正交拉丁方
正交拉丁方
正交拉丁方表
1. 3 阶正交拉丁方(2 个)
1 2 3
1 23 31 12
2 123 312 231
2. 4 阶正交拉丁方(3 个)
L12 (211 ) 表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 ++－+++－－－ + － 2 +－＋++－－－＋ － ＋ 3 － ＋＋+－ －－＋－ ＋ ＋ 4 ＋＋＋－－－＋－＋＋ －
5 6 7 8
++－－－ +－++－
+ －
－
－ － －
－ － ＋
－ ＋ －
＋ － ＋
－ ＋ ＋
＋ ＋ －
一些 2 水平正交表的循环生成方法
一些 2 水平正交表 Ln (2n−1) 可以用”循环生成”的方法构造出来. 其方法是: 先用 某种特殊的算法构造出第一行的 n－1 个元素, 然后以下的 n－２ 行的每行由前一行的 元素依次向左移一格(前一行的第一个元素移到最右端)得到, 最后添加所有元素均 为－1 的一行, 便得到一个 Ln (2n−1) . 由于 2k 型的正交表用”半分法”容易得到, 我们将
4 1 23 4 56 7 5 67 1 23 4 2 34 5 67 1 6 71 2 34 5 3 45 6 71 2 7 12 3 45 6 4 56 7 12 3
5 1 2 34 5 67 6 7 12 3 45 4 5 67 1 23 2 3 45 6 71 7 1 23 4 56 5 6 71 2 34 3 4 56 7 12
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造
组合 数学是 一 门很 古 老 的学科 ， 们 对 它 的兴趣 和研 究颇 早 ， 人 它起 始 于数 学 游戏 ， 如 中 国古代 的游 例 戏九 连环 ， 起初 只是研究 娱乐 或审 美 要求 所 涉及 的组 合 问题． 近代 随着 计 算机 的出现 ， 组合 数学 这 门学科
得到 了迅 猛的发 展， 成为 了一 个重 要 的数 学分 支 ． 拉丁方 和 正交 拉 丁方 是 组合 数 学 中的一 个重 要课 题 ， 在
此外 ， 丁方 还可用于工 作分配 、 拉 信息处理 、 安排循 环赛程 ， 至应用 于大型并 行系统 的处理 器调度． 甚
类繁多， 而每 种参数又 可 以取 多个水平 值， 因此一 个完备 的遍历 考察有 巨大数 目的状态空 间， 真评 估往 往 仿 成为不可能完成 的任务 ． 利用正交拉 丁方均匀搭配不 同参 数和各 种取值， 组成特 定 的考核 状 态空 间， 使得 工 作量 呈几何 级数 下 降， 用较 少 的实验 次数就 能够 达到 近似 于全 遍历 状态空 间 的效果 ．１ 仅 ［ １
实际应 用 中有着重 要 的作用 ．
１ 拉 丁 方 和 正 交 拉 丁 方
定 义 １ 由 １ ２ … ， 成 的 ｎ 方 阵（ ， 求每 行 及 每列 １ ２ … 各 出现一 次 ， ， ， 构 × ） 要 ，， 这样 的方 阵称 为 拉 丁方． 定 义 ２ 设 Ａ１（ ， （ ＝ ‘） Ａ２ ＝ ） 是 两个 ｎ ｎ的拉 丁方 ． 矩 阵 （ ” ‘） 中的 ｎ 个数 偶 （ ” ｘ 若 ‘， ‘，
（ ， ） （ ４ （ ， ） （ ， ） 右 前 ３ １ ４， ） １３ ２ ２ （ ， ） （ ， ） （ ， （ ， ） 右 后 ４ ２ ３ ３ ２ ４） １ １
正交试验设计的基本步骤
3.1正交表——正交拉丁方的自然推广
①将上述用正交拉丁方安排的4因素3水平的试验,编上 试验号,列成另外一种形式,即表11-5所示的形式,就成 为1张正交表L9(34) (表11-6)。可以由此得到系列正交 表(orthogonal table)。
②正交表与正交拉丁方的关系:
a.正交表是正交拉丁方的自然推广,但并 不都是由正交拉丁方转变而来的。在拉丁方的 安排中行数与列数相等组成正方形,即试验次 数一定等于正整数的平方,(但并不是每个正整 数都有正交拉丁方,如6×6的正交拉丁方就不 存在),而正交表却不一定,试验次数并非都是 正整数的平方。
4.3选择合适的正交表
总原则:能容纳所有考察因素,又使试验号最小。
一般有这样几条规则:
(1)先看水平数。根据水平数选用相应的水平 的正交表。
(2)其次看试验要求。如只考察主效应,则可选 择较小的表,只要所有因素均能顺序上列即可。 如果还需考察交互效应,那么就要选用较大的 表,而且各因素的排列不能任意上列,要按照各 种能考察交互作用的表头设计来安排因素。
3.4正交表的基本性质
(1)正交性。正交表的正交性就是均衡分布的 数学思想在正交表中的实际体现。正交性的主 要内容是:
①任何1列中各水平都出现,且出现次数相等。
②任意2列间各种不同水平的所有可能组合都 出现,且出现的次数相等。
上述正交性的2条内容,是判断一个正交表是 否具有正交性的条件。由上述分析可断定 L8(27)正交表具有正交性。p536
由正交表的正交性可以看出:
①正交表各列的地位是平等的,表中各列之间 可以互相置换,称为列间置换;
②正交表各行之间也可相互置换,称行间置换;
③正交表中同一列的水平数字也可以相互置 换,称水平置换。
第二章§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
2.例 Aa Cb Bc
Bb Ac Ca
Cc Ba Ab
三,超方
如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相 互正交的拉丁方,则称它们为超方.
�
(
)
y.2j.
2 y... 2 p p
同理SS行,SS列 而SSe = SST SS拉丁 SS行 SS列
4.多重比较
Sy
. j.
MSe = p
5.缺失数据时的统计分析
按照使误差平方和SSe为最小的原则来估计它, 注意总的自由度及误差平方和的自由度有变化
二,希腊-拉丁方设计
1.定义 构造两个拉丁方,使得两个拉丁方重叠时, 任一拉丁字母与每个希腊字母相遇一次, 也只相遇一次,这样一对拉丁方称为相互 正交.两个正交的拉丁方可用来设计包含 四个水平数相等且彼此不存在交互作用的 因子的试验问题,这种设计称为希腊-拉丁 方设计
2.模型
yijk = + αi + τ j + βk + εijk i = 1,, p, j = 1,, p, k = 1,, p εijk i.i.d N 0, σ2 ∑ αi = 0, ∑ τ j = 0, ∑βk = 0 j k i
(
)
3.方差分析 假设
H 0 : τ1 = τ 2 = = τ p H1 : 至少一个τi ≠ 0
两个正交的拉丁方可用来设计包含四个水平数相等且彼此不存在交互作用的因子的试验问题这种设计称为希腊拉丁方设计aabbcccbacbabccaab如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相互正交的拉丁方则称它们为超方
§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
例6 本试验问题的响应变量是某种导弹的交流发 电机的AC输出电压,因子及其水平如下: 1)定子的AC线圈的圈数,5个水平分别为 145(A),150(B),155(C),160(D),165(E); 2)转子的铁心体的铁心片数,5个水平分别为 230,240,250,260,270; 3)铁心片表面涂层质量,5个等级分别为 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ 三个因子彼此间都不存在交互作用.
正交实验法
正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方用数字替代拉丁字母：二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。
第八九章 拉丁方设计、裂区设计、正交设计教学内容与组织安排
教学内容与组织安排：第四节：拉丁方设计(latin square design)“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
一、拉丁方简介（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n 阶拉丁方。
例如：A B B AB A A B为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B CB C AC A B为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。
若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。
在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。
（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。
下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。
其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 4 × 4（1）（2）（3）（4）A B C A B C D A B C D A B C D A B C DB C CAABBCDADCDBACABBCDCDADABABCBCDDACADBCBABCDADCDABCBA5 × 5（1）（2）（3）（4）A B C D EBADECCEABDDCEABEDBCAABCDEBAECDCDBEADEABCECDABABCDEBAECDCEDBADCAEBEDBACABCDEBADECCDEBADEACBECBAD6 × 6ABCDEFBFDACECDEFABDCFEBAEABCFDFEABDC二、拉丁方设计方法在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。
第八章拉丁方设计
第八章拉丁方设计
因此，可以将饲料作为主要因素 A，牛场或血统作 为因子 B，泌乳阶段作为因子 C，在试验中同时 考虑因子 A即饲料的作用、因子 B即血统的作用、 因子 C即泌乳阶段的作用；这里，由于因子 B和 因子 C的作用无法相互抵消，且它们可能产生系 统误差，因此，有必要将 B和 C的作用在统计分 析中反映出来；但显然，因子 B和因子C的效应 在方差分析中不是主要的，它们仅仅是为了消除 系统误差而设立的
SE 0.5330.42
查q表，得： q0.05,2,2 =6.09
q0.01,2,2 =14.0
则：
LSR0.05,2,2 =2.56
LSR0.01,2,2 =5.88
饲料
0.05 0.01
q0.05,2,3 =8.28 q0.01,2,3 =19.0 LSR0.05,2,3 =3.48 LSR0.01,2,3 =7.98
对A因子各水平进行累加，得：
A1：27.1 A2：20.2 A3：31.7
x 1 ＝ 9.03
x 2 ＝ 6.73 x 3 ＝10.57
T＝79.0
上述数据为试验结束以后每一种饲料在每一个蛋鸡
组、每一试验期的产蛋量及各个和
对这一类数据一般可用三因子（无互作）的方差分 析法进行分析
作无效假设（A、B、C因子各水平其效应相同）
course SS df MS F
饲料间 22.34 2 11.17 21.08** 蛋鸡组 1.70 2 0.85 1.60 产蛋阶段 1.42 2 0.71 1.34 误差项 1.06 2 0.53
正交实验
正交实验设计一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方用数字替代拉丁字母：二．正交表的概念，方法当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。
因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。
正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
1．正交表正交表是一整套规则的设计表格，用。
L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
9阶正交拉丁方举例
9阶正交拉丁方举例摘要：1.引言2.9阶正交拉丁方的定义和性质3.9阶正交拉丁方的举例4.9阶正交拉丁方的应用5.结论正文：【引言】在组合数学中，正交拉丁方是一种重要的组合设计。
特别是在阶数较高的正交拉丁方中，其应用范围广泛，从密码学、通信技术到计算机科学等领域都有涉及。
本文将以9阶正交拉丁方为例，详细介绍其定义、性质及应用。
【9阶正交拉丁方的定义和性质】9阶正交拉丁方是指一个具有9行、9列的矩阵，其中每个元素都是取自一个大小为9的有限集合。
矩阵中的每个行向量和每个列向量都是互不相同的，且满足行向量与列向量的元素之间相互正交。
正交拉丁方具有以下性质：1.行向量与列向量的元素相互正交。
2.每个元素在行向量和列向量中出现次数相等。
3.任意两个相邻元素的代数和为0。
【9阶正交拉丁方的举例】以下是一个9阶正交拉丁方的例子：```0 1 2 3 4 5 6 7 81 0 3 6 8 52 4 72 3 0 7 4 8 1 5 63 6 7 0 5 24 8 14 85 2 1 067 35 2 4 8 3 7 16 56 4 1 5 8 6 3 2 77 7 6 4 3 2 0 1 58 1 5 6 2 3 7 0 4```【9阶正交拉丁方的应用】9阶正交拉丁方在通信技术、密码学等领域有广泛应用。
例如，在保密通信中，发送方和接收方可以使用相同的9阶正交拉丁方进行加密和解密。
另外，正交拉丁方还可以用于设计高效的数据结构，如哈希表等。
【结论】通过以上介绍，我们对9阶正交拉丁方有了更深入的了解。
作为一种高效的组合设计，9阶正交拉丁方在许多领域都具有重要的应用价值。
第三章常用试验设计-2-随机区组拉丁方正交设计
和方差
2 A
，则 为 随机 模 型，此 时， (1)
,(2)
,,
(k
)
为处理效应的随机样本，(t
)
间相互独立
且均服从
N
(0,
2 A
)
；
ij (t )
相互独立且均服从
N
(0,
2
)
．
变异来源
行间（ ）
列间（ ）
处理间（A） 机误（e） 总变异
表 3-4-5 拉丁方试验的方差分析模式
EMS（行、列固定）
…
Br
行和 Ti.
行平均 xi.
Ti.2
xi2j
j
A1
x11
x12
…
x1 r
T1.
x1.
T12.
x12j
j
A2
x21
x22
…
x2 r
T2.
x 2.
T 22.
x22j
j
Aa
x a1
xa 2
…
xar
Ta.
xa.
T a2.
xa2j
j
列和 T. j
T.1
T.2
…
T. r
T ..
Ti.2
i
xi2j
SS
SSR
SSAB SSA SSB SSA×B SSe SST
MS
MSR
MSA MSB MSA×B MSe
固定模型
2 abKR2
2
brK
2 A
2
arK
2 B
2
rK
2 A
B
2
EMS 随机模型
2
abk
拉丁方实验设计例子
拉丁方实验设计例子【篇一：拉丁方实验设计例子】一、拉丁广场2。
标准拉丁方3。
n阶拉丁方数4。
正交拉丁方5。
拉丁方在安排实验中的应用6。
几种解释7。
拉丁方视觉分析实验8。
拉丁方实验1的方差分析。
拉丁方1定义：使用列的平方矩阵，使每行和每列中的每个字母只能出现一次。
这样的方阵称为r阶拉丁方或RR拉丁方。
2.n阶拉丁方格二、标准拉丁方格1。
定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。
44.标准拉丁方有四个biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao biao bi。
方法：每个拉丁方可以随机排列标准拉丁方的行号或列号，以获得满足要求2的其他拉丁方。
操作：1.选择一个标准的拉丁方，用行号或列号对其进行编号；2.通过不同的排列获得固定的行号和列号。
有n！物种3修复在第二步中获得的N！每个正方形的列号和第一行号由其他行（n-1）的不同排列生成！3阶和N阶的拉丁方数为4计算总的s（N-1）！K是标准拉丁方的数量。
示例：3=576个3阶和3:12（12）4阶拉丁方。
正交拉丁方各出现一次）4。
正交拉丁方定理：在NxN平方中，当n （>2）是素数或素数的幂时，有n-1个正交拉丁方。
特殊情况：当n=2时，没有n=3，当n-1=2，当n=4时，有n-1=3：当2n=5时，有n-1=4，当n=6时，没有：当n=7时，有n-1=4，当n-1=6和n=8时，n-1=7:23x3，4x4正交拉丁方系统3x4x4iiii12312341234112342312214324321323134124321343212143412 v.拉丁方在安排试验中的应用示例1：为了研究三种不同的ABC水稻品种对亩产量的影响，有必要安排“单因素三水平”试验，在相同精度下减少实验次数；在相同的测试次数下，可以提高结论的准确性。
第三章 常用试验设计-2-随机区组 拉丁方 正交设计
（3-4-8）
来检验．若其中一个不显著，试验变为单因素随机区组试验；若两个都不显著， SS 、 SS 、
SSe 及其自由度合并，变为单因素完全随机试验．
重复拉丁方试验的方差分析
【例 3-4-3】 A、 B、 C、 D 四个棉花品种，在 U1 和 U 2 两地各进行一次 4×4 拉丁方试 验， U1 为麦行间套种的棉花， U 2 为麦后播种的棉花，两地播期差 48 天．小区计产面积为 49m2，其田间排列和皮棉产量（ kg）列于图 3-4-2 ，试作方差分析．
abK
2
2 R
abk
2
2 R
MSA MSB MSA×B MSe
2 2 brK A 2 2 arKB 2 2 rK A B 2
2 2 2 r A B br A
2 2 2 r A B ar B
2 2 br A
2 2 2 r A B arKB
• 应用拉丁方设计，较随机 区组设计更进了一步，它 可以从行和列两个方向进
A B C
B A D
C E A B D
D C E
E D B
行局部控制，使行列两向
皆成区组，以剔除两个方 向的系统误差，因而有较
D E E C
A C B A
高的精确度和准确度
• 拉丁方设计的主要优点在于试验的精确性较高，拉丁方设计 在不增加试验单元的情况下，比随机区组设计多设置了一个 区组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从试验误差 中分离出来，因而试验误差比随机区组设计小，试验的精确 性比区单位组设计高．
区组 B 因素 A
B1
B2
„ „ „
Br
行和 Ti.
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造刘秀梅【摘要】引入拉丁方的概念,介绍了拉丁方和正交拉丁方在实际中的应用,并给出它们的构造方法.【期刊名称】宁德师范学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2010(022)004【总页数】3【关键词】拉丁方;正交拉丁方;构造;应用组合数学是一门很古老的学科,人们对它的兴趣和研究颇早,它起始于数学游戏,例如中国古代的游戏九连环,起初只是研究娱乐或审美要求所涉及的组合问题.近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支.拉丁方和正交拉丁方是组合数学中的一个重要课题,在实际应用中有着重要的作用.1 拉丁方和正交拉丁方定义1 由1，2，…，n 构成的n×n 方阵(aij）n×n,要求每行及每列1，2，…,n 各出现一次,这样的方阵称为拉丁方.定义 2 设 A1=（aij（1））n×n，A2=（aij（2））n×n 是两个n×n 的拉丁方.若矩阵（aij（1），aij（2））n×n 中的n2 个数偶（aij（1），aij（2））互不相同，i，j=1，2，…，n，则称 A1和 A2正交,或称 A1和 A2是互相正交的拉丁方.任意的正整数n都存在n阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方.1782年,欧拉提出了一个著名的欧拉猜想——不存在n=4k+2阶的正交拉丁方,直到1900年法国的塔利证明了欧拉猜想n=6对是正确的,到1960年印度数学家玻色等证明了对于2和6以外的其他4k+2型数欧拉猜想都不正确.2 拉丁方和正交拉丁方的应用拉丁方的应用起始于20世纪早期,它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中,拉丁方在实际应用中非常广泛.其中一个很重要的应用是合理安排实验.例如,1,2,3,4这4种品牌的汽车轮胎磨损测试,若动用编号为A,B,C,D的4辆小汽车参加试验,由于同一牌子的轮胎在不同部位,不同车的磨损程度有差别,为了使试验次数少且均衡,可以安排如下：如果同时要考虑4种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损,则还要求4种车闸在4辆车及4个不同位置各出现一次.当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次.车闸的实验安排如右：上述两个矩阵为正交的拉丁方，则车轮与车闸的配合试验可安排如下：拉丁方在无线通信仿真设计中也有着很重要的作用.在无线通信系统设计中,仿真链路可变的参数种类繁多,而每种参数又可以取多个水平值,因此一个完备的遍历考察有巨大数目的状态空间,仿真评估往往成为不可能完成的任务.利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值,组成特定的考核状态空间,使得工作量呈几何级数下降,仅用较少的实验次数就能够达到近似于全遍历状态空间的效果.[1]此外,拉丁方还可用于工作分配、信息处理、安排循环赛程，甚至应用于大型并行系统的处理器调度.3 拉丁方与正交拉丁方的构造拉丁方的构造很容易，只要调换任意两个数字的位置或把每一行由前一行循环置换即可得到.下面主要讨论正交拉丁方的构造.3.1 求给定n阶拉丁方的正交侣定义3 由1，2，…，n构成的n阶拉丁方A中，若n个两两不同行也不同列的位置上出现了所有的数字，则称这n个位置是一个截态.若A有n个两两无公共位置的截态,则称A有个截态分解.[2]对于一个拉丁方，“有截态分解”和“有正交侣”是等价的.设n阶拉丁方A的n个两两无公共位置的截态分别是T1，T2，…，Tn把截态Ti的元改为i.i=1，2，…，n.得到的矩阵B即为A的正交侣.在上述矩阵A即有截态分解,T1用*表示,T2用d表示,T3用w表示,T4用Δ表示,则可得Α的正交侣Β为：3.2 对给定阶数n求一组正交拉丁方若n=Pa,且n≥3，其中P是一个素数，a是正整数,则存在n-1个互相正交的n 阶拉丁方.例如,4,5,7,8,9等阶数的拉丁方,此类拉丁方可以用以下方法构造正交拉丁方:设F=｛a1 ，a2，…，an ｝是有限域，其中an=0,则n-1 个相互正交的拉丁方如下,设Ak=，k=1，2，…，n-1.a ij(k)=ak▯ai+aj，i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，n-1.其中,“+”和“g”分别是域的“加”和“乘”法运算.下面以构造4阶的正交拉丁方为例：设 F=｛1，a，1+a=a2，0 ｝,则可得：阶数较高的正交拉丁方可用以下方法由阶数低的正交拉丁方得到：定理1 设A1，A2是一对m阶的正交拉丁方,B1，B2是另一对n阶的正交拉丁方，则是一对mn阶的正交拉丁方.例如,15阶正交拉丁方可用3阶和5阶正交拉丁方构成.对于正交拉丁方的构造,人们想出了各种各样的方法，其他方法可见文献[1][5][7].参考文献：[1]刘栋,周卢涛.正交拉丁方在无线通信仿真中的应用[J].计算机仿真,2002（5）：143-146.[2]康庆德.拉丁方和正交拉丁方 [J].自然杂志,1987（9）：605-610.[3]卢开澄,卢华明.组合数学 [M].北京：清华大学出版社,2006.[4]屈寅春,毛珍玲等.优美的均衡组合结构—从均衡组合问题谈正交拉丁方[J].无锡职业学院学报,2010（9）:56-58.[5]林淑飞.一种双偶数阶正交拉丁方的构造方法[J].云南民族大学学报,2010(9):265-268.[6]丁颂康.对称拉丁方的正交性和一类赛程安排问题[J].上海海运学报,2002（3）：82-85.[7]陶照民.偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法[J].应用数学学报,1983（3）:276-281.E-mail：meililiumei@【文献来源】https:///academic-journal-cn_journal-ningde-normal-university-natural-science_thesis/0201250218994.html。
组合_chapt10_16拉丁方
3 1 2 p( A) 1 2 3 2 3 1
p(A)性质讨论(补充)
1. 若A是拉丁方, p是置换, p(A)是拉丁方吗? p(i)在每行每列只出现一次. 2. 若A是拉丁方, 则A与p(A)是否正交? A与p(A)组成的数偶只有: (i, p(i)) 3. 若A=(aij)与B=(bij)正交, 则p(A)与B是否正交? 由于p是一一映射,所以 ( a, b ) 在 (aij, bij) 只出现一次 ( p(a) , b ) 在 (p(aij), bij) 只出现一次
0 2 4 1 3 1 2 3 4 3 4 0 1 0 1 2 3 2 3 4 0 4 0 1 2
p=5,k=1 p=5,k=2 p=5,k=3 p=5,k=4 每行分别左移1,2,3,4格 0 1 2 3 2 3 0 1 p阶方阵A1,A2,…,Ap-1: 0 1 2 3 ( k ) Ak = (aij )p×p, k=1,2,…,p-1. 2 3 0 1 ( k ) aij = k· i + j mod p, i, j[0,p-1] p=4, k=2 定理: 设p为素数, 则N(p) = p-1.
记N(n)为两两正交的n阶拉丁方的最大个数.
定理1: 若n>1,则N(n)n-1.
定理2: 若n=p, p是素数, 则N(n)=n-1.
定理3: N(4)2, N(8)2. 定理4: 若n是奇数, 则N(n)2. 定理5: 若N(m)2,N(n)2, 则N(mn)2.
推论6: 若n2且n4k+2, k0, 则N(n)2.(?) Euler(1707~1783)猜测: N(n)=1对任意n=4k+2, k0(即n=2,6,10,14,…)
用循环矩阵构建正交拉丁方
Ｐ １， ３ ｌ， ５ Ｐ １， ７ １ ， ９ （２ １， ４ ｌ） （６ ｌ， ８ １ ）
ｐ ８ ９ ｌ， １ （， ， ０ １） Ｐ １， ３ ｌ， ５ （２ ｌ， ４ １） ４ ３ ２ ｌ ０ ６ ３ Ｏ ２ ４ Ｐ ４ ５ ６ ５ ） ５ Ｐ ８ ９ ６ ０ １） （， ， ， ７ （， ， ， １ １１ ５ （，１ ， ） ２ ４ Ｐ１ ５ ６ ７ ４ Ｐ Ｏ １２ ６ ３ ２ ０ ３ ６ （， ， ０ ） ３ ５ ， Ｐ（， ， ０ １） Ｐ １， ３ １ ， ５ Ｐ １， ７ ｌ， ９ ８ ９ １， １ （２ １， ４ １） （６ １ ， ８ １） ， ４ Ｐ ４ ５ ６ ７ （， ， ， ） ｐ ８ ９ １， Ｐ １ ， ３ １ ， ５ Ｐ １ ， ７ ｌ， ９ Ｐ（， ， ， ） （， ， ０ １） １ （ １ ， ４ １） ２ （６ １， ８ １ ） ０ １２ ３ 引 Ｑ ４ ５ ６ ７ （， ， ， ） Ｑ ８ ９ １， Ｑ（２ １， ４ １ ） Ｑ（６ １， ８ １ ） （， ， ０ １） １ １， ３ １， ５ １ ， ７ １， ９ Ｑ（， ， ， ） Ｏ １ ２ ３ Ｑ（， ， ０ １） Ｑ １， ３ １ ， ５ Ｑ（６ １， ８ １ ） ８ ９ １， １ （２ １， ４ １ ） １ ， ７ １， ９ Ｑ ０ １ ２ ３ （， ， ， ） Ｑ（， ， ， ） ４ ５ ６ ７ ａ １， ３ １ ， ５ ａ（６ １ ， ８ １ ） （２ １， ４ １ ） １， ７ １ ， ９ Ｑ ０ １ ２ ３ １ Ｑ（， ， ， ）６ ４ Ｑ Ｏ ， ， Ｏ １ （， ， ， ） ２ ４ ３ ４ ５６ ０ ５ ６ ７ ２ （ ９３ ｌ １） ８５ ｌ ， Ｑ（６ １ ， ８ １） １， ７ １ ， ９ Ｑ（， ， ， ） ０ １２ ３ Ｑ ４ ５ ６ ７ ２ Ｑ（， ， ０ ， １５ Ｑ（２４ ３ １， ５ （， ， ， ） １， ４ ３ ４８ ９ ｌ １ ３ １ １ ， ２ Ｏ １） ５ ６ Ｏ １） ６ ＱＯ １２ ３ （， ， ， ） Ｑ（， ， ， ） ４ ５ ６ ７ Ｑ（， ， Ｏ １） Ｑ（２ １， ４ １） Ｑ １， ７ １， ９ ８ ９ ｌ， １ １， ３ １， ５ （６ １ ， ８ １）
便构成了正交拉丁方
报告人
目录
1
正交设计原理 正交表构造和性质
2 3 4
正交设计的基本程序
文献阅读
正交试验起源
1952年日本的田口玄一运用L27(318)正交表进行正交 试验获得成功后，正交实验设计在日本的工业生产中迅 速推广，取得巨大的经济效益。 在科学研究、工业化生产和工程化应用过程中，经 常遇到多因素、多指标、多水平试验问题，实验方案设 计得好，可以达到事半功倍的效果。否则，试验次数急 剧增加，而且实验结果仍不能令人满意，时间、人力、 资金等方面都造成极大的浪费。
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 3 1 2 2 3 1
11 22 33 23 31 12 32 13 21
把正交拉丁方中的前列作为因素C，后列作为因素D， 然后与因素A、B均匀搭配，构成4因素3水平正交表。
10
正交表的构造：以素数为水平的正交表
素数5有4个 拉丁方，素数7有 6个拉丁方，…。 由上述方法可以 构造出以素数为 水平数的正交表 L25(56),L49(78)
2
正交设计原理
每因素设置三水平，寻求一个最优化组合： 温度：640℃，650℃，660℃
原料配比：5wt％，10wt%，15wt%
保温时间：15min，30min，45min
3
正交设计优变量法 (b)正交设计法
图(a),A3和C1水平出现6次，A1，A2，C2，C3和B3水 平只出现一次，试验点布局不合理，试验结果的代表性 就减弱，甚至把最优组合漏掉。 图(b)中各因素各水平均出现3次，均衡分散，比较好 的代表了27组试验的情况。
11
正交表的构造：二水平正交表 将Hadamard矩阵(H2)用直积方法，便可得到二水平正交表。 将H2与H2进行直积运算
第4章拉丁方试验设计与分析
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
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1. 3 阶正交拉丁方(2 个)
1 2 3
1 23 31 12
2 123 312 231
2. 4 阶正交拉丁方(3 个)
1 1234 2143 3412 4321
2 1234 3412 4321 2143
3 1234 4321 2143 3412
3. 5 阶正交拉丁方(4 个) 1
12345 23451 34512 45123 51234
6 12 3 45 6 7 71 2 34 5 6 67 1 23 4 5 56 7 12 3 4 45 6 71 2 3 34 5 67 1 2 23 4 56 7 1
5. 8 阶正交拉丁方(7 个)
1
12345678 21436587 34127856 43218765 56781234 65872143 78563412 87654321
4 1 23 4 56 7 5 67 1 23 4 2 34 5 67 1 6 71 2 34 5 3 45 6 71 2 7 12 3 45 6 4 56 7 12 3
5 1 2 34 5 67 6 7 12 3 45 4 5 67 1 23 2 3 45 6 71 7 1 23 4 56 5 6 71 2 34 3 4 56 7 12
2 12345 34512 51234 23451 45123
3 12345 45123 23451 51234 34512
4 12345 51234 45123 34512 23451
(Hale Waihona Puke 阶正交拉丁方: 无)4. 7 阶正交拉丁方(6 个)
1
2
1 23 4 56 7
1 2 34 5 67
2 34 5 67 1
+ － ＋
－ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
+ + + －
9 10 11 12
－ ＋ － －
＋ － ＋ －
－ ＋ ＋ －
＋ ＋ － －
＋ － ＋ －
－ ＋ ＋ －
＋ ＋ ＋ －
＋ ＋ － －
＋ － － －
－ － － －
－ － ＋ －
更多的正交设计可参考：《试验的设计与分析》，王万中，茆诗松编，1997 年，华东师范大学出版社。
5 12345678 43218765 87654321 56781234 65872143 78563412 34127856 21436587
7
12345678 34127856 65872143 87654321 21436587 43218765 56781234 78563412
6 12345678 65872143 43218765 78563412 34127856 87654321 21436587 56781234
2 12345678 56781234 21436587 65872143 78563412 34127856 87654321 43218765
3 12345678 78563412 56781234 34127856 87654321 21436587 43218765 65872143
4
12345678 87654321 78563412 21436587 43218765 56781234 65872143 34127856
只介绍非 2k 型的 Ln (2n−1) . 下面是对应于 n=12, 20, 24 的”生成行”. 1) n=12: + + － ＋ ＋ ＋ － － － ＋ － 2) n=20: + + － － ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － － ＋ ＋ － 3) n=24: + + + + + － ＋ － ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － ＋ － ＋ － － － － 下面以 n=12 的情况为例来说明. 按上述的方法得到一个 L12 (211) 表如下. 由表中 可以看出, 当给定第一行后, 第 2---11 行的每一行是由前一行元素左移(将前一 行的第一个元素移到最右端)得到的, 最后一行全为“–”号．
3 4 56 7 12
3 45 6 71 2
5 6 71 2 34
4 56 7 12 3
7 1 23 4 56
5 67 1 23 4
2 3 45 6 71
6 71 2 34 5 7 12 3 45 6
4 5 67 1 23 6 7 12 3 45
3 12 3 45 6 7 45 6 71 2 3 71 2 34 5 6 34 5 67 1 2 67 1 23 4 5 23 4 56 7 1 56 7 12 3 4
一些 2 水平正交表的循环生成方法
一些 2 水平正交表 Ln (2n−1) 可以用”循环生成”的方法构造出来. 其方法是: 先用 某种特殊的算法构造出第一行的 n－1 个元素, 然后以下的 n－２ 行的每行由前一行的 元素依次向左移一格(前一行的第一个元素移到最右端)得到, 最后添加所有元素均 为－1 的一行, 便得到一个 Ln (2n−1) . 由于 2k 型的正交表用”半分法”容易得到, 我们将
L12 (211 ) 表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 ++－+++－－－ + － 2 +－＋++－－－＋ － ＋ 3 － ＋＋+－ －－＋－ ＋ ＋ 4 ＋＋＋－－－＋－＋＋ －
5 6 7 8
++－－－ +－++－
+ －
－
－ － －
－ － ＋
－ ＋ －
＋ － ＋
－ ＋ ＋
＋ ＋ －