高一数学预科班第一次课教学内容

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高一数学必修一人教版暑假预科资料

高一数学必修一人教版暑假预科资料暑假是学生们进行自主学习的好时机，对于高一学生来说，暑假预科是很重要的一部分。

高一数学必修一是高中数学的第一个学期，它主要涉及到集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法以及三角函数。

下面我将结合教材内容为大家提供一些学习资料和学习方法，希望能帮助到大家。

首先，我们先来了解一下高一数学必修一的教材内容。

这本教材共分为六个单元，分别为：集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、数据的收集与统计及统计图与图形。

每个单元都有详细的知识点和例题，通过学习这些内容，可以掌握基本的数学概念和解题技巧。

接下来，我将为大家介绍一些学习资料和学习方法。

1.课本和习题册：课本是最基本的学习资料，建议大家认真阅读教材内容，并多做习题。

通过课本和习题册的练习，可以帮助巩固基本的数学知识，并提高解题能力。

2.网络资源：现在网络上有很多数学学习资源可以供大家参考和学习。

可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站，如有道数学、小猴数学等，这些网站提供了大量的数学知识和解题方法，可以帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

3.老师和同学：在学习过程中，可以向老师请教问题，向同学讨论解题方法。

与他人的交流和讨论可以帮助加深对数学知识的理解，并且也可以从他人的解题方法中学习到更多的技巧和思路。

4.做题技巧：在解题过程中，可以注意以下一些技巧：-仔细阅读题目，理解题意；-对于有条件的题目，可以构建方程或者不等式来解题；-注意符号的运用，要清楚各个符号的含义；-多画图或者列表来理清思路，简化解题过程；-对于较长的计算题，可以使用计算器进行计算以节省时间。

通过以上的学习资料和学习方法，相信大家能够更好地进行高一数学必修一的暑期预科学习。

但是记住，只有不断的练习和实践才能真正掌握数学知识，所以要在暑假期间制定一个合理的学习计划，并坚持下去。

最后，祝愿大家在高一数学必修一的学习中有所收获，进一步提升自己的数学水平！。

高一数学教学第一课

高一数学教学第一课一、教学任务及对象1、教学任务本节课是针对高一新生开设的数学教学第一课，旨在引领学生从初中数学过渡到高中数学，初步建立高中数学的知识体系。

教学任务主要包括：回顾初中数学的重要概念和方法，介绍高中数学的学习内容和学习方法，激发学生对数学学科的兴趣，培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象为高一年级新生，他们在初中阶段已经掌握了基本的数学知识和技能，但高中数学的深度和广度都有所增加，学生在学习过程中可能会遇到一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，帮助他们在数学学科上取得更好的成绩。

此外，由于是新生，他们对新环境和新同学还不太熟悉，因此，在教学过程中，还要注重培养学生的合作意识和团队精神，使他们尽快适应高中生活。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，为后续学习打下坚实基础。

（2）掌握数学问题的分析方法，提高解题能力，特别是代数、几何和概率统计等方面的应用。

（3）学会运用数学软件或工具，如几何画板、计算器等，辅助解决数学问题，提高数学学习效率。

（4）培养良好的数学学习习惯，如预习、复习、整理笔记等，形成系统的知识体系。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

（2）运用启发式教学法，引导学生主动发现问题和解决问题，提高学生的自主学习能力。

（3）采用案例分析法，将实际生活中的问题引入课堂，让学生了解数学知识在实际中的应用，增强数学学习的实用性。

（4）注重数学思想方法的渗透，如数形结合、化归思想等，提高学生数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，使其树立正确的数学观，认识到数学在科学发展和国家建设中的重要作用。

（2）培养学生严谨、细致的学习态度，勇于克服困难，善于发现问题和解决问题。

（3）培养合作精神和团队意识，使学生学会倾听、沟通、协作，形成良好的集体氛围。

高一预科课程设计

高一预科课程设计一、教学目标本课程旨在为高一新生提供预科数学知识的学习，通过本课程的学习，学生应达到以下教学目标：1.知识目标：–掌握函数、导数、积分等基本概念；–理解函数的图像和性质，能够运用函数解决实际问题；–掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题；–掌握指数函数、对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题；–掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题。

2.技能目标：–能够运用数学符号和语言表达数学概念和问题；–能够运用数学方法解决实际问题，具备一定的数学建模能力；–能够运用数学软件或工具进行数学计算和作图。

3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的学习动力；–培养学生的团队合作意识和沟通能力；–培养学生的批判性思维和创新能力。

二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数与极限：介绍函数的基本概念和性质，理解函数的图像，掌握函数的求导和积分方法，解决函数相关问题。

2.三角函数：掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题，如解三角形、三角恒等式等。

3.指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题，如增长率和对数方程等。

4.数列：掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题，如等差数列、等比数列等。

三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：教师通过讲解和解释数学概念和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析和解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

4.实验法：利用数学软件或工具进行数学计算和作图，培养学生的实验操作能力和数学思维能力。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将使用以下教学资源：1.教材：选用适合高一新生预科水平的数学教材，如《高中数学预科教程》等。

2012高一预科数学教案精选范文

2012高一预科数学教案 (精选范文)第一课解题能力训练1.求下列方程的解.(1)3x?4x?4?0(2)x?3x?6?0(3)｜2x＋5｜=3(4)｜3x－5｜＋｜x＋1｜＝1 222.解下列不等式(1).x2?2x?3?0(3)(5)｜2x－1｜一｜x一2｜＜0(7)x?32x?1?03.不等式?x?3的解集为（A.?3,???；B.?3,???；4.不等式(x?2)(1?x2)?0的解集是（A．(??,?1）?(1,??)C．(?1,1)(2)(4).｜2x＋5｜＞7 (6)｜3x－5｜＋｜x＋1｜≥3 (8)x?32x?1?1 ） C.??2,5?；D.?3,5? ） B．(??,?1]?[1,??) D．[?1,1]6.一元二次方程x?3x?2?m有解，求m的取值范围7.一元二次方程2x?3x?5?m恒成立，求m的取值范围 22第二课集合的含义与表示（一）阅读教材复习问题问题1：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式x?7?3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。

（二）讲授新课（1）含义：一般地，我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合(set)（简称为）。

这此对象统称为元素（element）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c?表示。

2.集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明： 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。

高一预科第一讲

第 1 页共 3 页第一讲集合知识点1.集合的定义及表示；2.常见的集合的表示；3.集合中元素的性质；4.元素与集合的关系；4.集合的运算；5.集合关系的转化注意事项1、集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性，在解题时经常用到。

解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化。

2、对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号单独考察。

3、对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图。

这是数形结合思想的又一体现。

空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉。

在A B ⊆、=A B B 、A B A =、A B =∅、A B =中容易忽视∅，预防的方法是分类讨论。

4、解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。

5、解答集合题目，认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。

6、韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心。

7、要注意A B ⊆、A B A =、=A B B 、U U A B ⊇痧、()U A B =∅ð这五个关系式的等价性。

典型例题【例1】集合A ={0,2,a }，B ={1,a 2}，若A B ={0，1，2，4，16}，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.4【例2】已知集合A ={x |0<ax +1≤5}，集合B =1{|2}2x x -<≤，⑴若A B ⊆，求实数a 的取值范围；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围；⑶A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由。

【例3】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2,}B x x a a A ==∈,求集合()U A B ð中元素的个数。

预科班高一数学课件：1.1.1《集合的含义与表示》(新人教A版必修1)

列举法表示集合：如果一个集合是有限集，元素又不
太多，常常把集合的所有元素一一列举出来，写在花括号内表示这个集合。注意 (1)元素个数多且有限又有规律时，可以列举部分，中间用省略号表示，例如“从1到1000的所有自然数”可以表示为 {1,2,3…,1000} (2)元素个数无限但有规律时，也可以类似用省略号列举，例如“自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…,n…}”
B.2
C.3
D.4
【解析】 ∵π是实数，是无理数， ∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数； |－4|是正整数，∴③④错误. 【答案】 B 集合的表示
知识探究（四）思考：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？
自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用下列符号表示：
如果令a2=1，0或a 解方程求a
检验得x值
根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的特性对集合中的元素进行检验，特别是
互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意
分类讨论思想的运用.
即时练习
1.若集合M中含有三个元素-2, 3 x 2∈M，求x的值
X=-3或x=2
2
3x 4
， x
2
x4
，且
2.设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A，且3a∈A，求a的值
a=1
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}. 若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.
【思路点拨】因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数从而a＋b是奇数. 【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z). ∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z). ∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又∵k1＋k2∈Z，

(推荐)高一数学预科班第一次课

第一节集合的含义与关系知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、B、C等来表示．(2)常用的数集及记法：①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作③整数集：全体整数的集合．记作④有理数集：全体有理数的集合．记作⑤实数集：全体实数的集合．记作(3)元素及元素与集合的关系：元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1．③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．二、集合间的基本关系1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1所示表示：这时我们也说集合A是集合B的子集．2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合B，记作：A＝B．即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A 3．真子集：对于两个集合A与B，如果AB(或B A)．4．空集是5 知识拓宽含有n 个元素的集合有几个子集？问：∈与⊆的区别是什么？［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B AC ．B ∈AD ．B ∉A［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值范围．答案：p ≥4［例3］下列集合中表示空集的是( )A ．{x ∈R|x ＋5＝5}B ．{x ∈R|x ＋5＞5}C ．{x ∈R|x 2＝0}D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}一、选择题1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是A ．②B ．②③④C ．②④D ．①②③④答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．2．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是 A ．｛2，1｝ B ．｛x ＝2，y ＝1｝ C ．｛(2，1)｝ D ．｛(x ，y)｜(2，1)｝答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．3．下列四个关系式中，正确的是A ．集合N 中最小元素为1B ．0.7∈QC ．｛a ｝∈｛a ，b ｝D ．｛a ｝∈a答案B4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．二、填空题5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25＝0｝，则a ＝_________．答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252141--a ＝0，所以a ＝－296．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．7．｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．答案提示：｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝三、解答题8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合．答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．∴a ＝0，2，1，－21．经检验a ＝0，2，1，－21均合题意．∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21｝．【同步达纲练习】一、选择题1．下列关系不正确的是A ．R ⊆QB ．R ⊇ZC ．N ⊆ND ．Z ⊆Q2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则A ．a AB ．a ∉AC ．｛a ｝∈AD ．｛a ｝A3．设M ＝｛x ｜x ＞}31，则①0⊆M ，②∅⊆M ，③｛0｝M ，④｛31｝M ，其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．44．集合M＝｛y｜y＝x2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是A．M＝N B．M N C．M N D．无法确定5.下面四个命题正确的是:A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集C．空集有真子集 D．∅={0}二、填空题6．集合M＝｛0｝，N＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，则M_________N．⊆｛0，1，2，3，4｝的不同集合M有___________．7．满足｛1，0｝M⊆｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M．则8．非空集合M满足①M同时满足①，②的M共有_________个．三、解答题9．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当A B时，求b的取值集合．10 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ 2a-1=0 , a∈R} 若B⊆A ，求实数a 的取值范围。

暑期新高一数学预科讲义

考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集N *N 或N + Z Q R练习1：用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义名称符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子：例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子：例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ；我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =．有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下：或或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线．不加限制时，定义域为R ，值域为R ．若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入．若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线．进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <．若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限：如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，；【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法列举法描述法图示法优点简单、直观严谨直观缺点不能表示复杂的集合抽象很难表示规则函数的表示方法列表法解析法图象法优点不需要计算、直观简明概括，易求值直观，能反映大趋势缺点不能表示复杂的函数不直观不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-，当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增．【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性，函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数增函数减函数减函数 ()u g x = 增函数减函数增函数减函数 [()]y f g x = 增函数减函数减函数增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（）实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有（填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______．考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。

高一预科数学教学安排

高一预科数学课程安排高中教学安排的课本目录必修一：第一章集合与函数概念1.1集合（每节对应的练习题）阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质章节练习作业章节总结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数必修四：第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位 1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题树人教育高一预科数学进度安排第一讲集合的概念第二讲集合的关系与运算第三讲映射与函数第四讲函数的表示方法——解析式法第五讲函数单调性第六讲函数奇偶性第七讲指数与指数幂的运算第八讲指数函数第九讲对数函数第十讲对数与对数运算第十一讲幂函数第十二讲方程的根与函数的零点第十三讲用二分法求方程的近似解第十四讲几类不同增长的函数模型第十五讲函数的图像第十六讲二次函数性质与函数的图像第十七讲三角函数普班：授课进度第1-第16讲快班：授课进度第1-第17讲（根据教学进度和孩子接受程度增加平面向量的讲解）快班的中考分数要求裸分530以上。

高一数学第一节内容教学

高一数学第一节内容教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是高一数学的第一节内容，主要围绕《集合与函数概念》进行展开。

我们将探讨集合的基本性质、运算和函数的基本概念，包括函数的定义、域、值域等。

此外，本节课还将通过实例分析，引导学生理解函数与方程之间的关系，培养学生解决实际问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象为高一年级的学生，他们在初中阶段已经接触过一些简单的函数概念，具备一定的数学基础。

但在高中阶段，数学知识将更加深入和抽象，因此需要帮助学生巩固基础知识，激发他们的学习兴趣，提高他们的数学思维能力。

此外，考虑到学生的个体差异，教学中将注重因材施教，关注每个学生的学习进度和需求。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解集合的基本概念，掌握集合的表示方法，如列举法、描述法等。

（2）掌握集合的基本运算，如并集、交集、补集等，并能够运用这些运算解决实际问题。

（3）理解函数的定义，掌握函数的三要素（定义域、值域、对应关系），能够判断两个函数是否相同。

（4）掌握一些常见函数的基本性质，如一次函数、二次函数、反比例函数等。

（5）通过具体实例，理解函数与方程之间的关系，能够将实际问题转化为数学问题，运用函数知识进行求解。

2、过程与方法（1）培养学生运用数学语言表达问题的能力，提高学生的问题分析能力。

（2）通过小组讨论、合作探究，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。

（3）通过实际例子的讲解，使学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法。

（4）引导学生运用数形结合的方法，将函数与图像相结合，提高解决问题的直观感知能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习数学的态度。

（2）通过数学知识的学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。

（3）培养学生严谨、求实的科学态度，提高学生面对困难、解决问题的信心和勇气。

（4）引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习不仅仅是为了应付考试，更是为了培养自己的思维能力，为未来的发展奠定基础。

【人教A版】必修一数学预科教案【精品】

目录第1讲集合的含义与表示 (1)第2讲集合间的基本关系 (4)第3讲集合间的基本运算 (8)第4讲函数的概念及表示 (12)第5讲定义域与值域的求解 (17)第6讲函数的单调性 (22)第7讲单调性的应用 (27)第8讲函数的奇偶性 (32)第9讲奇偶性的应用 (37)第10讲函数复习 (41)第11讲指数与指数幂的运算 (46)第12讲指数函数及其性质 (51)第13讲对数与对数运算 (56)第1讲集合的含义与表示一、教学目标1.了解集合的含义，掌握常用数集及其记法；2.体会元素与集合的关系；3.理解集合的常用表示方法，会选择不同的表示方法描述不同的具体问题. 二、教学重难点重点：集合概念的理解难点：元素与集合的关系四、导入军训时，教官的一声“集合”，把一些“确定的不同对象”聚集在一起了.那么数学中的集合又代表什么意义呢？五、名师解析知识点一：元素与集合的概念1.集合的含义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.构成集合的每个对象叫做元素.2.元素的三个特征：确定性-----不能确定的元素不能构成集合互异性-----任何两个元素都是不同的对象无序性-----元素间无先后顺序例1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．衡水一中2014年入学的全体学生 B ．参加60年国庆庆典观礼团的全体成员 C ．清华大学建校以来毕业的所有学生 D ．美国NBA 的篮球明星例2.由a ，a -，a ，2a 构成的集合中，最多含有几个元素？巩固练习：1.已知2是由0，m ,232+-m m 三个元素构成的集合A 中的元素，求m 的值.2.数集A 满足条件：若a ∈A ，则a a -+11∈A （1≠a ）.若31∈A ,求集合中的其他元素.3.集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则c 与集合M 有什么关系？知识点二：元素与集合的关系 1.元素与集合的关系：（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉. 2.例3.用符号∈和∉填空（1）设集合A 是正整数的集合，则0 A ,2 A ,0)1(- A ；（2）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则,1+B ；（3）设2531-=x ，π23+=y ，集合{}Q b Q a b a m m M ∈∈+==,,2，则x M ,y M .巩固练习：1.用符号“∈”或“∉”填空：(1)3 N ； (2)0.5 Z ；；(4)R ； (5)π Q ； (6)-2 N .知识点三：集合的表示方法（1）自然语言：通过日常语言描述集合问题中被研究的对象；（2）列举法：一一列举出来，并用花括号“{}”括起来；（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 例4.用适当的方法表示下列集合（1）方程0)3()2(22=++-y x 的解集；（2）不等式732>+x 的解集；（3）二次函数12-=x y 图像上所有点组成的集合.巩固练习：1.用适当的方法表示下列集合．(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为； (2)不等式3x －6≤0的解集可表示为； (3)方程0)32(2=-+x x x 的解集可表示为；(4)函数12--=x x y 图象上的点组成的集合可表示为． 2.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)满足方程x ＝|x |的所有x 的值构成的集合B .六、课后练习1．下列说法正确的个数为( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与{(x ，y )|y ＝x 2－1}相等；③1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素．A ．0B ．1C ．2D ．32．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 3．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0或2或3 5．下列集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y |y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}6．集合A ＝{x ∈Z|y ＝12x ＋3，y ∈Z}的元素个数为( )A ．4B ．5C ．10D ．12 7．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A ＝{x |x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ；(2)(1,2)________{(x ，y )|y ＝x ＋1}．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a b ,,0，则b －a ＝________. 9.已知集合{}0442<+-=a x x x M ，且2M ∉，则实数a 的取值范围是 .10.已知集合=A }{4,12,32---a a a ，若3-A ∈，求实数a 的值.11．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则A ＋B 中元素的个数为________．七、课堂反馈第2讲集合间的基本关系一、教学目标1.理解集合之间包含与相等的含义；2.体会子集与真子集的区别与联系；3.能正确区分易混淆的数学符号(∈与)⊆，会判断两个集合的关系. 二、教学重难点重点：能写出给定集合的子集难点：判断集合间的关系四、导入知道集合的概念以后，集合与集合之间又有怎样的关系呢？五、名师解析合A（1）=A {}6,3,2,=B {}的约数是12x x ；（2）=A {}1,0，=B {}N y y x x ∈=+,122；（3）=A {}21<<-x x ，=B {}22<<-x x ；（4）=A (){}0,<xy y x ，=B (){}0,0,<>y x y x .例2.已知集合=M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z m m x x ,61,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n n x x N ,312，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z p p x x P ,612.试确定M ,N ,P 之间的关系.巩固练习：1.已知集合=M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,42ππ，=N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ,则集合M 与N 的关系为（）A.N M =B.M ÝNC.M ÜND.M 与N 的关系不确定 2.指出下列各组集合之间的关系：（1）=A {}1,1-，=B ()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1----；（2）=A {}是等边三角形x x ，=B {}是等腰三角形x x ；（3）=M {}*,12N n n x x ∈-=，{}*,12N n n x x N ∈+==.知识点二：空集1.概念：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.2.性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集，即若≠A ∅,则∅ÜA ，反之也成立.3.说明：空集是一个特殊且重要的集合，在解题过程中容易被忽视，特别是在隐含有空集参与的集合问题中. 例3.给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅ÜA ，则≠A ∅.其中正确的个数是个.例4.已知=A {}0822=--∈x x R x ，=B {}08222=--+-∈a a ax x R x ，B A ⊆,求实数a 的取值集合.巩固练习：1.下列四个集合中，是空集的是( )A ．{0}B ．{x |x ＞8且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x＞4}2.已知集合=A {}21≤≤x x ，=B {}a x x ≤≤1 (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．知识点三：集合子集的个数的确定方法若有限非空集合A 中有n 个元素，则有：(1)集合A 的子集个数为n 2；(2)真子集的个数为12-n ； (3)非空子集的个数为12-n ；(4)非空真子集的个数为22-n .例5.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且只有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,1 巩固练习：若集合=A {}Z x x x ∈<≤,30,则集合A 的子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8六、课后练习1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( ) A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A2．若集合M ＝{x |x ＜6}，a ＝35，则下列结论正确的是( ) A ．{a }ÜMB ．a ÜMC ．{a }∈MD ．a ∉M3．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A ＝B B ．A ÜB C ．B ÜAD ．以上都不对4.下列集合中是空集的是( )A ．{}332=+x x B ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,2C ．{}02≥-xx D ．{}R x x xx ∈=+-,0125.符合集合{}a ÜP ⊆{}c b a ,,的集合P 的个数是个.6.已知集合{}m A ,1,4--=，集合{}5,4-=B ，若A B ⊆,则实数m = .7.已知∅Ü{}02=+-a x x x ，则实数a 的取值范围是 .8.已知集合A ＝{x |2a －2＜x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x ＜3}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．9.已知集合A ＝{}510≤+<ax x ，集合=B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-221x x . （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆, 求实数a 的取值范围；（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由.七、课堂反馈第3讲集合间的基本运算一、教学目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算；2.理解补集的含义，会求给定子集的补集；3.能使用Venn 图表示集合的关系及运算. 二、教学重难点重点：交集，并集的运算难点：交、并集的运算性质及应用四、导入学习了这么久的集合，下面来了解集合中有哪些运算及运算性质. 五、名师解析A B B A ⋂=⋂ ⋂A ∅=∅例1.设集合{}0)2)(1(≤-+=x x x A ，集合B 为整数集，则B A ⋂=( )A .{}0,1-B .{}1,0C .{}1,0,1,2--D .{}2,1,0,1- 例2.设集合=A {}2-,{}01=+=ax x B ，若B B A =⋂,求实数a 的值.巩固练习：1.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1- 2.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.知识点二：并集A B B ⋃=⋃⋃A ∅=A A A A =⋃例3.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（）A .1个B .2个C .3个D .4个例 4.已知集合=A {}52≤≤-x x ，集合=B {}121-≤≤+m x m x ，且A B A =⋃,试求实数m 的取值范围.巩固练习：1.已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x 2.设集合=A {}21≤≤-x x ，=B {}02)12(2<++-m x m x x .（1）当21<m 时，化简集合B ；（2）若A B A =⋃,求实数m 的取值范围.知识点三：全集与补集（1(2)补集图形语言例5．设全集为，＝{0,2,4}，U M ＝{6}，则等于( ) A .{0,2,4,6} B .{0,2,4} C .{6}D .∅例6.已知全集U ={}*,10N x x x ∈<，{}8,5,4,2=A ,{}8,5,3,1=B ，求∁U ()B A ⋂巩固练习：1.已知全集U ，集合=A {}7,5,3,1，∁U A ＝{}6,4,2，∁U B ＝{}6,4,1，求集合B .2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.六、课后练习1.已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＜m }，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22.设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z|1＜x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩∁U B ＝( ) A ．{1,4,6,7} B ．{2,3,7} C ．{1,7} D ．{1}3.集合M ＝{12，3,2m －1}，N ＝{－3,5}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－1 4.设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ≤a }，且A ∩B ≠∅，则实数a 的取值集合为________． 5.已知集合U ＝{x ∈R|1＜x ≤7}，A ＝{x ∈R|2≤x <5}，B ＝{x ∈R|3≤x ＜7}，求(1)(∁U A )∩(∁U B )；(2)∁U (A ∪B )；(3)(∁U A )∪(∁U B )；(4)∁U (A ∩B )．(5)观察上述结果你能得出什么结论．6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．7.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.8.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．七、课堂反馈第4讲函数的概念及表示一、教学目标1.了解函数的概念，明确函数的三个要素；2.掌握区间的概念，并会用区间表示集合；3.了解函数相等的意义. 二、教学重难点重点：函数的基本定义及表示难点：函数的定义域、值域和对应关系三、知识结构四、导入初中我们就学过一次函数、二次函数、反比例函数等，函数这个词我们并不陌生，那么高中阶段再次学习函数又会有哪些不一样呢？五、名师解析知识点一：函数的概念1.设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，x ∈A .其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数)(x f y =的值域，则值域是集合B 的子集．例1.设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )巩固练习：下列对应是否为A 到B 的函数： ①A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝x ； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x .知识点二：区间与无穷大满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的实数x 的集合可用区间表示，如下表.例2.集合{x |x ≥1}用区间表示为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)巩固练习：1.区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5，或x ＞8}B ．{x |5＜x ≤8}C ．{x |5≤x ＜8}D ．{x |5≤x ≤8}知识点三：相同的函数一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由函数的定义域和对应法则共同决定的．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．例3.下列各组函数表示相等函数的个数是( )①y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)②y ＝x 2－1与y ＝x －1③y ＝3x ＋2，x ∈Z 与y ＝3x －2，x ∈Z ④2x y =与2)(x y =A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个巩固练习：1.下列各对函数中，是相等函数的序号是（）①f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z)与g (n )＝2n －1(n ∈Z) ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2知识点四：分段函数与映射1.分段函数：所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．2.映射：(1)定义：一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A ，B 均为非空数集时，从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．例4.下列从集合M 到集合N 的对应中，不是映射的是( )例5.已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+2,12,22,2,2,12x x x x x x x(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值；(3)若f (m )>m (m ≤－2，或m ≥2)，求实数m 的取值范围．巩固练习：1.下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？ (1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎨⎧<≥0,0,0,1x x ；(3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积． 2.f (x )＝⎩⎨⎧>≤-.0,,0,2x x x x 若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2六、课后练习1.设M ＝{}20≤≤x x ，N ＝{}20≤≤y y ，给出的4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2.函数y ＝5－2x 的定义域是( )A ．RB ．QC ．ND ．∅3.设集合A ＝{}21≤≤x x ，B ＝{}41≤≤y y ，则下述对应关系f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧<+≥-.6),2(,6,5x x f x x 则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.函数y ＝2x 2－x 的值域是________．6.函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<+≤+1,5,10,3,0,32x x x x x x 的最大值是________．七、课堂反馈第5讲定义域与值域的求解一、教学目标1.了解函数的三要素，明确函数的三个要素的定义；2.掌握定义域、值域、解析式的求解方法. 二、教学重难点重点：函数定义域值域的求解方法难点：复合函数的定义域及函数值域的求法三、知识结构四、导入简单函数的定义域、值域可以直接观察出来，但稍微复杂的函数的定义域、值域如何求解呢？五、名师解析知识点一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域. 例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ；（2）21)(+=x x f ；（3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11；（5）11)(2-+=x x x f ；（6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域；（2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域；（3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．知识点二：函数值域的求法1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知函数的值域求出函数的值域.2.换元法：运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法.3.配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为)0(2≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值得求法. 4.分离常数法：形如b ax dcx y ++=()0≠a 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d b ax a c +-++=b ax a bc d a c +-+，再结合x 的取值范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域.例3.求出下列函数的值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ；（6）12++=x x y .巩固练习：1.求出下列函数的值域(1)[)1,3,642-∈+--=x x x y ； (2)211)(xx f +=；（3）y ＝x －1+x .知识点三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(x f 时，将原式中的x 用x -（或x1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f . 例4.(1)已知，求；（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f 21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).六、课后练习 1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2)2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( )3311()f x x xx+=+()f x ()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x+=A ．1－x 1＋xB ．1xC ．1D ．03.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．5.求函数的值域（1）113+-=x x y ；（2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1； (2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x xx f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+，(1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(xf ＝)(x f -．七、课堂反馈第6讲函数的单调性一、教学目标1.理解增函数、减函数的概念，能运用定义判断（证明）某些函数的单调性；2.会利用函数的单调性求函数的最值，能推出单调性和最值的关系. 二、教学重难点重点：函数单调性的证明难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明三、知识结构四、导入画出下列函数的图象，x y =，x y -=，2x y =，观察并思考当自变量x 的值增大时，函数值)(x f 是如何变化的？五、名师解析知识点一：函数的单调性与单调区间 1.增函数与减函数的定义（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.例 1.[0,3]是函数)(x f 定义域内的一个区间，若)2()1(f f <，则函数)(x f 在区间[0,3]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．不是增函数就是减函数D ．增减性不能确定例2.如图为函数y ＝f (x )，[]7,4-∈x 的图象，指出它的单调区间．巩固练习：1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数2.如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．知识点二：利用定义法证明函数的单调性利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子；第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论；第四步：定论，即根据定义得出结论. 例3.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．巩固练习：求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)例4.在函数y ＝f (x )的定义域中存在无数个实数满足f (x )≥M ，则( )A ．函数y ＝f (x )的最小值为MB ．函数y ＝f (x )的最大值为MC ．函数y ＝f (x )无最小值D ．不能确定M 是函数y ＝f (x )的最小值例5.作出函数f (x )＝3-x ＋962++x x 的图象，并说明该函数的最值情况．例6.函数f (x )＝xa 11-(x ＞0)．（1）求证：)(x f 在(0，＋∞)上是增函数；（2）若函数)(x f 的定义域和值域都是[12，2]，求a 的值．巩固练习：1.已知函数a x x x f ++=2)(2（[]2,0∈x ）有最小值－2，则)(x f 的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．1 D ．22.已知函数f (x )＝x －1x ＋2.(1)求证：f (x )在[3,5]上为增函数； (2)求f (x )在[3,5]上的最大、小值．六、课后练习1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[0,1]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4] 2.一次函数y ＝(a －2)x ＋1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 3．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 4.下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( ) ①y ＝2x ②y ＝x 2＋2x －1 ③y ＝|x ＋2| ④y ＝|x |＋2A.①② B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④ 5.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________； (3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________. 6.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．7.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．8.试判断函数21)(-=xx f 在(0，＋∞)的单调性．七、课堂反馈第7讲单调性的应用一、教学目标1.掌握单调性的定义，会判断函数的单调性；2.会利用函数的单调性比较大小；3.了解分段函数、抽象函数的单调性. 二、教学重难点重点：利用单调性比较大小难点：单调性求参数取值范围四、导入学习了单调性的定义后，不仅要会判断函数的增减性，更要会利用函数的单调性解题. 五、名师解析知识点一：函数单调性的应用技巧1.比较函数值的大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小. 2.利用单调性求参数的取值范围这是函数单调性的逆向思维问题，将参数看成已知数，建立相关大小关系进行比较. 3.利用单调性解不等式利用函数的单调性，可以将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化. 例1.已知函数c bx x x f ++=2)(，对任意实数x 都有)2()2(x f x f -=+，试比较)1(f ，)2(f ，)4(f .例2.若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________．例3.已知函数)(x f y =是实数R 上的增函数，且)65()32(+>-x f x f ，求实数x 的取值范围.巩固练习：1.已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4,8]B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞) 2.函数=)(x f ⎩⎨⎧-∈+∈+]1,1[,7],2,1(,62x x x x 则f (x )的最大值、最小值是( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对3.已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0,4,0,422x x x x x x 若)2(2a f -)(a f >，求实数a 的取值范围.知识点二：分段函数的单调性例4.若函数f (x )＝⎩⎨⎧≤-+->-+-0,)2(,0,1)12(2x x b x x b x b 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．巩固练习：1.已知⎩⎨⎧<+≥-=0,1,0,)1()(2x x x x x f 则)(x f 的单调区间是 .知识点三：复合函数的单调性判断复合函数))((x g f y =单调性的步骤：（1）确定函数定义域；（2）将复合函数分解成)(u f y =，)(x g u =；（3）分别确定这两个函数的单调性；（4）利用“同增异减”的规律确定复合函数))((x g f y =的单调性. 例5.求函数228)(x x x f --=的单调区间.巩固练习： 1.求函数43)(2-+=x x x f 的单调区间.知识点四：抽象函数的单调性1.解决此类问题通常有两种方法.一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.2.一般地，若)(x f 满足：)()()(y f x f y x f +=+，则)()(2211x x x f x f +-==)()(221x f x x f +-；。

高一数学预科班资料

前言课时安排：第一讲集合的含义与表示第二讲集合间的基本关系第三讲集合的基本运算（一）第四讲集合的基本运算（二）第五讲一次函数、一次不等式与二次函数第六讲一元一次不等式、一元二次方程第七讲函数的概念第八讲函数的表示法第九讲单调性与最大（小）值第十讲奇偶性第十一讲指数与指数幂的运算第十二讲指数函数及其性质第十三讲对数与对数运算第十四讲对数性质的应用第十五讲小结与测试资料说明：本资料适用于高一预科班，内容为必修1的前半部分内容，授课对象为初三升入高一的学生，他们在很大程度上还没适应高中的学习，所以本资料紧扣教材，有点象教师的教案，有点象教材，也可作为学生听课笔记。

每一讲的每一道题如果都讲解，可能没有这么多的时间，再者学生层次不一，拓广探索的题可选上，思考题可不上（仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考），请上课教师斟酌考虑，自行安排。

由于本人水平有限，资料有不足之，敬请各位同仁多提宝贵意见，不胜感谢。

第一讲集合的含义与表示I 、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：（1）自然数的集合；（2）有理数的集合；（3）不等式37<-x 的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即）；（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即）II 、新授一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简称为集）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。

（1）1~20以内的所有质数；（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生；（9）身材较高的人；（10）{1，1}；（11）我国的大河流；问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系？（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合？点评：1、集合元素的性质：（1）（2）（3）2、经常用大写拉丁字母A ，B ，C ，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示集合中的元素。

新高一预科班第一课时

一元二次方程一元二次函数一元二次不等式1．一元二次方程相关知识复习：解一元二次方程的基本方法有求根公式、配方法、十字相乘法等练习：解下列一元二次方程1．x2–2x –3 = 0 2. 2x2 + 3x –7 = 02．已知关于x的方程x2 + (n+1)x + 2n = 0，有一个根小于0，另一根大于0，求实数n的取值范围.2．一元二次函数等式x2–2x –3 = 0是关于x的一元二次方程，关系式y = x2–2x –3则是关于x的二次函数。

那么，二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？1、求方程x2–2x –3 = 0的根2、画出二次函数y = x2–2x –3的图象3、回答方程的根和图象与x轴交点的关系要求：会画一元二次方程的图象，会判断其开口方向、对称轴、与x轴交点个数与坐标等例题：1.已知二次函数y = x2 + bx + c的图象经过（1，0），（2，5）两点，则二次函数的解析式为（）A y = x2 + 2x –3B y = x2 –2x –3C y = x2 + 2x –6D y = x2–2x + 62.二次函数y = - x2–6x + k的图象的顶点在x轴上，则k的值为（）A -9B 9C 3D -33.抛物线y = 2x2 + bx + c与x轴有两个交点，且两交点间的距离为2，则c = ___________.4.已知抛物线y = ax2与直线y = kx + 1交于两点，其中一点坐标为（1，4），则另一个点的坐标为__________________.5.已知二次函数y = 2x2-4x –6，求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象.（2）此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积.3．一元二次不等式一元二次不等式解法的探索二次函数 y=x 2-4x+3的图象如左：填表：方程x 2-4x+3=0(即y=0)的解是不等式x 2-4x+3>0(即y>0)的解集是不等式x 2-4x+3<0(即y<0)的解集是用图象法解一元二次不等式的步骤：（1）首先将二次项系数化为正数（2）其次考虑相应的二次方程的根的情况（3）再画出相应的二次函数的草图，写出解集。

新高一预科数学知识点

新高一预科数学知识点数学是一门抽象而具有逻辑性的学科，对于许多高一预科生来说，面对新的数学知识点可能会感到有些困惑和挑战。

为了帮助同学们更好地适应新的学习环境，本文将针对新高一预科数学的知识点进行探讨和解析。

1. 初步代数知识在新高一预科数学中，初步代数知识是基础中的基础。

首先，要掌握求解一元一次方程和一元一次不等式的方法。

对于方程，可以运用逆运算的原理，将未知数的系数和常数项按照运算法则进行迁移，找到未知数的值。

对于不等式，要牢记当两个不等式的符号相同时，其加减乘除运算的结果方向不变；而当符号相反时，其加减运算的结果反向。

其次，要熟悉方程和不等式的解集表示方法，包括解集的描述、图形表示和集合表示等。

当解集为一组数时，可以用集合的形式进行表示；而当解集为一段区间时，可以用数轴上的图形进行表示。

2. 几何知识的进阶新高一预科数学中的几何知识相对于初中阶段有了一定的进阶。

首先，要掌握二次函数和一次函数的图像性质。

对于二次函数，要了解其抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程等重要属性。

而对于一次函数，要通过斜率和截距的概念进行理解，熟悉直线的平行和垂直关系。

其次，要熟悉平面向量的概念和性质。

平面向量可以通过坐标或者向量的表示法进行问题的求解。

在计算过程中，要注意向量的加减、数量积和向量积等运算法则。

此外，还应了解三角函数的概念和基本性质。

三角函数是描述角和边之间关系的重要工具，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

掌握它们的周期、幅值和图像的变化规律对于后续的高级数学学习具有重要意义。

3. 数据分析与统计在新高一预科数学中，数据的分析与统计扮演着重要的角色，要学会用数学方法进行数据的整理和分析。

首先，要了解统计学的基本概念和方法，如抽样、频数分布、频率、均值、中位数和众数等。

通过统计图表的绘制，可以直观地展示数据的分布情况和规律。

其次，要掌握概率的基本概念和运算法则。

概率是描述事件发生可能性的数学工具，通过从频率的角度进行思考和计算，可以解决各种实际问题。

新高一数学衔接课开学第一课

新高一数学衔接课开学第一课
知识回忆
方程、不等式
代数式
数与代数
实数
函数
图形与坐标
图形与证明
空间与图形
图形与变换图形的认识
统计
统计
与概率
初
概率
中
数
学
实践与应用
实践活动综合应用
课题学习
选修
必修
系列1
选修1-2 选修1-1
系列2
选修2-3 选修2-2 选修2-1
系列3
选修36
选修35
选修34
其应用；新高一数学衔接课开学第一课
选修系列1〔文科必选，共4个学分〕选修4—5：不等式选讲。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—1：几何证明选讲。
❖选修1-2：选修系列2〔理科必选，共6个学分〕
选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；数学1：集合、函数概念与根本初等函数I〔指数函数、对数函数、幂函数〕；数学1：集合、函数概念与根本初等函数I〔指数函数、对数函数、幂函数〕；
学好数学的根本要求
信心兴趣方案习惯心态
选修系列4〔共10个学分〕三等分角与数域扩充。
❖ 4. 对称与群；数学3：算法初步、统计、概率；
选修4—7：优选法与试验设计初步。
❖ 5. 欧拉公式与闭曲面分类；选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；
数学1：集合、函数概念与根本初等函数I〔指数函数、对数函数、幂函数〕；选修系列2〔理科必选，共6个学分〕
选修33
选修32
选修31
系Байду номын сангаас4
选修410

高一数学预科资料

高一数学预科资料 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT高一数学预科资料前言课时安排：第一讲集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2)第二讲集合的基本运算（一）第三讲集合的基本运算（二）第四讲第一章复习及检测第五讲补充内容不等式第六讲函数的概念及函数的表示法第七讲单调性与最大（小）值第八讲奇偶性第九讲函数单调性与奇偶性的复习第十讲指数与指数幂的运算第十一讲指数函数及其性质（一）第十二讲指数函数及其性质（二）第十三讲对数及对数函数第十四讲幂函数第十五讲二次函数（加强）及单元自测第一讲集合的含义与表示（1）、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：（1）自然数的集合；（2）有理数的集合；（3）不等式37<-x 的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即）；（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即）II 、新授一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简称为集）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。

（9）身材较高的人；（10）{1，1}；（11）我国的大河流；问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合点评：1、集合的性质：（1）、（2）、（3）、2、经常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素。

初升高衔接教材高一预科班数学《第一讲数与式》

2019年12月10日星期二
2．有理数和无理数 (1)有理数：整数与___分__数___统称为有理数． (2)无理数：无限不循环小数叫做无理数．常见无理数的四种形式：①含 π 的数，如 π，π2等； ②开方开不尽的数，如 2， 3， 25等；③某些三角函数型的数，如 sin60°，cos45° ，tan30°等；④除以上三种特殊形式外，还有例如 1.010 010 001…这样的数，也是无理数的一种类型． (3)实数：有理数和无理数统称为实数．
►知识点二实数的相关概念
• 1．数轴
• (1)规定了_原_点_____正_方、向____单__位_长_和度 __________的一条直线叫做数轴．
• (2)实数和数轴上的点一一是________对应的．
• 2．倒数
• (1)若a、零 b两个实数互为倒数，1则ab＝ ________. • (2)除__1______没有倒数外，其他±任1 何有理
(3)
a2＝__|a_|_____＝

a －a
a≥0， a＜0.
(4) ab＝___a_·_b___(a≥0，b≥0)．
b (5) ba＝____a____(a＞0，b≥0)．
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4．二次根式的化简运算 (1) a· b＝___a_·b____ (a≥0, b≥0)；
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
3
39
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列
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一、乘法公式
【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3

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