第五章 非线性方程的数值解法

计算结果如下表，其中最后一个结果x10满足精度要求。
-
1 2
n 0 1 2
xn
0.5 0.60653 0.54524
xn xn1
0.10653 -0.61929
n 6 7 8
xn
0.56486 0.56884 0.56641
xn xn1
-0.00631 0.00358 -0.00203
ab （） c 1 取 ，若 f (c) ，则停机，否则转（2）； 2
（2） f (a )f (c) 0，取a1 a，b1 c； 若 若f (a)f (c) 0，取a1 c，b1 b，则得新的有根 区间[a1，b1 ]，并令a1 a，b1 b，转（ ）； 1
♀优点：程序简单，对函数性质要求低，只要连续就
可以了，收敛速度不算太低。 ♀缺点：不能求偶数重根，也不能求复根和虚根。
§5.2 迭代法
♀ 迭代法是一种逐次逼近法，可用来求解代数方程、
超越方程、微分方程、方程组以及求矩阵的特征值等。 存在收敛性及收敛快慢的问题。
♀ 已知非线性型方程的一个近似根后，可用迭代法
。
——5.4
证毕。
※ 为了控制迭代次数，我们给出如下定理。
★定理5.2： 对一切x,若有 ( x) q 1(q为某定数),则有
q 误差估计： xn x xn xn 1 （证略）。 ——5.5 1 q
*
※ 上机时，可利用(5.5)结束运算。
通常取一个非常小的数 0，使 xn xn1 即可。
具有线性收敛性。
en1 ( x)en
显然，( x* )越小，格式xn1 ( xn )收敛的速度越快，
对牛顿法有( x* ) 0，这时 ( x* ) * ( x ) ( x* ) ( x xn )2 2 代入（5.9）得 ( x* ) 2
2.几何意义：
y
x* x2 x1 x0
x
图5－3
牛顿法的几何意义
3.收敛性： 设将所给方程f ( x) 0改写成下列等价形式
f ( x) x x ( x) f ( x) 那么对这一方程建立的迭代格式xn1 ( xn )
显然就是牛顿公式（5.6）。
由于
f ( x) f ( x) ( x) 2 f ( x)
——5.3 为迭代公式， ( x)为迭代函数。 3.迭代序列的收敛性与几何解释： 由xn1 ( xn )得到一个近似根的序列{xn }，当n
时，若xn x*，则称{xn }收敛于x*。
{xn }是否收敛，且是否收敛于f ( x) 0的根，可归结为找直 线y x与曲线y ( x)的交点横坐标，由下图可知，可能 收敛，也可能发散。
使这个根逐步精确化，一直到满足精度为止。
一、迭代公式：
1.改写：将f ( x) 0转化为等价形式x ( x)。 ——5.2
［如］令 ( x) f ( x) x x
2.迭代： 在有根区间[a, b]上任取一点x0 （称为初值），
代入 ( x)，得x1 ( x0 )。 称xn1 ( xn )
第五章 非线性方程的数值解法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 二分法 迭代法 牛顿法 弦截法
引
※非线性方程： ※代数方程：
言
指次数不低于二的代数方程和超越方程。
16世纪：找到三次、四次方程的求根公式； 19世纪：证明了5次以上的一般代数方程无公式解。
※工程中常有此类方程，例如：在风道设计计算 中，
再考察误差en xn x*的性态。 对一般的迭代格式xn1 ( xn )，由
xn1 x* ( xn ) ( x* )
利用微分中值定理知
*
——5.9
*
en1 ( )en
这里 为xn与x 之间的某一点，因而当xn在根x 的附近时， 将有
即误差en1是en的线性函数，这时称迭代过程xn1 ( xn )
有根区间 (2,3) (2,2.5) (2,2.25) (2,2.125) (2.0625,2.125) (2.09375,2.125) (2.09375,2.109375)
*
故取x x7 2.1015625，而x 2.0945515
二、算法与流程图：
1.算法： 取定一个非常小的数 0
三、误差估计定理：（证明略）
给定方程f ( x) 0，设f ( x)于[a, b]上连续，且f (a)f (b) 0， 则由二分法产生序列{xk }收敛于方程f ( x) 0的根x，且 ba xk x k 0 (k 1, 2,) 2

1 如前例误差限为： 7 0.078125 2
证明：设x*是方程x ( x)的根，即x* ( x*)。由微 分中值定理：x * xn 1 ( )( x * xn )( 位于x *，xn之
间），又已知 ( x) q 1，所以：
x* xn 1 q x* xn q 2 x* xn 1 q n 1 x* x0
2.流程图：（略） 3.C－程序：
# include <math.h> # include <stdio.h> # define A 2 # define B 3 float f(x) float x; { float y; y=x*x*x-2*x-5; return(y); }
main() { float a=A,b=B,x; x=(a+b)/2; if(f(x)<=1e-8) printf("The root is %f\n",x); while(fabs(f(x))>1e-5) { if(f(a)*f(x)<0) b=x; else a=x; x=(a+b)/2; } printf("x=%f\n",x); }
通常采用柯氏公式：
1 B 2.51 2lg( ) 3.7 D Re
——5.1
计算管壁的摩擦阻力系数，这实际就是求解方程（5.1）。
※解题步骤： （即求方程f ( x) 0的根）
№1 确定初始区间：
由零点定理，使f (a) f (b) 0，且f ( x)单调。
一般题中给出或画出函数图形或由实际意义得到。 №2 通过二分法求得一个比较粗糙的近似值。
x
n
xn
0 0.5
*
1 2 3 0.57102 0.56716 0.56714
精确解x 0.56714329040978
☆ 收敛速度远高于前一种迭代格式
二、算法与流程图：
1.流程图：（略） 2.C程序：
#include "math.h" #include "stdio.h" #define X0 0.5 #define E 1e-10 double g(x) double x; { double y; y=x-(x-exp(-x))/(1+x); return y; }
即 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 ) 一般地，取初值x x0，有迭代公式 f ( xn ) xn1 xn ——5.6 f ( xn )
这就是牛顿(Newton)法的迭代公式。
♀优点：收敛速度快，可计算复数根。 ♀缺点：需要计算导数值。
※ 上述定理条件可减弱为
( x)在x*上连续，且 ( x* ) q 1。
♀优点：逻辑结构简单
1 3 ln ［例］求x e 在[ ， 2]中的根，取 10 。 2
x
1 ［解］ 取 ( x) e ，当x [ ， 2]时有 ln 2
x
( x) e x e =0.606531， 由定理5.1可知，迭代格式xn 1 e xn 收敛。
这两种过程都收敛吗？
1 ( x) 2 ， ［解］（1）x 1 2 ，g1 x x3 ( x) 2 1， 当x 1.5时， 1 g 3.375 故迭代格式（ ）收敛。 1
（）g 2 ( x) 1 x 1
3Βιβλιοθήκη Baidu
， g 2 ( x)
3x 2 2 ( x 1)
y p1 p0 y=x y=g(x) y y=g(x) p0 y=x

x x0 x1 x* x0 x*
p1

x
x1
图5－2
迭代法的几何意义
二、收敛条件：
★定理5.1： 若函数 ( x)对一切x都有 ( x) q （q为某定数），则上述迭代序列{xn }对任 1
意的初值x 0 均收敛，其极限就是方程x ( x)的根。且 q越小,收敛越快。
en 1
2
en
对(5.7)求导知 于是有
( x* ) f * ( x ) f ( x* ) f ( x* ) 2 en1 en * 2 f ( x )
由此可见，牛顿法的误差en1与en的平方成正比，
由于误差的这一特点而称牛顿法具有平方收敛性。
1 ln ［例］用牛顿法求x e 在[ ， 2]中的根 2 xn e xn 1 xn e xn ［解］xn1 xn exn x exn xn 1 x 取x0 0.5 n n
——5.7
根据上节的结果，则可知牛顿法的迭代公式收敛的一个 充分条件是
f ( x) f ( x) ( x) q 1 2 f ( x)
——5.8
若x*是方程f ( x) 0的一个单根（即f ( x* ) 0，f ( x* ) 0）， ( x* ) 0，可见在单根x*得附近，牛顿 则由（5.7）可知 法恒收敛，且收敛的速度很快。
3 3
，
g 2 (1.5) 1，故迭代格式（2）发散。
§5.3 牛顿法
♀将非线性函数线性化；
在单根附近收敛快，且可计算代数方程的复根。
一、公式及误差分析：
1.公式：
方程f ( x) 0，f ( x)在[a, b]上连续，且f (a)f (b) 0。
用曲线y f ( x)在点( x0 , f ( x0 ))的切线近似代替函数f ( x)， 即取y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )的零点x1作为f ( x) 0的根x* 的近似值。
由q 1，有 lim xn x*，
n
即证明了迭代序列{xn }对任意初值x0均收敛，且极限值即是 方程x ( x)的根。
往证q越小，收敛越快。
对给定的，要使 x* xn q n x* x0 ，只须
nln q ln

x x0
*
ln ，即n

x* x0 ln q
3
4 5
0.57970
0.56006 0.57117
0.34446
-0.1964 0.0111
9
10
0.56756
0.56691
0.00115
-0.00065
［例］为求方程x
3
x 1 0在x0 1.5附近一根，现将
2
方程转化为等价形式且建立迭代公式：
1 1 （1）x 1 2 ，迭代公式xn 1 1 2 g1 ( xn ) x xn 1 1 2 （）x 3 ，迭代公式xn1 g2 ( xn ) 3 x 1 xn 1
※几何意义：
a
x1 a
x*
b x2
b
xk 1 xk ε1
或
f ( x ) ε2
图5－1
二分法的几何意义
用二分法求x3 2x 5 0在（2， 3）之间的根。 ［例］
［解］
n
1 2 3 4 5 6
函数值符号 f(2)=-1<0 f(3)=16>0 f(2.5)>0 f(2.25)>0 f(2.125)>0 f(2.0625)<0 f(2.09375)<0 f(2.109375)>0
№3 利用其它解法求得精度较高的近似值。
§5.1 二分法
一、二分法：
设f ( x)在[a, b]上连续，且f (a)f (b) （设f (a) 0， 0 f (b) 0）， , b)为有根区间，且只有唯一一个根， (a 每次把含根区间逐步分半，检查函数值符号的变 化，以便确定含根的充分小区间。