九年级数学弧长和扇形面积1
九年级数学上册(人教版)24.4弧长与扇形面积(第一课时)教学设计
"首先，我们来看弧长的计算公式。弧长等于圆周长的一部分，我们可以通过圆心角和半径来计算。其公式为：弧长= (圆心角/360) × 2πr。接下来，我们学习扇形面积的计算公式。扇形面积是圆面积的一部分，它等于圆心角所对的圆弧与半径所围成的图形。其公式为：扇形面积= (圆心角/360) × πr²。"
2.教师通过示例题，展示如何运用这些公式解决实际问题，让学生理解并掌握计算方法。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，让学生合作讨论以下问题：
"如何计算一个圆的1/4弧长和扇形面积？如果圆的半径是10cm，圆心角是90度，你能计算出弧长和扇形面积吗？"
2.学生在小组内进行讨论，共同解决这些问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.梯度练习，巩固知识
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，进行及时反馈和指导。
4.理论联系实际，学以致用
通过解决实际问题，让学生感受数学的实用性。例如，计算一段弯曲的道路的长度、计算扇形门的面积等。
5.总结反馈，拓展提高
在课堂结束时，让学生总结本节课所学内容，并进行自我评价。教师对学生的表现给予肯定和鼓励，同时对学生的不足之处进行指导。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"请同学们完成以下练习题：计算半径为5cm的圆的1/6弧长和扇形面积；计算圆心角为120度的扇形面积，半径为8cm。"
2.教师对学生的练习进行批改和反馈，针对错误进行讲解，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳，500字
九年级数学弧长和扇形面积
所以：r R
360
（2）因为圆锥的母线长=扇形的半径 所以圆锥的高h为：h R2 r2
R2 ( R )2
360
例2、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径 为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇
形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以
一、弧长的计算公式
l n 2r nr
360
180
二、扇形面积计算公式
s
n r 2
360
或s
1 lr 2
圆锥的高
圆锥
我们把连接圆锥的顶点S和底 面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线
连接顶点S与底面圆的圆心O S 的线段叫做圆锥的高
母线 A
Or
思考：圆锥的母线和圆 锥的高有那些性质？
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底 面积的和。
例1：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144° 用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1) A
C
B
O
解：（1）因为此扇形的弧长=它所 围成圆锥的底面圆周长 所以有 2 r R
l
图 23.3.6
思考与探索：
将一个圆锥的侧面沿它的一 条母线剪开铺平，思考圆锥中的 各元素与它的侧面展开图中的各 元素之间的关系
圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图 是一个什么图形？
扇形
扇形的半径是什么？ 圆锥的母线长
扇形的弧长是什么？ 圆锥底面圆的周长
这个扇形的面 积如何求？
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形 面积。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1
浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1一. 教材分析《3.8 弧长及扇形的面积》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。
通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法，并能够应用于实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握计算弧长和扇形面积的方法。
3.能够应用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念。
2.计算弧长和扇形面积的方法。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例和练习来引导学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
同时，运用合作学习的方式，让学生在小组讨论和实践中共同解决问题，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.几何画板或者实物模型。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个自行车轮子一周的行驶距离是多少？引导学生思考和讨论，引出弧长的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT课件或者几何画板展示扇形的模型，引导学生观察和理解扇形的特征，讲解扇形的面积计算公式，并通过实例来演示计算过程。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一道练习题进行计算，其他组进行评价和讨论。
教师巡回指导，解答学生的疑问，并强调计算过程中的注意事项。
4.巩固（10分钟）通过PPT课件或者几何画板展示一些典型的练习题，让学生独立进行计算，教师选取部分学生的答案进行讲解和分析，巩固学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握。
5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论一些拓展问题，例如：如何计算一个圆的周长和面积？如何计算一个扇形的弧长和面积？引导学生运用所学的知识解决实际问题。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
数学九上《弧长和扇形面积》ppt课件
弧长和扇形面积的计算方法
CATALOGUE
03
弧长是指圆弧的长度，是圆周长的部分。
弧长的定义
弧长的计算公式
弧长的应用
弧长 = (圆心角/360°) × 圆的周长。
弧长常用于计算圆的周长、圆的面积、扇形面积等。
03
02
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根据弧长的定义，弧长是圆周长的部分，因此可以通过圆周长的公式推导出弧长的公式。
扇形面积的计算公式为：扇形面积 = (圆心角（弧度） / 2π) × π × 半径^2。
这个公式是通过将扇形分割成若干个小三角形，再求和得出的。
扇形面积是指由圆弧和两条半径围成的图形面积。
弧长和扇形面积都是描述圆或圆弧属性的量，它们之间存在一定的关系。
当圆心角相同时，弧长越长，扇形面积越大；反之，当弧长相同时，圆心角越大，扇形面积也越大。
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根据扇形面积的定义，扇形面积是圆面积的部分，因此可以通过圆面积的公式推导出扇形面积的公式。
扇形面积公式的推导
弧长公式的推导
弧长和扇形面积的应用
CATALOGUE
04
弧长公式是计算圆或扇形周长的重要工具，常用于计算几何图形的周长。
弧长公式
扇形面积公式是计算扇形面积的基础，对于计算几何图形的面积和比例关系具有重要意义。
掌握弧长和扇形面积的计算公式。
理解弧长和扇形面积的几何意义。
能够运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
弧长和扇形面积的基本概念
CATALOGUE
02
弧长是指圆弧的长度，可以通过圆心角和半径计算得出。
弧长的计算公式为：弧长 = 圆心角（弧度） × 半径。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时说课稿
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时，主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。
这部分内容是圆的知识的重要组成部分，也是中考的热点。
通过本节课的学习，让学生掌握弧长和扇形面积的计算公式，理解弧长和扇形面积的概念，能够运用所学的知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何、代数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，掌握计算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握弧长和扇形面积的计算公式，能够正确计算弧长和扇形面积。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，让学生理解弧长和扇形面积的概念，培养学生的空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够主动探索数学问题。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算公式。
2.教学难点：理解弧长和扇形面积的概念，能够运用所学的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的创新能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的概念，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引发学生对弧长和扇形面积的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍弧长和扇形面积的概念，引导学生理解弧长和扇形面积的计算公式。
3.实例讲解：通过具体的例子，讲解弧长和扇形面积的计算方法，让学生加深理解。
4.练习巩固：设计相关的练习题，让学生运用所学的知识进行计算，巩固学习成果。
5.拓展提高：引导学生思考实际问题，运用弧长和扇形面积的知识解决问题，提高学生的应用能力。
青冈县第八中学九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长和扇形面积教
教学任务分析板书设计课后反思教学过程设计n的n的圆心n的圆n的圆n的圆心角所对的弧∴弧长公式为：l=教学过程设计教学过程设计ODC B A问题与情境师生行为设计意图活动六：理一理 学生小结教师归纳布置作业： A 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7． B 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：2，3，5，6．经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB 的距离．因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交AB 于点C ．教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确． 知识：弧长公式180n Rl π=； 扇形面积公式：2R =360n S π扇形12lR =． 能力：灵活运用公式解决实际问题．数学思想：数形结合思想．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B 组补充作业：已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。
发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。
检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。
继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.二次函数与一元二次方程的关系学习目标1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)教学过程一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)若函数y ＝mx2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，根据二次函数与x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点．当m ≠0时，Δ＝(m ＋2)2－4m(12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2；当m ＝0时，原函数是一次函数，图象与x 轴只有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．故选D.方法总结：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，当b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点，当b2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点，当b2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点． 探究点二：二次函数图象与x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为________．解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x ＝3，y ＝0是该函数的一组对应值．将x ＝3，y ＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m ，解得m ＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.方法总结：本题先求出m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25因此x ≈－1.4是方程的一个实数根； (2)另一个根可以类似地求出：x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25x ≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根． 板书设计二次函数与一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧1.与x 轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．3。
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 弧长和扇形面积 (第1课时)
24.4 弧长和扇形的面积第1课时一、教学目标【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程,培养学生的探索能力.了解弧长计算公式,并会应用弧长公式解决问题,提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法,体验弧长扇形面积公式的推导过程,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度与价值观】通过对弧长和扇形面积公式的推导,理解整体和局部的关系.通过图形的转化,体会转化在数学解题中的妙用.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.五、课前准备课件、图片、直尺、圆规等. 六、教学过程 （一）导入新课教师问：如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题） （二）探索新知探究一 弧长计算公式及相关的计算教师问：半径为R 的圆,周长是多少？（出示课件4）学生答：=2C R .教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n °的圆心角所对的弧长是多少？学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；②1°的圆心角所对的弧长是圆的周长的1360；③n °的圆心角所对的弧长是圆的周长的360n . 教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？（出示课件5）学生观察,计算,交流,教师抽查学生分别口答.教师归纳：（出示课件6） 弧长公式：2360180n n R l R ππ=•= 用弧长公式进行计算时,要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的.算一算：已知弧所对的圆心角为60°,半径是4,则弧长为____.学生代入公式进行计算：43π出示课件7：例 制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm,精确到1mm)学生观察思考后,师生共同解答. 解：由弧长公式,可得弧AB 的长：1009005001570(mm),180⨯⨯π==π≈l因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm ）.答：管道的展直长度为2970mm ． 巩固练习：（出示课件8）一滑轮起重机装置（如图）,滑轮的半径r=10cm,当重物上升15.7cm 时,滑轮的一条半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14）？学生自主思考后,独立解答,一生板演.解：设半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转的度数为n °.15.7,180n Rπ=解得n ≈90°.因此,滑轮旋转的角度约为90°.探究二 扇形面积计算公式及相关的计算出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图,黄色部分是一个扇形,记作扇形OAB.（出示课件9）判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）学生观察后口答：×；×；√；×；√.教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）学生答：2 =S r.教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；②1°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的1.360③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的360n.教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几,具体是多少呢?（出示课件12）学生观察计算并填表.出示课件13：教师归纳：扇形面积公式：半径为r 的圆中,圆心角为n °的扇形的面积为2=.360n r S π扇形教师强调：①公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）学生答1：圆心角大小不变时,对应的扇形面积与半径有关,半径越长,面积越大.学生答2：圆的半径不变时,扇形面积与圆心角有关,圆心角越大,面积越大. 教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15） 学生板演：11.180221802n r r n r S r lr ππ=⋅=⋅⋅=扇形 教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？ 学生答：1.2S ah ∆=出示课件16：例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm 2和0.01cm ）学生独立思考后师生共同解答. 解：∵n=60,r=10cm, ∴扇形的面积为扇形的周长为巩固练习：（出示课件17）1.已知半径为2cm 的扇形,其弧长为43π,则这个扇形的面积S 扇= ．2.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积S 扇= .学生独立思考后口答：1.24cm 3π；2.43π.出示课件18,19：例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 学生答：阴影部分.教师问：(2)水面高0.3m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 学生答：线段DC.过点O 作OD 垂直于AB 并交圆O 于C. 教师问：(3)要求图中阴影部分面积,应该怎么办？ 学生答：阴影部分面积=扇形OAB 的面积-△OAB 的面积. 师生共同解答如下：（出示课件20）解：如图(3),连接OA,OB,过点O 作弦AB 的垂线,垂足为D,交AB 于点C,连接AC.∵OC ＝0.6,DC ＝0.3, ∴OD ＝OC-DC ＝0.3, ∴OD ＝DC. 又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线, ∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60˚,∠AOB=120˚. 有水部分的面积： S ＝S 扇形OAB -S ΔOAB22120π10.6360210.12π0.22(m 0.32)=⨯-•=-⨯≈AB OD 出示课件21：弓形的面积公式：教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 巩固练习：（出示课件22）如图,扇形OAB 的圆心角为60°,半径为6cm,C,D 是弧AB 的三等分点,则图中阴影部分的面积和是_____．学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC 的面积,由题意得： ∠AOC=60°÷3=20°.S 扇形OAC =⨯220π6360=2π.（三）课堂练习（出示课件23-29）1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 为⊙O 上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则 的长为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π 2.如图,在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,⊙C 的半径为3,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点,将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）5.如图,☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交,且半径都是2cm,则图中阴影部分的面积是_____.6.如图,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC∠ACB＝90°,∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.8.如图,一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置,求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案：1.D2.C3.2π4.C5.212πcm6.(4+π7.解：=OAB S S S +△弓形扇形224010.60.30.63602π=⨯+⨯⨯0.24π=+()20.91cm .≈8.解：由图可知,由于∠A ′CB ′=60°,则等边三角形木板绕点C 按顺时针方向旋转了120°,即∠ACA ′ =120°,这说明顶点A 经过的路程长等于弧AA ′的长.∵等边三角形ABC 的边长为10cm,∴弧AA ′ 所在圆的半径为10cm.∴l 弧AA ′1201020(cm).1803ππ⨯⨯== 答：顶点A 从开始到结束时所经过的路程为20cm.3π （四）课堂小结通过这堂课的学习,你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？（五）课前预习预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.七、课后作业1.教材113页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从复习圆周长公式入手,根据圆心角与所对弧长之间的关系,推导出了弧长公式.后又用类比的方法,推出扇形面积,两个公式的推导中,都渗透着由“特殊到一般”,再由“一般到特殊”的辩证思想,再由学生比较两个公式时,又很容易得出两者之间的关系,明确了知识间的联系.。
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)
人教版弧长和扇形面积公式优质教案(共两篇)第1课时教学内容24．4弧长和扇形面积（1）．教学目标1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．教学重点1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．教学难点推导弧长及扇形面积计算公式的过程．教学过程一、导入新课复习圆的周长和面积公式，导入新课的教学．二、新课教学1．弧长的计算公式．思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．2．扇形面积的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．3．实例探究．例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．解：由弧长公式，得的长＝500π≈1 570（mm）．因此所要求的展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．例2 如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴ OD＝DC．又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线．∴ AC＝AO＝OC．从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）．三、巩固练习教材第113页练习．四、课堂小结今天学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题24.4 第1、2题．一、基础知识1.使学生理解弧长和扇形的定义，明白弧长和扇形面积的推导过程，并熟记弧长和扇形面积公式。
浙教版数学九上《弧长及扇形的面积》word教案2篇
课题：3.5弧长及扇形的面积（1）教学目标：1、经历探索弧长计算公式的过程2、掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题。
教学重点：圆的弧长计算公式教学难点：例1图形较为复杂，牵涉的知识点较多，并需添加辅助线，思路不易形成。
教学设计一、复习（圆周长）已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？C=2πR这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长二、探究新问题、归纳结论教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．研究步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=．归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）（三）理解公式、区分概念教师引导学生理解：（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．（四）初步应用例1、填空：（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．例2、例1 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km,一辆汽车以每小时60km的速度通过弯道,需20秒.求弯道所对的圆心角的度数。
(精确到0.1度)分析：（1）对照弧长公式，那些量是直接已知的，哪个量是要求的（2）要求弯道所对圆心角的度数，应先求出什么？解（略）例3、 如图，BM 是⊙O 的直径，四边形ABMN 是矩形，D 是⊙O 上的点，DC ⊥AN ，与AN 交于点C ，已知AC ＝15，⊙O 的半径为Ｒ＝30，求BD 的长分析：（1）要求BD 的长，关键是求出BD 所对的圆心角∠BOD 的大小。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
《24.4弧长和扇形面积》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册
《弧长和扇形面积》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本作业的练习，学生应掌握以下目标：1. 理解弧长和扇形面积的概念及公式。
2. 能够利用弧长公式和扇形面积公式进行简单计算。
3. 理解扇形与其他图形的联系和区别，形成基本的空间想象力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础练习：通过例题和习题，让学生熟悉弧长和扇形面积的计算方法，包括弧长公式的应用和扇形面积公式的应用。
2. 概念理解：通过填空题和选择题的形式，检验学生对弧长和扇形概念的理解，包括弧长和扇形的定义、性质等。
3. 实践应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题，如计算扇形统计图中各部分所对应的弧长和面积等。
4. 拓展延伸：提供一些拓展题目，供学有余力的学生挑战自我，如利用弧长和扇形面积公式解决更复杂的问题等。
三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，提出以下要求：1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。
2. 独立思考：独立完成作业，遇到问题时先自行思考，再寻求帮助。
3. 规范答题：书写规范，计算过程清晰，答案准确。
4. 及时订正：对错题进行订正，总结错误原因，避免重复犯错。
四、作业评价作业评价应遵循以下原则：1. 及时性：及时批改作业，及时反馈学生作业情况。
2. 公正性：评价标准一致，公正地评价学生的作业。
3. 指导性：针对学生的错误，给出具体的指导建议，帮助学生改正错误。
4. 鼓励性：肯定学生的进步和成绩，鼓励学生继续努力。
五、作业反馈作业反馈是本设计的重要环节，包括以下几个方面：1. 总结学生易错点：对学生在作业中出现的共性问题进行总结，分析原因，提出解决方案。
2. 针对个性问题指导：针对个别学生的问题，给予具体的指导和建议。
3. 优秀作业展示：挑选优秀作业进行展示，激励其他学生向其学习。
4. 家长反馈：与家长沟通，了解学生在家的学习情况，共同帮助学生提高学习成绩。
初三数学弧长和扇形面积公式整理版
1. 圆周长：r 2C π=
圆面积：2r S π=
2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R 2π。
n °的圆心角所对的弧长是180R n π 180
R n π=∴l *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R l R n S 2
13602==π扇形（n 也是1°的倍数，无单位）l 为弧的长 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系：
同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是：
圆锥的全面积为：2r r π+πl
圆柱侧面积：rh 2π。
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[单选]已知某普通股的β值为1.2，无风险利率为6%，市场组合的必要收益率为10%，该普通股的当前市价为10.5元/股，筹资费用为0.5元/股，股利年增长率长期固定不变，预计第一期的股利为0.8元，按照股利增长模型和资本资产定价模型计算的股票资本成本相等，则该普通股股利的年增长率为 [单选]终末期肝硬化门静脉高压症最有效的治疗方法是（）A.门体分流术B.脾切除术C.断流术D.肝移植术E.药物治疗 [多选]每日价格最大波动限制的确定主要取决于标的物市场价格波动的（）。A．频繁程度B．波幅大小C．最小变动价位D．交易时间 [问答题]教师违反《教师法》的法律责任是什么？ [问答题,案例分析题]某设计单位为拟建工业厂房提供三种屋面防水保温工程设计方案，供业主选择。方案一，硬泡聚氨酯防水保温材料(防水保温二合一);方案二，三元乙丙橡胶卷材(δ=2×1.2mm)加陶粒混凝土;方案三，SBS改性沥青卷材(δ=2×3mm)加陶粒混凝土。三种方 [单选]人员密集场所应做到“三自”，下列选项中（）是错误的。（易）A、消防安全自查B、火灾隐患自除C、违法行为自处D、消防安全责任自负 [名词解释]正品 [单选]热力学第一定律的物理意义是体系的内能增量等于体系吸入的热与环境对体系所做的功之和。其内能用下列哪一项表示（）。A、Q；B、U；C、W；D、H。 [单选]某孕妇，25岁，孕1产0，孕39周，上午11时有规则宫缩而入院。宫缩中下，38秒，间隔3～4分钟，于19时宫颈扩张一指，先露高位-1.5，给予缩宫素2.5u加强宫缩后宫缩中等强度，持续40秒，间隔2～3分钟，产妇一般情况好，3小时后宫颈扩张4cm，先露高位-1。此时应如何处理()A．哌替 [单选]供电系统中发生短路的类型通常有三相短路、两相短路和单相短路，对系统造成危害最严重的是（）。A.单相短路B.两相短路C.三相短路D.单相接地 [问答题,简答题]请简述会计核算的基本要求？ [单选]下列属于收费车道计算机系统的设备是（）。A.服务器B.路由器C.雨篷信号灯D.彩色喷墨打印机 [单选]在计算速动比率时，要从流动资产中扣除存货部分，再除以流动负债。这是因为()。A.存货的价值较大B.存货的质量不稳定C.存货的变现能力较差D.存货的未来销路不定 [名词解释]生物进化 [多选]水泥混凝土试配强度计算涉及那些因素（）。A.混凝土设计强度等级；B.水泥强度等级；C.施工水平；D.强度保证率。 [单选,A1型题]临床预防服务的对象是（）A.病人B.健康人C.无症状的"患者"D.健康人和无症状的"患者"E.病人和无症状的"患者" [单选]各种病毒所引起的皮肤病各异，引起疣的病毒是（）A.疱疹病毒B.痘病毒C.副黏膜病毒D.人类乳头瘤病毒E.细小核糖核酸病毒 [问答题,简答题]交叉杆擦伤深度、全长范围内弯曲的运用限度是多少？ [单选]职业道德是适应各种职业要求而必然产生的（）。A、工作流程B、法规总和C、各种法律、准则D、道德规范 [单选]关于经济法的本质，下列说法不正确的是（）。A.经济法是平衡协调法B.经济法是权力本位法C.经济法是以公为主、公私兼顾的法D.经济法是经济民主和经济集中对立统一法 [问答题,简答题]优质护理的主题是什么？ [名词解释]防止“八”字方针 [单选]能将电压放大10000倍的放大器用电平表示其增益是（）。A、40dBB、60dBC、80dBD、100dB [填空题]在超声波探伤中，从各个方向都能探测到的缺陷是（）缺陷。 [单选,A2型题,A1/A2型题]具有明目去翳，收湿止痒敛疮功效的药物是（）A.硼砂B.明矾C.炉甘石D.芒硝E.铅丹 [单选,A2型题,A1/A2型题]下面哪项不是颅脑MRI扫描的适应证（）A.颅脑肿瘤B.脑血管病C.发热头痛D.颅内感染与炎症E.脑白质病变 [单选]关于行政处罚的设定权与规定权，下列说法正确的是（）。A.江苏省人大制定的《江苏省旅游业营业管理条例》无权设定吊销个体旅馆营业执照的处罚B.南京市政府颁发的规章只能对上位法设定的处罚作出具体规定C.江苏省地方性法规就某一违法行为设定给予1～5万元罚款，南京市政府的 [单选]港口与航道工程的技术档案应当移交给（）。A.设计单位B.质量监督部门C.建设单位D.政府行政主管部门 [单选]下列选项中不是组成内脏的系统是？（）A、消化系统B、内分泌系统C、呼吸系统D、生殖系统 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项是释放PTH所必需的（）。A.钾离子B.氯离子C.镁离子D.钙离子E.钠离子 [单选]某建设项目的总投资为5600万元，年平均利润总额为1200万元，则该建设项目的总投资收益率为()。A.23.43%B.21.43%C.17.65%D.18.46% [填空题]橄榄球在（）年起源（），英文名为（）。 [问答题,简答题]架空电力线附近进行吊、卸作业时应注意哪些安全事项？ [单选,A1型题]下列脏腑中与厌食最为相关的是（）。A.心与小肠B.脾胃C.肝胆D.肾与膀胱E.肺与大肠 [单选]通过账户、会计凭证和账簿等载体，运用复式记账等手段，对确认和计量的结果进行记录，为编制财务会计报告积累数据的过程称为（）。A.会计确认B.会计计量C.会计记录D.会计报告 [单选]鲁迅在《阿Q正传》中塑造的阿Q形象，是一种（）A．再造想象B．创造想象C．幻想D．无意想象 [单选,A1型题]关于药品标签和包装的说法，不正确的是（）A.药品的标签应当以说明书为依据，其内容不得超出说明书的范围B.药品标签上不得印有暗示疗效、误导使用的文字和标识C.药品包装上可印有宣传产品的文字和标识D.药品标签上应有指导安全、合理用药的文字和资料E.供上市销售的 [单选]不孕症中，女方因素占（）A.40％B.50％C.60％D.70％E.80％ [单选]七情的主要特点是()A．影响内脏的气机，使气机升降失常，气血功能紊乱B．七情属于人的正常精神活动，不论在什么情况下，都不致病C．一般情况下，七情可引起体内阴阳气血失调，脏腑经络功能紊乱D．七情致病与内脏密切相关，不同的持久情志变化对内脏有着相同的影响E．以上都 [单选]下肢牵涉痛是由哪一神经受刺激所致（）A.脊神经前根B.脊神经后根C.交感神经D.脊神经前支E.