一个不定积分问题(用分部积分得递推公式)
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求⎰xdx x 4sin 设⎰=xdx x I n
n sin ， 则⎰-=dx x x x I n n )sin (sin
1
⎰-=
-)cos (sin sin
1
x x x xd n
⎰⋅----=--xdx x x x x n x x x x n n cos ))(sin
cos (sin )1()cos (sin sin 2
1
⎰⋅--⋅-=--xdx x n x x x x n n n
cos sin )1(sin cos sin 1
1
⎰⋅-+-xdx x x n n 2
2
cos
sin )1(
⎰----⋅-=)(sin sin
)1(sin
cos sin
11x xd n x x x x n n n ⎰-⋅-+-dx x x x n n )sin 1(sin
)1(2
2
x n n x x x x n
n n
sin
1sin
cos sin
1
--
⋅-=-⎰--+xdx x n n 2
sin )1(⎰--xdx x n n
sin
)1(
x n
n x x x x n
n n
sin
1sin
cos sin
1
--⋅-=-2)1(--+n I n n I n )1(--
所以x n
n n
x
x x x I n
n n
n sin
1sin
cos sin
2
1
--
⋅-=
-21--+
n I n
n
上述公式作为递推公式，由C x
xdx
I +=
=
⎰22
0得
x x
x x x I 2
2
2sin
4
12
sin cos sin
-
⋅-=
4
2
x
+
所以 x x
x x x I 4
3
4
4sin
16
34
sin
cos sin
-
⋅-=
4
3+x x
x x x 2
2
sin
4
12
sin cos sin (
-
⋅-C x
++
)4
2
即x x x x I 3
4
4sin
cos 4(sin
16
1⋅-=x x x x sin cos 6sin 32
⋅-+C x ++)32