向量的加法及其几何意义
向量的加法及几何意义
向量加法运算及其几何意义我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量的加法(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量 AC →叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a 、b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB →、AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量 AC →＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．(3)向量求和的多边形法则①已知n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －2A n －1＋A n －1A n ＝A 0A n →②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2．向量加法的交换律已知向量a 、b ，如图所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，如果A 、B 、C 不共线，则AC →＝a ＋b ． 作AD →＝b ，连接DC ，如果我们能证明DC →＝a ，那么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，AD →＝BC →＝b ，所以四边形ABCD 是平行四边形，这就证明了DC →＝a ，即a ＋b ＝b ＋a .向量的加法满足交换律．3．向量加法的结合律如图，作AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，由向量加法的定义，知AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，BD →＝BC →＋CD →＝b ＋c ，所以AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝a ＋(b ＋c )． 从而(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即向量的加法满足结合律．[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A 出发，①先走过的位移为向量a ，再走过的位移为向量b ，②先走过的位移为向量b ，再走过的位移为向量a ，则方案①②中质点A 一定会到达同一终点．2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a ＋b )＋(c ＋d )＝(b ＋d )＋(a ＋c )；a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝[d ＋(a ＋c )]＋(b ＋e )．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )A ．AB →＝DC →B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →＝BD →＋AD → D ．AD →＋CB →＝0[解析] 因为AB →＝AD →＋DB →≠BD →＋AD →，所以，C 错误． 2．化简PB →＋OP →＋BO →＝ 0 ．[解析] PB →＋OP →＋BO →＝(OP →＋PB →)＋BO →＝OB →＋BO →＝0．3．如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋c ．[解析] a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB →＝a ，BC ＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋c ．解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ， 以OA →、OB →为邻边作▱OADB ， 则对角线OD →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 以OC →、OD →为邻边作▱OCED ． 则OE →＝a ＋b ＋c ．命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义 典例1 (1)如图，已知a 、b ，求作a ＋b ．(2)如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作出向量a ＋b ＋c ．[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．[解析] (1)①AC →＝a ＋b ②AC →＝a ＋b(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用． (2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和． 〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．[解析] 如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ． 命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用 典例2 化简下列各式： (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →．[思路分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．[解析] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DA →＝0．(2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA →＝0．『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．〔跟踪练习2〕如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB →＋DF →＝ AC →； (2)AD →＋FC →＝ AB →； (3)AD →＋BC →＋FC →＝ AC →．[解析] 由已知可得四边形DFCB 是平行四边形． (1)易知DF →＝BC →．由三角形法则得：AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →． (2)易知FC →＝DB →，所以AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →． (3)AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →． 向量加法的实际应用向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．典例3 在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[思路分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．[解析] 如图所示，设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800km ．则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →． 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°． 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1600km ，两次飞行的位移和的大小为8002km ，方向为北偏东80°．〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[解析] 如图，设CE →、CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →．易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|cos60°＝10×12＝5．∴A 处所受的力的大小为53N ，B 处所受的力的大小为5 N ． 用平行四边形法则作平行向量的和 典例4如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b ． [错解]作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b 就是求作的向量．[辨析] 由于a ∥b ，所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则． [正解]作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b 就是求作的向量．[点评] 1.当a 与b 同向共线时，a ＋b 与a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |．2．当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |；若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0．〔跟踪练习4〕已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向( A ) A ．与向量a 的方向相同B ．与向量a 的方向相反C ．与向量b 的方向相同D ．不确定1．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2km[解析] 如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案． 3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简结果为( C ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →[解析] 原式＝AB →＋BO →＋MB →＋BC →＋OM →＝AO →＋OM →＋MC →＝AM →＋MC →＝AC →． 4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( D ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部[解析] 如图P A →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →．A 级 基础巩固一、选择题1．下列等式中不正确的是( C ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．AC →＝DC →＋AB →＋BD →[解析] 当a 与b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |． 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( D ) A ．CA → B ．BC → C ．AB →D ．AC →[解析] AB →＋BC →＝AC →．3．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( A ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |．4．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[解析] 连结CF ，取CF 中点O ，连结OE ，CE ． 则BA →＋CD →＋FE →＝(BA →＋AF →)＋FE →＝BE →．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＋BC →＝AC →，则|AB →|＝|BC →|＝|AC →|， 则△ABC 是等边三角形．6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝0[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋P A →＝0.故选C ． 二、填空题 7．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →＝ O →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ BA →；(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ AC →． [解析] (1)AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；(2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． (3)AC →．8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ OC →．[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →． 三、解答题 9．如图所示，求：(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b ．[解析] (1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO →＋OA →＝DA →； (2)c ＋b ＝CO →＋OB →＝CB →；(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB →＝DC →＋CB →＝DB →； (4)c ＋f ＋b ＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →．10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →＝0．[证明] (1)由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．(2)由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →， ∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →) ＝0＋0＋0＝0．B 级 素养提升一、选择题1．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10][解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →共线时的情况求解．即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →|≤17．2．向量a 、b 均为非零向量，下列说法中不正确的是( B ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同[解析] 当a 与b 反向，且|a |<|b |时，向量a ＋b 与b 的方向相同．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤[解析] ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA → ＝AD →＋DA →＝0， ∴①③⑤均正确．4．若M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( C ) A ．AB →＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM →D ．3AM →＋AC → [解析] 由三角形重心性质得AM →＋BM →＋CM →＝0． 二、填空题5．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__．[解析] ∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__．[解析] 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABC 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1．三、解答题7．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．[解析] 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四这形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0， 故OA →＋OB →＋OC →＝0．8．如图所示，已知矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，试求|a ＋b ＋c |的大小．[解析] 如图所示，过D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ．∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE →＝AC →，CE →＝AD →， 于是a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →＝AD →＋AD →， ∴|a ＋b ＋c |＝|AD →＋AD →|＝83．C 级 能力拔高如图，已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2．。
向量的加法及其几何意义
（1）通过物理中位移的合成、力的合成的实例，掌握 向量加法的运算并理解其几何意义；
（2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则， 培养数形结合解决问题的能力； （3）通过类比实数加法的运算律，掌握向量加法运算 的交换律和结合律，渗透类比的数学思想.
引入新课
C
上海 台北 香港
B 位移和
A
思考:当两个向量是一般的非零共线向量时， 三角形法则还适用吗？
共线向量的加法
(Ⅰ)方向相同
a
(Ⅱ)方向相反
b
b
a+b
a
A
.
B
C
a + b.
C A
B
当两向量共线时，三角形法则仍适用
探究
C
a
a
a＋b A
ｂ
a
B
ｂ
a＋b
ｂ
a＋b
AB BC CD DE JK ? AK 探究：
AB BC AC
F1 G
它们之间有什 么关系
E
O
C
F为F1与F2 的 合 力
G
E
O F1
A
F2 F
G
E
O
F F2
B
C
“位移”和“速度”的求和：
和位移 向量的和 合力
一、向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算叫向量的加法，其结果称 为和向量.
二、向量加法的几何意义
D
C
B A
16
思考：要使船的实际航行方向垂直于对岸的 方向行驶，那么船的航行方向如何确定？
17
课堂小结，归纳提炼
1、向量的加法:求两个向量和的运算 2、向量加法法则:（1）三角形法则 （2）平行四边形法则 3、向量加法运算律: 4、向量模长关系: 首尾相连 起点一致
向量的运算与几何意义解析
向量的运算与几何意义解析向量是数学中重要的概念，它可以用来表示方向和大小。
在实际应用中，我们经常需要对向量进行运算，并通过运算来解析向量的几何意义。
本文将探讨向量的四则运算（加法、减法、数量乘法和点乘）以及各种运算在几何上的意义。
1. 向量的加法（Vector Addition）向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A = A + A。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A放在向量A的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图1：向量的加法示意图通过向量的加法，我们可以将多个向量连接起来，从而形成更长的向量。
2. 向量的减法（Vector Subtraction）向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A = A - A。
在几何上，这个运算可以理解为从向量A的尾部指向向量A 的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图2：向量的减法示意图通过向量的减法，我们可以计算出两点之间的距离，或者确定一个向量相对于另一个向量的位置关系。
3. 向量的数量乘法（Scalar Multiplication）向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。
具体而言，给定一个向量A和一个标量A，它们的数量乘法可以表示为：A = AA。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A的大小进行缩放或扩大A倍，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图3：向量的数量乘法示意图通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的大小，同时保持其方向不变。
4. 向量的点乘（Dot Product）向量的点乘是指将两个向量进行运算得到一个标量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的点乘可以表示为：A = A·A。
计算方法是将两个向量对应位置的元素相乘，然后将相乘的结果相加。
在几何上，点乘的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以向量的模长乘积，如下图所示：图4：向量的点乘示意图通过向量的点乘，我们可以计算出两个向量之间的夹角，以及一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。
即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。
2.向量加法是可结合的。
即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零向量是向量加法的单位元素。
即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。
几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。
下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。
我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。
那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。
这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。
2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。
我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。
那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。
这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。
在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。
以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。
通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。
总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。
在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。
通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
向量加法运算及其几何意义sha
02
向量加法的几何意
义
向量加法的平行四边形法则
平行四边形法则描述了两个向量相加的几何意义，即以两个 向量为邻边作一个平行四边形，其第四个向量等于原两个向 量的和。
具体来说，设向量$overset{longrightarrow}{a}$和向量 $overset{longrightarrow}{b}$为平行四边形的两个邻边， 则它们的和向量$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$等于与这两个邻边不共线的对 角线向量。
向量加法的定义和性质
向量加法是一种二元运算，其定义是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
向量加法满足结合律和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a。
向量加法满足单位元和零元性质，即存在零向量，使得任何向量与零向量的加法结果仍为该向量本身， 同时存在单位向量，使得任何向量与单位向量的加法结果仍为该向量本身。
数学中的向量加法
向量空间
在数学中，向量空间是一个由向量构成 的集合，这些向量通过向量加法进行运 算。向量加法是向量空间中一个基本的 运算，它满足结合律、交换律和分配律 等基本性质。
VS
向量模的计算
向量模是向量的长度或大小。通过向量加 法，可以计算两个向量的和，进而计算出 它们的模。
工程中的向量加法
向量加法运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量加法的定义 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的应用 • 向量加法的扩展
01
向量加法的定义
向量的表示
向量可以用几何图形表示，如线段、 箭头等。
第二章 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则为起点的两个已知向量a ，OC →就是a 与b 的和．把这种作两个向量向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.1．0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3.AB →＋BA →＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC →.( × ) 5．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则 答案 (1)OB → (2)AD →(3)0 题型二 向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →＝0.反思感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.特别地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A 1———→＝0.跟踪训练2 向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于( ) A.BC → B.AB →C.AC →D.AM →考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D解析 向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →＝AB →＋BO →＋OP →＋PB →＋BM →＝AM →. 题型三 向量加法的实际应用例3 在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在运动学中的应用解 作出图形，如图所示．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进的． 引申探究1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？ 解 由例3知v 船＝20 m/min ，v 实际＝20×sin 60°＝103(m/min)， 故该船1 h 行驶的航程为103×60＝6003(m)＝335(km)． 2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．解 如图，作平行四边形ABDC ，则AD →＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝|BD →||AB →|＝2010＝2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝53(N)，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.三角形形状的判断典例 已知|AB →|＝1，|AC →|＝1，且|AB →＋AC →|＝3，判断△ABC 的形状．解 由向量加法的平行四边形法则及|AB →|＝|AC →|＝1，知构成的四边形为菱形，且最长的对角线长度为|AB →＋AC →|＝3，则∠BAC ＝60°，故△ABC 为等边三角形．[素养评析] 本题主要考查向量加法的应用，突出考查直观想象的核心素养，培养学生从图形与图形关系中抓住问题本质，从而更好地理解向量加法的平行四边形法则．1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB → B.BA → C ．0 D.AC → 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 D解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 3．若正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|等于( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 B解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2， 所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2.4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 C解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →， 即DC →＝AB →，∴AB ＝DC ，AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．已知向量a 表示“向东航行3 km ”，b 表示“向南航行3 km ”，则a ＋b 表示__________． 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用 答案 向东南航行3 2 km解析 根据题意由于向量a 表示“向东航行3 km ”，向量b 表示“向南航行3 km ”，那么可知a ＋b 表示向东南航行3 2 km.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.一、选择题1．化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA →C.DC →D.CD →考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO → 考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 B解析 OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．下列说法正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 B解析 ①错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；②正确；③错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |. 4．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在平面几何中的应用 答案 D解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，故选D. 5．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，所以AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.6．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12 D ．6考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 B解析 因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍． 又|AC →|＝42＋22＝25，所以向量AB →＋AD →＋AC →的长度为4 5.7．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在平面几何中的应用 答案 B解析 如图所示，作OA →，OB →的和向量OD →，因为OA →＋OB →＋OC →＝0， 所以OD →＋OC →＝0，即OD →与OC →长度相等，方向相反． 所以|OA →|＝|OD →|，所以△AOD 为等边三角形， 所以∠OAB ＝12∠OAD ＝30°，同理，∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°， 所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，即△ABC 为等边三角形． 二、填空题8．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 (1)AD →(2)09．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 考点 向量的加法运算与运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.10.如图，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 8 3解析 因为a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →，延长BC 至E ，使CE ＝BC ，连接DE .由于CE→＝BC →＝AD →，所以四边形ACED 是平行四边形，所以AC →＝DE →，所以AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →，所以|a ＋b ＋c |＝|BE →|＝2|BC →|＝2|AD →|＝8 3.11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 1解析 在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，即|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.12．设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a|＋b |b|＋c |c|，则|p |的取值范围为____________． 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点 利用向量的加法求模长答案 [0,3]解析 因为a |a|，b |b|，c |c|是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值 3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.三、解答题13.如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ．求F 1和F 2的合力大小．考点 向量加法的定义及几何意义的应用题点 向量的加法在物理学中的应用解 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|OA →|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，∴∠OCA ＝90°，∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为与F 2成90°角竖直向上．14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.考点 向量加法运算及运算律题点 证明几何图形中的向量等式证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.∵PB →与QC →大小相等，方向相反，∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.15.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.考点 向量加法的定义及几何意义的应用题点 向量的加法在平面几何中的应用证明 由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →，所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.。
向量加法运算及其几何意义
求两个向量和的运算叫做向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 向量的加法.
首 尾
A
a b a b
B a+b
顺 次 相 连
O
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法, 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为 向量加法的三角形法则。 向量加法的三角形法则。
两种特例(两向量平行) 两种特例(两向量平行)
a
b
a
b
B C B C A
A
a + b = AC
a + b = AC
方向相同
方向相反
如图， 如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. c a b b a a+ b
向量加法的平 b+ a 行四边形法则
+
a ,b
+
c
a
b
(1)当____时 | a + b |<| a | + | b |; (1)ab不共线时 , ，
， (2)当____时 | a + b |=| a | + | b |; (2)ab共线同向时 ,
(3)当____时 | a + b |=| a | − | b | (或| b | − | a |). ,
向量加法运算 及其几何意义
由于大陆和台湾没有直航, 因此2011年春节探 由于大陆和台湾没有直航, 因此2011年春节探 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海, 亲, 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海, 则 上海 飞机的位移是多少? 飞机的位移是多少?
《向量加法运算及其几何意义》
是否成立？
根据图示填空：
（1）a+b=
（2）c+d=
；
。
根据图示填空：
（1）a+b=
（2）c+d=
；Hale Waihona Puke ；（3）a+b+d=
（4）c+d+e=
；
。
1.向量加法的三角形法则 （要点：两向量首尾连接）
2.向量加法的平行四边形法则
（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）
3.向量加法满足交换律及结合律
a b
当向量a , 是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定：
a+ 0 = 0+ a = a
AC = a + b
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
1、不共线
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
|a + b |< |a |+ |b |
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
2、 共线
(1)同向
a
a + b
b
(2)反向
a
b
a + b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |< | a | - | a | = b + b
向量的加法运算及其几何意义
向量的加法运算及其几何意义引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
向量的加法运算是向量计算中的基本操作之一，具有重要的几何意义。
本文将介绍向量的加法运算的定义、性质以及其在几何上的意义。
向量的加法定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
向量的加法定义如下：设有两个向量a和a，表示为a = (a₁, a₂, …, aa)和a = (a₁, a₂, …, aa)，则两个向量的和记为a + a，它的每个分量等于对应分量之和，即(a₁ + a₁, a₂ + a₂, …, aa + aa)。
向量的加法性质向量的加法满足以下性质：1.交换律：a + a = a + a，即向量的加法是可交换的。
2.结合律：(a + a) + a = a + (a + a)，即向量的加法满足结合律。
3.零向量：对于任意向量a，存在一个称为零向量的特殊向量a，满足a + a = a。
4.相反向量：对于任意向量a，存在一个称为相反向量的特殊向量−a，满足a + (−a) = a。
这些性质使得向量的加法成为一个群运算，为后续的研究提供了基础。
向量加法与向量几何意义向量的加法在几何上有很重要的意义。
几何向量可以通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的加法运算可以通过将两个向量的箭头连接起来得到。
当两个向量的方向相同且大小相等时，它们的加法运算结果是一个与它们方向相同且大小等于它们之和的向量。
这可以用以下图形表示：--------- --------------- --------- ----------------------------------当两个向量的方向相反且大小相等时，它们的加法运算结果是一个大小为零的向量。
这可以用以下图形表示：---------------------------------- --------- --------------- ---------当两个向量的方向不同且大小不等时，它们的加法运算结果是一个向量。
向量加法及几何意义
ABBCAC
CA
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点 B改变方向到点C，则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
ABBCAC
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加， 并且两个向量的和还是一个向量.一般地， 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用 三角形法则求其和向量？
3.两个向量的和的模不大于这两个向 量的模的和，这是一个不等式性质， 解题中具有一定的功能作用
作业： P84练习：3，4.（做书上） P91习题2.2A组：1，2，3.
a
ｂ
C
a＋b
ｂ
A
a
B
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示
橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向
伸长了相同长度.从力学的观点分析，力
F与F1、F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
F1 F
图1
F2
F2
M
F
EO
C D
A
A
B
小结作业
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量 加法三角形法则的物理模型，力的合成是 向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意 次序、组合进行.若平移这些向量使其首 尾相接，则以第一个向量的起点为起点， 最后一个向量的终点为终点的向量，即为 这些向量的和.
O
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法则 求作两个向量的和向量，其作图特点分 别如何？
向量的加法运算及其几何意义一
向量加法满足结合律
向量加法的代数性质
VS
将两个向量首尾相连，得到的平行四边形的对角线向量就是这两个向量的和。
三角形法则
将一个向量的起点与另一个向量的终点重合，则这两个向量的和就是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量。
平行四边形法则
向量加法的几何意义
VS
平面向量的加减运算可以应用于物理学中的很多方面，如力学、运动学等。
在磁场中，若有两个分磁感应强度 $B_1$ 和 $B_2$，它们的合磁感应强度 $B$ 可以表示为 $B = B_1 + B_2$。
向量加法在电磁学中的应用
向量加法在数学中的运用
06
在平面直角坐标系中，向量表示为有序数对 (x,y)。
向量的加法运算可以表示为：向量(x₁,y₁) + 向量(x₂,y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量在函数中的运用
向量的加法可以表示为：点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₂,y₂) + 点(x₁,y₁)，并且点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃) = 点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃)。
01
02
03
在代数学中，向量可以表示为二维数组：(a,b)。
向量在代数学中的运用
向量的加法可以表示为：向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = (a₁+a₂,b₁+b₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = 向量(a₂,b₂) + 向量(a₁,b₁)，并且(向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂)) + 向量(a₃,b₃) = 向量(a₁,b₁) + (向量(a₂,b₂) + 向量(a₃,b₃))。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在向量加法中，将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量被称为它们的和向量。
下面将从数学和几何的角度分别探讨向量加法的运算及其几何意义。
一、数学角度：1.向量的表示：向量通常用一个有向线段或箭头表示，箭头所指的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小或模。
一个向量通常用字母加上一个箭头上的向量符号表示，例如向量a可以表示为→a。
2.向量的分量表示：向量在坐标系中的表示通常采用分量表示法。
例如，向量a的表示可以表示为(a₁,a₂,a₃)。
这表示向量a在x、y、z轴上的分量分别为a₁、a₂、a₃。
3.向量的加法：给定两个向量a和b，其分量表示分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，那么它们的和向量c可以表示为(c₁,c₂,c₃)，其中c₁=a₁+b₁，c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃。
4.向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着可以按照任意顺序加法运算，并且可以同时对多个向量进行加法运算。
二、几何角度：1.平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
对于平行向量a和b，它们的和向量c的方向与它们相同，并且大小是它们的大小之和。
2.共线向量：如果两个向量的方向相同或者它们的起点和终点相同，那么它们是共线向量。
对于共线向量a和b，它们的和向量c的起点和终点分别是a和b的起点和终点。
3.零向量：零向量是一个大小为0的向量，在坐标系中表示为(0,0,0)。
任何向量与零向量相加的结果都等于该向量本身。
4.平行四边形法则：根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。
两个向量的和向量等于对角线的向量。
5.三角形法则：根据三角形法则，如果两个向量的起点相同，那么可以通过将它们的终点连接起来得到一个三角形。
两个向量的和向量等于这个三角形的第三条边的向量。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
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向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
6.2.1向量的加法运算及其几何意义
如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时， 如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法： 三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc
向量加法运算及其几何意义
课堂练习
教材P84页练习4.
1 a+b = ___c___
2c+d = ___f___
3 a+b+c = ___f___ 4c+d+e = ___g___
D
e
E
f
g
c
Aห้องสมุดไป่ตู้
a
d
C
b
B
向量加法的运算律
数的加法满足交换律和结合律，那么对任意向量 a, b 的加法
是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。
连结OC,则 OC OA OB a b.
O
a
A
ab
b
B
C
练习:P84,第1,2,3题 平行四边形法则
课堂练习
教材P84页练习3.
1a+d= ___D_A___
2c+b= ___C_B___
C
D
d
c
O
a
A
b
B
课堂练习
向量加 法
教材P84页练习2.
2、（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
课堂练习
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a，AB b，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a，OB b，
b
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB， a
向量加法运算及几何意义
详细描述
在向量场中，向量表示空间中某点的方向和大小。通过向量的加法运算，可以描述物体在空间中的运动和相互作用。例如，力场中的合力、速度场中的合速度等都可以通过向量的加法运算得到。
向量加法的向量场意义
03
向量加法的性质
VS
向量加法的交换律是指两个向量相加时，交换两个向量的位置，其和向量不变。
详细描述
04
向量加法在实际问题中的应用
力的合成
当一个力产生的效果与多个力共同作用产生的效果相同时，可以将这些力合成为一个力。力的合成可以通过向量加法实现，即平行四边形法则或三角形法则。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力共同作用产生与原力相同的效果。力的分解是力的合成的逆运算，同样可以通过向量加法实现。
几何表示法
字母表示法
向量的表示方法
用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
用黑体字母或加下划线的字母表示向量，如$overset{longrightarrow}{AB}$表示向量AB。
定义：将两个向量首尾相接，形成一个新的向量，称为这两个向量的和，记作$\overset{\longrightarrow}{AB} + \overset{\longrightarrow}{CD}$。
向量加法的结合律
向量加法与数乘的结合律
数乘与向量加法的结合律是指数乘向量与另一个向量相加时，改变相加的顺序，其和向量不变。
总结词
数乘与向量加法的结合律也是基本的数学性质之一，表示数乘与向量加法不满足结合律。即，对于任意实数$k$、向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，有$(koverset{longrightarrow}{a}) + overset{longrightarrow}{b} = k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b})$。
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向量的加法及其几何意义
一、教材分析
高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。
另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。
教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。
而本节课是继向量基本概念的第一节课。
向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。
它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。
正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。
二、学生学习情况分析
学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。
三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此，在教学中要不断指导学生学会学习。
在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。
四、教学目标
根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。
及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：
1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。
2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。
3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
五、教学重点与难点
1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。
（两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。
）
2、教学难点：向量加法的运算律。
（设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度。
）
六、教学过程设计
1、问题引入（约5分钟）
引例：有两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力分别是＝3000牛，＝2000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°。
如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力下的大小和方向。
在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力与的合力是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的力。
这就是说，是与相加所得到的和。
[设计说明] 引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题,以现有的知识为出发培养学生的知识类比、迁移能力。
[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。
2、概念形成（约5分钟）
一般地，把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，叫做与两个向量的和，记作＋。
求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行。
问题1：如何求两个平行向量的和向量？
问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？
求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
[设计说明] 补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。
3、概念深化（约15分钟）
练习根据图中所给向量画出向量
[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。
另外，可由此引出向量加法的三角形法则。
2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。
在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则。
4、应用举例（约10分钟）
（1）已知平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：＋＋＝；（2）在平面内能否构造三个非零向量、、，使＋＋＝；（3）能否说出（2）的实际模型？
[设计说明] 题（1）是基本的例题；题（2）是题（1）的拓展；题（3）能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。
5、研究讨论（约5分钟）已知、是非零向量，则| ＋ |与| |＋| |有什么关系？
[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想。
6、小结归纳：（约4分钟）
让学生自主回顾和归纳本节的内容。
[设计说明]1、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3、理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力[学情预设] 要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。
7、作业布置：（约1分钟）练习册P.21的6、10、19。
[设计说明]1、巩固所学的内容。
2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不足。
七．教学反思
在本节课中我采用“探究----讨论”教学法。
“探究----研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的。
“探究----研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”。
我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索，研究它。
学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解。
第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。
这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。
”的研讨式学习方法。
这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。
使学生真正成为教学的主体。
也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。
学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。