中考数学典型试题及解析答案---常见几何模型

中考数学典型试题及解析

常见几何模型

两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）

M

D C

B A M

D C

B

A

M

D

C

B A M D

C

B

A

例题讲解

1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。

【分析】

整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的

条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解. 我们回顾下共边定理，发现右图三角形中存在一个比例关系：

()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.

2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积。

C

B

【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M

::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB ==

1535S

BCO =÷= 1527.5S BDC =÷=

17.5 1.8754

S FCM =⨯=，

阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。

2、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且

BE=1

3

AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.

【解】根据定理：

ABC BED ∆∆=3211⨯⨯=6

1

，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。

3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)

如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.

【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个

图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形

的边长，所以求出短边长就是1。

4、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相

等。△AEF的面积是长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。

。

【解】连接AC，首先△ABC和△ADC的面积相等，又△ABE和△ADF 的面积相等，则△AEC和△AFC的面积也相等且等于ABCD的1/6，不难得△AEC与△ABE的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC与BE之比为1/2，同理FC与DF之比也为1/2。从而△ECF相当于

ABCD面积的1/18，而四边形AECF相当于ABCD面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。

F

D

C

5、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____

【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b，因为△AED面积等于ABCD的一半，则△ABE加上△DEC的面积也等于ABCD的一半。而△FDC的面积也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积，可见阴影面积=23+32+12=67。

D

C

B

F

6、右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是平方厘米．

【解】：四边形AFDC 的面积=三角形AFD+三角形ADC=（2

1

×FD ×AF ）

+（21×AC ×CD ）=21（FE+ED ）×AF+21（AB+BC ）×CD= （21×FE ×AF+2

1×ED ×AF ）+（2

1

×AB ×CD+2

1×BC ×CD ）。

所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE —三角形BCD=（2

1×FE ×AF+2

1×ED ×AF ）+（2

1×AB ×CD+2

1×BC ×CD ）-2

1×FE ×AF-2

1×BC ×CD=2

1

×ED ×AF+2

1×AB ×CD=2

1×8×7+2

1×3×12=28+18=46。

练习题

1、（★★）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延

长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

解：作辅助线FB ，则S ΔBAF ＝3×S ΔABC ＝1/2×S ΔDAF ；则有S ΔABC ＝1/6×S ΔDAF ；作辅助线AE ，则S ΔACE ＝2×S ΔABC ＝1/4×S ΔCEF ；则S ΔABC ＝1/8×S ΔCEF ；作辅助线CD ，则有：

S ΔCBD ＝S ΔABC ＝1/3×S ΔCEF ；综上，三角形DEF 由这四个三角形构成，那么由已求出的比例关系可知，三角形DEF 的面积为1+6+8+3＝18。

2、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形

拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

解：设定阴影部分面积为X,则不难由长方形面积公式看出比例关系为：X/30=15/18，则X=25。

3、（★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ∆的面积比EFG ∆的面积大6平方厘米。

?的面积是多少平方厘米ABC ∆