第三讲 消费者理论

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偏好的其他假设
若是偏好具有凸性并且可由一个效用函数 u () 来代表它，则对 0 1，
x u ( y ) u ( x) x u( z) u( x) y (1 ) z x u( y (1 ) z) u( x) y z
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偏好的定义
1．偏好 〈定义 3.1〉设 x 与 y 两个消费组合， x y 表示“弱偏好序” ，即〝x 至少像 y 一样好〞；x y 表示 “严格偏好序” ， 即〝x 比 y 好〞，x y x y 但并不成立 y x ； x ~ y 表示“无差异 ” ：〝 x 与 y 同样好〞， x ~ y x y 并且 y x 。
x yx y；
局部非饱和性(local nonsatiation)：对任意 y 及任意 使得 x y 并且 x 更好一些。 可以证明：严格单调性成立，意味着局部非饱和性成立，反之则不成立。
e (1,1,...,1) Rl ） （可令 x y ( / l )e ，其中 吉林财经大学高级微观经济学讲义
第三讲
消费者理论
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学习目标
偏好与理性偏好 显示性偏好 效用函数

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概论
本章我们将运用一个公理化的框架讨论个人决策理论，并将在这一框架下分析具体经济决 策。 所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设） 出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 个人决策问题的起点：一个可能的备选方案集合。 两种将个人选择行为模型化方法： 一是将决策者的爱好视为个人的基本特征，而决策者的爱好又被归为偏好关系。以此相关 的理论是，首先讨论偏好的理性公理（这里要求行为决策者的偏好满足这些理性公理） ，然后分 析这些偏好对个人选择行为的影响； 二是把个人的选择行为当作基本特征，然后通过直接与这种行为相关的假定来推导有关的 理论。这一方法的核心假定是显示性偏好弱公理，它要求选择行为满足一个一致性条件。这一 条件是和偏好法中的理性假设相对应。
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概论
显示性偏好弱公理为更一般的个人行为留下了空间，这些更一般的行为在偏好法 的框架下将是无法讨论的。此外，它对可以直接观测的事物（选择行为）作出假定， 而不是对无法观测事物（偏好）进行假定。更重要的是，它清楚表明，个人的决策理 论不必建立在内省过程的基础上，它可以赋予一个完全的行为学的基础。 理解这两种不同的模型化个人行为的方法之间的关系是有意义的。后面我们将讨 论在一定条件下选择行为和潜在偏好的存在是相容的。
x 。可以证明 ( x) 可作为该偏好的效用函数。
[有关 ( x) 的连续性的证明，略] 例：词典式偏好不是连续的。考虑消费系列 xn=(1/n,0)和 yn=(0,1)。 当然， 这并不意味着只有连续的理性偏好才存在效用函数。 可以证明当 X 是有限集时理性偏好也存在效用函数。
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偏好的其他假设
1、合意性假设：若 x∈X，且 y≥x，则 y∈X。 〈定义 3. 2〉偏好 若满足下列条件则称它是具有：
y；
单调性 (monotonicity)：任意两消费组合 x 与 y： x y x
严格单调性 (strongly monotonicity)： 任意两消费组合 x 与 y，x y 并且
y, y
z，
z；
满足此三者的偏好被视为是理性偏好。
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理性偏好的例外
某些情况个人偏好可能不满足传递性。 困难之一是由于恰好感觉到的差异所引起的。 （如颜色的选择） 困难之二是构架问题， 即备选方案的提出方式可能影响选择结果。 （如 卡勒曼和特弗斯基案例（1984） ） 另一方面， 许多表面看来属于非传递性的行为却可以成功地被解释为 一些更初始的理性（从而是可传递的）偏好的相互作用的结果。如孔多塞 悖论。 非传递性决策有时也可被看作爱好变化的一种表现。 这种爱好变化模 型和可加性行为分析有着重要的理论联系。 它还提出了一些与决策中有关 承诺有关的有趣问题（Schelling, 1979） 。一个理性的决策者将会预见到这 种爱好的诱致性变化，因而将固守他的初始决策。 吉林财经大学高级微观经济学讲义
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显示性偏好
释例 3.3：张三、李四与王五三位女士从 x、y、z 三位男士中挑选舞会的舞伴： 张三： c1 ({x, y, z}) { y, z} c1 ({x, y}) { y} 李四： c2 ({x, y, z}) {x, y} c2 ({x, y}) {x} 王五： c3 ({x, y, z}) {x, y} c3 ({x, y}) { y} 李四对 x 的选择没有矛盾：〝曾经有一次 x 与 y 可供选择时，李四有选择 x，则 以 后 只 要 x 与 y 可供 选择 而 y 有被 选取 ， 则 x 也 要被 同时 选 取〞 ( 亦 即 x c({x, y}) ，则若 y c2 ({x, y, z}) x c2 ({x, y, z}) )。 但是李四对 y 的选择却有矛盾：〝曾有一次 x 与 y 可供选择时，李四有选 y，但 下一次 x 与 y 可供选择时，李四选了 x 却没有同时也选取 y〞(亦即 y c2 ({x, y, z}) ，但是 x c2 ({x, y}) 时， y c2 ({x, y}) )。
{y X : x y} 均为闭集。
[只要令 x
n x n ，对任意 ( y )n1 ， x
y n ，则 x
y ，即下等值集为闭集，同理
上等值集也为闭集]
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偏好与效用函数
〈定义 3.7〉效用函数：若对于所有的 x, y X ，
x
y u ( x) u ( y )
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偏好与效用函数
<定理 3.2>假定 X 上的理性偏好关系 用函数。 [存在性]证明：令 B={ R : e
x } ,D={ R : x e }。根据
是连续的，则存在一个代表
的连续效 连续性，x
的上、下等值集是闭的，即有 B 和 D 是非空和闭的。根据 的完备性， R ( B D) 。因此，再根据 R 的连通性，则有 B D ，因此存在一 个标量 e
亦即，令 0 1 及任意常数 u( x) c, { y : u( y) u( x) c} 是为凸集合。由第二讲 中 的 式 (2-16’) 得 知 ， 此 u () 是 为 拟 凹 函 数 （ 反 之 ， 当 u () 为 拟 凹 函 数 ， 则 u( x) c, { y : u( y) u( x) c} 为凸集合） ，而效用极大化的一阶条件既是必要，也是充 分条件。
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偏好的其他假设
<定义 3.4>若 x
L y ，则对于所有的 α≥0，均有 x y ，则称 X= R 上
的单调偏好关系是位似的。 〈定义 3.5〉如果： （1）任意无差异集都是其他无差异集沿商品 1 坐标 轴的水平位移。也就是说，若 x y ，则对于 e1 (1,0,...,0) 及任意
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偏好与效用函数
〈定理 3.1〉只有当偏好关系 是理性的，它才可以用效用函数来表示。 的效用函数，该偏好必然是完备
证明：我们来证明，若存在一个代表偏好 的和可传递的。
完备性：由于 u 是定义在 X 上的一个实值函数，因而对任何的 x, y X , 必有 u( x) u( y) 或 u ( y) u ( x) 成立。但由于 u 是一个代表 而也就意味着 x 传递性：略。 注：并非是任何理性的偏好关系都可以用某一效用函数来表示。 总能用效用函数来代表一种理性偏好关系的情形之一是，X 是有限的。 的效用函数，因
的一个效用函数。
则函数 u : X R 为代表偏好关系 注 ： 代 表偏 好 关系
的 效 用 函 数不 是 唯 一的 。 对于 任 何 严格 递增 的 函 数：
f : R R, v( x) f (u( x)) 都是一个新的代表与 u() 一样的偏好的效用函数。效用
函数中不随任何严格递增变换而改变的性质被称为序数性质。 基数性质则是那 些无法在这种变换中继续被保持的性质。因此，与效用函数相关的偏好关系是 一种序数性质。
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理性偏好条件
我们假设偏好关系具备以下几个标准性质： 假设 1 完备性。对于集合 X 中的任意两个消费束 x 和 y ，或者 x 或者 y
y，
x ，或者两者同时成立；
假设 2 自反性。集合 X 中的任意消费束 假设 3 则x
x ，满足 x x ； y和z ， 传递性。 集合 X 中的任意消费束 x 、 如果 x
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0 ，至少存在一个
x
y。
局部非饱和性含义：即使仅允许对消费束作微小调整，消费者也可以做得
偏好的其他假设
2、凸性假设 ( convex preference)： 〈定义 3.3〉 (1) 对任意的 x 与 y 与 z 消费组合， 及 [0,1] ， 若 y x 及 z x， 我们有 y (1 ) z x ，则我们称此偏好 具有凸性； x y 及 [0,1] ， (2) 对任意的 x 与 y 与 z 消费组合， 若 y x 及 z x ，我们有 y (1 ) z x ，则我们称此偏好 具有严格凸性 (strict convexity)。
y或y
x ，因此，偏好满足完备性。
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偏好与效用函数
词典式偏好 (Lexicographic Preference) 是理性偏好，满足了完备性及传递性，但是 我们却无法找到一个实数值的效用函数来代表此偏好。 〈 释 例 3.1 〉 词 典 式 偏 好 的 定 义 为 ： 设 二 消 费 组 合 仅 含 两 种 商 品 x ( x1, x2 ), y ( y1 , y 2 ), x y x1 y1 或若 x1 y1 则 x2 y2 。 完备性：任意 x ( x1, x2 ) 与 y ( y1 , y2 ) ， x1 与 y1 之间一定有大于、小 于或等于的关系， x2 与 y2 也有大于、小于或等于的关系。因此 我们有 x y 或 y x 。 传递性：设 x y 及 y z 。因此我们有： x1 y1 及 y1 z1 x1 z1 。 若 x1 z1 则 x z ，满足了传递性。若 x1 z1 则 x1 y1 z1 并 且因为 x y 及 y z ， 我们有 x2 y2 及 y2 z2 ， 因此 x z 。
n n n 成对序列 {( x , y )}n1 ， x
在极限下被保持，即对于任意一个
x ， y n 对所有的 n 成立，且 x lim n
n
y lim y n ，我们有 x
n
y ，则称偏好关系
是连续的。
x} 和下等值集
等价表述法：对于所有的 x，上等值集 { y X : y
显示性偏好
2．显示性偏好 选择规则 选择行为本身被当作理论的初始研究对象。正式地，选择行为是通过
选择结构来表示的。一个选择结构 (, C ( )) 由两个要素组成：
是一族 X 的非空集合， （1） 即 中的每个元素都是一个集合 B X ，
称 B 为预算集。 预算集可以设想为受制度的、自然的、以及其他因素制约的社会环境 可能向决策者提供的所有选择实验的一个穷尽表列。 （2） C ( ) 是一个选择规则（从技术上说，它是一个对应关系） ：对于 每个预算集 B ，它都给出了一个由被选择的元素 C ( B) B 构成的非空 集合。 C ( B ) 中的元素即为决策者可能选择的 B 中的备选方案。 吉林财经大学高级微观经济学讲义
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显示性偏好
释例 3.2： 假定 X={x,y,z}， Ω={{x,y},{x,y,z}}， 一个可能的选择结构为 （Ω,C1(· )） ， 其中选择规则 C1(·)为 C1{x,y}={x}，C1{x,y,z}={x}。 另一种可能的选择结构为（ Ω,C2( · ) ） ，其中的选择规则 C2( · ) ： C2{x,y}={x}，C1{x,y,z}={x，y}。
R ，均有 ( x e1 ) ( y e1 ) ；
（2）商品 1 是合意的，即对于所有 x 和 α>0，有 x e1 则称 X= (, ) R 的。
L 1
x。
上的偏好关系
对于商品 1 是拟线性
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偏好的其他假设
3、连续性假设 <定义 3.6>如果 X 上的偏好关系