费马点相关题目
中考数学压轴题费马点
《费马点》解题思路费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.一、若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在4ABC中，N BAC N120。
，求证：点A为4ABC 的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作N CAP =N CAP,并且使得AP=AP,连结PP贝IJ4APC四△APC, PC=PC 因为N BAC N120。
所以N PAP=/CAC W60所以在等腰4PAP中，AP N PP所以PA+PB+PC N PP+PB+PC〉BC=AB+AC所以点A为4ABC的费马点二、若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.如图，在4ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在4ABC内的交点为O,求证: 点。
为4ABC的费马点证明：在4ABC内部任意取一点O,；连接OA、OB、OC将4AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到A AO, 口连接。
，则O' D=OC所以△AO。
，为等边三角形，OO'=AO所以0A+0C+0B=00,+0B+0/ D则当点B、。
、。
/、D四点共线时，OA+OB+OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在4ABC中，若N BAC、N ABC、N ACB均小于120°, O为费马点，则有N AOB=N BOC=N COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6, 0）, 点B的坐标为（6, 0）,点C的坐标为（6, 4内），延长AC至点D 使得CD=AC,过点DE作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y 轴上的一点，点P从直线y=无x+6城3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短解解・.・t= GM GA 2GA + GM 2 v v 2 v・•・当2GA+GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G,则BG=AG・・.MG+2AG=MG+AG+BG把4MGB绕点B顺时针旋转60°,得到A M，G/ B,连结GG', MM, ・・・A GG' B、A MM，B都为等边三角形则GG'=G，B=GB又・・・M, G，=MG・・.MG+AG+BG=M/ G’+GG’+AG二•点A、M/为定点・・・AM,与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小・••点G的坐标为（0, 2S）例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将4ABP绕点N逆时针旋转60°，得到A EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则A ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，^CQN均为等边三角形所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P, Q在EF上，1= 2 = 3= 4 = 30 .进阶训练1.如图，在ABC中，ABC=60 , AB=5, BC=3, P是ABC 内一点，求PA+PB+PC的最小值，并确定当PA+PB+PC取得最小值时，APC的度数.答案：PA+PB+PC的最小值为7,此时APC=120【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60 ，得到A'BP', 连结PP',A'C.过点A'作A'E BC,交CB的延长线于点E.解Rt A' EC求A'C的长，所得即为PA+PB+PC的最小值.2.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM, CM, EN(1)当M在何处时，AM+CM的值最小？(2)当M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由；(3)当AM+BM+CM的最小值为,：3 i时，求正方形的边长.答案：(1)当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为AC的长；(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小，最小值为CE的长.(3)正方形的边长为我.【提示】(3)过点E作EF BC,交CB的延长线于点F,解Rt EFC 即可.。
重难点专项突破06旋转之“费马点”模型13种题型(原卷版)
重难点专项突破06旋转之“费马点”模型13种题型【知识梳理】最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。
【考点剖析】一．一元一次方程的应用（共1小题）1．（2020春•江北区期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC＝1：3．（1）求∠DOE，∠COF的度数；（2）若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．二．二次函数综合题（共1小题）2．（2018秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P作PH⊥AR于点H，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P作PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．3．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB 为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．四．角平分线的性质（共1小题）4．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．5．（2017秋•义乌市月考）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2B．1+C．6D．3六．等边三角形的性质（共1小题）6．（2014秋•厦门期中）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝P A+PB+PC．七．等腰直角三角形（共1小题）7．（2020•崇州市模拟）如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF ＝．八．三角形综合题（共2小题）8．（2023春•渠县校级期末）如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）证明：EF＝DF；（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．9．（2017秋•邗江区期末）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC 之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．九．正方形的性质（共1小题）10．（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．一十．四边形综合题（共1小题）11．（2023•桐城市校级开学）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC ＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．一十一．轴对称-最短路线问题（共2小题）12．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC ＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝．13．（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时P A+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且P A＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为．一十二．旋转的性质（共4小题）14．（2023春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．40°B．30°C．50°D．65°（多选）15．（2023春•临朐县期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板ABC不动，将三角板DCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度．当这两块三角板各有一条边互相平行时，∠ACE的度数可能是（）A．45°B．90°C．120°D．135°16．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．17．（2022秋•洪山区校级期中）如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD，已知AB＝3，，且∠BDC＝120°，在△BCD内有一动点P，则PB+PC+PD的最小值为．一十三．几何变换综合题（共1小题）18．（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA ＝OB，△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得到ON，连接CN，AM，BM．（1）求证：△AMO≌△CNO；（2）若A点坐标为（0，4）；①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标；②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由．。
专题03费马点模型(原卷版)
专题03 费马点模型【解题方法】“PA+PB+PC”型最小值问题（费马四点共线）以已知边为边向外构造等边三角形，在结合等边三角形手拉手模型证明最小值。
【口诀】旋转，四点共线，值最小【模型一】正方形内一点到三个顶点距离之和最小值问题（费马点四点共线）解题口诀：旋转60°，可得等边三角形；三线合一值最小；勾股定理、三角函数求结果。
1．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求P A+PB+PC的最小值．设未知数丘县段的数量关系问题解题口诀：设未知数，作辅助线，构造直角三角形；全等三角形，角相等，正切值也相等2．（2022•松桃县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，点F是DE的中点，连接CE，DE．（1）求证：BD＝CE；（2）如图1所示，在点D运动的过程中，连接CF，CF的延长线与AB交于点P，连接DP，试猜想DP与CE位置关系和数量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，连接CF，CF的延长线与AB的延长线交于点G，求的值．三角形内求线段和最小值问题解题口诀：构造等边三角型，造手拉手模型，截长补短证最值3．（2022春•周村区期末）如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A ＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若P A＝3，PC＝4，求PB的长．（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．4．（2021秋•北碚区校级期中）如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）证明：EF＝DF；（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．。
费马点相关题目
费马点相关问题全掌握
1、如图，点P是△ABC内一动点，求证：当∠APB=∠BPC=∠APC=120o时，PA+PB+PC取得最小值。
例1、（三角形）如图1，点P是等腰Rt△ABC内一动点，AB=2，求PA+PB+PC的最小值。
例2、（四边形）如图，在矩形ABCD中，AB=23，BC=6，P为矩形ABCD内部的任意一点，求PA+PB+PCD的最小值。
例3、（四边形）已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，求此正方形的边长。
例4、（动费马问题）矩形ABCD边AD上有一动点F，矩形内有一动点E，AB=6，BC=10，求EF+EB+EC的最小值。
例5、（费马点思想）如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B 的距离分别为23,3。
则PC的最大值为。
例6、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,2。
则PC 的最大值为。
例7、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,2。
则PO 的最大值为。
费马点相关题目
费马点相关问题全掌握
1、如图，点P是厶ABC内一动点，求证：当/ APB玄BPC二
APC=120O寸，PA+PB+P（取得最小值。
例1、（三角形）如图1,点P是等腰Rt△ ABC内一动点,
求PA+PB+PC勺最小值。
AB=v2 ,
例2、（四边形）如图，在矩形ABCD中, AB=2^3, BC=6
P为矩形ABCD内部的任意一点，求PA+PB+PC的最小
值。
例3、（四边形）已知正方形ABCD内一动点P到A、B、
C三点的距离之和的最小值为v2+ v6,求此正方形的边长。
例4、（动费马问题）
矩形内有一动点E, 小值。
例5、（费马点思想）矩形ABCDi AD上有一动点F, AB=6 BC=10 求EF+EB+E啲最
如图，设点P到等边三角形ABC
两顶点A、B的距离分别为2^3,3。
则PC的最大值为。
例6、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点的距
离分别为2, 3。
则PC的最大值为。
例7、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A 距
离分别为2, 3。
则P0的最大值为。
A、D
J5 C。
费马点问题(含答案)
>费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
【性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
)4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
^∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.!∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.!∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；：HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.@∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
，、|例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；！∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
费马点最值问题(解析版)
费马点最值问题一．模型例题（共4小题）1．问题的提出：如果点P 是锐角ABC ∆内一动点，如何确定一个位置，使点P 到ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小？问题的转化：把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C ''，连接PP '，这样就把确定PA PB PC ++的最小值的问题转化成确定BP PP P C +'+''的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA PB PC BP PP P C ++=+'+''．问题的解决：当点P 到锐角ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P 的位置120APB APC ∠=∠=︒．问题的延伸：如图2是有一个锐角为30︒的直角三角形，如果斜边为2，点P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【解答】解：问题的转化：如图1，由旋转得：60PAP '∠=︒，PA P A '=，APP '∴∆是等边三角形，PP PA '∴=，PC P C '= ，PA PB PC BP PP P C ∴++=+'+''．问题的解决：满足：120APB APC ∠=∠=︒时，PA PB PC ++的值为最小；理由是：如图2，把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C ''，连接PP '，由“问题的转化”可知：当B 、P 、P '、C '在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，120APB ∠=︒ ，60APP '∠=︒，180APB APP '∴∠+∠=︒，B ∴、P 、P '在同一直线上，由旋转得：120AP C APC ''∠=∠=︒，60AP P '∠=︒ ，180AP C AP P '''∴∠+∠=︒，P ∴、P '、C '在同一直线上，B ∴、P 、P '、C '在同一直线上，∴此时PA PB PC ++的值为最小，故答案为：120APB APC ∠=∠=︒；问题的延伸：如图3，Rt ACB ∆中，2AB = ，30ABC ∠=︒，1AC ∴=，BC =把BPC ∆绕点B 逆时针旋转60度得到△BP C ''，连接PP '，当A 、P 、P '、C '在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，由旋转得：BP BP '=，PBP '∠=，PC P C ''=，BC BC '=，BPP ∴∆'是等边三角形，PP PB '∴=，30ABC APB CBP APB C BP ''∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，90ABC '∴∠=︒，由勾股定理得：AC '==，PA PB PC PA PP P C AC ''''∴++=++==则点P ．2．如图，ABC ∆中，AB AC =，点P 为ABC ∆内一点，120APB BAC ∠=∠=︒．若4AP BP +=，则PC 的最小值为()A ．2B ．23C ．5D ．3【解答】解：把APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到△AP C '，作AD PP ⊥'于D ，则AP AP ='，120PAP ∠'=︒，120AP C APB ∠'=∠=︒，30AP P ∴∠'=︒，3PP ∴'=，90PP C ∠'=︒，4AP BP += ，4BP PA ∴=-，在Rt △PP C '中，22222(3)(4)4(1)12PC P P P C PA PA PA ='+'+--+，则PC 1223=，故选：B ．3．如图，2的等边ABC ∆，平面内存在点P ，则3PA PB PC +的取值范围为大于22．【解答】解：如图，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转120︒，得△BP C ''，连接PP '，过点B 作BD PP ⊥'于点D ，ABC ∆ 是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，AB BC BC =='=，AC AB BC ∴'=+'=120CBC PBP ∠'=∠'=︒ ，180ABC ABC CBC ∴∠'=∠+∠'=︒，∴点A ，B ，C '在同一条直线上，BP BP =' ，120PBP ∠'=︒，BD PP ⊥'，30BPP BP P ∴∠'=∠'=︒，PD ∴=，2PP PD ∴'==，PA PP PC PA PC AC ∴+'+=++>'，因为等边三角形的边长为PA PC ∴+的取值范围为大于等于故答案为：大于等于．4．问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，ABC ∆是边长为1的等边三角形，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将BPA ∆绕点B 逆时针旋转60︒至△BP A ''，连接PP '、A C '，记A C '与AB 交于点D ，易知1BA BA BC '===，120A BC A BA ABC ''∠=∠+∠=︒．由BP BP '=，60P BP '∠=︒，可知△P BP '为正三角形，有PB P P '=．故PA PB PC P A P P PC A C '''++=++．因此，当A '、P '、P 、C 共线时，PA PB PC ++有最小值是学以致用：（1）如图3，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，4AB =，3CA =，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，则PA PB PC ++的最小值是5．（2）如图4，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，3AB CA ==，P 为ABC ∆内部一点，连接PA 、PB 、PC ，PB PC ++的最小值．（3）如图5，P 是边长为2的正方形ABCD 内一点，Q 为边BC 上一点，连接PA 、PD 、PQ ，求PA PD PQ ++的最小值．【解答】解：（1）如图3中，将APC ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AFE ∆，易知AFP ∆是等边三角形，90EAB ∠=︒，在Rt EAB ∆中，5BE ==，PA PB PC EF FP PB BE ++=++ ，5PA PB PC ∴++，PA PB PC ∴++的最小值为5．故答案为5．（2）如图4中，将APB ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AFE ∆，易知AFP ∆是等腰直角三角形，135EAB ∠=︒，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ．在Rt EAH ∆中，90H ∠=︒ ，45EAH ∠=︒，AE AB ==2EH AH ∴==，在Rt EHC ∆中，EC ==PB PC FP EF PC CE ++=++，∴PB PC ++，∴PB PC ++（3）如图5中，将APD∆是等边三角形，∆绕点A逆时针旋转60︒得到AFE∆，则易知AFP作EH BC⊥于H，交AD于G．，PA PD PQ EF FP PQ EH++=++易知sin60=⋅︒=2EG AE==，GH AB∴=+EH2∴++，PA PD PQ2∴++2+．PA PD PQ二．同步练习（共20小题）5．法国数学家费马提出：在ABC∆内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA PB PC∆中，费马点P满足++的值为费马距离．经研究发现：在锐角ABCPC=，60∠=︒，则ABCPA=，4∆的费马点，且3APB BPC CPA120∠=∠=∠=︒，如图，点P为锐角ABC费马距离为7+【解答】解：如图：120APB BPC CPA∠=∠=∠=，60ABC∠=︒，1360∴∠+∠=︒，1260∠+∠=︒，2460∠+∠=︒，14∴∠=∠，23∠=∠，BPC APB∴∆∆∽∴PC PB PB PA=，即212PB=PB∴=．7PA PB PC∴++=+故答案为：7+．6．在ABC∆中，90ACB∠=︒，点P为ABC∆内一点．（1）如图1，连接PB，PC，将BCP∆沿射线CA方向平移，得到DAE∆，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．如果BP CE⊥，3BP=，6AB=，则CE=（2）如图2，连接PA，PB，PC，当8AC BC==时，求PA PB PC++的最小值．【解答】解：（1）如图1，连接BD、CD，BCP ∆ 沿射线CA 方向平移，得到DAE ∆，//BC AD ∴且BC AD =，90ACB ∠=︒ ，∴四边形BCAD 是矩形，6CD AB ∴==，3BP = ，3DE BP ∴==，BP CE ⊥ ，//BP DE ，DE CE ∴⊥，∴在Rt DCE ∆中，CE ===；故答案为：（2）如图2所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN ABP ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当8AC BC ==时，AB =，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA CB =，NA NB =可得CN 垂直平分AB ，12AQ AB CQ ∴==，NQ ==，∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+．即PA PB PC ++的最小值为+．7．如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC ∆内一点，则PA PB PC ++的最小值为【解答】解：如图，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转60︒，得到AEH ∆，连接EP ，CH ，过点C 作CN AH ⊥，交HA 的延长线于N ，ABP AHE ∴∆≅∆，BAP HAE ∴∠=∠，AE AP =，3AH AB ==，60BAH ∠=︒，60HAB EAP ∴∠=∠=︒，AEP ∴∆是等边三角形，AE AP EP ∴==，AP BP PC PC EP EH ∴++=++，∴当点H ，点E ，点P ，点C 共线时，PA PB PC ++有最小值HC ，18060CAN BAH BAC ∠=︒-∠-∠=︒ ，CN AN ⊥，30ACN ∴∠=︒，112AN AC ∴==，CN ==，4HN AH AN ∴=+=，HC ∴=，PA PB PC ∴++，8．如图，ABC ∆中，30ABC ∠=︒，5AB =，6BC =，P 是ABC ∆内部的任意一点，连接PA 、PB 、PC ，则PA PB PC ++【解答】解：如图，以BP 为边作等边三角形BPD ，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BDC '∆，连接AC '，BPD ∆ 是等边三角形，BP BD DP ∴==，60PBD ∠=︒，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，PC C D '∴=，PBC DBC '∠=∠，6BC BC '==，603090ABC ABP PBD DBC PBD ABC PBC ''∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，PA PB PC PA PD DC '++=++ ，∴当点A ，点P ，点D ，点C '共线时，PA PB PC ++有最小值为PC '，PC '∴===，9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，当3AC =，6AB =时，则PA PB PC ++的最小值是【解答】解：如图所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到ANM ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN APB ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当3AC =，6AB =时，BC =，1sin 2ABC ∴∠=，30ABC ∴∠=︒，60ABN ∠=︒ ，90CBN ∴∠=︒当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，最小值CN ===，故答案为：．10．已知，如图在ABC ∆中，30ACB ∠=︒，5BC =，6AC =，在ABC ∆内部有一点D ，连接DA 、DB 、DC ，则DA DB ++【解答】解：如图，过点C 作CE CD ⊥，且CE CD =，连接DE ，将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆，连接FB ，过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，CE CD ⊥ ，CE CD =，DE ∴=，将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆，EF AD ∴=，90ACF ∠=︒，6CF AC ==，DA DB DB EF DE ∴++=++，∴当点F ，点E ，点D ，点B 共线时，DA DB ++有最小值为FB ，18060FCH ACF ACB ∠=︒-∠-∠=︒ ，30CFH ∴∠=︒，132CH CF ∴==，FH ==，BF ∴==11．如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，AC =，8AB =，点D 在ABC ∆内，连接DA 、DB 、DC ，则DC DB ++的最小值是【解答】解：如图，将ADB ∆绕点A 顺时针旋转120︒得到AEF ∆，连接DE ，CF ，过点F 作FH CA ⊥交CA的延长线于H ．AD AE = ，120DAE ∠=︒，BD EF =，DE ∴=，DC DB DA DC DE EF ∴++=++，CD DE EF CF ++ ，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AB =，30BAC ∠=︒，cos30AB AB ∴=⋅︒=在Rt AFH ∆中，90H ∠=︒，8AF AB ==，30FAH ∠=︒，142FH AF ∴==，AH ==，CH AC AH ∴=+=，CF ∴===，CD DB ∴+，CF ∴的最小值为．故答案为：．12．如图，ABC ∆中，30ABC ∠=︒，4AB =，5BC =，P 是ABC ∆内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA PB PC ++【解答】解：如图，将ABP ∆绕着点B 逆时针旋转60︒，得到DBE ∆，连接EP ，CD ，ABP DBE∴∆≅∆ABP DBE ∴∠=∠，4BD AB ==，60PBE ∠=︒，BE PE =，AP DE =，BPE ∴∆是等边三角形EP BP∴=AP BP PC PC EP DE∴++=++∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA PB PC ++有最小值CD30ABC ABP PBC∠=︒=∠+∠ 30DBE PBC ∴∠+∠=︒90DBC ∴∠=︒CD ∴==，13．如图，P 为正方形ABCD 内的动点，若2AB =，则PA PB PC ++【解答】解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到△BP C ''，BP BP '∴=，60PBP '∠=︒，BPC ∆≅△BP C ''，BPP '∴∆是等边三角形，PC P C ''=，PBC P BC ''∠=∠，2BC BC '==，BP PP '∴=，PA PB PC AP PP P C '''∴++=++，∴当AP ，PP '，P C ''在一条直线上，PA PB PC ++有最小值，最小值是AC '的长，60150ABP PBP P BC ABP PBC '''∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒ ，30EBC ∴∠=︒，1EC '∴=，BE '==，2AE ∴=+，AF ∴===，14．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M ，N 分别为AB 、BC 上的动点，且始终保持BM CN =．连接MN ，以MN 为斜边在矩形内作等腰Rt MNQ ∆，若在正方形内还存在一点P ，则点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+【解答】解：设BM x =，则6BN x =-，222MN BM BN =+ ，2222(6)2(3)18MN x x x ∴=+-=-+，∴当3x =时，MN 最小，此时Q 点离AD 最近，3BM BN == ，Q ∴点是AC 和BD 的交点，22AQ DQ AD ∴===，过点Q 作QM AD '⊥于点M '，在ADQ ∆内部过A 、D 分别作30M DP M AP ∠'=∠'=︒，则120APD APQ DPQ ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，此时PA PD PQ ++最小，在等腰Rt AQD ∆中，AQ DQ ==，QM AD '⊥，232AM QM AQ ∴='==，故cos30AM PA '︒=，解得：PA =PM '=故3QP =PD =，则233PA PD PQ ++=⨯+=+，∴点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+，故答案为3+．15．如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，且120BDC ∠=︒，则AD BD 的最小值为32．【解答】解：如图，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ACE ∆，连接DE ，过点A 作AH DE ⊥于H ．CD CE = ，60DCE ∠=︒，DCE ∴∆是等边三角形，60EDC DEC ∴∠=∠=︒，120BDC AEC ∠=∠=︒ ，60AED ∴∠=︒，BD AE = ，∴AD AD BD AE=，AH DE ⊥ ，AD AH ∴，∴ADAH BD AE，90AHE ∠=︒ ，60AEB ∠=︒，∴sin 60AH AE =︒=，∴AD BD ，∴AD BD 的最小值为32．16．如图，已知矩形ABCD ，4AB =，6BC =，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA MD ME ++的最小值为4+【解答】解：将AMD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△AM D ''，由性质的性质可知：MD M D =''，ADD ∆'和AMM ∆'均为等边三角形，AM MM ∴='，MA MD ME D M MM ME ∴++='+'+，D M ∴'、MM '、ME 共线时最短，由于点E 也为动点，∴当D E BC '⊥时最短，此时易求得4D E D G GE '='+=+，MA MD ME ∴++的最小值为4+17．如图，在直角三角形ABC ∆内部有一动点P ，90BAC ∠=︒，连接PA ，PB ，PC ，若6AC =，8AB =，求PA PB PC ++的最小值【解答】解：如图，将ACP ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ECF ∆，连接PF ，BE ，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ．由旋转的旋转可知：PA EF =，PCF ∆，ACE ∆是等边三角形，PF PC ∴=，PA PB PC EF FP PB ∴++=++，EF FP PB BE ++ ，∴当B ，P ，F ，E 共线时，PA PB PC ++的值最小，90BAC ∠=︒ ，60CAE ∠=︒，180906030HAE ∴∠=︒-︒-︒=︒，EH AH ⊥ ，6AE AC ==，132EH AE ∴==．AH ==，BE ∴===，PA PB PC ∴++的最小值为故答案为18．若点P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．当三角形的最大角小于120︒时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”．即PA PB PC ++最小．（1）如图1，向ABC ∆外作等边三角形ABD ∆，AEC ∆．连接BE ，DC 相交于点P ，连接AP ．①证明：点P 就是ABC ∆费马点；②证明：PA PB PC BE DC ++==；（2）如图2，在MNG ∆中，MN =，75M ∠=︒，3MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是【解答】（1）证明：①如图11-中，作AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N 设AB 交CD 于O ．ADB ∆ ，ACE ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，()ADC ABE SAS ∴∆≅∆，CD BE ∴=，DAC ABE S S ∆∆=，ADC ABE ∠=∠，AM CD ⊥ ，AN BE ⊥，∴1122CD AM BE AN ⋅⋅=⋅⋅，AM AN ∴=，APM APN ∴∠=∠，AOD POB ∠=∠ ，60OPB DAO ∴∠=∠=︒，60APN APM ∴∠=∠=︒，120APC BPC APC ∴∠=∠=∠=︒，∴点P 是就是ABC ∆费马点．②在线段PD 上取一点T ，使得PT PA =，连接AT ．60APT ∠=︒ ，PT PA =，APT ∴∆是等边三角形，60PAT ∴∠=︒，AT AP =，60DAB TAP ∠=∠=︒ ，DAT BAP ∴∠=∠，AD AB = ，()DAT BAP SAS ∴∆≅∆，PB DT ∴=，PD DT PT PA PB ∴=+=+，PA PB PC PD PC CD BE ∴++=+==．（2）解：如图2：以MG 为边作等边三角形MGD ∆，以OM 为边作等边OME ∆．连接ND ，作DF NM ⊥，交NM 的延长线于F．MGD ∆ 和OME ∆是等边三角形OE OM ME ∴==，60DMG OME ∠=∠=︒，MG MD =，GMO DME∴∠=∠在GMO ∆和DME ∆中，OM ME GMO DME MG MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GMO DME SAS ∴∆≅∆，OG DE∴=NO GO MO DE OE NO∴++=++∴当D 、E 、O 、N 四点共线时，NO GO MO ++值最小，75NMG ∠=︒ ，60GMD ∠=︒，135NMD ∴∠=︒，45DMF ∴∠=︒，3MG = 322MF DF ∴==，3211222NF MN MF ∴=+==，ND ∴=MO NO GO ∴++，，19．问题提出（1）如图①，在ABC ∆中，2BC =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到△A B C '''，则CC '=2；问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，3AB BC ==，30ABC ∠=︒，点P 为ABC ∆内一点，连接PA 、PB 、PC ，求PA PB PC ++的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AB =，4AD =，60ABC BCD ∠=∠=︒．在四边形ABCD 内部有一点，满足120APD ∠=︒，连接BP 、CP ，点Q 为BPC ∆内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得PQ BQ CQ ++有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，由旋转的性质可知：BCC ∆'是等边三角形，2CC BC ∴'==，故答案为2．（2）如图②，将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BFE ∆，连接PF ，EC ．由旋转的性质可知：PBF ∆是等边三角形，PB PF ∴=，PA EF = ，PA PB PC PC PF EF ∴++=++，PC PF EF EC ++ ，∴当P ，F 在直线EC 上时，PA PB PC ++的值最小，易证3BC BE BA ===，90CBE ∠=︒，EB BC ⊥ ，EC ∴==，PA PB PC ∴++的最小值为．（3）（3）如图③1-中，将PBQ ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到EBG ∆，则PQ EG =，BQG ∆是等边三角形，BQ QG ∴=，PQ EG =，PQ BQ CQ EG GQ QC EC ∴++=++，EC ∴的值最小时，QP QB QC ++的值最小，如图③2-中，延长BA 交CD 的延长线于J ，作ADJ ∆的外接圆O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BO '，BE ，连接EO '，OB ，OP ．易证()BEO BPO SAS ∆'≅∆，EO OP ∴'=，180APD AJD ∠+∠=︒ ，A ∴，P ，D ，J 四点共圆，OP ∴=，433EO ∴'=，∴点E 的运动轨迹是以O '为圆心，433为半径的圆，∴当点E 在线段CO '上时，EC 的值最小，最小值CO EO ='-'，连接OO'，延长OO'到R，使得O R OO'='，连接BR，则90OBR∠=︒，作RH CB⊥交CB的延长线于H，O T CH'⊥于T，OM BC⊥于M．在Rt OBM∆中，5BM=，OM=1433OB∴=，14BR∴==，由BHR OMB∆∆∽，∴RH BRBM OB=，RH∴=，////HR O T OM'，OO RO'='，TM TH∴=，2RH OMO T+∴'==，3BT∴==，3CO∴'==，CO EO∴'-'=．QP QB QC∴++的最小值为．20．如图1，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点P为ABC∆内一点．（1）连接PB，PC，将BCP∆沿射线CA方向平移，得到DAE∆，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP CE⊥，3BP=，6AB=，求CE的长．（2）如图3，连接PA ，PB ，PC ，求PA PB PC ++的最小值．小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，那么就将PA PB PC ++的值转化为CP PM MN ++的值，连接CN ，当点P 落在CN 上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA PB PC CP PM MN ++=++．并直接写出当4AC BC ==时，PA PB PC ++的最小值．【解答】解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD 、CDBCP ∆ 沿射线CA 方向平移，得到DAE ∆，//BC AD ∴且BC AD =，90ACB ∠=︒ ，∴四边形BCAD 是矩形，6CD AB ∴==，3BP = ，3DE BP ∴==，BP CE ⊥ ，//BP DE ，DE CE ∴⊥，∴在Rt DCE ∆中，223692733CE CD DE =-=-==；（2）证明：如图所示，以点A 为旋转中心，将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆，连接BN ．由旋转可得，AMN ABP ∆≅∆，MN BP ∴=，PA AM =，60PAM BAN ∠=︒=∠，AB AN =，PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形，PA PM ∴=，PA PB PC CP PM MN ∴++=++，当4AC BC ==时，AB =，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA CB =，NA NB =可得CN 垂直平分AB ，12AQ AB CQ ∴==，NQ ==，∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+．21．（1）阅读材料：如图（1），四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，①求证：AMB ENB ∆≅∆；②当M 点在何处时，AM CM +的值最小；③当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图．【解答】解：（1）① 四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，AB BC BE ∴==，60ABE ∠=︒，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，BN BM ∴=，60MBN ∠=︒，ABE MBN ∴∠=∠，EBN ABM ∴∠=∠，且AB BE =，MB NB =，()AMB ENB SAS ∴∆≅∆；②当M 点落在BD 的中点时，A 、M 、C 三点共线时，AM CM +的值最小；③如图1，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，理由如下：连接MN ，由（1）知，AMB ENB ∆≅∆，AM EN ∴=，60MBN ∠=︒ ，MB NB =，BMN ∴∆是等边三角形，BM MN ∴=，AM BM CM EN MN CM ∴++=++，根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短，∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长；（2）如图2，作等边ABQ ∆和等边CDP ∆，等边CEH ∆，同理可证CHP CED ∆≅∆，则CH CE =，PH DE =，DE CE PH HE ∴+=+，∴点H ，点P ，点E 三点共线时，DE CE +的值最小值为PE ，同理，AF BF +的最小值为FQ ，DE CE EF AF BF PE FE FQ ∴++++++，∴点P ，点E ，点F ，点Q 共线时，并使整个公路系统的总长为最短，即最短距离为PQ ，∴设计图：(30)EDC ECD FAB FBA ∠=∠=∠=∠=︒22．已知，在ABC ∆中，30ACB ∠=︒（1）如图1，当2AB AC ==，求BC 的值；（2）如图2，当AB AC =，点P 是ABC ∆内一点，且2PA =，21PB =3PC =，求APC ∠的度数；（3）如图3，当4AC =，7()AB CB CA >，点P 是ABC ∆内一动点，则PA PB PC ++的最小值为43．【解答】解：（1）如图1中，作AP BC ⊥于P ．AB AC = ，AP BC ⊥，BP PC ∴=，在Rt ACP ∆中，2AC = ，30C ∠=︒，cos303PC AC ∴=︒=2BC PC ∴==．（2）如图2中，将APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到QAC ∆．AB AC = ，30C ∠=︒，120BAC ∴∠=︒，2PA AQ ∴==，PB QC ==，120PAQ ∠=︒ ，PQ ∴=222PQ PC QC ∴+=，90QPC ∴∠=︒，30APQ ∠=︒ ，3090120APC ∴∠=︒+︒=︒．（3）如图3中，将BCP ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到△CB P ''，连接PP '，AB '，则90ACB ∠'=︒．PA PB PC PA PP P B ++=+'+'' ，∴当A ，P ，P '，B '共线时，PA PB PC ++的值最小，最小值AB ='的长，由AB =4AC =，30C ∠=︒，可得BC CB ='=，AB ∴'=．23．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，ABC∆内部有一点P，连BC=，5AC=，在ABCACB∆中，30∠=︒，6接PA、PB、PC，求PA PB PC++的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC∆，连接PD、BE，则BE的长即为所求．∆绕点C顺时针旋转60︒，得到EDC（1）请你写出图2中，PA PB PC++（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，60∠=︒，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于ABC++最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；PA PB PC②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA PB PC++值最小时PB的长．【解答】解：（1）如图2． 将APC∆绕点C顺时针旋转60︒，得到EDC∆，∴∆≅∆，APC EDC∠=︒，ACP ECD==，60PCD∴∠=∠，5AC EC∴∠+∠=∠+∠，ACP PCB ECD PCB∴∠+∠=∠=︒，30ECD PCB ACBBCE ECD PCB PCD∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．306090在Rt BCEBC=，5，6CE=，∆中，90∠=︒BCE∴==BE即PA PB PC++（2）①将APC∆，连接PE、DE，∆绕点C顺时针旋转60︒，得到DEC则线段BD 等于PA PB PC ++最小值的线段；②如图31-中，当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA PB PC ++值最小，最小值为BD ． 将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到DEC ∆，APC DEC ∴∆≅∆，CP CE ∴=，60PCE ∠=︒，PCE ∴∆是等边三角形，PE CE CP ∴==，60EPC CEP ∠=∠=︒．菱形ABCD 中，1302ABP CBP ABC ∠=∠=∠=︒，603030PCB EPC CBP ∴∠=∠-∠=︒-∠︒=︒，30PCB CBP ∴∠=∠=︒，BP CP ∴=，同理，DE CE =，BP PE ED ∴==．连接AC ，交BD 于点O ，则AC BD ⊥．在Rt BOC ∆中，90BOC ∠=︒ ，30OBC ∠=︒，4BC =，cos 4BO BC OBC ∴=∠=⨯2BD BO ∴==，13BP BD ∴==即当PA PB PC ++值最小时PB24．已知抛物线2142y x bx =-++的对称轴为1x =，与y 交于点A ，与x 轴负半轴交于点C ，作平行四边形ABOC 并将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90︒，得到平行四边形A B O C ''''．（1）求抛物线的解析式和点A 、C 的坐标；（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A B O C ''''重叠部分△OC D '的周长；（3）若点P 为AOC ∆内一点，直接写出PA PC PO ++的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．【解答】解：（1）由已知得，112()2bx =-=⨯-，则1b =，抛物线的解析式为2142y x x =-++，(0,4)A ∴，令0y =，得21402x x -++=，12x ∴=-，24x =．（2）在ABCD 中，90OAB AOC ∠=∠=︒，则//AB CO，OB ∴==2OC OC '==，OC D OCA B ∴∠'=∠=∠，C OD BOA ∠'=∠，∴△C OD BOA '∆∽，∴C OD BOA C OC C OB '∆'=== AOB ∆的周长为6+，∴△C OD '的周长为565(6255+⨯=+；（3）此点位费马点，设三角形AOB 的三边为a ，b ，c ，2OC = ，4OA =，AC ==，PA PB PC ++==．直线CP解析式为1)2y x =-+-．。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
费马点初中几何模型经典例题
费马点，又称为费马-托里拆利点，是三角形内的一个特殊点，具有以下性质：从该点向三角形的三个顶点连线，与三角形的三边形成的三个小三角形中，每个小三角形的角都是120度。
此外，从费马点到三角形三个顶点的距离之和最短。
下面是一个关于费马点的初中几何模型经典例题：
例题：在三角形ABC中，求作一点P，使得PA + PB + PC的和最小。
解题步骤：
1.作三角形的外接圆：首先，作出三角形ABC的外接圆。
2.找出外接圆上的两交点：然后，在三角形ABC的一边上（例如边BC）作一个等边三角形BCD（其
中D点位于BC的延长线上）。
同样地，在三角形ABC的另一边上（例如边AC）也作一个等边三角形ACE。
这样，等边三角形BCD和等边三角形ACE会与三角形ABC的外接圆相交于两点F和G。
3.连接FG并找出交点：连接点F和G，它们会相交于一点P。
4.验证结果：通过计算或几何证明，可以验证点P就是使得PA + PB + PC和最小的点。
这个例题展示了费马点的性质和应用，通过构造等边三角形和利用外接圆，我们可以找到满足条件的点P。
在实际解题过程中，还需要结合三角形的具体形状和条件进行具体分析。
初二数学费马点练习题
初二数学费马点练习题费马点是数学上的一个重要概念，它得名于17世纪法国数学家费尔马(Fermat)。
费马点在数学问题中有着广泛的应用，包括解方程、求极值、求最短路径等等。
下面将介绍一些初二数学中关于费马点的练习题，并给出详细的解答过程。
题目一：已知三角形ABC的三个顶点A(2, 1)，B(4, 5)和C(6, 2)，求证：三角形ABC的费马点坐标为(4, 3)。
解答：要证明三角形ABC的费马点坐标为(4, 3)，首先我们需要了解费马点的定义。
费马点定义为到三角形三个顶点距离之和最小的点。
设费马点坐标为F(x, y)，我们需要证明点F到三个顶点的距离之和最小。
首先计算点F到点A的距离。
根据两点之间的距离公式：d(AF) = √[(x-2)^2 + (y-1)^2]同理，点F到点B和点C的距离分别为：d(BF) = √[(x-4)^2 + (y-5)^2]d(CF) = √[(x-6)^2 + (y-2)^2]我们需要最小化这三个距离之和，即求解以下最小值问题：min [d(AF) + d(BF) + d(CF)]为了方便计算，我们可以先计算上述最小值问题的平方，即：min [(d(AF))^2 + (d(BF))^2 + (d(CF))^2]将d(AF)、d(BF)和d(CF)代入上式，展开并化简可得：min [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99]为了求解上述最小值问题，我们需要计算该函数的极值点。
对于一个多项式函数，极值点可以通过求导数为0来获得。
对上述函数关于x 和y求偏导数，得到：∂/∂x [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99] = 0∂/∂y [x^2 + (4x-18)^2 + (3x-7)^2 + 23x + 5y - 99] = 0化简上述方程组，我们可以解得x = 4和y = 3。
将这两个值代入原函数，可以验证该点满足最小值条件，即费马点坐标为(4, 3)。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC＝P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE____________．PEDCBA ABCPABCPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABC内一点，则P A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝P是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则PA＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB＝，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋(＋2x)2＝)2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′EF P′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA【答案】1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABC内一点，则P A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC缩小到原来的，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12(A ＋2PB＋PC )，将△APC扩大到原来的C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
费马点问题（含答案）
费马点问题（含答案）费马点的问题定义：数学上称，到三⾓形3个顶点距离之和最⼩的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三⾓形有⼀个⾓⼤于或等于120°，这个⾓的顶点就是费马点；2. 如果3个⾓均⼩于120°，则在三⾓形部对3边⾓均为120°的点，是三⾓形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯⼀的。
我们称这⼀结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩。
2．费马点连接三顶点所成的三夹⾓皆为120°。
3．费马点为三⾓形中能量最低点。
4．三⼒平衡时三⼒夹⾓皆为120°，所以费马点是三⼒平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三⾓形。
求证：GA+GB+GH最⼩证明：∵△ABH是等边三⾓形。
G是其重⼼。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上⽅作等边三⾓形△DBH.以HG为边向右上⽅作等边三⾓形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴A、G、P三点⼀线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三⾓形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点⼀线。
∴AG=GP=PD,且同在⼀条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三⾓形到三个顶点的距离之和最⼩的哪⼀点，费马点。
也就是重⼼。
例2：已知：△ABC是等腰三⾓形，G是三⾓形⼀点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最⼩证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三⾓形。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
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费马点相关问题全掌握
1、如图，点P是△ABC内一动点，求证：当∠APB=∠BPC=∠APC=120º时，PA+PB+PC取得最小值。
例1、（三角形）如图1，点P是等腰Rt△ABC内一动点，AB=√2，求PA+PB+PC的最小值。
例2、（四边形）如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=6，P为矩形ABCD内部的任意一点，求PA+PB+PCD的最小值。
例3、（四边形）已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为√2+√6，求此正方形的边长。
例4、（动费马问题）矩形ABCD边AD上有一动点F，矩形内有一动点E，AB=6，BC=10，求EF+EB+EC的最小值。
例5、（费马点思想）如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B 的距离分别为2√3,3。
则PC的最大值为。
例6、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,√2。
则PC 的最大值为。
例7、（费马点思想）如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D 的距离分别为2,√2。
则PO 的最大值为。