二面角平面角求法
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
二面角的计算方法
图1二面角计算一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。
通常作二面角的平面角的途径有：⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD⊥底面ABCD ． （1）证明AB⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明：VAD ABCD AB AD AB VADAB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知，BD VB,===∴AE⊥VD，BE⊥VD，∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt△ABE 中，∠BAE=90°，AB ，因此，tan∠AEB=.332=AE AB 即得所求二面角的大小为.332arctan例2 如图3，AB⊥平面BCD ，DC⊥CB，AD 与平面BCD成30°的角，且AB=BC.（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小；（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。
解：(1) ∵AB⊥平面BCD ，∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD⊥AB， 又∵DC⊥BC，ABBC B =,∴ CD⊥平面ABC ，∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=,∴ tan∠DAC=122==aa CDAC , ∴ 045=∠DAC ,即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB⊥面BCD ，ABD AB ⊂面， ∴ 面ABD⊥面BCD ， 又∵ 面ABD面BCD=BD ，BCD CE ⊂面，CE⊥BD，∴ CE⊥面ABD ，又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD⊥EF，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角.计算可知, BC CD CE BD ⋅=，2AD a,=12CF AD a ==，∴ CE sin CFE CF ∠==故，所求的二面角为3.略例3如图4，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.（1）证明PA ⊥BF ；（2）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
完整版)找二面角的平面角的方法汇总
完整版)找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的重要内容，但很多学生在解决二面角问题时往往无从下手，因为他们没有掌握寻找二面角的平面角的方法。
本文将介绍六种寻找二面角平面角的方法。
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角。
例如，在60度的二面角α-a-β的两个面内，有点A和B，已知A和B到棱的距离分别为2和4，线段AB为10，求直线AB与棱a所构成的角的正弦值以及直线AB与平面α所构成的角的正弦值。
为解决这道题，需要先找到二面角的平面角，即找到60度角所在的位置。
根据题意，在平面β内作AD垂直于a，在平面α内作BE垂直于α，CD平行于EB，然后连接BC、AC。
可以证明CD垂直于a，因此根据二面角平面角的定义，∠ADC为二面角α-a-β的平面角。
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角。
例如，在平面β内有一条直线AC与平面α成30度，AC与棱BD成45度，求平面α与平面β的二面角的大小。
为了寻找二面角的平面角，可以通过点A作AF垂直于BD，AE垂直于平面α，并连接FE。
根据三垂线定理，可以证明BD垂直于EF，因此∠AFE 为二面角的平面角。
需要注意的是，寻找二面角平面角时需要注意“作”、“连”、“证”的顺序。
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。
例如，在图1中，已知P为α-CD-β内的一点，PA垂直于α于点A，PB垂直于β于点B，如果∠APB=n度，则需要求二面角α-CD-β的平面角。
由PA垂直于α和PB垂直于β可得CD垂直于平面PAB。
因此，只需要画出平面PAB与平面α、β的交线即可。
可以证明∠AEB为α-CD-β的平面角，且∠AEB=180-n度（如图2）。
需要注意的是，如果通过点A作AE垂直于CD，垂足为E，并连接EB，则还需要证明EB垂直于CD，以及AEBP为平面图形。
由于篇幅限制，本文只介绍了三种寻找二面角平面角的方法，其他三种方法包括作二面角棱的垂线，作二面角的高线，以及利用向量的方法。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。
求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。
对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。
具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。
平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。
具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。
四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。
具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。
二面角及其平面角
二面角及其平面角[引言]二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法.[概念]由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面.图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成[二面角的度量]以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角[二面角的平面角作法]做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角.2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角图2 二面角的平面角的三种作法[例题1]已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步：1、找到或作出题目中二面角的平面角2、证明1中的角为所求二面角3、计算出角的大小一“作”二“证”三“计算”下面给出参考解法解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1）由三垂线定理得AD⊥l∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2）∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离∴AO=2√3，AD=4在Rt△ADO中∴sin∠ADO=√3/2∵二面角的范围是[0,π]故∠ADO=60°即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3）需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出.[思考]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离.[拓展延伸]以下内容供有余力的同学参考面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦.”S射影面积＝S原图形面积×cosθ即cosθ=S射影图/S原图(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可.运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易.。
二面角的平面角的求法
★二面角的平面角的求法：⒈定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。
如图，在二面角βα--a 的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作a OA ⊥，在平面β内过点O 作a BO ⊥，则AOB ∠为二面角βα--a 的平面角。
⒉垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。
如图，已知二面角-αβ-l ，过棱上一点O 作一平面γ，使l γ⊥，.,OB OA =⋂=⋂βγβγOB l OA l OB OA ⊥⊥⊆⊆,,,γγ ∴ AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
⒊垂线法：※ 该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。
由一个半平面内异与棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则AOB ∠为二面角的平面角。
如图，已知二面角βα--l ，自平面α内一点A 作AB β⊥于B ，由点B 作BO l ⊥于O ，连结AOAO 为平面β的斜线，BO 为AO 在平面β内的射影∴ AO ,l ⊥∴ AOB ∠为二面角l -α-β的平面角。
⒋射影法： 被投影面投影面S S =θcos⒌向量法：（1）⑴AB,CD 分别是二面角βα--l 的两个面内与棱AC 垂直的异面直线，则二面角的大小为CD AB .[（2）平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|. ★★利用二面角的两个面的法向量求解※ 法向量的夹角与二面角的大小相等或互补①当法向量21n n 与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角②当法向量1n 与2n 方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．1202.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB ＝3，求平面ASD 与平面BSC 所成二面角的大小．3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；6．(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．7.．如图，已知正方形ABCD 和梯形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝22，CF ∥AF ，AC ⊥CE ，ME →＝2FM →，(1)求证：CM ∥平面BDF ；(2)求异面直线CM 与FD 所成角的余弦值的大小；(3)求二面角A －DF －B 的大小．8. (2010·湖北)如图所示，在四面体A －BOC 中，OC ⊥OA ，OC⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1)设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算AB AQ的值； (2)求二面角O -AC -B 的平面角的余弦值．9．(14分)已知四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)当SA AB的值为多少时，二面角B -SC -D 的大小为120°.。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
求二面角平面角的方法
OABOABl寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 1.1 二面角的相关概念新教材]1[在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.2. 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EBCD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为.αβ图1例2(2006年XX 试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A1EF 的位置，使二面角A1-EF-B 成直二面角，连 接A1B 、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F 的余弦值 tan ∠COC 1=2分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法教学目标：掌握二面角及其平面角的概念.能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小. 重点难点：●会作出二面角的平面角①、点P 在棱上---- ②、点P 在一个半平面上--- ③、点P 在二面角内--- ④ 、向量法求二面角的大小----建立空间直角坐标系，分别找出两个半平面的法向量，求出两个法向量的夹角，眼观是锐或钝二面角。
求二面角大小的公式： 练 习1、如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是2、已知P 为二面角α-l-β内一点，且P 到两个半平面的距离都等于P 到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ 典例分析： 例1. 如图，已知P 是二面角α-AB-β棱上一点，过P 分别在α、β内引射线PM 、PN ，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
高考演练1(2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，AF=1，（Ⅱ）二面角F-AD-E 的平面角的正切值．例2．如图P 为二面角α–ι–β内一点，PA ⊥α,PB ⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
例3．如图，三棱锥P-ABC 的顶点P 在底面ABC 上的射影是底面Rt △ABC 斜边AC 的中点O ，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C 的正切值。
高考演练2（2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，,,45ABAE FA FEAEF ︒==∠=（III ）求二面角F BD A --的大小。
练习1：已知Rt △ABC 在平面α内，斜边AB 在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C 到平面β的距离CO 。
二面角平面角的几种求法
另一半平 面重 合 时， 这两 个 向 量的方向应 当一致。在满足这
些条件之下 ， 有ｅ ｏ ｓ Ｏ ＝ Ｔ
２， ｌ ｆ Ｊ ７ ， ｌ ２ Ｊ
２ ． 垂射线法即垂面法过棱上一点作棱 的垂直 平面 ， 该 平面与二面 角的两个 半平面 的交线组成 的 角即为二 面角
面积 ， 则 ｃ ｏ ｓ ＝
， 如 图 ３所 示 ， ｓ ＝ｓ
， ｓ
＝ｓ
， Ｊ Ｐ 。 上 平 面
０ 为垂 足 。 面角的定位是 问题解决的先决一步 ， 由于二 面角的平面 角是由一点和两 条 ａ， 射 影 面 积 公式法适用于斜面和射影面的面积易 求的立体几何题 中 ， 可 射线构成 。 所 以二面角 的平 面角 的定 位可化 归为“ 定点 ” “ 定线” 或“ 定 面”
二、 二 面 角 平 面 角 的 大 小 的 求 法 １ ． 定 义 法 ６ ． 向 量 法
图３
就 等 于 二 面 角 的大 小 。
利 用 平 面 的 法 向 量 可 求二
面 角 。 如 图 ５所 示 ，０表 示 欲
求 的 二 面 角 —ｚ一 的 平 面 角， 又设 ｎ ， ｎ 分 别 是 平 面 ａ， 的法 向量 ， 这 两 个 法 向 量 的
一
、
预 备 知 识
点， ４向 另 一 个 半 平 面 作 垂
垂 足 为 Ｂ。 再 由 Ｂ 向 二 面 平 面 内的 一 条 直 线 把 平 面 分 为 两 部 分 ， 其 中 的 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 线 ， 垂足 为 ０， 连 面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 ， 叫做 二面角。 （ 这条直线 角 的 棱 作 垂 线 ， 接 Ａ Ｏ ， 则 ｚＡ Ｏ Ｂ 即 为 二 面 角 叫做二面角的棱 ， 每个半平面 叫做二面角的面 ） 。 如 图 ４所 示 。 小 结 ： 以二 面 角 的 棱 上 任 意 一 点 为 端 点 ， 在 两 个 面 内 分 别 作 垂 直 于 棱 的 两 条 的 平 面 角 ， 射线 ， 这 两 条 射 线 所 组 成 的角 叫做 二 面 角 的 平 面 角 。 利 用 三 垂 线 定 理 求 二 面 角 的平 二面角的大小就是用它的平面角来度量 ， 二 面 角 的 平 面 角 的 数 值 大 小 面角的大小是利用传统的纯几 何综合推 理方 法解 决 ， 但 有 些 定理 １ （ 三垂线定理 ） ： 在平面 内的一条直线 ， 如果它和这个平面的一条 题 目是 比 较 难 以 找 出 所 求 的 二 面 角 的 平 面 角 的 。 斜 线 的射 影 垂 直 ， 那 么 它也 和 这 条 斜 线 垂 直 。 定理 ２ （ 三 垂 线 定 理 的逆 定 理 】 ： 在平面内的一条直线 ， 如 果 它 和 这 个 平 面的一条斜线垂直 ， 那 么 它也 和 这 条 直 线 在 平 面 内 的 射 影 垂 直 。
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
二面角大小的取值范围是［0，180°］。
4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
求二面角的六种常规方法
求二面角的六种常规方法二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法：1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。
给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。
这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。
2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。
给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。
这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。
3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。
给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。
余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。
通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。
4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。
根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。
这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。
5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。
矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。
6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间的夹角来得到二面角。
投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。
以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P ﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．。
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B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
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一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
小 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
结
①点P在棱上—定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
面积为S射
常见的图形
cos = S 射 S
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例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
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例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
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例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO=a， PC
又∵∠MPN=60º
a ， P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P aO
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO ∴ tan PEO 2
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
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例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
每个半平面叫做二面角的
面
α
二面角的范围：
ι
β
00 1800
记作 l
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二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的棱，并与两半平
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面
γ
角 的平面角
ι
β
P
B
A
α
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讲解例题
—定义法 点P在棱上
战二胜面自角 己，战胜别人！
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教学目的： 1. 掌握二面角 的概念。 2.掌握二面角的一般作法。 3.熟练掌握二面角的求解方法。 4.能在复杂图形中找到二面角。 5.提高空间想象能力和综合解题 能力
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一、二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角这。条直线叫做二面角的棱，
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
S A1B1C1
S AB1E
2 3
M
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
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练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
α
常见的图形 ι β
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
B
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垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
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三垂线定理法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
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面积法
讲解例题
A
M
三 角 形 ABC 在 平 面
B
C
N 内 的 射 影 为 BCO
O
三 角 形 ABC 的 面 积
N 为S，三角形BCO的