弧长和扇形的面积

2013/5/20
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尝试练习
1、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的l= 8 π ；
2、75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半经
为6
；
3、已知一条弧的半径为9，弧长为
8 π ，那么这条弧所对的圆周角为 8 00
；
王村中学 王亮
2013/5/20
7
解决实际问题：制造弯形管道时，要先按中心线 计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道
所对的扇形面积的计算公式为
王村中学 王亮
nR 2
S扇 形 360
2013/5/20
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生活中的数学
3、（2007，四川内江）如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为 1200，OC 长为8cm，CA长为12cm，则贴纸部分的面积为_1_1__2_π__c_m_ 2
的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l
n R 100900
180
180
500
L 2 700 500 2970 王村因中学王此亮 所要求的展直长度
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答：管道的展直长度为2970mm．
扇形定义
什么是扇形？
如下图，由组成圆心角的两条半径和
圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
…… 4．n°的圆心角所对的弧长是_______．
O
n°
A
B
l
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5
探究一：弧长公式
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所
对的弧长的计算公式为 l nR
温馨提示：
180
在应用弧长公式 进行计算时，
O
要注意公式中n的意义．n表示
1°圆心角的倍数，它是不带单
n°
A
B
位的。 王村中学 王亮
l
王村中学 王亮
A
.
D
E
B C
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Leabharlann Baidu
推荐作业
1.教材124--125页，习题24.4第3、7题
2.变式练习：如图、水平放置的圆柱形排
水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.9cm，求截面上有水部分的面积。
王村中学 王亮
0
2013/5/20
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如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm， ∠AOB=∠BOC=60°， 则图中阴影部分的面积是______cm2。
B
王村中学 王亮
C
2013/5/20
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如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交， 且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
（07年山东）
王村中学 王亮
B A
D
C
2013/5/20
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如图：AB是半圆的直径，AB=2r, C、D是半圆的三等分点，则阴影
部分的面积等于
王村中学 王亮
2013/5/20
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2
24.4.1弧长和扇形面积
3
探究一：弧长公式 1、半径为R的圆,周长是_C__=_2_π__R__
2、圆的周长可以看作是3__6_0__度的
圆心角所对的弧长
O
n°
A
B
王村中学 王亮
2013/5/20
4
王村中学 王亮
探索新知
分析
设圆的半径为R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 3．3°的圆心角所对的弧长是_______
B1
B●
B
B2
B1
F'
王村中学 王亮
2013/5/20
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U
A
BC
DE
FB2
决胜中考
8、如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l 上，按顺
时针方向转动两次,使它转到△A’’B’’C’’ 的位置。若
No BC=1, AC= 3求点A运动到A′位置时，点A经过的
路线长。
ImC agAe′ B
A
王村中学 王亮
王村中学 王亮
2013/5/20
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已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、 B、C为圆心，以0.5a为半径的圆相切于 点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.
王村中学 王亮
2013/5/20
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中考连接
2
1.扇形的面积是它所在圆的面积的 ,求这
个扇形的圆心角的度数;(05陕西) 3
2.扇形的面积是S，它的半径是r,求这个扇形
的弧长;(05年太原) 3.扇形所在圆的圆心角度数为
150°,L=20πcm,
求:(1).扇形所在圆的半径; (2).扇形的面积; （05年台州）
王村中学 王亮
2013/5/20
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钟表的轴心到分针针端的长为5cm， 那么经过40分钟，分针针端转过的弧长 为______________。
王村中学 王亮
P2
1.内卷弯道的半径是多少米?
2.内卷弯道与外卷弯道的差是多少?
王村中学 王亮
2013/5/20
40
体会分享
通过本节课的学习， 我知道了…… 学到了……感受到了……
王村中学 王亮
2013/5/20
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决胜中考
⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是 1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多
少?弧长的和为多少? （07年北京） A
n 60
180
180
2
S nR 60 3 3 扇形
360 360 2 王村中学王亮
2
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探究三：弧长公式和扇形面积的关系
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l nR
180
S扇形
nR 2
360
S扇形
nR
180
R 2
1 2
nR
180
R
1 lR 2
1
1
S 扇形
lR 2
60°，它的弧长为＿＿＿＿ .
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心
角为240°，则此弧所在圆的半径为＿＿.
③已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π
，扇形的面积为＿＿ . ④一个弧长与面积都是
4 π的扇形，它的
半径为＿＿＿＿＿ . 3
王村中学 王亮
2013/5/20
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当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径 为10，∠AOB=60°， 求弧AB的长和扇形AOB的面积 （写详细过程） 2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
有水部分的面积 = S扇+ S△
D
AOD 60 AOB 120 A
S扇
nR2
360
240 62
360
24cm2
6
3E
3
0
B
AB=2AE 2 62 32 2 27 6 3cm
S△AOB= 1 AB OE 1 6 3 3 9 3cm2
C
2
2
有水部分的面积 = S扇+ S△ (24 9 3)cm2
B C′
l
A，，
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思考题
生活中的数学
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米，
宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴
一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗，
请问小狗的活动范围最大是多少？
王村中学 王亮
2013/5/20
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如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15米， 宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木桩上拴 一根绳子，绳子长7米，另一端拴着一只小狗， 请问小狗的活动范围最大是多少？
王村中学 王亮
2013/5/20
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规律提升
0
0
•
S弓形=S扇形-S三角形
•
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积是扇形的面积与三角形
王村中学 王亮
2013/5/20
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面积的和或差
组合图形 方法2、利用平移来计算重叠部分的面积
例1：己知直经AB=10，点C、D是圆 的三等分点，求阴影部分的面积。
C
44
生活中的数学
2、一个小朋友荡秋千，当秋千向两边摆动时，摆
角∠BOA恰好为60°，秋千从A点摆到B点所走过的
路程是πm,秋千拉绳OA的长为__3_m_
O
O
AA
B B
王村中学 王亮
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S 2 ah
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？ 王村中学 王亮
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感悟点滴
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是__23____cm2,
解：S扇形
1 lR 2
1 3
王村中学 王亮
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2
练习
①已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为
B B
弧 圆心角 O
A
扇形
O A
王村中学 王亮
2013/5/20
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王村中学 王亮
2013/5/20
10
探究二：扇形面积公式
如果圆的半径为R，则圆的面积为 R 2，
l°的圆心角对应的扇形面积为 R2 ，
360
n°的圆心角对应的扇形面积为 n R2 nR2 360 360
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角
360
360
D3
3
B
AB=2AD
2 27 6 3cm
S△AOB=
1 ABOD 1 6
2
2
33 9
3cm2
C
有水部分的面积 = S扇形AOB- S△AOB (12 9 3)cm2
王村中学 王亮
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变式升华
7、 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
是6cm，其中水面高9cm，求截面上有水部分的面积。
C
B
O
A
王村中学 王亮
2013/5/20
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⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是 1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多
少?弧长的和为多少? （07年北京）
A
B
王村中学 王亮
C
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如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的 半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形 ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之 和是___________.
●
● ●
●
王村中学 王亮
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如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交， 且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
（07年山东）
王村中学 王亮
B A
D
C
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4.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至B2 结束所走过的路径长度________. (07年湖北)
1 ，则此扇形的圆心角是_________
8
3、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm, 则该扇形的积是__cm2,扇形的圆心角为___°.
王村中学 王亮
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当堂测验
1.如图，已知扇形AOB的半径为 10cm，∠AOB=60°，求弧AB的长 和扇形AOB的面积(写过程）
10 cm 50 cm2
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如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、
B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，
则图中阴影部分的面积为
。
王村中学 王亮
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如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R，
油面高为 3 R
2
则阴影部分的面积为
(2
3)R2 。
（05重庆）
34
王村中学 王亮
2.如果一3 个扇形面3积是它所在圆的面积的
1 ，则此扇形的圆心角是____4_5_°___ 8
3、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为πcm,
则该扇形的面积是_3_____cm2,扇形的圆心角
30 王村为中学 王亮______°.
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决胜中考
如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm， ∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积 是______cm2。
王村中学 王亮
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巩固拓展
6、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半
径是6cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面 积。分析：
有水部分的面积 = S扇形AOB- S△AOB
2 62 32
AOD 60 AOB 120
0
6
A S扇形AOB nR2 120 62 12cm2
3R 2
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8、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2， AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则图中阴
影部分面积为 2 2 3 （05武汉）
C
A
王村中学 王亮
B
2013/5/20
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内卷为400m,内两半圆长为200米,直 线段共长200米,跑道宽1米,
S2 R2
N2
4、某运动场投掷铅球安全区的面积是192π平方米的
扇形，安全区半径为24米,安全区圆心角度数为_1__2_0__0__
王村中学 王亮
2013/5/20
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生活中的数学
5为、π已c知m,扇则形该的扇半形径的为面3积c是m,_扇_形_3_的__弧cm长2,
l , R 3代入 2
l nR 3n
D
解题 根据平行线之间距离相等，转 A
O
B
思路： 化求S扇形
计算结果： 25
6
例2、如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于
点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为 9 ，则 弦AB的长为__6___
王村中学 王亮
OP
A
CB
OP
A
C
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B
决胜中考
A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是 ⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部 分面积等于 。