欧拉定理

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则：

几何定理：

1)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr.

2)三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V,重心G,外心O共线，称为欧拉线

欧拉定理证明：

设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr.

证明O、I分别为⊿ABC的外心与内心. 连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ETH;BAC,故D为弧BC的中点. 连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径. 由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明) 但DB=DI(可连BI,证明ETH;DBI=ETH;DIB得), 故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可. 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得.故得R^2-d^2=2Rr,即证.