清华大学《测试与检测技术》习题集

x(t) 1
求余弦脉冲的频谱
-τ/2
0
τ/2
t
⎧cos(πt τ x (t ) = ⎨ 0 ⎩
) (t
( t ≥ τ / 2)
< τ / 2)
·5·
（9） x(t) 求二余弦脉冲的频谱
0
τ0
t
（10） x(t)
用图解方法求调制信号 -at x(t)=e cosω0t … (a>0，t≥0)经周期化后的频谱
编者 2006 年 1 月
·1·
第 1 章 绪论
1．什么是测量？试用数学关系式表达一个测量过程。 2．实施测量的基本前提条件是什么？ 3．什么是国际单位制？其基本量及其单位是什么？ 4．试述一个测试系统的基本组成及其各环节的功能。 5．考虑一根玻璃水银温度计作为一个测温系统，详细讨论组成该系统的各级。 6．自己选择一本有关测试技术的参考书，写一篇关于其中一章测量某某物理量的过 程和方法的总结。
0 τ 2
t
T
4． 求下列非周期信号的傅里叶变换，并绘出其频谱图 （1）指数函数 x(t)=Ae
-at
(a>0，t≥0)
（2）符号函数(下图中 a)，单位阶跃函数(下图中 b) x(t) 1
0
x(t) 1
t
-1 (a)
0
t
(b)
提示：符号函数可记作 Sgn(t)，可先对
⎧ e − λt x(t) = ⎨ − λt ⎩− e
10．计算下列离散时间序列的 DFT （ 0,1
2 ,1,1
2 ,0,−1
2 ,−1,−1
2）
11．用 FFT 算法求上题序列的频谱。试对此二题的结果作出解释。 12．求 x(t)=Asinωt 的概率密度函数，并绘出其曲线图。 13 ． 求 周 期 余 弦 信 号 x(t)=Acosω0t 的 自 相 关 函 数 和 功 率 谱 ， 并 绘 出 其 图 形 。 14．求方波和正弦波(见下图)的互相关函数。试与二正弦波相关的结果作比较，并分 析其原因。
3． 求周期信号的傅里叶级数，并绘出其频谱图 (1)
x (t ) +1 …
T − 2 T 2
…
0
周期性锯齿波 x(t)=2/T• t t (-T/2≤t≥T/2)
-1
(2)
x(t) A …
T − 2 T 2
…
周期方波
t
0
-A
⎧− A x(t) = ⎨ ⎩A
(− T/2 ≤ t ≤ 0) (0 ≤ t ≤ T/2 )
y(t)
5．一减速箱减速比为 5：1，两齿轮转轴上各有其不平衡量，引起的振动在减速箱上
t
|Y(f)|
f( Hz)
10 20 30 40 50
·1·
（1）此被测机械系统的输入输出各是什么？ （2）此系统是否是线性系统？ （3）在频谱图上那两个频率成分是二轴不平衡振动所引起的。 （电机转速为 3000 转/分） 6． 求周期信号 x(t)=2cos100t+cos(300t-π/4)通过一阶系统，[其频响函数 H(j ω)=1/(0.05jω+1)]后的稳态响应。 （1）列出时域求输出响应的步骤； （2）用图解法求； ①时域输入与输出的合成波形； ②输入、输出的频域表达(幅值频谱与相位频谱)。 7． 试说明测试用二阶装置阻尼比ξ大多采用ξ=0.6~0.7 的原因。 8 ．一个二阶动态特性 ⎜ H (s ) =
L
钢板
P
2． 有一电阻应变片，其灵敏度 S=2，R=120 Ω。设工作时其应变为 1000με，问其ΔR=? 若将此应变片接成如图所示电路，试求： （1）无应变时的电流表示值； （2）有应变时的电流表示值； （3）电流表的示值相对变化量； （4）这一变化量是否能从表中读出。
mA
3． 一电容测微仪，其传感器的圆形极板半径为 r=4mm，工作初始间隙 d0=0.3mm， 空气介质。 求：（1）如果传感器的工作间隙由初始间隙变 工件 化Δd=±1μm 时，电容的变化量是多少？ （2）如果测量电路的放大系数 K2=1mV/PF，读数仪表的灵敏度 K0=5 格/mV，Δd= d ±1μm 时，读数仪表的指示值变化多少格？ 4．一平行板电容位移传感器，极板宽度 b=4cm；极 x 板间距δ=0.2mm，若用它来测位移 X，试计算其灵 敏度。
|X(f )| 1
0
t
0
f
题图 7－18 17．一平稳随机信号经低通滤波后作数字频谱分析。设仅对信号中 500Hz 以下频率成 分感兴趣，并希望以 0.5Hz 的分辨率分析其频谱。试求： （1）采样频率 fs 。 （2）采样点数 N 。 （3）窗长 T 。
·8·
第 3 章
测试系统特性分析
1． 一台压电式传感器的灵敏度 Scp=9.00PC/N，把它和一台灵敏度调到 Svc=0.005V/PC 的电荷放大器连接，然后接到灵敏度为 Sxv=20mm/V 的光线示波器上 记录。试画出仪器框图，并计算总灵敏度 S。 2． 一量程为 50µA 的微安表，校准时读数如下： 测量次数 1 2 3 4 标准表读数 10 20 30 40 被校表读数 10 20.5 29.5 39 求该表的线性度(用最小二乘法回归) 若用计算机，试用 Matlab 语言编写此计算过程程序。 5 50 50.5
b
5 ．一铂电阻温度传感器用于测量 0∼200 ℃的温度。传感器的电阻—温度关系为： RT=R0(1+αT+βT2)，已知：R0=100Ω，R100=138.5Ω，R200=175.83Ω。试计算： （1）α及β值 （2）传感器在 100℃的非线性度。 6． 电容式液位计如图，液缸中放两个金属圆筒，外筒内径 2R，内筒外径 2r，缸中 液体介电常数ε1，气体介质电常数ε0，电极总长 ε 0 L，液面高度 L1。 求：（1）液面高度 L1 与电容 C 的关系式； ε 1 （2）灵敏度 S，分析 L1 与 C 是否是线 性关系。
·3·
第 4 章
被测量的获取
应变片
1．有一钢板原长 L=1m；钢板的弹性模量 E=2.1×106kg·f/cm2，在力 P 作用下，使用 BP—3 型箔式应变片（其 R=120Ω；灵敏度系 数 K=2）。测出拉伸应变为 300με。 求：钢板的伸长ΔL；σ应变片的ΔR/R； 如果要测出 1με，则相应的ΔR/R 是多少？
t >0 t<0
λ >0
作傅里叶变换，变换后取极限λ→0，就得到符号函数的傅里叶变化；单位阶跃函数 u(t)可看成是符号函数在纵坐标上平移而得。 （3）
·4·
x(t) 1
0
t
T T’
截断的余弦函数
⎧ ⎪cos ω 0 t x(t) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
（4）指数衰减振荡信号 x(t)=e-atcosω0t （5） x(t) 1
·2·
第 2 章
⎛n ⎞ j ⎜ −π ⎟ ⎝8 ⎠
cos 2 10 π n
测试信号分析与处理
1． 判断下列序列是否是周期函数。如果是，确定其周期。 （1） x(n ) =
e
（2） x (n ) = e 2． 已知周期信号 x(t)的傅里叶系数是 an，bn，cn。试证明延时信号 x(t-t0)的傅里叶级 数是
(
)∗ (e
− bt
) 信号的傅里叶变换，并绘出其频谱图，(a>0，b>0，t>0)。
9．对三个正弦信号 x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos6πt，x3(t)=cos10πt，进行理想采样，采样 频率 fs=4Hz。求三个采样输出序列，比较三个结果，画出 x1(t)、x2(t)和 x3(t)的时域波 形及采用点位置，并以频域图形解释频率混叠现象。
∞ ′ ′ x(t − t 0 ) = a0 + ∑ ⎛ ⎟ ⎜ a n cos nω 0 t + bn sin nω 0 t ⎞ ⎠ n =1 ⎝
=
其中： a n
n = −∞
∑c
+∞
′
n
e jnω 0t
′
= an cos nω 0 t 0 − bn sin nω 0 t 0
′ bn = a n sin nω 0 t 0 + bn cos nω 0 t 0 ′ c n = c n e − jn ω 0 t 0
A(f)
14
19
f(H z)
图 2－10
·2·
10． 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(10t-45°)通过传递函数为
H (s ) =
1 0.005s + 1
的装置后所得到的稳态响应。 11．将温度计从 20℃的空气中突然插入 80℃的水中，若温度计的时间常数τ=3.5S， 求 2S 后的温度计指示值是多少？ 12． 一气象探测气球升空时携带一时间常数为 15τ的一阶温度计，并以 5m/s 的速度 通过大气层，已知温度随高度变化为升高 30m 下降 0.15℃，探测气球将高度和温度数 据无线电信号发回地面，按理论计算，在 3000m 处的温度应为-1℃。试问在实测到-1 ℃处的高度应是多少？ 13．已知一个二阶系统的测试装置的静态增益为 4，输入一单位力激励后其响应中的 最大超调量为 9.42s。试求该装置的传递函数及其无阻尼频率。
x(t)
x(f)
0
t
-fm
I
0
I
fm
t
图 1－5 6．信号 x1(t)与 x2(t)间关系如图 1－6 所示，已知 x1(t)的频谱为 X1(f)，求信号 x2(t)的 频谱 X2(f)。
x1 (t) x2 (t)
t0
t
图 1－6
·6·
t0
t
7． 图解法求卷积 X1 (t)
X2 (t)
*
t t
8． 求 e − at
(3) x(t) A …
0
全波整流 … T
x(t) = A Sinω 0t
t
·3·
(4) x(t) …
− T 2
1
0
T 2
…
周期指数
x(t) = e at
(a > 0)
t (在-T/2，T/2 内)
注：用复指数计算
(5) x(t) 1 …
−
…
τ
2
周期方形脉冲 讨论 T=3τ，T=5τ 时频谱图的变化
⎛ ⎜ ⎝
( j ω )2
⎞ ω 2n ⎟ 测试装置的阻尼比ζ=0.7 ， 2 ⎟ + 2ζω n ( jω ) + ω n ⎠
固有频率 fn=50Hz，求其在题图 3-16 所示信号 x(t)激励下的稳态输出 y(t)。 x(t) 1 ··· 0.025 0.05
t
9．一测试装置的幅频特性如题图 2－10 所示，相频特性为：ω=125.5rad/s 时相移 75°； ω=150.6rad/s 时相移 90°；ω≥626rad/s 时相移 180°。若用该装置测量下两复杂周期信 号： x1(t)=A1sin125.5t+A2sin150.6t x2(t)=A3sin626t+A4sin700t 试问，该装置对 x1(t)和 x2(t)能否实现不失真测量？为什么？
3．求题图 2－3 所示串联、并联和具有负反馈的测量系统的总灵敏度 S。图中各环节 均为线性环节。
x
S1
S2
…
Sn
y
S1 x S2 y x y S1 S2 S3
…
Sn
图 2－3 4． 用一个时间常数τ=0.35 秒的一阶装置（传递函数 H (s ) =
1 ）去测量周期分别 1 + τs
为 1 秒、2 秒和 5 秒的正弦信号，问各种情况的相对幅值误差将是多少？ 测得得信号为 y(t)，经频谱分析仪分析出其频谱图为 Y(f ) ， 试答：
《测 试 与 检 测 技 术 基 础 》 习题集
王伯雄 王 雪 李玉和 罗秀芝 选编
清 华 大 学 精 密 仪 器 与 机 械 学 系
2006 年 1 月
绪言
本习题集适用于机械工程学院平台课《测试与检测 技术基础》，所采用的教材为《测试技术基础》。习题 选编时主要考虑加强学生对课程基本内容的理解，对学 生分析问题能力及应用能力的培养。习题集习题部分选 自已有的习题，部分是我们在科研工作中总结抽选出来 的成果内容。本习题集是原习题集 2001 版的再版，再 版时根据教学大纲对原内容进行了大幅度的修改，增加 了 40％的习题量。 由于编者的水平和视野的局限性，在本题集的选材 和内容安排上一定有许多不足之处，恳望读者提出宝贵 意见。
t
0
5． 已知一信号 x(t)及其频谱如图 1－5 所示，现用其与一振荡信号 cos2πf0t（f0>fm） 相乘。（在这个关系中，信号 x(t)叫做调制信号，振荡信号叫做载波。）试求调幅信 号 x(t)cos2πf0t 的傅里叶变换，并示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 f0<fm 时将会 出现什么情况。
0
t >T
t <T
, ,
并用图解法讨论 T0=T’，T0<T’，T0>T’时，对频谱图的影响。
τ W
t
具有时移τ的三角脉冲 (按一种方法计算，另外列出 两种解法的思路)
（6）
x(t) 1
具有时移τ和在原点的两 个方波脉冲
Leabharlann Baidu
0
T
τ
t
（7）绘出 x(t)=Acos(2f0t+Φ)+k，时域图和频谱图。 （8）
x(t) 1
0
Sinω t t
-1 y(t) 1
0
t
-1
·7·
15． 设 y=x2。试就 x=0，1，2，3，4，5。六个数据点计算 x 与 y 之间的相关系数 ρxy，并解释所得结果。 16．用图解法推演指数函数：
x(t)=e-t
x(t) 1
（t≥0）
的离散傅里叶变换(DFT)。已知 x(t)及其频谱 X ( f ) 如题图 7-18 所示。