求二面角平面角的方法

寻找二面角的平面角的方法

面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点•对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们

并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.

我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.

1.1二面角的相关概念

新教材⑴在二面角中给出的定义如下：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角

定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的

平面角中去研究•教材如下给出了二面角的平面角的概念：

二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平

面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角•

2.二面角的求解方法

对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角

形的边角问题加以解决•定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：

一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角

二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角

三、“算”：计算出该平面角

由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介

绍•

2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角

一、根据平面角的定义找出二面角的平面角

例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且

线段AB =10

,试求：

(1 )直线

AB

与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.

分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.

根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面〉内作BE —〉, CD/EB ,连结B C

AC

•可以证明CD— a

,则由二面角的平面角的定义，可知∙

ADC

为二面角：-a-'

EI

巳

2

2

i

2

3

BG =i

T 蔦;

的平面角•以下求解略∙

例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-CI 的大小为 例2(2006年江苏试题)如图2(1),在正三角形 ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足 AE : EB=CF : FA=CP : BP=I : 2•如图 2(2),将厶 AEF 折起 到厶A1EF 的位置，使二面角 AI-EF-B 成直二面角，连 接 A1B 、A1P.

(I )与(∏ )略；(川)求二面角B-AIP-F 的余弦值 tan ∠ COC i = . 2

分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称 和谐性 若取BP 的中点Q ,连接EQ ,则在正三角形 ABC 中，很容易证得△ BEQ

PEQ ^△ PEF ^△ AEF ,那么在图 2(2)中，有 A i Q=A i F 作 FM 丄 A i P 于 M ,连接 QH 、QF ,则易得△ A i QP ^^ A i FP , △ QMP ◎△ FMP ,所以∠ PMQ= ∠ PMF=90o ,∠ QMF 为二面角 B-A I P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展 .设

正三角形的边长为 3,依次可求得 2 ； 5

"7

A i P= .5 , QM=FM=—,在△ QMF 中，由余弦定理得 cos ∠ QMF= - - O _

8

20II 广东高考理i8.(本小题满分I3分)

如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为I 的菱形， 且∠ DAB=60 , PA =PD = ,PB =2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (I)证明：AD —平面DEF; (2)求二面角P-AD-B 的余弦值.

解：(2)由(I )知/PGB 为二面角

P - AD - B 的平面角, 在 Rt PGA 中，PG

2

2

2 (I )2

7

“2 -(2八4

在 PGB 中，CoS PGB H

PG 2

BG 2

- PB 2

2PG BG

.2i 7

例 2 在如图 3 所示的三棱锥 P-ABC 中，

AB=AC=PB=PC=2,BC=、2 ,PA= ■ 2 .求二面角 P-BC-A 的大小.

解：作 BC 中点 D,连接 PD,AD.因 PB=PC=AB=A )C 知 PQBC,AdBC, 又有面 PBC 与面 ABC 共棱可得∠ PDA 为二面角P-BC-A 的平面角.而 AB=2,BC=2 . 2 ,易知 AD=PD= 2 ,在 RT?PAD 中，

CoS PDA =

PD 2

AD 2-PA 2

2PD AD

所以二面角P-BC-A 的大小为60

图3