第五章 非线性方程的数值解法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
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非线性方程组的数值解法
不动点迭代法:根据非线性方程求根的迭代法,将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应,且满足:
(1)非负性:当 A O 时, A 0 ;当A O 时,A 0;
(2)齐次性:对任何 C ,A A ;
(3)三角不等式:对任意 A, B C nn ,都有A B A B ;
(4)相容性:对任意A, B C nn ,都有 AB A B ,
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题:用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果:1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间, 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的,海底 沉积层上界面水平,下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层,经过沉积层的下界面反射后,再折射进入 水中,由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示:
非线性方程的数值解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
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第5页
5.2 二分法(the bisection method)
设f (x)在区间[a,b]上连续, 且f (a)f (b)<0, 那么依据连续函数 零点定理, 方程f (x)=0在(a,b)内最少有一个实根。为简便起见, 不 妨设f (x)=0在(a,b)内只有一个实根p。 1.二分法基本思想
end
end
n=n+1;
if (fa.*fp >0 )
a=p;fa=fp;
第9页
说明: 程序中函数f (x)应预先自定义,并取函数名存盘。以方程 f (x) x3 2x 5 0为例, 自定义一个名cubicf. m函数, 源程序以下: function y=cubicf(x) y=x.^3-2*x-5
else b=p;
n=1;fa=popu(a);flag=0;
end
while (n<=N)
if(flag==1)
p=(a+b)./2;fp=popu(p);
'P=',p
if (fp==0|(b-a)./2< tol)
else
flag=1;break
'Method failed after N
end
这么二分区间[a2,b2]是方程新有根区间, 它被包含在旧有根
区间[a1,b1]即[a,b]之内, 而且其长度仅是[a1,b1]二分之一。
对缩小了区间[a2,b2]再计算其中点 判断f ( p2 )与f (a2 )还是f (b2 )异号。
1 p2 2 (a2 b2 )
Step3: 如果f ( p2 )与f (a2 )异号,则记a3 a2 ,b3 p(2 即取区间[a2,b2]
数值分析非线性方程的数值解法
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数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题,其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根,直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下:1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn),计算下一个近似根。
3.重复步骤2,直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn),其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn),其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下:1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn),计算下一个近似根。
3.重复步骤2,直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快,但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下:1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2,直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
非线性方程数值求解法总结
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(一)非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式:f(x)=02.非线性方程的分类:⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程,次代数多项式;为代数方程,)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根:若存在常数s 使f(s)=0,则称s 是方程(4.1)的根,又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根:若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时,s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论:(1)零点存在定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,那么在开区间(a,b )内至少有一点ξ,使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别:一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法:(1)搜索根方法:①作图法:②逐步搜索法:确定方程根的范围的步骤:步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b],即f(a)•f(b)<0;步骤2 从a 开始,按某个预定的步长h ,不断地向右跨一步进行一次搜索, 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ,则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索,直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -(k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想:含根区间逐次分半缩小,得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时,利用长度趋于零的特点,可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程数值解法详解课件
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例如,对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根,可以先选择一个初始近似解$x_0$, 似解和设置合适的精度要求,以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念,通过迭代过程中不断更新搜 索方向,使得函数值逐渐减小,最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0,计算f(x0)和f'(x0),如果f(x0)不等于0,则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代,直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0;2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0);3. 如果f(x0)不等于0,则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代;4. 重复步骤2和3,直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例,通过选择合 适的迭代法和初值,可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项, 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似,将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程,然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时,停止迭代,输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性,即只要初始点 选择得当,算法能够找到方程的解,且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质,如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下,牛顿法是收敛的, 且具有二阶收敛速度。
非线性方程组数值解法课件
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目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型,描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中,非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中,非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下,拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现,如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法(Davidon-Fletcher-Powell)和 BFGS算法(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵,而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中,BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎, 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
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需要求导数!
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想:用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想:要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例:求 x4 - 4x2 + 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
非线性方程数值解法详解
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1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 (略)
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x,如果不能
时,试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ,则f(1)<0,f(2)>0, f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ,这种求根算法称为 Newton法(切线法),此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ,则当m2时,称α为f(x)=0的m 重根;当m=1时,称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根,则
第五章 非线性方程的数值解法
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二、方程的根,代数方程的定义
定义1 如果有 x 使 f ( x ) 0 ,则称 x 为方程(1)的根, 或称之为函数 f ( x ) 的零点。
*
*
*
定义2 当 f ( x) 为多项式时,即方程为
f ( x) an xn an1xn1 a0 0 (an 0)
称 f ( x) 0 为n次代数方程,当包含指数函数或三角函数等 特殊函数时,称 f ( x) 0 为超越方程。 定义3 如果 f ( x) 可为
从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
给定误差限= 0.5×10-3 ,使用二分法时
误差限为 x x k
*
1 2
k 1
(b a )
只要取k满足
1 2 k 1
1 (b a ) 10 3 即可,亦即 2
3 lg 1 0 k 9.9 7 1g 2
2 k 103
x xk
*
bk a k ba k 1 2 2
bk ak bk 1 ak 1 2 2 2
ba k 1 2
当给定精度ε>0后,要想 x * x k
取k满足
1 2
k 1
成立,只要
(b a ) 即可,亦即当:
lg(b a ) lg k 1 lg 2
例如:x㏒x –1 = 0 可以改写为㏒x=1/x 画出对数曲线y=㏒x,与双曲线y= 1/x,它们交点 的横坐标位于区间[2,3]内
(1) 画图法
y
1 y x
y gx
0 2 3 x
(2) 搜索法
对于给定的f(x),设有根区间为[A,B],从x0=A出 发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节
非线性方程数值解法
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非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0,如果有α使得f(α)=0, 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ,则当m2时,称α为f(x)=0的 m重根;当m=1时,称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
例 研究求 a的Newton公式,证明:对一切 k 1,2,, xk a , Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的,从而迭代过程收敛 .
其Newton公式为 证 因a>0,x0>0,故xk >0 (k=1,2,)
xk 1 1 a ( xk ) 2 xk 1 a 2 ( xk ) a a 2 xk
迭代法的局部收敛性
如果存在α的某个邻域: x-α,迭代过程 xk+1=(xk)对任意初值x0均收敛,则称迭代 过程xk+1=(xk)是局部收敛的.
定理3 设(x)在方程x=(x)的根α邻近有一阶连 续的导数. 若'(α) <1, 则迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛 性 若'(α) >1,则迭代过程xk+1=(xk)发散. 证 由于' (α) <1 ,存在充分小邻域: x-α,使 成立' (x)L<1.当x 时,由微分中值定理有 (x)–α=(x)–(α)=' ()x-α<x-α 故(x),由定理1知对任意初值x0 均收敛
级数
x0+(x1-x0) +(x2 –x1) ++(xk+1-xk)+收敛.即有
lim xk ,α[a, b] k 下面证α是原方程的根.由(x) 可导, 故(x)在[a, b]上连续,对等式xk+1=(xk)两边同时 取极限得α =(α),即α是原方程的根.
非线性方程的5种数值解法及其
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x0 5.803640
x1 5.803645 5
x2 5.803650
0.036秒 -5.80383649910152
表 2:5种数值解法的综合比较
优点
二分法
①算法简单,容 易操作;②近 似根序列一定 收敛于方程的 根;
①与普通的迭
netwon迭 代法相比,收敛
代法
速度快;
②几何意义鲜
取上式中的线性部分,并考虑 fx0,则有:
fx 0 f'x 0 x x 0 0
设 f'x00,那么该方程的解就是:
x1
x0
f (x0) f '(x0)
再把f x 在x 1 附近展开成泰勒级数,并且也取其线性部分有:
fx 1 f'x 1 x x 1 0
③迭代时可能出现 分母为0的情况;
①一介导函数值在有 根区间上存在且连续; ②一介导函数值恒不 为0;③区间端点出 的函数值异号;
①方程能够化成同解 方程的形式;②同解 方程右侧的导函数值 存在且连续,且不能等 于1;
优点
缺点
应用范围
反插值法 ①收敛速度较 迭代法快;
②算法简单易
懂;
①可能出现差商为0 ①函数在有根区间
把前面的3个式子代入到上式中,就可以得到:
x x 0 f'1 x 0 y y 0 2 ff" '3 y y 0 2
令 y 0 ,当 y 0 充分小时,将上式中的拉格朗日余项略去,
有:
x1
x0
f
y0
'x0
那n 么2 时可,同得理迭可代得公:式迭是代:公xn式x是n1:xnff '((xxxn nn1 11))f'yn x n112ff"'xxn n 1 13yn13
非线性方程的数值解法课件
![非线性方程的数值解法课件](https://img.taocdn.com/s3/m/9b3fdc4917fc700abb68a98271fe910ef12dae00.png)
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ,通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ,其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数,但收敛速度较慢,且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行,但收敛速度较慢, 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法,通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快,但需要计算 函数的导数,且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$,其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系,以找到最佳的步长调整策略。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质,例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同,非线性 方程没有统一的解法,需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂,可能存在多 个解或不存在解,也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次,并且没有未知数的幂 ,那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂,例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
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-
1 2
n 0 1 2
xn
0.5 0.60653 0.54524
xn xn1
0.10653 -0.61929
n 6 7 8
xn
0.56486 0.56884 0.56641
xn xn1
-0.00631 0.00358 -0.00203
ab () c 1 取 ,若 f (c) ,则停机,否则转(2); 2
(2) f (a )f (c) 0,取a1 a,b1 c; 若 若f (a)f (c) 0,取a1 c,b1 b,则得新的有根 区间[a1,b1 ],并令a1 a,b1 b,转( ); 1
使这个根逐步精确化,一直到满足精度为止。
一、迭代公式:
1.改写:将f ( x) 0转化为等价形式x ( x)。 ——5.2
[如]令 ( x) f ( x) x x
2.迭代: 在有根区间[a, b]上任取一点x0 (称为初值),
代入 ( x),得x1 ( x0 )。 称xn1 ( xn )
3 3
,
g 2 (1.5) 1,故迭代格式(2)发散。
§5.3 牛顿法
♀将非线性函数线性化;
在单根附近收敛快,且可计算代数方程的复根。
一、公式及误差分析:
1.公式:
方程f ( x) 0,f ( x)在[a, b]上连续,且f (a)f (b) 0。
用曲线y f ( x)在点( x0 , f ( x0 ))的切线近似代替函数f ( x), 即取y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )的零点x1作为f ( x) 0的根x* 的近似值。
证明:设x*是方程x ( x)的根,即x* ( x*)。由微 分中值定理:x * xn 1 ( )( x * xn )( 位于x *,xn之
间),又已知 ( x) q 1,所以:
x* xn 1 q x* xn q 2 x* xn 1 q n 1 x* x0
有根区间 (2,3) (2,2.5) (2,2.25) (2,2.125) (2.0625,2.125) (2.09375,2.125) (2.09375,2.109375)
*
故取x x7 2.1015625,而x 2.0945515
二、算法与流程图:
1.算法: 取定一个非常小的数 0
x
n
xn
0 0.5
*
1 2 3 0.57102 0.56716 0.56714
精确解x 0.56714329040978
☆ 收敛速度远高于前一种迭代格式
二、算法与流程图:
1.流程图:(略) 2.C程序:
#include "math.h" #include "stdio.h" #define X0 0.5 #define E 1e-10 double g(x) double x; { double y; y=x-(x-exp(-x))/(1+x); return y; }
※ 上述定理条件可减弱为
( x)在x*上连续,且 ( x* ) q 1。
♀优点:逻辑结构简单
1 3 ln [例]求x e 在[ , 2]中的根,取 10 。 2
x
1 [解] 取 ( x) e ,当x [ , 2]时有 ln 2
x
( x) e x e =0.606531, 由定理5.1可知,迭代格式xn 1 e xn 收敛。
这两种过程都收敛吗?
1 ( x) 2 , [解](1)x 1 2 ,g1 x x3 ( x) 2 1, 当x 1.5时, 1 g 3.375 故迭代格式( )收敛。 1
()g 2 ( x) 1 x 1
3
, g 2 ( x)
3x 2 2 ( x 1)
——5.3 为迭代公式, ( x)为迭代函数。 3.迭代序列的收敛性与几何解释: 由xn1 ( xn )得到一个近似根的序列{xn },当n
时,若xn x*,则称{xn }收敛于x*。
{xn }是否收敛,且是否收敛于f ( x) 0的根,可归结为找直 线y x与曲线y ( x)的交点横坐标,由下图可知,可能 收敛,也可能发散。
№3 利用其它解法求得精度较高的近似值。
§5.1 二分法
一、二分法:
设f ( x)在[a, b]上连续,且f (a)f (b) (设f (a) 0, 0 f (b) 0), , b)为有根区间,且只有唯一一个根, (a 每次把含根区间逐步分半,检查函数值符号的变 化,以便确定含根的充分小区间。
y p1 p0 y=x y=g(x) y y=g(x) p0 y=x
x x0 x1 x* x0 x*
p1
x
x1
图5-2
迭代法的几何意义
二、收敛条件:
★定理5.1: 若函数 ( x)对一切x都有 ( x) q (q为某定数),则上述迭代序列{xn }对任 1
意的初值x 0 均收敛,其极限就是方程x ( x)的根。且 q越小,收敛越快。
即 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 ) 一般地,取初值x x0,有迭代公式 f ( xn ) xn1 xn ——5.6 f ( xn )
这就是牛顿(Newton)法的迭代公式。
♀优点:收敛速度快,可计算复数根。 ♀缺点:需要计算导数值。
※几何意义:
a
x1 a
x*
b x2
b
xk 1 xk ε1
或
f ( x ) ε2
图5-1
二分法的几何意义
用二分法求x3 2x 5 0在(2, 3)之间的根。 [例]
[解]
n
1 2 3 4 5 6
函数值符号 f(2)=-1<0 f(3)=16>0 f(2.5)>0 f(2.25)>0 f(2.125)>0 f(2.0625)<0 f(2.09375)<0 f(2.109375)>0
3
4 5
0.57970
0.56006 0.57117
0.34446
-0.1964 0.0111
9
10
0.56756
0.56691
0.00115
-0.00065
[例]为求方程x
3
x 1 0在x0 1.5附近一根,现将
2
方程转化为等价形式且建立迭代公式:
1 1 (1)x 1 2 ,迭代公式xn 1 1 2 g1 ( xn ) x xn 1 1 2 ()x 3 ,迭代公式xn1 g2 ( xn ) 3 x 1 xn 1
三、误差估计定理:(证明略)
给定方程f ( x) 0,设f ( x)于[a, b]上连续,且f (a)f (b) 0, 则由二分法产生序列{xk }收敛于方程f ( x) 0的根x,且 ba xk x k 0 (k 1, 2,) 2
1 如前例误差限为: 7 0.078125 2
通常采用柯氏公式:
1 B 2.51 2lg( ) 3.7 D Re
——5.1
计算管壁的摩擦阻力系数,这实际就是求解方程(5.1)。
※解题步骤: (即求方程f ( x) 0的根)
№1 确定初始区间:
由零点定理,使f (a) f (b) 0,且f ( x)单调。
一般题中给出或画出函数图形或由实际意义得到。 №2 通过二分法求得一个比较粗糙的近似值。
。
——5.4
证毕。
※ 为了控制迭代次数,我们给出如下定理。
★定理5.2: 对一切x,若有 ( x) q 1(q为某定数),则有
q 误差估计: xn x xn xn 1 (证略)。 ——5.5 1 q
*
※ 上机时,可利用(5.5)结束运算。
通常取一个非常小的数 0,使 xn xn1 即可。
具有线性收敛性。
en1 ( x)en
显然,( x* )越小,格式xn1 ( xn )收敛的速度越快,
对牛顿法有( x* ) 0,这时 ( x* ) * ( x ) ( x* ) ( x xn )2 2 代入(5.9)得 ( x* ) 2
——5.7
根据上节的结果,则可知牛顿法的迭代公式收敛的一个 充分条件是
f ( x) f ( x) ( x) q 1 2 f ( x)
——5.8
若x*是方程f ( x) 0的一个单根(即f ( x* ) 0,f ( x* ) 0), ( x* ) 0,可见在单根x*得附近,牛顿 则由(5.7)可知 法恒收敛,且收敛的速度很快。
en 1
2
en
对(5.7)求导知 于是有
( x* ) f * ( x ) f ( x* ) f ( x* ) 2 en1 en * 2 f ( x )
由此可见,牛顿法的误差en1与en的平方成正比,
由于误差的这一特点而称牛顿法具有平方收敛性。
1 ln [例]用牛顿法求x e 在[ , 2]中的根 2 xn e xn 1 xn e xn [解]xn1 xn exn x exn xn 1 x 取x0 0.5 n n
由q 1,有 lim xn x*,
n
即证明了迭代序列{xn }对任意初值x0均收敛,且极限值即是 方程x ( x)的根。
往证q越小,收敛越快。
对给定的,要使 x* xn q n x* x0 ,只须