全国高中物理竞赛大纲

全国高中物理竞赛大纲

一、力学

a) 运动学

参照系质点运动的位移和路程、速度、加速度相对速度

向量和标量向量的合成和分解

匀速及匀变速直线运动及其图像运动的合成抛体运动圆周运动

刚体的平动和绕定轴的转动

质心质心运动定理

b) 牛顿运动定律力学中常见的几种力

牛顿第一、二、三运动定律惯性系的概念

摩擦力弹性力胡克定律

万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）

开普勒定律行星和人造卫星运动惯性力的概念

c) 物体的平衡

共点力作用下物体的平衡力矩刚体的平衡条件重心物体平衡的种类

d) 动量

冲量动量动量定理动量守恒定律反冲运动及火箭

e) 冲量矩质点和质点组的角动量角动量守恒定律

f) 机械能

功和功率动能和动能定理

重力势能引力势能质点及均匀球壳壳内与壳外的引力势能公式（不要求导出）弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律碰撞

g) 流体静力学

静止流体中的压强浮力

h) 振动

简谐振动振幅频率和周期相位振动的图像参考圆振动的速度和加速度

由动力学方程确定简谐振动的频率阻尼振动受迫振动和共振（定性了解）

i) 波和声

横波和纵波波长、频率和波速的关系波的图像

波的干涉和衍射（定性）驻波

声波声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声多普勒效应

二、热学

a) 分子动理论

原子和分子的量级分子的热运动布朗运动温度的微观意义

分子力分子的动能和分子间的势能物体的内能

b) 热力学第一定律

热力学第一定律

c) 热力学第二定律

热力学第二定律可逆过程与不可逆过程

d) 气体的性质

热力学温标理想气体状态方程普适气体恒量

理想气体状态方程的微观解释（定性）

理想气体的内能理想气体的等容、等压、等温和绝热过程（不要求用微积分运算）

e) 液体的性质

液体分子运动的特点表面张力系数浸润现象和毛细现象（定性）

f) 固体的性质

晶体和非晶体空间点阵固体分子运动的特点

g) 物态变化

熔解和凝固熔点熔解热蒸发和凝结饱和气压沸腾和沸点汽化热临界温度

固体的升华空气的湿度和湿度计露点

h) 热传递的方式传导、对流和辐射

i) 热膨胀热膨胀和膨胀系数

三、电学

a) 静电场

库仑定律电荷守恒定律

电场强度电场线点电荷的场强场强叠加原理均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）匀强电场

电场中的导体静电屏蔽

电势和电势差等势面点电荷电场的电势公式（不要求导出）电势叠加原理

均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）

电容电容器的连接平行板电容器的电容公式（不要求导出）

电容器充电后的电能

电介质的极化介电常数

b) 稳恒电流

欧姆定律电阻率和温度的关系电功和电功率电阻的串、并联

电动势闭合电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律基尔霍夫定律

电流表电压表欧姆表惠斯通电桥补偿电路

c) 物质的导电性

金属中的电流欧姆定律的微观解释液体中的电流法拉第电解定律

气体中的电流被激放电和自激放电（定性）真空中的电流示波器

半导体的导电特性 P型半导体和N型半导体

晶体二极管的单向导电性三极管的放大作用（不要求机理）超导现象

d) 磁场

电流的磁场磁感应强度磁感线匀强磁场

安培力洛仑兹力电子荷质比的测定质谱仪回旋加速器

e) 电磁感应

法拉第电磁感应定律楞次定律感应电场（涡旋电场）

自感系数互感和变压器

f) 交流电

交流发电机原理交流电的最大值和有效值纯电阻、纯电感、纯电容电路

整流、滤波和稳压三相交流电及其连接法感应电动机原理

g) 电磁震荡和电磁波

电磁震荡震荡电路及震荡频率电磁场和电磁波电磁波的波速赫兹实验

电磁波的发射和调制电磁波的接收、调谐、检波

四、光学

a) 几何光学

光的直进、反射、折射全反射光的色散折射率和光速的关系

平面镜成像球面镜成像公式及作图法薄透镜成像公式及作图法

眼睛放大镜显微镜望远镜

b) 波动光学

光的干涉和衍射（定性）光谱和光谱分析电磁波谱

c) 光的本性

光的学说的历史发展光电效应爱因斯坦方程光的波粒二象性

五、近代物理

a) 原子结构

卢瑟福实验原子的核式结构玻尔模型用玻尔模型解释氢光谱玻尔模型的局限性

原子的受激辐射激光

b) 原子核

原子核的量级天然放射现象放射线的探测质子的发现中子的发现原子核的组成核反应方程质能方程裂变和聚变“基本”粒子夸克模型

c) 不确定关系实物粒子的波粒二象性

d) 狭义相对论 爱因斯坦假设 时间和长度的相对论效应 e) 太阳系 银河系 宇宙和黑洞的初步知识 六、 其它方面

a) 物理知识在各方面的应用。对自然界、生产和日常生活中一些物理现象的解释 b) 近代物理的一些重大成果和现代的一些重大消息 c) 一些有重要贡献的物理学家的姓名和他们的主要贡献 七、 数学基础

a) 中学阶段全部初等数学（包括解析几何）

b) 向量的合成和分解 极限、无限大和无限小的初步概念 c) 不要求用复杂的积分进行推导和运算

动力学

第16届预赛题.1.（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。

若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？

若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？

参考解答

1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v 表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即

0()Mv m M v =+ （1）从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即

2

112

mv mg s μ= （2） 其中1s 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即

22

021122

Mv mv mgs μ-=- （3）其中2s 为小车移动的距离。用l 表示车顶的最小长度，则

21l s s =- （4）由以上四式，可解得

2

2()Mv l g m M μ=+ （5）

即车顶的长度至少应为20

2()

Mv l g m M μ=+。

2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即

22

01

1()22

W m M v Mv =+- （6）

由（1）、（6）式可得

2

2()

mMv W m M =-+ （7）

2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1ρ和2ρ（12ρρ<）。现让一长为L 、密度为121

()2

ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为34

L ，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。参考解答

1．用S 表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力121()2

LSg ρρ+⋅和向上的浮力1LSg ρ。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度

21

112

a g ρρρρ-=

+ （1）

用1t 表示所需的时间，则

21131

42

L a t = （2）

由此解得

121213()

2()L t g

ρρρρ+=

- （3）

2．木棍下端开始进入下面液体后，用'L 表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为121()2

LSg ρρ+⋅，但浮力变为12()L Sg L L Sg ρρ''+-．当'L L =时，浮力小于重力；当'0L =时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用0L '表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有

1210201()()2

LSg L Sg L L Sg ρρρρ''+⋅=+- （4）由此可得

02

L

L '=

（5）即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z 轴，向上为正，则当木棍中点的坐标0z =时，木棍所受合力为零．当中点坐标为z 时，所受合力为

式中 21()k Sg ρρ=- （6）这时木棍的运动方程为

z a 为沿z 方向加速度 22112()2

()z gz

a z

L

ρρωρρ-=-=-+ 22112()2

()g

L

ρρωρρ-=+ （7）

由此可知为简谐振动，其周期 1221()222()L

T g

ρρπ

π

ω

ρρ+=

=- （8）

为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A ．木棍下端刚进入下面液体时，其速度

11v a t = （9）由机械能守恒可知

222121111()2222SL v kz kA ρρ⎡⎤

++=⎢⎥⎣⎦

（10）

式中1

2

z L =

为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v ，再将v 和（6）式中的k 代人（10）式得

A L =

（11）

由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的θ为30︒，对应的时间为/12T 。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从2L z =

到2

L

z =-所用的时间为 12221()2

1232()L

T t g

ρρπρρ+==

- （12）3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与1a 一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间

31t t = （13）4．总时间为

1212321()6626

()L

t t t t g

ρρπ

ρρ++=++=

- （14）

第17届预赛题.1.（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板C ，C 上右端是固定挡板P ，在C 上左端和中点处各放有小物块A 和B ，A 、B 的尺寸以及P 的厚度皆可忽略不计，A 、B 之间和B 、P 之间的距离皆为L 。设木板C 与桌面之间无摩擦，A 、C 之间和B 、C 之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为μ；A 、B 、C （连同挡板P ）的质量相同．开始时，B 和C 静止，A 以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A 的初速度0v 应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．

（1）物块A 与B 发生碰撞；

（2）物块A 与B 发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B 与挡板P 发生碰撞；

（3）物块B 与挡板P 发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B 与A 在木板C 上再发生碰撞；

（4）物块A 从木板C 上掉下来；（5）物块B 从木板C 上掉下来．

参考解答

1. 以m 表示物块A 、B 和木板C 的质量，当物块A 以初速0v 向右运动时，物块A 受到木板C 施加的大小为mg μ的滑动摩擦力而减速，木板C 则受到物块A 施加的大小为mg μ的滑动摩擦力和物块B 施加的大小为f 的摩擦力而做加速运动，

物块则因受木板C 施加的摩擦力f 作用而加速，设A 、B 、C 三者的加速度分别为A a 、B a 和C a ，则由牛顿第二定律，有 A mg ma μ= C mg f ma μ-= B

f ma =事实上在此题中，B C a a =，即B 、C 之间无相对运动，这是因为当B C a a =时，由上式可得1

2

f m

g μ=

（1）它小于最大静摩擦力mg μ．可见静摩擦力使物块B 、木板C 之间不发生相对运动。若物块A 刚好与物块B 不发生碰撞，

则物块A 运动到物块B 所在处时，A 与B 的速度大小相等．因为物块B 与木板C 的速度相等，所以此时三者的速度均相同，设为1v ，由动量守恒定律得 013mv mv = （2）

在此过程中，设木板C 运动的路程为1s ，则物块A 运动的路程为1s L +，如图预解17-8所示．由动能定理有

22

10111()22mv mv mg s L μ=-+- （3）2111(2)2

m v mgs μ= （4）或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3）与（4）式等号两边相加），即

22

101

1(3)22

m v mv mgL μ=-- （5）

式中L 就是物块A 相对木板C 运动的路程．解（2）、（5）式，得

03v gL μ= （6）

即物块A 的初速度03v gL μ=时，A 刚好不与B 发生碰撞，若03v gL μ>，则A 将与B 发生碰撞，故A 与B 发生碰撞的条件是

03v gL μ> （7）

2. 当物块A 的初速度0v 满足（7）式时，A 与B 将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A 、B 、

C 三者的速度分别为A v 、B v 和C v ，则有

B A v v > B

C v v = （8）

在物块A 、B 发生碰撞的极短时间内，木板C 对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计。故在碰撞过程中，A 与B 构成的系统的动量守恒，而木板C 的速度保持不变．因为物块A 、

B 间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可

以证明（证明从略），碰撞前后A 、B 交换速度，若碰撞刚结束时，A 、B 、C 三者的速度分别为A v '、B v '和C v '，则有

由（8）、（9）式可知，物块A 与木板C 速度相等，保持相对静止，而B 相对于A 、C 向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块B 替换A 继续向右运动。

若物块B 刚好与挡板P 不发生碰撞，则物块B 以速度B v '从板C 板的中点运动到挡板P 所在处时，B 与C 的速度相等．因A 与C 的速度大小是相等的，故A 、B 、C 三者的速度相等，设此时三者的速度为2v ．根据动量守恒定律有

023mv mv = （10）

A 以初速度0v 开始运动，

接着与B 发生完全弹性碰撞，碰撞后物块A 相对木板C 静止，B 到达P 所在处这一整个过程中，先是A 相对C 运动的路程为L ，接着是B 相对C 运动的

路程为L ，整个系统动能的改变，类似于上面第1问解答中（5）式的说法．等于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和，即

22201

1(3)22

2m v mv mg L μ-=-⋅ （11）

解（10）、（11）两式得

06v gL μ= （12）

即物块A 的初速度06v gL μ=时，A 与B 碰撞，但B 与P 刚好不发生碰撞，若06v gL μ>，就能使B 与P 发生碰撞，故A 与B 碰撞后，物块B 与挡板P 发生碰撞的条件是

06v gL μ> （13）

3. 若物块A 的初速度0v 满足条件（13）式，则在A 、B 发生碰撞后，B 将与挡板P 发

生碰撞，设在碰撞前瞬间，A 、B 、C 三者的速度分别为A v ''、B v ''和C v ''，则有

B A

C v v v ''''''>= （14）

B 与P 碰撞后的瞬间，A 、B 、

C 三者的速度分别为A v '''、B v '''和C v '''，则仍类似于第2问

解答中（9）的道理，有

B C v v '''''= B C v v '''''= A A v v '''''= （15）

由（14）、（15）式可知B 与P 刚碰撞后，物块A 与B 的速度相等，都小于木板C 的速度，即

B C A v v v '''''''''>= （16）

在以后的运动过程中，木板C 以较大的加速度向右做减速运动，而物块A 和B 以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为

2C a g μ= B A a a g μ== （17） 加速过程将持续到或者A 和B 与C 的速度相同，三者以相同速度01

3

v 向右做匀速运动，或者木块A 从木板C 上掉了下来。因此物块B 与A 在木板C 上不可能再发生碰撞。

4. 若A 恰好没从木板C 上掉下来，即A 到达C 的左端时的速度变为与C 相同，这时三者的速度皆相同，以3v 表示，由动量守恒有

303mv mv = （18） 从A 以初速度0v 在木板C 的左端开始运动，经过B 与P 相碰，直到A 刚没从木板C 的左端掉下来，这一整个过程中，系统内部先是A 相对C 的路程为L ；接着B 相对C 运动的路程也是L ；B 与P 碰后直到A 刚没从木板C 上掉下来，A 与B 相对C 运动的路程也皆为L ．整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即

223011(3)22

4m v mv mg L μ-=-⋅ （19）

由（18）、（19）两式，得

012v gL μ=（20） 即当物块A 的初速度012v gL μ=A 刚好不会从木板C 上掉下．若012v gL μ>则A 将从木板C 上掉下，故A 从C 上掉下的条件是

0v >（21）

5. 若物块A 的初速度0v 满足条件（21）式，则A 将从木板C 上掉下来，设A 刚要从木板C 上掉下来时，A 、B 、C 三者的速度分别为A v ''''、B v ''''和C v ''''，则有

B A

C v v v ''''''''''''=< （22） 这时（18）式应改写为

02A C mv mv mv ''''''''=+ （23）

（19）式应改写为 2

0221

11(2)222

4B C m v mv mv mg L μ''''''''-+=-⋅ （24）

当物块A 从木板C 上掉下来后，若物块B 刚好不会从木板C 上掉下，即当C 的左端赶上B 时，B 与C 的速度相等．设此速度为4v ，则对B 、C 这一系统来说，由动量守恒定律，有 42B C mv mv mv ''''''''+= （25） 在此过程中，对这一系统来说，滑动摩擦力做功的代数和为mgL μ-，由动能定理可得

2

4

22111(2)222B C m v mv mv mgL μ⎛⎫''''''''+=- ⎪⎝⎭

- （26）

由（23）、（24）、（25）、（26）式可得 0v =（27）

即当0v =B 刚好不能从木板C 上掉下。若，则B 将从木板C 上掉下，故物

块B 从木板C 上掉下来的条件 0v > （28）

第18届预赛题1.（25分）如图预18－5所示，一质量为M 、长为L 带薄挡板P 的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为μ．质量为

m 的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤

然抓住挡板P 而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？ 参考解答

在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以t 表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以1x 表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以f 表示人与木板间的静摩擦力，以F 表示地面作用于木板的

摩擦力，以1a 和2a 分别表示人和木板的加速度，则

1f ma = （1） 21112

L x a t -= （2）

2f F Ma -= （3）

2121

2

x a t = （4）

解以上四式，得

2()

LMm

t Mf m f F =

+- （5）

对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F 的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有

()Ft M m v =+ （6）

v 为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向前

移动的距离为2x ，地面的滑动摩擦系数为μ，则有

221

()()2

M m v M m gx μ+=+ （7） 木板向前移动的净距离为

21X x x =- （8） 由以上各式得

由此式可知，欲使木板向前移动的距离X 为最大，应有

f F = （9） 即 max ()f F M m

g μ==+ （10） 即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力． 移动的最 max m

X L M m

=

+ （11）

由上可见，在设木板发生向后运动，即f F ≥的情况下，f F =时，X 有极大值，也就是说，在时间0～t 内，木板刚刚不动的条件下X 有极大值．

再来讨论木板不动即f F <的情况，那时，因为f F <，所以人积累的动能和碰后的总动能都将变小，从而前进的距离x 也变小，即小于上述的max X 。

2.（1 8分）在用铀 235作燃料的核反应堆中，铀 235核吸收一个动能约为0.025eV 的热

中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为

0 1.75MeV E =的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025eV 的热中

子？ 参考解答

设中子和碳核的质量分别为m 和M ，碰撞前中子的速度为0v ，碰撞后中子和碳核的速度分别为v 和v '，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因0v 、v 和v '沿同一直线，故有

0mv mv Mv '=+ （1） 2220111

222

mv mv Mv '+= （2） 解上两式得

0m M

v v m M

-=

+ （3） 因12M m = 代入（3）式得 011

13

v v =- （4）

负号表示v 的方向与0v 方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子

的能量为 2

22

1011112213E mv m v ⎛⎫==- ⎪⎝⎭

于是 2

101113E E ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（5）

经过2，3，…，n 次碰撞后，中子的能量依次为2E ，3E ，4E ，…，n E ，有 ……

210001113n

n

n E E E E E ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（6）

因此 0lg(/)

12lg(11/13)

n E E n =

（7）

已知 7600.0251107

1.7510n E E ==⨯⨯－ 代入（7）式即得

71

lg(10)

7lg 77.8451754112(0.07255)0.14512lg()13

n ⨯--=

==≈-－ （8） 故初能量0 1.75MeV E =的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 eV 的热中子。 第19届预赛 1.（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v 竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达

其中α为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度．

（1）若沙粒的密度 33S 2.810kg m ρ=⨯⋅－，沙尘颗粒为球形，半径42.510m r =⨯－，地球表面处空气密度30 1.25kg m ρ=⋅－，0.45α=，试估算在地面附近，上述v 的最小值1v ． （2）假定空气密度ρ随高度h 的变化关系为0(1)Ch ρρ=-，其中0ρ为0h =处的空气密度，C 为一常量，411.1810m C -=⨯－，试估算当19.0m s v =⋅－时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化） 参考解答

（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即

2

01

Av mg αρ= ① 式中m 为沙尘颗粒的质量，而

2A r π= ②

3s 4

3

m r πρ= ③

得

1v =

④

代入数据得 11 4.0m s v =⋅－ ⑤ （2）用h ρ、h 分别表示19.0m s v =⋅－时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有

0h (1)Ch ρρ=- ⑥

此时式①应为

2h Av mg αρ= ⑦

由②、③、⑥、⑦可解得 20s 4113r g h C v ραρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

⑧ 代入数据得

36.810m h =⨯ ⑨

电磁学

（第20届预赛） 1.（20分）图预20-7-1中 A 和B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T 的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B 板电势为零，A 板电势U A 随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中U A 的最大值为的U 0，最小值为一2U 0．在图预20-7-1中，虚线MN 表示与A 、B 扳平行等距的一个较小的面，此面到A 和B 的距离皆为l ．在此面所在处，不断地产生电量为q 、质量为m 的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A 、B 板的电压．己知上述的T 、U 0、l ，q 和m 等各量的值正好满足等式

若在交流电压变化的每个周期T 内，平均产主320个上述微粒，试论证在t ＝0到t ＝T ／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A 板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。 参考解答

在电压为0U 时，微粒所受电场力为0/2U q l ，此时微粒的加速度为00/2a U q lm =。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为

2

03162T l a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（1）

现在分析从0到/2T 时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A 板，然后计算这些微粒的数目。

在0t =时产生的微粒，将以加速度0a 向A 板运动，经/2T 后，移动的距离x 与式（1）相比，可知

2

0122T x a l ⎛⎫

=> ⎪⎝⎭

（2）

即0t =时产生的微粒，在不到/2T 时就可以到达A 板。在A 0U U =的情况下，设刚能到达A 板的微粒是产生在1t t =时刻，则此微粒必然是先被电压0U 加速一段时间1t ∆，然后再被电压02U -减速一段时间，到A 板时刚好速度为零。用1d 和2d 分别表示此两段时间内的位

移，1v 表示微粒在1t ∆内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有

21011

()2

d a t =

∆ （3） 210202(2)v a d =+- （4）

又因

101v a t =∆， （5） 12d d l +=， （6）

112

T

t t +∆=

， （7） 由式（3）到式（7）及式（1），可解得

12

T

t =

， （8） 这就是说，在A 0U U =的情况下，从0t =到/4t T =这段时间内产生的微粒都可到达A 板（确切地说，应当是/4t T <）。

为了讨论在/4/2T t t <≤这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A 板附近，在A 02U U =-电场作用下，由A 板向B 板运动，若到达B 板经历的时间为τ，则有

根据式（1）可求得

由此可知，凡位于MN 到A 板这一区域中的静止微粒，如果它受02U U =-的电场作用时间大于τ，则这些微粒都将到达B 板。

在/4t T =发出的微粒，在A 0U U =的电场作用下，向A 板加速运动，加速的时间为/4T ，接着在A 02U U =-的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过/8T 微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在A 02U U =-的电场作用下向B 板运动的时间为 由于1ττ>，故在/4t T =时产生的微粒最终将到达B 板（确切地说，应当是/4t T <），不会再回到A 板。

在t 大于/4T 但小于/2T 时间内产生的微粒，被A 0U U =的电场加速的时间小于/4T ，在A 02U U =-的电场作用下速度减到零的时间小于/8t T =，故可在A 02U U =-的电场作用下向B 板运动时间为

所以这些微粒最终都将打到B 板上，不可能再回到A 板。

由以上分析可知，在0t =到/2t T =时间内产生的微粒中，只有在0t =到/4t T =时间

内产生的微粒能到达A 板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A 板的微粒数为

1

320804

N =⨯

= （9） 第21届预赛， 1.（15分）测定电子荷质比（电荷q 与质量m 之比q /m ）的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K 发出的电子，经阳极A 与阴极K 之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C 、D 间的区域．若两极板C 、D 间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O 点；若在两极板间加上电

压U ，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P 点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O 点．现已知极板的长度l = 5.00cm ， C 、D 间的距离d = 1.50cm ，极板区的中点M 到荧光屏中点O 的距离为L = 12.50 cm ，U = 200V ，P 点到O 点的距离cm 0.3==OP y ， B = 6.3×10-4T ．试求电子的荷质比．（不计重力影响）． 参考解答：

设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v 0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l 的极板区域所需的时间

01v l t =

(1)

当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E ，作用于电子的静电力的大小为qE 方向垂直于极板由C 指向D ，电子的加速度

m qE a =

(2) 而 d

U

E = (3)

因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t 1内垂直于极板方向的位移

2

112

1at y =

(4)

电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度

1at y =v

(5)

设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P 点所需时间为t 2 ()022v l L t -=

(6)

在t 2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移

22t y y v =

(7)

D

P

A ＋ C

＋

K

－

－

M

P 点离开O 点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移

21y y y +=

(8)

由以上各式得电子的荷质比为

y UlL d m q 20

v =

(9)

加上磁场B 后，荧光屏上的光点重新回到O 点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电

子所受电场力与磁场力相等，即

B q qE 0v =

(10)

注意到 (3) 式，可得电子射入平行板电容器的速度

Bd

U =

0v (11)

代入(9)式得

y lLd B U m q 2=

(12)

代入有关数据求得

C/kg 106.111⨯=m

q

(13)

第21届预赛2.（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL 、PQ 固定于同一水平面内，它们之间的距离为l ，电阻可忽略不计；ab 和cd 是两根质量皆为m 的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动．两杆的电阻皆为R ．杆cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M 的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B ．现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab 杆及cd 杆的速度分别达到v 1和v 2时，两杆加速度的

大小各为多少？

参考答案：用E 和I 分别表示abdc 回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知

()12v v -=Bl E

(1) R

I 2E =

(2)

令F 表示磁场对每根杆的安培力的大小，则

IBl F = (3)

令a 1和a 2分别表示ab 杆、cd 杆和物体M 加速度的大小，T 表示绳中张力的大小，由牛顿

定律可知

1ma F =

(4)

2ma T Mg =- (5) 2ma F T =-

(6)

由以上各式解得

()Rm l B a 212221v v -=

(7)

()()R

m M l B MgR a +--=2212222v v

(8)

第21届预赛，3.（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B 、C 两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF 的电容器与E 点相接的极板上的电荷量． 参考解答：

设B 、C 右方无穷组合电路的等效电阻为BC R ，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路．B 、C 右方的电路又可简化为图2的电路，其中C B R ''是虚线右

方电路的等效电阻．由于B '、C '右方的电路与B 、C 右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路， 故有

C B BC R R ''= (1)

由电阻串、并联公式可得

C B C B BC R R R '

''

'++

=221

(2)

由式(1)、(2)两式得 解得

Ω=0.2BC R

(3)

图1所示回路中的电流为

A A I 10.02

18301024

1020=+++-+=

(4)

电流沿顺时针方向。

设电路中三个电容器的电容分别为C 1、C 2和C 3，各

30

30

电容器极板上的电荷分别为Q 1、Q 2和Q 3，极性如图3所示．由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即

0231=-+Q Q Q (5)

A 、E 两点间的电势差

3

3

11C Q C Q U U E A +

-

=- (6)

又有

()V V U U E A 0.710.03010=⨯-=- （7） B 、E 两点间的电势差

3

3

22C Q C Q U U E B +

=

- （8） 又有

()V 26V 10.02024=⨯+=-E B U U

（9）

根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 式并代入C 1、C 2和C 3之值后可得

C 103.143-⨯=Q

（10）

即电容器C 3与E 点相接的极板带负电，电荷量为C 103.14-⨯．

第22届预赛， 1.（25分）三个电容器分别有不同的电容值C 1、C 2、C 3 ．现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C 1、C 2、C 3的数值，使其中某两种混联电路A 、B 间的等效电容相等． 参考解答： 由电容

C '、

C ''组

成的串联电路的等效电容

由电容C '、C ''组成的并联电路的等效电容

利用此二公式可求得图示的4个混联电路A 、B 间的等效电容C a 、C b 、C c 、C d 分别为

3213231213212

1a C C C C C C C C C C C C C C C >+++=++=

（1）

23

13

2312123131b C C C C C C C C C C C C C C C >+++=++=

（2）

C 1

C 2

C 3

A

B C 1 C 3

C 2 A

B C 2 C 3

B C 1

A

C 2 C 3 B C 1

A

(a) (b) (c) (d)