.12.15初等数论费马小定理与欧拉定理(优选.)

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第七讲 费马小定理与欧拉定理

2017.12.18

基础例题

1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/

2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ϕ}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡⋯m

x x x x ϕ

3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡，

()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡

4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立：

(1)p |b d -1对于某个因数d

(2)()n p m od 1≡

5. 将211-1=2047分解质因数

6. 将612-1分解质因数

7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p

mod +≡+

8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1.

(1)证明：p n -1|a -1；

(2)当p =2时，上述结论成立吗?

10. 求(1237156+34)28被111除的余数.

11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1

12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡

13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p )

(2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理.

每周真题小练

1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上.

2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ϕ是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ϕϕπ2

1cos

1=∏=

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