第五章 角动量
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
第五章角动量定理
p是动量， 是动量与径向夹角。
角动量定理
Mz
dJ z dt
（右手法则为正）
直角坐标系中， Jz可表示为
p py cos px sin
Mz=0,角动量守恒
J z p py cos px sin x py y px
积分形式
t2
M zdt
t2 Jzdt J z2 J z1
§5.4 有心力 掌握有心力场中运动的基本方程；利用有 效势能曲线，定性讨论运动轨道；利用基本方程，解出行 星的轨道方程。
§5.1 质点的角动量定理
一. 力矩
以二维 平面纯转动为例。
z
f
外力 f 作用于质点m，考察
其作功与角位移d的关系。
m
在极坐标系中对纯转动作功
O
x
dA f dr ( f eˆ f eˆ ) (d eˆ d eˆ )
哥白尼(N. Copernicus)日心说
Portrait, 1580, Toruń Old Town City Hall
第谷(Tycho Brahe)的观测数据，开普勒(J. Kepler)的分 析拟合。
Internet Keplaw
开普勒行星运动三定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之 一。轨道定律
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 面积定律
各行星公转周期的平方正比于其轨道半长轴的立方。 周期定律
二. 万有引力定律 牛顿提出平方反比引力解释开普勒定律。
设行星绕日轨道近似为圆周，由面积定律，必是匀速圆
周运动，加速度 a v2 r
注意到 v 2r ，并利用开普勒第三定律 T r3/ 2
f f
f
O Larm
大物力学第五章 角动量
θˆ
ˆ r
ˆ r
θˆ
方向 方向
z方向
& m( && − rθ 2 ) = f ( r ) r & && m( 2rθ + rθ&) = 0 && & mz = 0 z = 0
v F
Ｏ
２、角动量守恒。 角动量守恒。
v v v v ˆ Q M = r × F = r × f ( r )r = 0
v &ˆ & ˆ ˆ &ˆ &ˆ ˆ L = rr × m( rr + rθθ ) = mr 2θ ( r × θ ) = mr 2θ z
2
r θ& =
1 2 l2 & mr + +U(r) = E(常数 ） 2 2 2mr
定义有效势能
l2 U eff ( r ) = + U (r) 2 2mr
1 2 & mr +Ueff (r) = E(常数） 2
1 2 & mr +Ueff (r) = E(常数） 2
万有引力场中的有效势能： 万有引力场中的有效势能：
v r
行列式表示：
θ
v F
O
Lx = ypz − zp y Ly = zpx − xpz Lz = xp y − yp x
3、角动量依赖 、 于参考点的选择。 于参考点的选择。
iˆ ˆ ˆ Lxi + Ly ˆ + L z k = x j v Px
ˆ j y Py
ˆ k z Pz
L v L
O’
v v
角动量守恒：
v &ˆ &ˆ v = rr + rθθ
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
角动量.pdf
i
r ∑ mi ri′
i
与 i 无关
M
r × vC
由
r ∑ mi ri M
r ∑ mi ri′ M
∑
i
r r r r ri ′ × m i v c = M rc′ × v c = 0
质心对自己的位矢
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
r p1
i i i
r r r ri = rc + ri′ Q r r r v i = v c + v i′
有'：对质心 无'：对参考点
rr r r1rc r 2
r cp2
r ri′ θ θ
rr p pii
∴
与i无关
r r r r L = ∑ (rc + ri′) × m i v i
i i i
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。 转运动的强弱。 *必须指明参考点， 必须指明参考点，角动量才有实际意义。 角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
r r r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi
系统内所有质点对同一参考点 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和 同一参考点角动量的矢量和
J = ∫ r 2dm 积分元选取： 积分元选取：
λdl
J = ∫ r dm
2
线密度： 线密度： λ , 线元： 线元： d l
面密度： 面密度： σ , 面元： 面元： dS
体密度： 体密度： ρ , 体元： 体元： dV
第角动量角动量守恒定律PPT课件
(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
第23页/共29页
机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
第9页/共29页
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
第10页/共29页
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处
第5章角动量角动量守恒定律
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
第五章 质点的角动量 角动量守恒定1
第五章 质点的角动量 角动量守恒定理§5-1 质点的角动量 角动量定理一 质点的角动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有用的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量而v 是质心的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为角动量。
下面就单个质点这一特殊情况来定义角动量，以后推广到质点系统。
假设 有一质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置矢量为r 如图()15-所示图 ()15-定义这个质点对原点0的角动量为v r p r L m ⨯=⨯= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置矢量2）其大小 θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹角，它的方向垂直与r 与p 所组成的平面，并由右手螺旋法则确定,见图（5-1）3） 我们也可将L 的大小表示为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故角动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的角动量与位置矢量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。
5） 在国际单位制中，角动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表示为J ·s二质点的角动量定理质点在运动时导致角动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ⨯= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dtd r=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的角动量随时间变化率dtd L等于位置矢量r 和质点所受的合外力F 的矢量积。
第5章 角动量
M z xFy yFx
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量 注意. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
Mo M1o M2o 矢量和
M z M1z M 2 z 代数和
8
课堂练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力 mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
dt
14
或由 M r F 直接计算力矩
r a costi b sintj dr v a sinti b costj dt dv a2 costi b2 sintj a dt
2 M r F mr a m r r 0!
方向垂直于轴，其效果是改变 轴的方位，在定轴问题中，与 轴承约束力矩平衡，不影响物 体绕轴转动状态。
第二项：
M 2 r F
方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力 对轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量： M z r F
7
即：
i j k Mo r F x y z Fx F y Fz i yFz zFy j zFx xFz k xFy yFx
M r F o
v r
F
所以小球对O 点的角动量守恒。
m vr m v0 r0
2 2
F
2
v r
r0 2 0 mr mr 0 0 r 思考: 拉力所做的功是多少?。
22
v0 r00
[例3] 卢瑟福 粒子散射实验与有核模型。已知 粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度 v0 射向一 质量为 m ，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量 垂直距离为d，称为瞄准距离。设 m m ，原子核 可看作不动。试求 粒子与重核的最近距离 rs。 v0
大学物理 第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
v 1 mM
m2v02 k (m M )(l l0 )2
sin
mv0l0
l m2v02 k (m M )(l l0 )2
试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?
o
v0
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，体积和形状都不 发生改变的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
力矩为零的两种可能
a) 合外力为零, 质点不 受外力作用. b) 合外力不为零, 合外 力是有心力.
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量
定义: 组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和.
L Li ri pi ri mivi
大学物理学
第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律 5－2 刚体的定轴转动 5－3 刚体定轴转动中的功能关系 5－4 刚体进动 5－5 对称性和守恒定律
大学物理学
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
5－1 角动量与角动量守恒定律
一1. 、质质点点的的角角动动量量(an定gu理lar和mo角m动ent量um守) 恒定律
等都相同．
刚体平动 质点运动
大学物理学
第五章角动量
L Li ri pi ri mi vi
i i i
对质点系中的第 i 个质点,有 dL Mi i dt 其中
M i M i外 M i内
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M i内 M i外
Lz ri mi vi sin i
2.质点系对轴的角动量定理
质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
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第五章 角动量 关于对称性
dLi d M iz ( ri m i v i sin i ) dt dt
对质点系
Miz Mi外z Mi内z d M i内z M i外z ( ri m i v i sin i ) dt
d ( ri m i v i sin i ) dt
M i内 z M i 外 z 而 M i内 0 M i外z
Mi内z 0
d d ( ri mi v i sin i ) Lz dt dt
——称质点系对z 轴的角动量定理.
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对质点系，有
dLi dt
第五章 角动量 关于对称性
M i内 M i外
dLi dt
2.内力的力矩
因质点i与质点 j 间的相互
作用力关系为
Fij F ji
O
rj
d
ri
j
j
i
i
Fij
且二力到参考点O的垂直距离相等，
F ji
故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零.即
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第五章 角动量 关于对称性
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
大学物理 第5章课件全
Lrp
M
rr
F
m
大小： r F rF sin Fd
方向：服从右手螺旋法则 2、力矩 1) 对参考点的力矩
dL r F dt
F
r
o
m
d
定义： M r F
大小： Fd Fr sin 方向： 垂直于r 和F组成的平面 服从右手螺旋法则
L
实际意义
f
f
z
等效
r
o R
r
df
dm
o
半径 R ，质量 m 的匀质圆盘，与桌 面间摩擦系数 µ ， 求摩擦力矩
简化模型：
长 R ，线密度 kr 总质量 m 的细杆
本讲内容：三个基本概念 1.角动量 质点 质点系
同学们好！
第五章 角动量 角动量守恒定律
角动量 转动 惯量 角动量 变化率 力矩
角动量 定理
角动量守 恒定律
空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律 重要性：
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。 学时：6
§5.1
一、角动量
角动量
Lz Liz ri mi ri mi J
2 2 i
式中
J ri mi
2 i
i
i
刚体对轴的转动惯量
对质量连续分布的刚体：
z
v
dLo r dmv
2 dLz r dmv dm r
刚体对z轴的总角动量为：
o r
dm
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
第5章角动量
Lo r mv sin r mv
O
r
r A
p mv
9
说明： 若
M外 0
则
L 常矢量
质点角动量守恒定律
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况： ⑴ 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。 ⑵ 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总 外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。 ⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。 2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。 3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。 例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量
Fi
1.质点系的角动量定理 mi ri rj L Li ri p f ij i i f ji mj d Li ri ri ( Fi f ij ) rj dt i j Fj O dL ri ( Fi f ij ) M 外 M 内 dt i i j M M i内 = (ri f ij ) M 外 M i外 ri Fi 内
匀变速定轴转动
1 2 x x0 v0t at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
v v0 at
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
24
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.用角量描述 角坐标 (t ) 角位移
转动平面
B
vA
第五章 角动量守恒
M O = d LO /d t = 0
由两个相互作用的质点构成的孤立体系,角 动量守恒： r r r r r1 × p1 + r2 × p2 = 常矢量
d r r d r r ( r1 × p1 ) = − ( r2 × p2 ) dt dt r r r r r r M1 + M2 = r1 × f1 + r2 × f2 = 0
对Z轴的力矩
r r Mz = k ⋅ M
中学的表达式：对O点的力矩M
r M
M = Fd = Fr sin α
o
r r
r F
α
5-2-2 质点的角动量定理 5-2-2
r r r dB r dA d r r * 微分公式 (A × B) = A × + ×B dt dt dt 考虑： r r r r dp d r r r dL d r r = = (r × mv ) dt r × ( m v ) + r × dt = r × F dt dt r r r F r dL v M= 质点的角动量定理 dt
Sun
r
L在某方向(如z轴)的投影为对该轴的角动量:
Lz = k ⋅ L = k ⋅ (r × p) = xp y − yp x
可见,Lz完全由r和p在垂直于z轴的平面内的分量确定 当质点m绕z轴作半径r的圆周运动, x =rcosθ, y =rsinθ,即得:
LZ = m( x dy dx dθ − y ) = mr 2 = Iω dt dt dt
§5-2 力矩 质点的角动量定理
本节内容：
5-2-1 力矩 5-2-2 质点的角动量定理 5-2-3 质点在有心力作用下的运动
5-2-1 力矩 5-2-1
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第五章角动量.关于对称性
习题解答
5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫星的角动量守恒。
近地点、远地点的速度与矢径垂直。
设近地点的速度为v1，矢径为
r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律
5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动，其中a、b及皆为常数。
求此质点所受的对原点的力矩。
解：已知
所以
根据牛顿第二定律，
有心力对原点的力矩：
5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时
间。
设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。
求t=2时该质点所受的对原点的力矩。
所受的对原点的力矩。
解：因单位质量m=1 且
又t=0时
当t=2s时
对原点的力矩
5.1.4地球质量为
6.01024kg，地球与太阳相距km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。
求地球对于圆轨道中心的角动量。
解：地球绕太阳的速率
角动量
=2.65kg.m2/s
5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。
解：由得
对原点的角动量
5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。
解：由m=1
积分：
t=2s 时
5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。
如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。
所以小球的角动量守恒。
根据牛顿第二定律
由动量定理拉力作的功
5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为,
其中a、b和是正常数。
试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
证明：（1）运动学方法
角动量
为常矢量，所以守恒。
（2）动力学方法
所以对原点角动量守恒。
5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面与固定点A相连。
弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm 。
最初小球的位置及速度如图所示，当小球的速率为
时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率及初速率
解：以小球为隔离体，受重力，水平面支持力，；弹性绳的张力，指向点。
设A、B两点距离为d
当d0.6m时, T=0;当d>0.6时
T=K(d- 0.6)K=8N/m
小球受到的对A点的合力矩为
零，所以小球B对A点的角动量
守恒。
初始：
A和B距离最大时，速度v垂直
AB，角动量
L=mvd
在此过程中只有保守力作功，所以物体系的机械能守恒
解得：;v=0.33m/s
5.1.10 一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动。
最初，，后来继续向下拉绳使小球以沿水平圆周运动。
求小球最初的速度、最后的速度以及绳对小球做的功。
解：以小球为隔离体。
受重力，绳的张力，如图所示
（1）求
由牛顿定律得:
所以
(2 ) 求v2：因拉动过程对轴的角动量守恒
则
由牛顿定律消去
（3）求A由动能定理
5．2．1 离心调速器模型如图所示。
由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内绕AB 逆时针作匀速圆周运动，当角速度为时，杆张开角。
杆长为，杆与转轴在B点相交。
求（1）作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩。
（2）小球在图示位置对对A点、B点及AB轴的角动量。
杆质量不计。
解：作用于小球上的力对A、B及AB轴的矩:
右球向外
向里
右球向里
（2）角动量（右球）平行轴向上
纸面内向右上
向上为正
5．2．2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。
用轻绳栓住轻弹簧两端使它处于压缩状态将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码。
另一砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止。
燃断轻绳，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离，求砝码
升起的高度。
已知弹簧劲度系数为k，被压缩的长度为0。
解：（1）弹开过程（假定很小），角动量守恒
得
机械能守恒得
（2）砝码上抛过程，机械能守恒
得
说明：计算中因假定很小，所以（1）中忽略了系统整体势能的变化。
5．2．3 两个滑冰运动员的质量个为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m。
当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。
（1）在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住之后是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？（3）绳长为5m时，绳内张力多大？（4）二人在收拢绳索时，各做了多少功？（5）总动能如何变化？
解：（1）抓绳前后各自对绳中心的角动量
抓绳前后速率不变，角动量相等。
（2）收绳后的速率：因收绳过程对中心角动量守恒L1=L2
（3）绳长5米时，绳的张力
（4）收绳过程各做了多少功
A=
（5）总动能增加。