记作
u dz z
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du dx u d y u dz u
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续 偏导数存在
函数可微分
偏导数连续
四、小结
１．多元函数全微分的概念；
２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别）
1. 微分定义:
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
z z d z x y x y 证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量 z xz lim A x x 0 x z B , 因此有 同样可证 y
令 y 0 ,
Ax o ( x )
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
在 ( 0 ,0 ) .
例1. 计算函数 z ye x y , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xe x y y
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
例2. 计算函数 解: d u
1 cos y (2 2
的全微分.
z eyz )d y
(2)
f ( x , y ) 在点 (0, 0)不可微 .
f [ f x (0, 0)x f y (0, 0)y]
(x) 2 (y ) 2 2 2 32 (x)2 (y) 2 [(x) (y ) ] 2 2 [(x)2 (y)2 ]2 (x) (y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
x y , 故有 注意到
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o( )
所以函数
在点
可微.
可微 ? 连续 ? 可导
?
在多元函数中, 三者的关系如何？
二、连续、可导与可微的关系
函数连续 函数可导
z
x2 y2
在(0,0)
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
( x) ( y )
2
2
x y ( x) 2 ( y ) 2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
在点 ( x, y ) 连续 , 则函数在该点可微分. 证： z f ( x x, y y) f ( x, y)
可微的 定义
TH2
函数可微 偏导数连续 xysin
0,
TH1的 反例
TH1
1 x y
2 2
, ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
x2 y2 , x 2 y 2 0, 2 2 32 f ( x, y) ( x y ) 0, x 2 y 2 0.
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A x B y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
z z , x y
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)]
f x ( x 1 x, y y) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y) ] x [ f y ( x, y ) ] y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
0
( x , y )(0,0)
lim
x y f ( x, y) lim ( x , y ) (0,0) ( x 2 y 2 )3 2
0
2
2
lim sin 2 cos 2 0
f (0, 0),
故函数 f ( x , y ) 在点 ( 0, 0 ) 连续。
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x, y) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 偏导数存在 函数可微
(2) 偏导数连续
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有
故 f ( x , y ) 在点( 0,0 ) 可微
df
( 0,0)
0. 证毕.
例
试证函数
x2 y2 , x 2 y 2 0, 2 f ( x , y ) ( x y 2 )3 2 0, x 2 y 2 0. (1) f ( x , y ) 在点(0, 0) 连续且偏导数存在；
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! xy , x2 y2 0 x2 y2 反例: 函数 f ( x, y )
0,
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 ,但
x2 y2 0
x y
f (x, 0) f (0, 0) lim 0 0 0, lim f x (0,0) x0 x 0 x x
f (0, y ) f (0, 0) ຫໍສະໝຸດ Baidu lim 0 0 0, f y (0, 0) lim y 0 y y 0 y
即，函数 f ( x , y ) 在点 ( 0, 0 )偏导数存在。
4
解
z y sin( x 2 y ), x
z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( x , y )( , ),( dx,dy )( , ) 2 ( 4 7 ).
4 4
8
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y 例 试证 f ( x , y ) 的偏 0, ( x , y ) (0,0)
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
(2) f ( x , y ) 在点(0, 0) 不可微.
证 （1） 令
f (0, 0) 0. x cos , y sin ,
x2 y 2 f ( x, y) ( x , ylim ) (0,0) ( x 2 y 2 )3 2
( x , y )(0,0)
lim
lim sin 2 cos 2 0
z z 易知 2x y , x 2 2 y 在 R 2 中连续, x y
故函数 z x y y 在 R 中可微 .
2 2 2
z z dz dx d y x y
2 xy d x ( x 2 y ) d y
2
例
求 z y cos( x 2 y ) ，当 x ， y ， 4 dx ， dy 时的全微分.
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例
解
设 u x , 求 d u ( 2, 2,1) .
yz
u u u du dx d y dz x y z
将 y, z 看成常数:
u x , w y .
w z
u x
( 2 , 2 ,1)
z y z 1 yz ( x ) ( 2, 2,1) y x ( 2 , 2 ,1) 4 x
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x y z ln y ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y
8 ln 2
2
故
d u ( 2, 2,1) 4 d x 4 ln 2 d y 8 ln 2 2 d z
例
解
函数 z x 2 y y 2 是否可微 ? 若可微 , 求其全微分.
导数在(0,0)存在但不连续； f 在(0,0)可微.
证
f x (0,0) f y (0,0) 0;
2
1 x y 1 f x ( x , y ) y sin cos 2 , 2 2 2 2 3 2 x y (x y ) x y 1 1 1 lim f x ( x , y ) lim x sin cos 不存在. ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 0 2x 2 2 2x y x , x 0
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
f x ( x , y )在(0,0) 不连续. 同理 f y ( x , y ) 在(0,0) 不连续.
当 ( x , y ) ( 0,0 ) 时，
f f ( x , y ) f (0,0)
1 x y sin 2 2 ( x ) ( y )
o( ( x )2 ( y )2 )
如果考虑点 P ( x , y )沿着直线 y x 趋近于 (0, 0) ，
(x)2 (x) 2 f [ f x (0, 0)x f y (0, 0)y] 则 [(x)2 (x) 2 ]2 1 4
如果考虑点 P ( x , y )沿着直线 y x 趋近于(0, 0)，
则
f [ f x (0, 0)x f y (0, 0)y] (x) (x) 1 2 2 2 [(x) (x) ] 4
2 2

即 f [ f x (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
所以，函数 f ( x , y ) 在点 ( 0, 0) 处不可微.