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导数综合讲义(教师版)

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2024高考数学课件 导数的综合运用讲解册

2024高考数学课件 导数的综合运用讲解册

题型清单目 录题型1 与导数有关的构造函数题型2 利用导数证明不等式题型3 利用导数研究不等式恒(能)成立问题题型4 利用导数研究函数零点问题2024高考数学课件　导数的综合运用讲解册题型1　与导数有关的构造函数抽象函数构造的常见类型已知的不等式中所含结构构造函数的方向xf '(x)-f(x)F(x)= ,F'(x)= xf '(x)+f(x)F(x)=xf(x),F'(x)=f(x)+xf '(x)f(x)+f '(x)F(x)=e x f(x),F'(x)=e x [f(x)+f '(x)]f(x)-f '(x)F(x)= ,F'(x)= xf '(x)+2f(x)F(x)=x 2f(x),F'(x)=x 2f '(x)+2xf(x)xf '(x)-2f(x)F(x)= ,F'(x)= f (x)x 2xf '(x)f (x)x -x f (x)e x f '(x)f (x)e -2f (x)x 3xf '(x)2f (x)x-例1 (2023湖南长沙校考测试,5)已知函数f(x)的导数为f '(x),且(x+1)f(x)+xf '(x)>0对x∈R恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为 ( )A.y=f(x)B.y=xf(x)C.y=e x f(x)D.y=x e x f(x) 解析设F(x)=x e x f(x),则F'(x)=(x+1)e x f(x)+x e x f '(x)=e x[(x+1)f(x)+xf '(x)].∵(x+1)f(x)+xf '(x)>0对x∈R恒成立,且e x>0,∴F'(x)>0,∴F(x)在R上递增,故选D. 答案D解题技巧可根据题意,对选项逐一验证,易得A,B,C不合题意.即练即清1.(2023江苏扬州校考测试,6)定义在 上的函数f (x ), f '(x )是它的导函数,且恒有f (x )<f '(x )tan x 成立,则 ( ) A. f > f B.f (1)<2f sin 1 C. f >f D. f <f 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭34π⎛⎫ ⎪⎝⎭23π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π⎛⎫ ⎪⎝⎭26π⎛⎫ ⎪⎝⎭4π⎛⎫ ⎪⎝⎭36π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D题型2　利用导数证明不等式1.常见不等式(大题使用需要证明)(1)e x ≥x +1,e x -1≥x ,e x ≥e x ,e -x≥1-x .(2)ln x ≤x -1(x >0),ln(x +1)≤x (x >-1),ln ≤ -1(x >0),ln x ≥1- (x >0).(3)e x ≥1+x + x 2(x ≥0),e x ≤1+x + x 2(x ≤0),ln x ≤ x (x >0).1x 1x 1x 12121e2.常用方法:作差(商)比较法,放缩法,凸凹反转法,指数找朋友法等.知识拓展1.凸凹反转法:首先对原不等式进行等价变形,然后根据变形后的不等式构造M(x)> N(x),转化为证M(x)min>N(x)max.2.指数找朋友法:在证明或处理含指数函数的不等式时,通常要将指数型的函数“结合”起来,即让指数型的部分乘或除以一个多项式,这样再对变形的函数求导后,无需考虑指数型部分的值,使得后续解方程或求值的范围更加简单.这种变形过程,我们称为“指数找朋友”.例2 (2023广东佛山二模,22改编)证明:e x -3x +2sin x -1≥0. 证明 指数找朋友法.欲证e x -3x +2sin x -1≥0,即证 -1≤0,令F (x )= -1,则F '(x )= ,(多项式除以指数型的形式,只考虑分子部分即可)令q (x )=2-3x +2sin x -2cos x ,则q '(x )=-3+2cos x +2sin x =2 sin -3<0,所以函数q (x )单调递减,且q (0)=0,所以当x <0时,F '(x )>0,当x >0时,F '(x )<0,所以函数F (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,32sin 1e x x x -+32sin 1e x x x -+232sin 2cos ex x x x -+-24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故F (x )≤F (0)=0,即 -1≤0,从而原不等式得证.32sin 1e x x x -+即练即清2.(2018课标Ⅲ文,21,12分)已知函数f (x )= .(1)求曲线y =f (x )在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a ≥1时, f (x )+e ≥0.21e x ax x +-解析 (1)f '(x )= ,则f '(0)=2.因此曲线y =f (x )在点(0,-1)处的切线方程是2x -y -1=0.(2)证明:f (x )+e= ,所以证明f (x )+e ≥0即证ax 2+x -1+e x +1≥0,因为e x ≥x +1,所以e x +1≥x +2,所以ax 2+x -1+e x +1≥ax 2+2x +1,即证ax 2+2x +1≥0,因为a ≥1,所以ax 2+2x +1≥x 2+2x +1=(x +1)2≥0.2(21)2ex ax a x -+-+211e ex x ax x ++-+故a ≥1时, f (x )+e ≥0.题型3　利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.转化策略一般有:(1)参数讨论法;(2)分离参数法;(3)先特殊、后一般法等.2.常用的转化方法:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;(3)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;(4)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.3.双变量恒(能)成立问题的转化方法:(1)∀x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min;(2)∀x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max;(3)∃x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min;(4)∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.例3 (2024届江苏南京师大附中入学测试,8)已知函数f (x )=x +x ln x ,g (x )=kx -k ,若k ∈Z,且f (x )>g (x )对任意x >e 2恒成立,则k 的最大值为( )A.2 B.3 C.4 D.5 解析 f (x )>g (x ),即x +x ln x >kx -k 对任意x ∈(e 2,+∞)恒成立,所以k < ,即k < .令u (x )= ,x ∈(e 2,+∞),则u '(x )= .令h (x )=x -ln x -2,x ∈(e 2,+∞),h '(x )=1- = >0,ln 1x x x x +-min ln 1x x x x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ln 1x x x x +-2ln 2(1)x x x ---1x 1x x-所以h (x )在(e 2,+∞)上单调递增,所以h (x )>h (e 2)=e 2-4>0,可得u '(x )>0,所以u (x )在(e 2,+∞)上单调递增.所以u (x )>u (e 2)= =3+ ∈(3,4).又k ∈Z,所以k max =3.故选B.223e e 1-23e 1- 答案 B即练即清3.已知函数f (x )=ln x -a (x -1),a ∈R,x ∈[1,+∞),且f (x )≤ 恒成立,求a 的取值范围.ln 1x x +解析　参数讨论法.f (x )- = ,构造函数g (x )=x ln x -a (x 2-1)(x ≥1),g '(x )=ln x +1-2ax ,令F (x )=g '(x )=ln x +1-2ax ,F '(x )= .①若a ≤0,则F '(x )>0,g '(x )在[1,+∞)上单调递增,g '(x )≥g '(1)=1-2a >0,∴g (x )在[1,+∞)上单调递增,g (x )≥g (1)=0,ln 1x x +2ln (1)1x x a x x --+12ax x-从而f (x )- ≥0,不符合题意.②若0<a < ,当x ∈ 时,F '(x )>0,ln 1x x +1211,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∴g '(x )在 上单调递增,从而g '(x )≥g '(1)=1-2a >0,∴g (x )在 上单调递增,g (x )≥g (1)=0,从而f (x )- ≥0,不符合题意.③若a ≥ ,则F '(x )≤0在[1,+∞)上恒成立,∴g '(x )在[1,+∞)上单调递减,g '(x )≤g '(1)=1-2a ≤0.11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ln 1x x +12∴g (x )在[1,+∞)上单调递减,从而g (x )≤g (1)=0, f (x )- ≤0.ln 1x x +综上,a 的取值范围是 .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭题型4　利用导数研究函数零点问题1.函数零点问题的常见类型:(1)判断或证明零点个数.常用的方法有:①直接根据函数零点存在定理判断;②将f(x)整理变形成f(x)=g(x)-h(x)的形式,通过y=g(x)的图象与y=h(x)的图象的交点个数确定函数的零点个数;③结合导数,求函数的单调性,从而判断函数零点个数.(2)已知零点个数求参数范围.(3)讨论或者证明零点所满足的分布特征.2.求函数的零点个数时,常用的转化方法:参数讨论法,分离参数法,数形结合法等.例4 (2022全国乙文,20,12分)已知函数f (x )=ax - -(a +1)ln x .(1)当a =0时,求f (x )的最大值;(2)若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围.1x 解析 (1)当a =0时, f (x )=- -ln x (x >0),∴f '(x )= - (x >0),令 f '(x )=0,得x =1,x ∈(0,1)时, f '(x )>0,x ∈(1,+∞)时, f '(x )<0,∴f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f (x )max =f (1)=-1.(2)f '(x )=a + - = .(i)当a ≤0时,ax -1≤0恒成立,∴0<x <1时, f '(x )>0, f (x )单调递增,x >1时, f '(x )<0, f (x )单调递减,1x 21x 1x 21x 1a x +2(1)(1)ax x x--∴f (x )max =f (1)=a -1<0.此时f (x )无零点,不合题意.(ii)当a >0时,令f '(x )=0,解得x =1或x = ,①当0<a <1时,1< ,∴1<x < 时, f '(x )<0, f (x )单调递减,0<x <1或x > 时, f '(x )>0, f (x )单调递增,∴f (x )在(0,1), 上单调递增,在 上单调递减, f (x )的极大值为f (1)=a -1<0,x →+∞时, f (x )>0,∴f (x )恰有1个零点.1a 1a 1a 1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当a =1时,1= , f (x )在(0,+∞)上单调递增, f (1)=0,符合题意.③当a >1时, <1, f (x )在 ,(1,+∞)上单调递增,在 上单调递减,f (x )的极小值为f (1)=a -1>0,x →0时, f (x )→-∞,∴f (x )恰有1个零点.综上所述,a >0.1a1a 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即练即清4.(2023全国乙文,8,5分)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是 ( )B A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)5.(2021新高考Ⅱ,22,12分)已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b .(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明: f (x )有一个零点.① <a ≤ ,b >2a ;②0<a < ,b ≤2a .122e 212解析 (1)∵f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ,∴f '(x )=x e x -2ax =x (e x-2a ).①当a ≤0时,e x-2a >0对任意x ∈R 恒成立,当x ∈(-∞,0)时, f '(x )<0,当x ∈(0,+∞)时, f '(x )>0.因此y =f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.②当a >0 时,令e x-2a =0⇒x =ln(2a ).(i)当0<a < 时,ln(2a )<0.y =f '(x )的大致图象如图1所示.12因此当x ∈(-∞,ln(2a ))∪(0,+∞)时, f '(x )>0,当x ∈(ln(2a ),0)时, f '(x )<0,所以f (x )在(-∞,ln(2a ))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(2a ),0)上单调递减.(ii)当a = 时,ln(2a )=0,此时f '(x )≥0对任意x ∈R 恒成立,故f (x )在R 上单调递增.(iii)当a > 时,ln(2a )>0,y =f '(x )的大致图象如图2所示.1212因此,当x ∈(-∞,0)∪(ln(2a ),+∞)时, f '(x )>0,当x ∈(0,ln(2a ))时, f '(x )<0,所以f (x )在(-∞,0)和(ln(2a ),+∞)上单调递增,在(0,ln(2a ))上单调递减.(2)选①.证明:由(1)知, f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,ln(2a ))上单调递减,在(ln(2a ),+∞)上单调递增,又f (0)=b -1>0,f = <0,所以f (x )在(-∞,0]上有唯一零点.b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭e ba -当x ∈(0,+∞)时,f (x )≥f (ln(2a ))=[ln(2a )-1]·2a -a [ln(2a )]2+b =a ln(2a )[2-ln(2a )]+b -2a >a ln(2a )[2-ln(2a )].因为 <a ≤ ,所以0<ln(2a )≤2,所以f (x )>0对任意x >0恒成立.综上, f (x )在R 上有唯一零点.选②.证明:由(1)知f (x )在(-∞,ln(2a ))上单调递增,在(ln(2a ),0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,122e 2f(0)=b-1<0,当x→+∞时, f(x)→+∞,所以一定存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=0.结合单调性知f(x)在[0,+∞)上有唯一零点.当x∈(-∞,0)时, f(x)≤f(ln(2a))=a ln(2a)·[2-ln(2a)]+b-2a<0,即f(x)<0对任意x<0恒成立.综上, f(x)在R上有唯一零点.。

导数的综合应用个性化辅导讲义

导数的综合应用个性化辅导讲义

(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；
(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
巩固作业
一、选择题
1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( )
A ．(15
，＋∞) B ．(－∞，15) C ．(－15
，＋∞) D ．(－∞，－15) 2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．由a 确定 3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得
极大值－5时，x 的值应为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1 4．若函数g (x )＝x 3－ax 2＋1在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥3
B ．a >3 C.32
<a <3 D.32≤a ≤3 5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ′(x )为其导函数，如右图是函数y ＝x ·f ′(x )的图象的
一部分，则f (x )的极大值与极小值分别为( )
A ．f (1)与f (－1)
B ．f (－1)与f (1)
C ．f (2)与f (－2)
D ．f (－2)与f (2)
6．(2011·郑州第一次调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，g (x )是定义在R 上恒大于零的函数，且当
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导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)

导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)

导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。

高中数学《导数》讲义(全)

高中数学《导数》讲义(全)

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

导数与其他知识交汇综合讲义3-导数与三角函数

导数与其他知识交汇综合讲义3-导数与三角函数

导数与其他知识交汇 综合讲义3 导数与三角函数【例1】 设()sin f x x x =，1x 、2ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()()12f x f x >，则下列结论必成立的是（ ）A ．12x x >B ．120x x +>C ．12x x <D ．2212x x >【考点】导数与三角函数综合【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 ()sin cos f x x x x '=+，当π02x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()0f x '>，()f x 在π02⎛⎤⎥⎝⎦，单调递增；又()f x 为偶函数，故()f x 在π02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上单调递减，且图象关于y 轴对称．1x 、2ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()()2212121212()()f x f x f x f x x x x x >⇔>⇔>⇔>． 【答案】D【例2】 设函数())()cos0πf x ϕϕ=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=__________．【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 ())f x ϕ'=+，π()()))2cos 3f x f x ϕϕϕ⎫'+=++=++⎪⎭，此函数为奇函数，故πππ()32k k ϕ+=+∈Z ππ()6k k ϕ⇒=+∈Z ，当0k =时，π(0π)6ϕ=∈，． 【答案】π6【例3】 函数()2cos f x x x =+在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为______；在区间[02π]，上最大值为_______．【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】【解析】 ()12sin f x x '=-，π06x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x单调递减；故()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为ππππ2cos 6666f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()f x 在π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，与5π2π6⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在π5π66⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π(2π)2π2cos(2π)2π26f =+=+>()f x 在区间[02π]，上最大值为2π2+．【答案】π6；2π2+；【例4】 设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 则导数()1f '的取值范围是（ ）A ．[]22-，B． C．2⎤⎦D．2⎤⎦【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考，题9【解析】2()sin f x x x θθ'=+，π(1)sin 2sin 3f θθθ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭．5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ3π334θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，πsin 13θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．从而(1)2]f '∈． 【答案】D【例5】 设函数223()cos 4sin3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞U B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23231cos ()cos 43cos 2cos 2x f x x t t t x t x t t -=+⋅+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--，∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+，令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与(1,)+∞．但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．【答案】B【例6】将函数2y =[]()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2009，上海，高考，题14【解析】将2y =进行变形得：22(3)(2)13x y -++=，[06]x ∈，，2y -≥．它表示圆的一段，当0x =与6x =时，都有0y =，故函数象表示的是x 轴上方的一段弧，OT 旋转到y 轴时，有最大的旋转角度．此时再放置此圆弧就与y 轴相交于两点，不再是函数图象了．12y '==0x =得，32y '=，即3tan 2AOT ∠=， 于是2tan 3α=，α的最大值为2arctan 3． 【答案】2arctan 3【例7】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a xf x x x--⋅-'=⋅=． 因为()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数，所以当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，22cos ()03sin a x f x x -'=≥，即2cos 0a x -≥恒成立．π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0cos 1x <<，要使2cos 0a x -≥在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，只要2cos a x ≤在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立． 故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．【答案】(2]-∞，【例8】 求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 设1()sin 2f x x x =-，x ∈R ．1()1cos 02f x x '=->，故()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，因此方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【答案】略【例9】 设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =．⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2005，全国Ⅰ，高考【解析】 ⑴∵π8x =是函数()y f x =的图象的对称轴，∴πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭．∴πππ42k k ϕ+=+∈Z ，．ππ4k k ϕ=+∈Z ，． ∵π0ϕ-<<，∴3π4ϕ=-．⑵由⑴知3π4ϕ=-，因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意得π3ππ2π22π242k x k k --+∈Z ≤≤，，所以函数3πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，． ⑶∵3π3πsin 22cos 2244y x x '⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以曲线()y f x =的切线斜率取值范围为[22]-，，而直线520x y c -+=的斜率为522>，所以直线520x y c -+=与函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切．【答案】⑴3π4ϕ=-；⑵π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，；⑶略．【例10】 已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭r r ，，，，令()f x a b =⋅r r ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星【题型】解答【关键词】2005，江西，高考【解析】πππ()sin tan tan 2242424x x x x f x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r21tan tan 1222sin cos 2cos 1222222221tan 1tan22x xx x x x x x x x +-⎛⎫=++⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭-+sin cos x x =+． 令()()0f x f x '+=，即()()sin cos cos sin 2cos 0f x f x x x x x x '+=++-==，可得π2x =，所以存在实数[]π0,π2x =∈，使()()0f x f x '+=． 【答案】存在，π2x =．【例11】 设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009，辽宁，高考 【解析】 ⑴ ()()2121'=++++x f x e ax x ax ．由条件知，()10'=f ，故3201++=⇒=-a a a ．于是()()()()2221x x f x e x x e x x '=--+=-+-．故当()()21∈-∞-+∞U x ，，时，()0'<f x ； 当()21∈-x ，时，()0'>f x ． 从而()f x 在()2-∞-，，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加． ⑵ 由⑴知()f x 在[]01，单调增加，故()f x 在[]01，的最大值为()1=f e ，最小值为(0)1=f ． 从而对任意1x ，[]201∈x ，，有()()1212--<f x f x e ≤． 而当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，[]cos sin 01θθ∈，，． 从而()()cos sin 2θθ-<f f ．【答案】⑴1a =-，()f x 在()2-∞-，，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加．⑵略．【例12】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）． 【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan4f '=，即311m -=，解得23m =． ∵(1)f n =，∴13n =-．⑵32()3f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得x =．当1x -<<时，2()210f x x '=->；当x <<2()210f x x '=-<；当3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值．又1(1)3f -=，23f ⎛-= ⎝⎭，(3)15f =． 因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15．要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥．所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332(sin cos )(sin cos )3x x x x =+-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ⎡⎤=+⋅-+-⎢⎥⎣⎦21|sin cos |sin cos 33x x x x =+⋅+31|sin cos |3x x =+3π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵0t >，∴12t t+，()f x 在)+∞上单调递增，3f =．∴12223f t f t ⎛⎫+=⎪⎝⎭≥． 综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【答案】⑴23m =，13n =-；⑵存在，2008k =；⑶略．【例13】 已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009，崇文，一模【解析】 22()(e )(22)e (22)x x f x ax x ax x '''=⋅--+⋅--2e (22)e (22)x x ax x ax =⋅--+⋅-2e (2)x a x x a ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭．⑴∵曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴， 由导数的几何意义得(1)0f '=，∴2a =．⑵设|cos |(01)x t t =≤≤，只需求函数()(01)y f t t =≤≤的最大值和最小值． 令()0f x '=，解得2x a=或2x =-． ∵0a >，∴22a>-． 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：函数()f x 在(2)-∞-，和2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；在22a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减；02a <≤时，21a≥，函数()f t 在[01]，上为减函数． ∴min (1)(4)e y f a ==-，max (0)2y f ==-．当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-． ⑶当2a >时，201a<<，函数()f x 的极小值为[01]，上的最小值， ∴2min22e a y f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 函数()f t 在[01]，上的最大值为(0)f 与(1)f 中的较大者． ∵(0)2f =-，(1)(4)e f a =-．∴当24e a >-时，(1)(0)f f >，此时max (1)(4)e y f a ==-；当24e a =-时，(1)(0)f f =，此时max (0)(1)2y f f ===-．当224ea <<-时，(1)(0)f f <，此时max (0)2y f ==-．综上，当224ea <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为22e a-，最大值为2-；当24ea >-时，(|cos |)f x 的最小值为22e a-，最大值为(4)e a -．【答案】⑴2a =；⑵当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-．⑶当224ea <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为22e a -，最大值为2-；当24ea >-时，(|cos |)f x 的最小值为22e a-，最大值为(4)e a -．【例14】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a L L ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=L ，， 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2005，天津，高考【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有(2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=．⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ①令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+． 因此，4222000020[()]sin 1x f x x x x ==+．⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-，则存在一个非负整数k ，使0ππππ2x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，，即0x 在第二或第四象限内． 由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下：0由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<<<L L ， 那么对于12n =L ，，，1111(tan tan )(1tan tan )tan()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=--=-+⋅-． ②由于π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π22n n a a +<-<， 由于1tan tan 0n n a a +⋅>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限，即1πn n a a +-<． 综上，1ππ2n n a a +<-<． 【答案】略．【例15】 已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2006，天津，高考【解析】 ⑴当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值．⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02x x θ==，， 由⑴，只需分下面两种情况讨论．①当cos 0θ>时，随x 的变化()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos 2f ⎛⎫⎪⎝⎭，且3cos 13cos cos 2416f θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使cos 02f θ⎛⎫> ⎪⎝⎭，必有213cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<<． 故ππ62θ<<或3π11π26θ<<； ②当cos 0θ<时，随x 的变化，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在0x =处取得极小值(0)f ，且(0)cos .16f θ=若(0)0f >，则cos 0θ>．矛盾．所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零．综上，要使函数()f x 在()-∞+∞，内的极小值大于零，参数θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，． ⑶由题意知：函数()f x 在cos 2θ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，与(0)+∞，上恒为增函数， 由题设()f x 在()21a a -，内为增函数， 故a 需要满足不等式：cos 221a a aθ⎧⎪⎨⎪-<⎩≤或21021a a a -⎧⎨-<⎩≥， 由⑵知，θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，，0cos θ<，要满足上述不等式恒成立，需要0a ≤或112a <≤．即a 的取值范围是1(0]12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦U ，，． 【答案】⑴无极值．⑵θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，．⑶a 的取值范围是1(0]12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦U ，，．【例16】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星【题型】解答【关键词】2006，天津，高考【解析】 ⑴当cos 0θ=时，31()432f x x =+，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值． ⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02x x θ==，． 由π02θ≤≤及⑴，只需考虑cos 0θ>的情况．当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在cos 2x θ=处取得极小值cos 2f θ⎛⎫⎪⎝⎭，且3cos 11cos .2432f θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭要使cos 02f θ⎛⎫> ⎪⎝⎭，必有311cos 0432θ-+>，可得10cos 2θ<<，所以ππ32θ<<． ⑶由⑵知，函数()f x 在区间(0)-∞，与cos 2θ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内都是增函数． 由题设，函数()f x 在(21)a a -，内是增函数，则a 需满足不等式组210a a a -<⎧⎨⎩≤或21121cos 2a aa θ-<⎧⎪⎨-⎪⎩≥， 由⑵，参数ππ32θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，10cos 2θ<<． 要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1214a -≥．综上，解得0a ≤或518a <≤．所以a 的取值范围是5(0]18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U ，，． 【答案】⑴无极值；⑵ππ32θ<<；⑶a 的取值范围是5(0]18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U ，，．。

高考数学讲义导数的综合与微积分.参考教案.教师版

高考数学讲义导数的综合与微积分.参考教案.教师版

要求层次重难点导数的应用与微积分 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B定积分与微积分基本定理定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理A板块四：导数与其它知识综合知识内容1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容； 常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；3．导数与三角函数的结合；4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．典例分析： 导数与函数综合【题1】 若方程3320x ax -+=有三个不同实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a >B ．1a >C ．13a <<D ．01a <<【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 令3()32f x x ax =-+，22()333()f x x a x a '=-=-，要方程有三个不同实根，必须0a >（否则()0f x '≥，()f x 单调增长，最多只有一根）． 例题精讲高考要求导数的综合与微积分此时()f x在(,-∞上单调增加，在(,上单调减少，在,)+∞上单调增加． 要()0f x =有三个零点，当且仅法(0f >，且0f <． 解得1a >．【答案】B【题2】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，安徽，高考【解析】 ⑴∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++．从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c =+-+--是一个奇函数，故30300b b c c -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩；⑵由⑴知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(-∞，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =极大值为()g x在x =时取得极小值，极小值为- ⑶当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞，故当(m ∈-时，()g x m =有三个不同的实根． 【答案】⑴3,0b c ==；⑵(-∞-，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =()g x在x =-⑶(m ∈-．【题3】 已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(20)-，，如图所示．⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()324f x ax bx '=++，且()y f x '=的图象过点(20)-，，所以2-为23240ax bx ++=的根，代入得：310a b -+= ……① 由图象可知，()f x 在2x =-时取得极小值， 即(2)8f -=-，得2b a =……………………②由①②解得12a b =-=-，． ∴32()24f x x x x =--+．⑵ 由题意，方程()f x k =在区间[32]-，上有两个不等实根， 即方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根．2()344f x x x '=--+，令()0f x '=，解得2x =-或23x =．可列表：由表可知，当8k =-或327k -<<时，方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根，即函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点． 【答案】⑴32()24f x x x x =--+；⑵8k =-或40327k -<<．【题4】 已知函数()f x 3213x ax b =-+在2x =-处有极值．⑴ 求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，丰台，二模，题19【解析】 ⑴ ()22f x x ax '=-由题意知： (2)440f a '-=+=，得1a =-，∴()22f x x x '=+， 令()0f x '>，得2x <-或0x >；令()0f x '<，得20x -<<，∴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵ 由⑴ 知，()3213f x x x b =++，()423f b -=+为函数()f x 极大值，()0f b =为极小值．∵函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，∴()()3000f f ⎧-⎪⎨>⎪⎩≤或()()3020f f ⎧⎪⎨-<⎪⎩≥或()()3030f f ⎧->⎪⎨<⎪⎩或()()2030f f ⎧-=⎪⎨<⎪⎩或()()3000f f ⎧->⎪⎨=⎪⎩，即180403b b +⎧⎪⎨+<⎪⎩≥，∴4183b -<-≤，即b 的取值范围是418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【答案】⑴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【题5】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，．⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞U ，，，求证：1a >．【考点】导数与函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题20【解析】 ⑴当1a =时，()32f x x x b =-++，因为()12f b b -=+>，所以，函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方． ⑵由题意，得()232f x x ax '=-+，令()0f x '=，解得0x =或23x a =，当0a <时，由()0f x '>，解得203a x <<，所以()f x 只在203a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，与题意不符，舍去； 当0a =时，由()230f x x '=-≤，与题意不符，舍去；当0a >时，由()0f x '>，解得203x a <<，所以()f x 在203a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，又()f x 在()02，上是增函数，所以223a ≥，解得3a ≥，综上，a 的取值范围为[)3+∞，．⑶因为方程()320f x x ax b =-++=最多只有3个根， 由题意，得在区间()10-，内仅有一根， 所以()()()1010f f b a b -⋅=++<， ① 同理()()()0110f f b a b ⋅=-++<， ② 当0b >时，由①得10a b ++<，即1a b <--， 由②得10a b -++<，即1a b <-+，因为11b b --<-+，所以11a b <--<-，即1a <-； 当0b <时，由①得10a b ++>，即1a b >--， 由②得10a b -++>，即1a b >-+，因为11b b --<-+，所以11a b >-+>，即1a >．当0b =时，因为()00f =，所以()0f x =有一根0，这与题意不符． 综上，1a >．注：在第⑶问中，得到①、②后，可以在坐标平面aOb 内，用线性规划方法解．【答案】⑴略；⑵[)3a ∈+∞，；⑶略．【题6】 已知函数32()f x x x ax b =+++．⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()321(31)(1)f x x x x x '=+-=-+令()0f x '>，解得13x >或1x <-；令()0f x '<，解得113x -<<．所以()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，()f x 的单调递减区间为1(1)3-，．⑵ 因为函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，所以方程320x x ax b ax +++-=只有一个解，即320x x b ++=只有一个解． 令32()g x x x b =++，则其图象和x 轴只有一个交点，2()32g x x x '=+，令2()320g x x x '=+=，所以12203x x ==-，，所以，()g x 在10x =处取得极小值b ，在23x =-取得极大值27b +，要使32()g x x x b =++的其图象和x 轴只有一个交点，只要04027b b >⎧⎪⎨+>⎪⎩或04027b b <⎧⎪⎨+<⎪⎩，解得0b >或427b <-．【答案】⑴()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，单调递减区间为1(1)3-，．⑵0b >或427b <-．【题7】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．⑴若0m <，求()f x 的单调区间；⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()36(1)36f x mx m x m '=-+++23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在11m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减．⑵由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>，又0m <，所以222(1)0x m x m m -++<（[]11x ∈-，） ① 设212()21h x x x m m⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， ∴22(1)0120(1)010h m mh ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩， 解之得43m >-，又0m <，所以m 的取值范围为403⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶令()()()x g x f x ϕ=-，则2()64ln x x x x m ϕ=-++因为0x >，要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点，则函数2()64ln x x x x m ϕ=-++的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴242642(1)(2)()26(0)x x x x x x x x x xϕ-+--'=-+==>当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数； 当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数；∴()x ϕ有极大值(1)5m ϕ=-；()x ϕ有极小值(2)4ln 28m ϕ=+-． 又因为当x 充分接近0时，()0x ϕ<；当x 充分大时，()0x ϕ>所以要使()0x ϕ=有且仅有两个不同的正根，必须且只须(1)0ϕ=或(2)0ϕ=， 即50m -=或4ln280m +-=，∴5m =或84ln2m =-．∴当5m =或84ln2m =-时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有两个不同交点．【答案】⑴()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减． ⑵403⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ⑶存在，5m =或84ln2m =-．【题8】 已知函数2()8()6ln f x x x g x x m =-+=+，． ⑴求()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()h t ； ⑵是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，福建，高考【解析】 ⑴22()8(4)16f x x x x =-+=--+．当14t +<，即3t <时，()f x 在[]1t t +，上单调递增， 22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++；当41t t +≤≤，即34t ≤≤时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[]1t t +，上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+． 综上，22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤　； ⑵函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x g x f x φ=- 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵2()86ln x x x x m φ=-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x x x x x x xφ-+--'=-+==>，当(01)x ∈，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当(13)x ∈，时，()0x φ'<，()x φ是减函数； 当(3)x ∈+∞，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当1x =或3x =时，()0x φ'=．∴()(1)7()(3)6ln315x m x m φφφφ==-==+-极大值极小值，． ∵当x 充分接近0时，()0x φ<；当x 充分大时，()0x φ>． ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()6ln 3150x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值，即7156ln3m <<-．所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【答案】⑴22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤　；⑵存在，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【题9】 已知二次函数()y g x =的图象经过原点(00)O ，、点1(0)P m ，和点2(11)P m m ++，（0m ≠，且1m ≠-）． ⑴求函数()y g x =的解析式；⑵设()()()f x x n g x =-（0m n >>），若()()0f a f b ''==，b a <，求证：b n a m <<<． ⑶在例题⑵的条件下，若m n +=()y f x =相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴设2()(0)g x px qx r p =++≠，依题意得2200(1)(1)1r pm qm r p m q m r m =⎧⎪++=⎨⎪++++=+⎩，解得10p q m r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴2()g x x mx =-．⑵()()()f x x x n x m =--32()x m n x mnx =-++，∴2()32()f x x m n x mn '=-++， 依题意得a b ，是方程()0f x '=的两个实数根，又(0)0f mn '=>，()()0f n n m n '=-<，()()0f m m m n '=->，故两根a b ，分布在区间(0)n ，、()n m ，内，又b a <，∴b n a m <<<成立； ⑶设()f x 的过原点的切线对应切点的横坐标为0x ，则切线方程为20000()[32()]()y f x x m n x mn x x -=-++-， 若此切线过原点，则有2000000()()[32()]()x x m x n x m n x mn x ---=-++-， 解得00x =或02m nx +=．故()f x 有两条过原点的切线，设对应的切点的横坐标分别为12x x ，，且12x x <，则1202m nx x +==，， 从而两切线的斜率分别为2121()4k mn k m n mn ==-++，，若两切线互相垂直，则121k k =-，∴1m n mn ⎧+=⎪⎨=⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨⎪⎩，∴存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．【答案】⑴2()g x x mx =-；⑵略；⑶能，证明略．导数与不等式综合【题10】 当0x ≠时，有不等式（ ）A ．e 1x x <+B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+C ．e 1x x >+D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+【考点】函数与不等式综合 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 令()e 1x f x x =--，则(0)0f =，()e 1x f x '=-，在0x >时，()0f x '>，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+；在0x <时，()0f x '<，故()f x 在(0)-∞，上单调递减，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+．本题也可用特殊值法得出答案．【答案】C【题11】 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，东城，二模，题20【解析】 ⑴222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++．因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立． 即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立，当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-+≤，设1(),(0,)g x x x x=+∈+∞，1()2g x x x =+=≥所以当且仅当1x x=即1x =时，()g x 有最小值2．故222a -≤，2a ≤． 所以a 的取值范围是(,2]-∞．⑵不妨设0m n >>，则1mn>．要证ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+，只需证2(1)ln 01m mn m n n -->+．设2(1)()ln 1x h x x x -=-+，由⑴知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >，所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2(1)ln 01m m n m n n -->+成立．所以ln ln 2m n m n m n -+<-． 【答案】⑴a 的取值范围是(,2]-∞．⑵略．【题12】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++L ≥． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，湖北，高考21【解析】 ⑴2()bf x a x '=-，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩； ⑵由⑴知，1()12a f x ax a x -=++-，令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[)1x ∈+∞，，则(1)0g =，22221(1)11(1)()a a x x a ax x a a g x a x x x x -⎛⎫-- ⎪----⎝⎭'=--==， ①当102a <<时，11aa ->．若11ax a-<<，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <=，即()ln f x x <，故ln ()x f x ≥在[)1+∞，上不恒成立．②当12a ≥时，11aa-≤，若1x >，则()0g x '>，()g x 是增函数，所以()(1)0g x g >=， 即()ln f x x >，故当1x ≥时，ln ()x f x ≥，综上所述，所求a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ⑶解法一：取12a =，有()111122a f x ax a x x x -⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，由⑵有当1x ≥时，()ln f x x ≥，即11ln 2x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，也即12ln x x x->， 取11x k =+，则1111112ln11k k x x k k k k k+-=+-=+>++， 当1n =时，取1k =有112ln 22+>，也即11ln 24>+，命题成立；当2n ≥时，分别取1,2,,k n =L ，累加有()111122ln 121n n n ⎛⎫++++>+ ⎪+⎝⎭L整理即得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++L综上，原命题成立． 解法二：当1n =时，左边1=，右边()()11ln 11ln 212114=++=+<+，命题成立；假设当n k =时，命题成立，则当1n k =+时，左边11111231k k =++++++L ()()1ln 1211k k k k >+++++()()2ln 121k k k +=+++ 右边()()1ln 222k k k +=+++现在只需要证明()()212ln21221k k k k k k +++->+++ 取12a =，21k x k +=+，由⑵有1212ln 2121k k k k k k +++⎛⎫-> ⎪+++⎝⎭，命题得证． 【答案】⑴112b a c a=-⎧⎨=-⎩；⑵a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．⑶略．【题13】 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，东城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．⑵由于21()ax f x x+'=．当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．⑶当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．【答案】⑴1a =；⑵当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()f x 在10,a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；⑶略．【题14】 设()321252f x x x x =--+，当[]12x ∈-，时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008-2009，北京，12中，高二，第二学期，期中测试【解析】 要使得()f x m <恒成立，先要求()f x 在[1,2]-上的最大值．2()32(1)(32)f x x x x x '=--=-+，故()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,2)上单调递增．最大值可能在23-或2处取到．(2)7f =，22257327f ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为7．故7m >． 【答案】(7,)+∞【题15】 已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值．⑴求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；⑵若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，崇文，二模，题18【解析】 ⑴2()32f x x ax b '=++，由题意：(1)0(2)0f f '-=⎧⎨'=⎩，即3201240a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴323()62f x x x x c =--+，2()336f x x x '=--．令()0f x '<，解得12x -<<；令()0f x '>，解得1x <-或2x >，∴()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞． ⑵由⑴知，()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 在(1,2)-上单调递减；在(2,)+∞上单调递增．∴[2,3]x ∈-时，()f x 的最大值即为(1)f -与(3)f 中的较大者．7(1)2f c -=+，9(3)2f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值．要使23()2f x c c +<，只需23(1)2c f c >-+，即：2275c c >+解得：1c <-或72c >．∴c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．【答案】⑴326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞．⑵c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．【题16】 设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．⑴求()f x 的最小值()h t ； ⑵若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007，福建，高考【解析】 ⑴法一：∵23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-． 法二：2()222()f x tx t t x t '=+=+，于是()f x 在()t -∞-，上单调递减，在()t -+∞，上单调递增． 故()f x 在x t =-时取到最小值3()1()f t t t h t -=-+-=． ⑵令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时g '∴()g t 在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．【答案】⑴3()1h t t t =-+-；⑵(1,)+∞．【题17】 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．⑴令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值；⑵求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2007，安徽，高考，题18【解析】 ⑴根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：)故知()F x 在(02)，(2)+，∞2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【答案】⑴()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵略．【题18】 已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【考点】函数与不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，石景山，一模，题20【解析】 ⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)222ln10f =--=．222()2f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．⑵22222()p px x pf x p x x x -+'=+-=．令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数， 只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需10p p-≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥ ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．⑶∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p <时，2()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e ，所以()0h x <，22()0xf x x '=-<， 此时，()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；②当01p <<时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥，所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭≤．又由⑵知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴1112ln 2ln 22x x e e e x e e----=--<≤，不合题意；③当1p ≥时，由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<， 又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈， 而max 1()()2ln f x f e p e e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =，即12ln 2p e e e⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得241ep e >-， 所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭． 【答案】⑴22y x =-；⑵p 的取值范围是[1,)+∞；⑶p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭．导数与三角函数综合【题19】 设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 则导数()1f '的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．C ．2⎤⎦D ．2⎤⎦【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考，题9【解析】 2()sin f x x x θθ'=+，π(1)sin 2sin 3f θθθ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭．5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ3π334θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，πsin 13θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．从而(1)2]f '∈． 【答案】D【题20】 设函数223()cos 4sin3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞UB ．1[1,]3--C ．1(,)3+∞D ．1[,1]3【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 23231cos ()cos 43cos 2cos 2x f x x t t t x t x t t -=+⋅+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--， ∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+， 令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与(1,)+∞．但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．【答案】B【题21】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a xf x x x--⋅-'=⋅=． 因为()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数，所以当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，22cos ()03sin a xf x x-'=≥， 即2cos 0a x -≥恒成立．π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0cos 1x <<，要使2cos 0a x -≥在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，只要2cos a x ≤在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立． 故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．【答案】(2]-∞，【题22】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由．⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan4f '=，即311m -=，解得23m =． ∵(1)f n =，∴13n =-．⑵32()3f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得x =．当12x -<<时，2()210f x x '=->；当22x <<时，2()210f x x '=-<；当3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值．又1(1)3f -=，f ⎛= ⎝⎭，(3)15f =． 因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15．要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥．所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332(sin cos )(sin cos )3x x x x =+-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ⎡⎤=+⋅-+-⎢⎥⎣⎦21|sin cos |sin cos 33x x x x =+⋅+31|sin cos |3x x =+3π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵0t >，∴12t t+，()f x 在)+∞上单调递增，f =．∴1222f t f t ⎛⎫+=⎪⎝⎭≥ 综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）． 【答案】⑴23m =，13n =-；⑵存在，2008k =；⑶略．【题23】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a L L ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=L ，， 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2005，天津，高考【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有(2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=．⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ①令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+． 因此，4222000020[()]sin 1x f x x x x ==+．⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-，则存在一个非负整数k ，使0ππππ2x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，，即0x 在第二或第四象限内． 由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下：()0f x =0x 都为()f x 的极值点．由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<<<L L ， 那么对于12n =L ，，，1111(tan tan )(1tan tan )tan()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=--=-+⋅-． ② 由于π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π22n n a a +<-<， 由于1tan tan 0n n a a +⋅>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限， 即1πn n a a +-<． 综上，1ππ2n n a a +<-<． 【答案】略．导数与数列综合【题24】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n =L ，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，湖南，高考【解析】 ⑴先用数学归纳法证明01n a <<，123n =L ，，，①当1n =时，由已知显然结论成立． ②假设当n k =时结论成立，即01k a <<．∵01x <<时，()1cos 0f x x '=->，∴()f x 在(01)，上是增函数． (0)()(1)k f f a f <<（()f x 在[01]，上连续），即101sin11k a +<<-<． 故1n k =+时，结论成立．由①、②可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<．⑵设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由⑴知，当01x <<时，sin x x <，从而22222()cos 12sin 2022222x x x x x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭，所以()g x 在(01)，上是增函数． 又(0)0g =（()g x 在[01]，上连续），所以当01x <<时，()0g x >成立． 于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n na a +<． 【答案】略【题25】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<． 【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 构造辅助函数313()22f x x x =-+，则3()(1)(1)2f x x x '=--+．当(01)x ∈，时，()0f x '>，所以()f x 在(01)，上是增函数．①因为1(01)a ∈，，即101a <<，故1n =时原不等式成立． ②设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在(01)，上是增函数，所以(0)()(1)k f f a f <<．又(0)0(1)1f f ==，，所以0()1k f a <<，即101k a +<<． 即1n k =+时，原不等式成立， 由①②知，n +∈N 时，01n a <<．【答案】略【题26】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2010，浙江，高考22⑴2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--， 令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b =-+---=+-+>△于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且1x <2x ，①当1x 或2x a =时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a ≠且2x a ≠时，由于x a =是()f x 的极大值点，故12x a x <<，即()0g a <． 即2(3)20a a b a b ab a +-++--<，所以b a <-，所以b 的取值范围是()a -∞-，； ⑵由⑴可知，假设存在b 及b x 满足题意，则： ①当21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-， 于是1223a x x a b =+=--，即3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=--=+或4123x x a a b a a =-=--=- ②当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或122()a x x a -=-，ⅰ）若212()x a a x -=-，则24a x x +=，于是1232a x x =+=3(3)a b -++于是1a b +-=，此时242(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+． ⅱ）若122()a x x a -=-，则14a x x +=，于是2132a x x =+=3(3)a b =++．于是1a b +-此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=． 综上所述，存在b 满足题意： 当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =． 【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．导数与其它知识综合【题27】 设函数321()(2)232af x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内，则54b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即2030620b a b a b ->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩，从而有2326b a b a b <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：4a -(,)ab 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小值也取不到，但中间的值都能取到，从而54b a --的取值范围为(1,5)．【答案】(1,5)【题28】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．⑴ 证明：21212x x x a=+；⑵ 若对于任意的1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都有916a OM ON ⋅>u u u u r u u u r 成立，求a 的取值范围．【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，西城，二模，题18【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +，由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++．⑵ 由()2111,M x x ax +，211,02x N x a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得3112x OM ON x a ⋅=+u u u u r u u u r ． 所以0a =符合题意，当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．对1()g x 求导数，得()()()211121432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ⎛⎫=-∈-∞- ⎪⎝⎭． 当1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在3,4a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在3,42aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增， 从而函数1()g x 的最小值为2327432a g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 综上，a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U ．【题29】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】导数与其它知识综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考，题22【解析】 ⑴32()()()(1)(5)1p x f x g x x k x k x =+=+-++-，()232(1)(5)p x x k x k '=+-++．因为()p x 在区间(03)，上不单调，所以()0p x '=在(03)，上有实数解，且无重根． 由()0p x '=，得2(21)(325)k x x x +=--+，即()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦， 令21t x =+，有()17t ∈，，记9()h t t t=+，则()h t 在(]13，上单调递减，在[)37，上单调递增．所以，()[)610h t ∈，． 于是()[)92161021x x ++∈+，，得(]52k ∈--，． 而当2k =-时，有()0p x '=在()03，上有两个相等的实根1x =，故舍去． 所以()52k ∈--，； ⑵由题意，得当0x <时，()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时，()()22q x g x k x k ''==+． 因为当0k =时不合题意，所以0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形．记{}()|0A g x x '=>，{}()|0B f x x '=<， 则()A k =+∞，，(5)B =+∞，．（ⅰ）当10x >时，()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x <，且A B ⊆， 因此5k ≥；（ⅱ）当10x <时，()q x '在(0)-∞，上单调递减，所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x >，且B A ⊆，因此5k ≤． 综合（ⅰ）（ⅱ），得5k =． 当5k =时，有A B =． 则10x ∀<，()q x B A '∈=，即20x ∃>，使得21()()q x q x ''=成立． 因为()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以2x 是惟一的．同理．10x ∀>，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得22()()q x q x ''=成立． 所以5k =满足题意．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．板块五：微积分与定积分的应用知识内容1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在。

高中数学全套讲义 选修1-1 导数应用中档 教师版

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目录目录 (1)考点一函数单调性的判断 (2)考点二函数的极值 (6)考点三函数的最值 (9)课后综合巩固练习 (13)考点一 函数单调性的判断设函数()f x 在区间()a b ，内可导，⑴若在()a b ，内，有()0f x '>，则函数()f x 在此区间单调递增； ⑵若在()a b ，内，有()0f x '<，则函数()f x 在此区间单调递减．上面的条件只是函数单调性的充分条件，不是必要条件．即若知道可导函数单调递增（减），不一定能得到()0f x '>(0)<，在该区间上可能存在导数为零的点．1．（2019春•攀枝花期末）函数321()3f x ax x a =-+在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．1a >B ．1aC ．2a >D ．2a调递增即导函数()f x '在[1，2]上恒有()0f x '；转化求解即可． 【解答】解：对()f x 求导：2()2f x ax x '=-；)0x ；故()f x '在[1，2]上为单调递增函数；(1)011a ，解得：2a ；或(2)012a⎧⎪⎨⎪⎩无解，故选：D ．【点评】本题主要考查了对函数的求导运算，以及导函数与函数单调性的关系，属中等题． 2．（2019春•宁德期末）函数3()128f x x x =-+的单调增区间是( )A ．(,2)-∞-，(2,)+∞B ．(2,2)-C ．(,2)-∞-D ．(2,)+∞2.【分析】先求导函数，研究出导函数的符号，然后判断函数的单调区间即可． 【解答】解：函数3()128f x x x =-+2()312f x x ∴'=-令()0f x '>，解得2x >或2x <-； 令()0f x '<，解得22x -<<故函数在[2-，2]上是减函数，在(,2)-∞-，(2,)+∞上是增函数， 故选：A ．【点评】本题重点考查导数知识的运用，研究出函数的单调性，考查转化思想以及计算能力． 3．（2019春•屯溪区校级期中）函数()(1)x f x a xlna a =->的单调递减区间为( )A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞3.【分析】先求函数的导函数()f x ，并将其因式分解，便于解不等()0f x '>，得函数的单调增区间，由()0f x '<，得函数的单调减区间． 【解答】解：函数()(1)x f x a xlna a =->()(1)x x f x a lna Ina a Ina '=-=-；令()0f x '=，得：0x =当1a >时，0lna >，若0x <，则(1)0x a -<，所以有()0f x '< 若0x >，则(1)0x a ->，所以有()0f x '> 综上可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞， 故选：D ．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．4．（2019春•绍兴期末）若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为( )A ．23-B ．C ．3D ．4.【分析】若函数()f x 在R 上存在单调递增区间⇔存在区间I ，使得x I ∈时，()0f x '>，求解即可．【解答】解：函数32()231f x mx x x =+--，所以2()343f x mx x '=+-，当0m <时导函数是开口向下的抛物线，当0m 时，导函数存在满足()0f x '>的x 的区间，故选：D ．【点评】本题主要考查了函数存在极值的性质：函数在0x x =处取得极值，则0()0f x '=，但0()0f x '=，函数在处不一定是极值点；函数()f x 在R 存在单调递增区间与函数()f x 在R调递增是两个完全不同的概念，要注意区分． 5．（2019春•碑林区校级月考）已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为( )A ．(0,1)和(4,)+∞B ．(0,2)C ．(,0)-∞和(1,4)D ．(0,3)5.【分析】结合函数图象，求出()()0f x f x '-<成立的x 的范围即可． 【解答】解：结合图象：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(0,1)，(4,)+∞递减， 故选：A ．【点评】本题考查了函数和导函数关系和图象相关知识，中档题． 6．（2019春•顺德区期末）若函数2()f x lnx x x=++在区间[t ，2]t +上是单调函数，则t 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．(1,)+∞得2()2g x x x =+-在[t ，2]t +上恒大于等于0或恒小于等于0．转化为关于t 的不等式组求解．得2()2g x x x =+-在[t ，2]t +上恒大于等于0或恒小于等于0． 则2020t t t >⎧⎨+-⎩，①或22020(2)220t t t t t >⎧⎪+-⎨⎪+++-⎩，②解①得1t ；解②得t ∈∅． 综上，t 的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．（2019春•九江期末）已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)导可得函数单调性，从而可解：1lnxx e >⇔>， 【解答】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e >⇔>，因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '> ()g x ∴在R 上单调递增，故选：A ．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．考点二 函数的极值1.极值的概念已知函数()f x 及其定义域内一点0x ，若存在一个包含0x 的开区间，对于该开区间内除0x 外的所有点x ，如果都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点；如果都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小值，并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 2.可导函数极值的分析方法在0x x =处，0()0f x '=，若在0x 左侧()00f x '>，在0x 右侧()00f x '<．则0x 是()f x 的极大值点；若在0x 左侧()00f x '<，在0x 右侧()00f x '>，则0x 是()f x 的极小值点．()00f x '=只是0x 为极值点的必要条件，不是充分条件．如果在0x 的两侧导数符号不变，则()0f x '不是极值，当然0x 也就不是极值点．如3()f x x =，在0x =处． 3.求可导函数的极值的步骤：（1）找函数的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的所有实数根；（4）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导函数()f x '的符号如何变化8．（2019春•襄阳期末）设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x ='的图象的一部分如图所示，则正确的是()A ．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为f （3）D ．()f x 的极大值为f （3），极小值为(3)f -8.【分析】观察图象知，3x <-时，()0f x '<．30x -<<时，()0f x '>．由此知极小值为(3)f -．03x <<时，()0yf x '>．3x >时，()0f x '<．由此知极大值为f （3）． 【解答】解：观察图象知，3x <-时，()0y x f x ='>， ()0f x ∴'<．30x -<<时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'>．由此知极小值为(3)f -．03x <<时，()0y x f x ='>，()0f x ∴'>．3x >时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'<．由此知极大值为f （3）． 故选：D ．【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用． 9．（2018•柳州一模）设a R ∈，若函数y x alnx =+在区间1(e，)e 有极值点，则a 取值范围为()A ．1(e ，)eB ．1(,)e e--C ．(-∞，1)(e ⋃，)+∞D ．(-∞，1)(e --⋃，)+∞)()0f e '<，解出即可．)()0f e '<，故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点转化为函数的零点的判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2017秋•嘉峪关校级期末）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)((1)f f '-=' )A ．1-B ．2C ．5-D ．3-10.【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a ，b ，c 的关系，即可得到结论． 【解答】解：由三次函数的图象可知，2x =函数的极大值，1x =-是极小值， 即2，1-是()0f x '=的两个根，32()f x ax bx cx d =+++， 2()32f x ax bx c ∴'=++，由2()320f x ax bx c '=++=，即6c a =-，23b a =-，即22()323363(2)(1)f x ax bx c ax ax a a x x '=++=--=-+，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．。

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。

导数讲义

导数讲义

导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第三章 3.1导数的概念-(学生版+教师版)

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第三章 3.1导数的概念-(学生版+教师版)

导数的概念第一课时判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( )题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 命题点2 求参数的值例3 函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )(1)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2阶段重难点梳理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k ＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[1f(x)]′＝－f′(x)[f(x)]2(f(x)≠0)．(3)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．1．若f(x)＝x·e x，则f′(1)等于()A．0 B．e C．2e D．e22．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是() 重点题型训练3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________．1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－42．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0)D ．(1,5)3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或1344．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )作业布置A ．－1B ．0C ．2D ．46．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________．8．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．*10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．*13.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．导数的概念第一课时判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )阶段训练题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x 2. (3)y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′·e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.(4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ， 则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝0x e ，从而切线方程为y －0x e ＝0x e (x －x 0)，又切线过定点(0,0)，从而－0x e ＝0x e (－x 0)， 解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3. (2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x，∴2'x y π=＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 第3课时阶段重难点梳理(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k ＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1f (x )]′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． (3)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．重点题型训练(1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0'x x y =＝3x 20－6x 0＋2， ①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2 答案 C解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)答案 C作业布置解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1， 所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0， 所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x ，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ， 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.8．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)．∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.*10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015 ＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0'x x y ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.导数的概念第一课时判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )阶段训练题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xex ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x 2. (3)y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′·e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.(4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ， 则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝0x e ，从而切线方程为y －0x e ＝0x e (x －x 0)，又切线过定点(0,0)，从而－0x e ＝0x e (－x 0)， 解得x 0＝1，则m ＝e.(2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3. (2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x，∴2'x y π=＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.阶段重难点梳理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0第3课时4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[1f (x )]′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． (3)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．(4)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，重点题型训练k ＝0'x x y =＝3x 20－6x 0＋2， ①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2 答案 C解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)答案 C解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1， 所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0， 所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134作业布置答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.4．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.8．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)．∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.*10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015 ＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0'x x y ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。

导数综合讲义(教师版)

导数综合讲义(教师版)

导数综合讲义第 1 讲导数的计算与几何意义 (3)第 2 讲函数图像 (4)第 3 讲三次函数 (7)第 4 讲导数与单调性 (8)第 5 讲导数与极最值 (9)第 6 讲导数与零点 (10)第 7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第 8 讲原函数导函数混合还原(构造函数解不等式) (13)第 9 讲导数中的距离问题 (17)第 10 讲导数解答题 (18)10.1 导数基础练习题 (21)10.2 分离参数类 (24)10.3 构造新函数类 (26)10.4 导数中的函数不等式放缩 (29)10.5 导数中的卡根思想 (30)10.6 洛必达法则应用 (32)10.7 先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8 极值点偏移问题 (35)10.9 多元变量消元思想 (37)10.10 导数解决含有ln x 与e x 的证明题(凹凸反转) (39)10.11 导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12 隐零点问题 (42)10.13 端点效应 (44)10.14 其它省市高考导数真题研究 (45)导数【高考命题规律】2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的 最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用； 2015 年文理试卷分 别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题； 2016 文科考查了导数的 几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移； 2017 年高 考考查了导数判断函数的单调性， 含参零点的分类讨论。

近四年的高考试题基本形成了一个 模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方 程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单； 第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】 【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=． 【解析】 【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=． 举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】 【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+； 【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】 【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵， 由图象特征知()00f '=， 且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】 【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率 【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】 【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】 由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】 【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠， 由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】 【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-， 令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-， 故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】 【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦）， 所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'． 故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】 易得()()1cos sin 2x f x x =+'， 所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=， 故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+， 因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 【答案】2 【解析】 【分析】 对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-， 依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程． 【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】 【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。

导数综合复习教案

导数综合复习教案

导数综合复习教案教案标题：导数综合复习教案教案目标：1. 复习导数的定义和基本概念。

2. 强化学生对导数的计算和应用能力。

3. 培养学生解决导数相关问题的思维能力。

教学重点：1. 导数的定义和基本概念。

2. 导数的计算方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的应用问题解决思路的培养。

2. 复杂函数的导数计算。

教学准备：1. 教师准备：教案、课件、导数相关的练习题。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学过程：Step 1: 导入导数的定义和基本概念（10分钟）1. 回顾导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率。

2. 引导学生回顾导数的符号表示和几何意义。

Step 2: 导数的计算方法（30分钟）1. 复习导数的基本公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 指导学生通过求导法则计算简单函数的导数。

3. 强调链式法则和乘积法则在复杂函数导数计算中的应用。

Step 3: 导数在实际问题中的应用（30分钟）1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

2. 通过实际问题的例子，让学生应用导数解决相关问题。

3. 引导学生思考导数在最值、曲线形状等方面的应用。

Step 4: 综合练习和讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。

2. 引导学生讨论解题思路和方法，解答疑惑。

3. 针对学生易错的问题进行重点讲解和澄清。

Step 5: 总结和作业布置（10分钟）1. 总结导数的定义、基本概念和计算方法。

2. 强调导数在实际问题中的应用。

3. 布置作业，要求学生进一步巩固和应用导数的知识。

教学反思：本节课通过复习导数的定义和基本概念，强化了学生对导数的理解。

通过导数的计算方法和实际应用，提高了学生的计算和解决问题的能力。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，培养他们的解决问题的思维能力。

同时，对于复杂函数的导数计算，需要给予学生足够的练习和指导，以提高他们的运算能力。

1导数讲义1

1导数讲义1

1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A.－1B.－2C.2D.0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A.2x －y ＋3＝0B.2x －y －3＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1B.－3C.－4D.－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.4x －3y ＋1＝0C.3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D.3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________. 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，∴切点P 的坐标为(1,1).故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. [方法与技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y'=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 016(x )等于()A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A.－1B.0C.2D.4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7.若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知函数f (x )＝x 2－1和函数g (x )＝2ln x ，那么函数f (x )和函数g (x )的隔离直线方程为____________. 答案 y ＝2x －2解析 由题意得函数f (x )和函数g (x )的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f ′(1)＝2＝g ′(1)＝k ，所以切线方程为y ＝2(x －1).8.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________. 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)， 则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图像的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14B.12C.1D.4答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244a -⨯=，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.12.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134 D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大.13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.14.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________. 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在.由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12).∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12) ＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.1 常见函数的导数(含答案)

【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.1 常见函数的导数(含答案)

_1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝1x，(5)f(x)＝x.问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝x＋Δx－xΔx＝1，∴当Δx→0时，ΔyΔx→1，即x′＝1.问题2：函数f(x)＝1x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝1x＋Δx－1xΔx＝x－(x＋Δx)x(x＋Δx)Δx＝－1x2＋x·Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－1x2，即⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2.1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；2．C′＝0(C为常数)；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x；5．(x3)′＝3x2；6.⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2；7．(x)′＝12x.基本初等函数的导数公式1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)； 2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7]求函数的导数[例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x 2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x－32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求函数在某一点处的导数[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.求切线方程[例3](1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨](1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析](1)y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，故过点A(1,1)的切线方程为y－1＝2(x －1)，即2x－y－1＝0.(2)∵B(3,5)不在曲线y＝x2上，∴可设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．∵y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0.故切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．又∵直线过B(3,5)点，∴5－x20＝2x0(3－x0)．即x20－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5.故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：①求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上．(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：①求出f′(x0)，即切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简切线方程．(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1， ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4. ∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0.∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。

导数的综合与微积分.参考教案.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

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要求层次重难点导数的应用与微积分导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）C了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B定积分与微积分基本定理定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理 A板块四：导数与其它知识综合知识内容1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容；常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解；2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；3．导数与三角函数的结合；4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．典例分析：导数与函数综合【题1】若方程3320x ax-+=有三个不同实根，则实数a的取值范围为（）A．0a>B．1a>C．13a<<D．01a<<【考点】导数与函数综合【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】令3()32f x x ax=-+，22()333()f x x a x a'=-=-，要方程有三个不同实根，必须0a>（否则()0f x'≥，()f x单调增长，最多只有一根）．高考要求例题精讲导数的综合与微积分此时()f x在(,-∞上单调增加，在(,上单调减少，在,)+∞上单调增加． 要()0f x =有三个零点，当且仅法(0f >，且0f <． 解得1a >．【答案】B【题2】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，安徽，高考【解析】 ⑴∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++．从而322()()()(32)g x f x fx x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c =+-+--是一个奇函数，故30300b b c c -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩；⑵由⑴知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(-∞，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =极大值为()g x在x =时取得极小值，极小值为- ⑶当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞，故当(m ∈-时，()g x m =有三个不同的实根． 【答案】⑴3,0b c ==；⑵(-∞-，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =()g x在x =-⑶(m ∈-．【题3】 已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(20)-，，如图所示．⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【难度】3星【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()324f x ax bx '=++，且()y f x '=的图象过点(20)-，，所以2-为23240ax bx ++=的根，代入得：310a b -+= ……① 由图象可知，()f x 在2x =-时取得极小值， 即(2)8f -=-，得2b a =……………………②由①②解得12a b =-=-，． ∴32()24f x x x x =--+．⑵ 由题意，方程()f x k =在区间[32]-，上有两个不等实根， 即方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根．2()344f x x x '=--+，令()0f x '=，解得2x =-或23x =．可列表：由表可知，当8k =-或327k -<<时，方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根，即函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点．【答案】⑴32()24f x x x x =--+；⑵8k =-或40327k -<<．【题4】 已知函数()f x 3213x ax b =-+在2x =-处有极值．⑴ 求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，丰台，二模，题19【解析】 ⑴ ()22f x x ax '=-由题意知： (2)440f a '-=+=，得1a =-，∴()22f x x x '=+， 令()0f x '>，得2x <-或0x >；令()0f x '<，得20x -<<，∴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵ 由⑴ 知，()3213f x x x b =++，()423f b -=+为函数()f x 极大值，()0f b =为极小值．∵函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，∴()()3000f f ⎧-⎪⎨>⎪⎩≤或()()3020f f ⎧⎪⎨-<⎪⎩≥或()()3030f f ⎧->⎪⎨<⎪⎩或()()2030f f ⎧-=⎪⎨<⎪⎩或()()3000f f ⎧->⎪⎨=⎪⎩， 即180403b b +⎧⎪⎨+<⎪⎩≥，∴4183b -<-≤，即b 的取值范围是418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【答案】⑴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【题5】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，．⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞，，，求证：1a>．【考点】导数与函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题20【解析】 ⑴当1a =时，()32f x x x b =-++，因为()12f b b -=+>，所以，函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方． ⑵由题意，得()232f x x ax '=-+，令()0f x '=，解得0x =或23x a =，当0a <时，由()0f x '>，解得203a x <<，所以()f x 只在203a ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，与题意不符，舍去；当0a =时，由()230f x x '=-≤，与题意不符，舍去；当0a >时，由()0f x '>，解得203x a <<，所以()f x 在203a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，又()f x 在()02，上是增函数，所以223a ≥，解得3a ≥，综上，a 的取值范围为[)3+∞，．⑶因为方程()320f x x ax b =-++=最多只有3个根， 由题意，得在区间()10-，内仅有一根， 所以()()()1010f f b a b -⋅=++<， ① 同理()()()0110f f b a b ⋅=-++<， ② 当0b >时，由①得10a b ++<，即1a b <--， 由②得10a b -++<，即1a b <-+，因为11b b --<-+，所以11a b <--<-，即1a <-； 当0b <时，由①得10a b ++>，即1a b >--， 由②得10a b -++>，即1a b >-+，因为11b b --<-+，所以11a b >-+>，即1a >．当0b =时，因为()00f =，所以()0f x =有一根0，这与题意不符． 综上，1a >．注：在第⑶问中，得到①、②后，可以在坐标平面aOb 内，用线性规划方法解．【答案】⑴略；⑵[)3a ∈+∞，；⑶略．【题6】 已知函数32()f x x x ax b =+++．⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()321(31)(1)f x x x x x '=+-=-+令()0f x '>，解得13x >或1x <-；令()0f x '<，解得113x -<<．所以()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，()f x 的单调递减区间为1(1)3-，．⑵ 因为函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，所以方程320x x ax b ax +++-=只有一个解，即320x x b ++=只有一个解． 令32()g x x x b =++，则其图象和x 轴只有一个交点，2()32g x x x '=+，令2()320g x x x '=+=，所以12203x x ==-，，可列表：所以，()g x 在10x =处取得极小值b ，在23x =-取得极大值27b +，要使32()g x x x b =++的其图象和x 轴只有一个交点，只要04027b b >⎧⎪⎨+>⎪⎩或04027b b <⎧⎪⎨+<⎪⎩，解得0b >或427b <-．【答案】⑴()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，单调递减区间为1(1)3-，．⑵0b >或427b <-．【题7】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．⑴若0m <，求()f x 的单调区间；⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()36(1)36f x mx m x m '=-+++23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减．⑵由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>，又0m <，所以222(1)0x m x m m -++<（[]11x ∈-，） ① 设212()21h x x x m m⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， ∴22(1)0120(1)010h m mh ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩， 解之得43m >-，又0m <，所以m 的取值范围为403⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶令()()()x g x f x ϕ=-，则2()64ln x x x x m ϕ=-++因为0x >，要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点，则函数2()64ln x x x x m ϕ=-++的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴242642(1)(2)()26(0)x x x x x x x x x xϕ-+--'=-+==>当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数；当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数；∴()x ϕ有极大值(1)5m ϕ=-；()x ϕ有极小值(2)4ln 28m ϕ=+-． 又因为当x 充分接近0时，()0x ϕ<；当x 充分大时，()0x ϕ>所以要使()0x ϕ=有且仅有两个不同的正根，必须且只须(1)0ϕ=或(2)0ϕ=， 即50m -=或4ln280m +-=，∴5m =或84ln2m =-．∴当5m =或84ln2m =-时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有两个不同交点．【答案】⑴()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减． ⑵403⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ⑶存在，5m =或84ln2m =-．【题8】 已知函数2()8()6ln f x x x g x x m =-+=+，． ⑴求()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()h t ； ⑵是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，福建，高考【解析】 ⑴22()8(4)16f x x x x =-+=--+．当14t +<，即3t <时，()f x 在[]1t t +，上单调递增， 22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++；当41t t +≤≤，即34t ≤≤时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[]1t t +，上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+． 综上，22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤　； ⑵函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x g x f x φ=- 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵2()86ln x x x x m φ=-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x x x x x x xφ-+--'=-+==>，当(01)x ∈，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当(13)x ∈，时，()0x φ'<，()x φ是减函数；当(3)x ∈+∞，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当1x =或3x =时，()0x φ'=．∴()(1)7()(3)6ln315x m x m φφφφ==-==+-极大值极小值，． ∵当x 充分接近0时，()0x φ<；当x 充分大时，()0x φ>． ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()6ln 3150x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值，即7156ln3m <<-．所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【答案】⑴22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤　；⑵存在，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【题9】 已知二次函数()y g x =的图象经过原点(00)O ，、点1(0)P m ，和点2(11)P m m ++，（0m ≠，且1m ≠-）． ⑴求函数()y g x =的解析式；⑵设()()()f x x n g x =-（0m n >>），若()()0f a f b ''==，b a <，求证：b n a m <<<． ⑶在例题⑵的条件下，若m n +=()y f x =相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴设2()(0)g x px qx r p =++≠，依题意得2200(1)(1)1r pm qm r p m q m r m =⎧⎪++=⎨⎪++++=+⎩，解得10p q m r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴2()g x x mx =-．⑵()()()f x x x n x m =--32()x m n x mnx =-++，∴2()32()f x x m n x mn '=-++， 依题意得a b ，是方程()0f x '=的两个实数根，又(0)0f mn '=>，()()0f n n m n '=-<，()()0f m m m n '=->，故两根a b ，分布在区间(0)n ，、()n m ，内，又b a <，∴b n a m <<<成立； ⑶设()f x 的过原点的切线对应切点的横坐标为0x ，则切线方程为20000()[32()]()y f x x m n x mn x x -=-++-， 若此切线过原点，则有2000000()()[32()]()x x m x n x m n x mn x ---=-++-， 解得00x =或02m nx +=．故()f x 有两条过原点的切线，设对应的切点的横坐标分别为12x x ，，且12x x <，则1202m nx x +==，， 从而两切线的斜率分别为2121()4k mn k m n mn ==-++，，若两切线互相垂直，则121k k =-，∴1m n mn ⎧+=⎪⎨=⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨⎪⎩，∴存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．【答案】⑴2()g x x mx =-；⑵略；⑶能，证明略．导数与不等式综合【题10】 当0x ≠时，有不等式（ ）A ．e 1x x <+B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+C ．e 1x x >+D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+【考点】函数与不等式综合 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 令()e 1x f x x =--，则(0)0f =，()e 1x f x '=-，在0x >时，()0f x '>，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+；在0x <时，()0f x '<，故()f x 在(0)-∞，上单调递减，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+．本题也可用特殊值法得出答案．【答案】C【题11】 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，东城，二模，题20【解析】 ⑴222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++．因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立． 即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立，当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-+≤，设1(),(0,)g x x x x=+∈+∞，1()2g x x x =+=≥所以当且仅当1x x=即1x =时，()g x 有最小值2．故222a -≤，2a ≤． 所以a 的取值范围是(,2]-∞．⑵不妨设0m n >>，则1mn>．要证ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+，只需证2(1)ln 01m mn m n n -->+．设2(1)()ln 1x h x x x -=-+，由⑴知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >，所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2(1)ln 01m m n m n n -->+成立．所以ln ln 2m n m n m n -+<-． 【答案】⑴a 的取值范围是(,2]-∞．⑵略．【题12】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++≥． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，湖北，高考21【解析】 ⑴2()bf x a x '=-，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩； ⑵由⑴知，1()12a f x ax a x -=++-，令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[)1x ∈+∞，，则(1)0g =，22221(1)11(1)()a a x x a ax x a a g x a x x x x -⎛⎫-- ⎪----⎝⎭'=--==， ①当102a <<时，11aa ->．若11ax a-<<，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <=，即()ln f x x <，故ln ()x f x ≥在[)1+∞，上不恒成立．②当12a ≥时，11aa-≤，若1x >，则()0g x '>，()g x 是增函数，所以()(1)0g x g >=， 即()ln f x x >，故当1x ≥时，ln ()x f x ≥，综上所述，所求a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ⑶解法一：取12a =，有()111122a f x ax a x x x -⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，由⑵有当1x ≥时，()ln f x x ≥，即11ln 2x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，也即12ln x x x->， 取11x k =+，则1111112ln11k k x x k k k k k+-=+-=+>++， 当1n =时，取1k =有112ln 22+>，也即11ln 24>+，命题成立；当2n ≥时，分别取1,2,,k n =，累加有()111122ln 121n n n ⎛⎫++++>+ ⎪+⎝⎭整理即得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++综上，原命题成立． 解法二：当1n =时，左边1=，右边()()11ln 11ln 212114=++=+<+，命题成立；假设当n k =时，命题成立，则当1n k =+时，左边11111231k k =++++++()()1ln 1211k k k k >+++++()()2ln 121k k k +=+++ 右边()()1ln 222k k k +=+++现在只需要证明()()212ln21221k k k k k k +++->+++ 取12a =，21k x k +=+，由⑵有1212ln2121k k k k k k +++⎛⎫-> ⎪+++⎝⎭，命题得证． 【答案】⑴112b a c a=-⎧⎨=-⎩；⑵a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．⑶略．【题13】 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，东城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．⑵由于21()ax f x x+'=．当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．⑶当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．【答案】⑴1a =；⑵当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()f x 在10,a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；⑶略．【题14】 设()321252f x x x x =--+，当[]12x ∈-，时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008-2009，北京，12中，高二，第二学期，期中测试【解析】 要使得()f x m <恒成立，先要求()f x 在[1,2]-上的最大值．2()32(1)(32)f x x x x x '=--=-+，故()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,2)上单调递增．最大值可能在23-或2处取到．(2)7f =，22257327f ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为7．故7m >． 【答案】(7,)+∞【题15】 已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值．⑴求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；⑵若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，崇文，二模，题18【解析】 ⑴2()32f x x ax b '=++，由题意：(1)0(2)0f f '-=⎧⎨'=⎩，即3201240a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴323()62f x x x x c =--+，2()336f x x x '=--．令()0f x '<，解得12x -<<；令()0f x '>，解得1x <-或2x >，∴()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞． ⑵由⑴知，()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 在(1,2)-上单调递减；在(2,)+∞上单调递增．∴[2,3]x ∈-时，()f x 的最大值即为(1)f -与(3)f 中的较大者．7(1)2f c -=+，9(3)2f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值．要使23()2f x c c +<，只需23(1)2c f c >-+，即：2275c c >+解得：1c <-或72c >．∴c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．【答案】⑴326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞．⑵c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．【题16】 设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．⑴求()f x 的最小值()h t ； ⑵若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007，福建，高考【解析】 ⑴法一：∵23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-． 法二：2()222()f x tx t t x t '=+=+，于是()f x 在()t -∞-，上单调递减，在()t -+∞，上单调递增． 故()f x 在x t =-时取到最小值3()1()f t t t h t -=-+-=． ⑵令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：∴()g t 在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．【答案】⑴3()1h t t t =-+-；⑵(1,)+∞．【题17】 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．⑴令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值；⑵求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2007，安徽，高考，题18【解析】 ⑴根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【答案】⑴()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵略．【题18】 已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【考点】函数与不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，石景山，一模，题20【解析】 ⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)222ln10f =--=．222()2f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．⑵22222()p px x pf x p x x x -+'=+-=．令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数， 只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需10p p-≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥ ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．⑶∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p <时，2()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e ，所以()0h x <，22()0xf x x '=-<， 此时，()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；②当01p <<时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥，所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭≤．又由⑵知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴1112ln 2ln 22x x e e e x e e----=--<≤，不合题意；③当1p ≥时，由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<， 又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈， 而max 1()()2ln f x f e p e e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =，即12ln 2p e e e⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得241ep e >-， 所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭． 【答案】⑴22y x =-；⑵p 的取值范围是[1,)+∞；⑶p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭．导数与三角函数综合【题19】 设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 则导数()1f '的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．C ．2⎤⎦D ．2⎤⎦【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考，题9【解析】 2()sin f x x x θθ'=+，π(1)sin 2sin 3f θθθ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭．5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ3π334θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，πsin 13θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．从而(1)2]f '∈． 【答案】D【题20】 设函数223()cos 4sin3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】 23231cos ()cos 43cos 2cos 2x f x x t t t x t x t t -=+⋅+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--， ∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+， 令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与(1,)+∞．但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．【答案】B【题21】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a xf x x x--⋅-'=⋅=． 因为()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数，所以当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，22cos ()03sin a xf x x-'=≥，即2cos 0a x -≥恒成立．π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0c o s 1x <<，要使2c o s 0a x -≥在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，只要2cos a x ≤在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立． 故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．【答案】(2]-∞，【题22】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan4f '=，即311m -=，解得23m =． ∵(1)f n =，∴13n =-．⑵32()3f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得x =．当12x -<<时，2()210f x x '=->；当22x <<时，2()210f x x '=-<；当3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值．又1(1)3f -=，f ⎛= ⎝⎭，(3)15f =． 因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15．要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥．所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332(sin cos )(sin cos )3x x x x =+-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ⎡⎤=+⋅-+-⎢⎥⎣⎦21|sin cos |sin cos 33x x x x =+⋅+31|sin cos |3x x =+3π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵0t >，∴12t t+，()f x 在)+∞上单调递增，f =．∴1222f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≥ 综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）． 【答案】⑴23m =，13n =-；⑵存在，2008k =；⑶略．【题23】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=，， 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2005，天津，高考【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有(2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=．⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ①令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+． 因此，4222000020[()]sin 1x f x x x x ==+．⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-，则存在一个非负整数k ，使0ππππ2x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，，即0x 在第二或第四象限内． 由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足()0f x '=的正根0x 都为()f x 的极值点．由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<<<，那么对于12n =，，，1111(tan tan )(1tan tan )tan()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=--=-+⋅-． ② 由于π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π22n n a a +<-<， 由于1tan tan 0n n a a +⋅>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限， 即1πn n a a +-<． 综上，1ππ2n n a a +<-<． 【答案】略．导数与数列综合【题24】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n =，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，湖南，高考【解析】 ⑴先用数学归纳法证明01n a <<，123n =，，，①当1n =时，由已知显然结论成立． ②假设当n k =时结论成立，即01k a <<．∵01x <<时，()1cos 0f x x '=->，∴()f x 在(01)，上是增函数． (0)()(1)k f f a f <<（()f x 在[01]，上连续），即101sin11k a +<<-<． 故1n k =+时，结论成立．由①、②可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<．⑵设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由⑴知，当01x <<时，sin x x <，从而22222()cos 12sin 2022222x x x x x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭，所以()g x 在(01)，上是增函数． 又(0)0g =（()g x 在[01]，上连续），所以当01x <<时，()0g x >成立． 于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n na a +<． 【答案】略【题25】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<． 【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 构造辅助函数313()22f x x x =-+，则3()(1)(1)2f x x x '=--+．当(01)x ∈，时，()0f x '>，所以()f x 在(01)，上是增函数． ①因为1(01)a ∈，，即101a <<，故1n =时原不等式成立．②设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在(01)，上是增函数，所以(0)()(1)k f f a f <<．又(0)0(1)1f f ==，，所以0()1k f a <<，即101k a +<<． 即1n k =+时，原不等式成立， 由①②知，n +∈N 时，01n a <<．【答案】略【题26】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】5星【题型】解答【关键词】2010，浙江，高考22⑴2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--， 令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b =-+---=+-+>△于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且1x <2x ，①当1x 或2x a =时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a ≠且2x a ≠时，由于x a =是()f x 的极大值点，故12x a x <<，即()0g a <． 即2(3)20a a b a b ab a +-++--<，所以b a <-，所以b 的取值范围是()a -∞-，； ⑵由⑴可知，假设存在b 及b x 满足题意，则： ①当21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-， 于是1223a x x a b =+=--，即3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=--=+或4123x x a a b a a =-=--=- ②当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或122()a x x a -=-，ⅰ）若212()x a a x -=-，则242a x x +=，于是1232a x x =+=3(3)a b -++于是1a b +-=，此时242(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+． ⅱ）若122()a x x a -=-，则14a x x +=，于是2132a x x =+=3(3)a b =++．于是1a b +-此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=． 综上所述，存在b 满足题意：当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．导数与其它知识综合【题27】 设函数321()(2)232af x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内，则54b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即2030620b a b a b ->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩，从而有2326b a b a b <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：4a -(,)ab 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小值也取不到，但中间的值都能取到，从而54b a --的取值范围为(1,5)．【答案】(1,5)【题28】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．⑴ 证明：21212x x x a=+；⑵ 若对于任意的1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都有916a OM ON ⋅>成立，求a 的取值范围．【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，西城，二模，题18【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +，由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++．⑵ 由()2111,M x x ax +，211,02x N x a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得3112x OM ON x a ⋅=+． 所以0a =符合题意，当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．对1()g x 求导数，得()()()211121432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ⎛⎫=-∈-∞- ⎪⎝⎭． 当1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在3,4a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在3,42aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增， 从而函数1()g x 的最小值为2327432a g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 综上，a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【题29】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】导数与其它知识综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考，题22【解析】 ⑴32()()()(1)(5)1p x f x g x x k x k x =+=+-++-，()232(1)(5)p x x k x k '=+-++．因为()p x 在区间(03)，上不单调，所以()0p x '=在(03)，上有实数解，且无重根． 由()0p x '=，得2(21)(325)k x x x +=--+，即()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦， 令21t x =+，有()17t ∈，，记9()h t t t=+，则()h t 在(]13，上单调递减，在[)37，上单调递增．所以，()[)610h t ∈，． 于是()[)92161021x x ++∈+，，得(]52k ∈--，． 而当2k =-时，有()0p x '=在()03，上有两个相等的实根1x =，故舍去． 所以()52k ∈--，； ⑵由题意，得当0x <时，()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时，()()22q x g x k x k ''==+． 因为当0k =时不合题意，所以0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形．记{}()|0A g x x '=>，{}()|0B f x x '=<， 则()A k =+∞，，(5)B =+∞，．（ⅰ）当10x >时，()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x <，且A B ⊆， 因此5k ≥；（ⅱ）当10x <时，()q x '在(0)-∞，上单调递减，所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x >，且B A ⊆，因此5k ≤． 综合（ⅰ）（ⅱ），得5k =． 当5k =时，有A B =． 则10x ∀<，()q x B A '∈=，即20x ∃>，使得21()()q x q x ''=成立． 因为()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以2x 是惟一的．同理．10x ∀>，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得22()()q x q x ''=成立． 所以5k =满足题意．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．板块五：微积分与定积分的应用知识内容1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-，，，，，． 记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在。

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导数综合讲义第1讲导数的计算与几何意义 (3)第2讲函数图像 (4)第3讲三次函数 (7)第4讲导数与单调性 (8)第5讲导数与极最值 (9)第6讲导数与零点 (10)第7讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13)第9讲导数中的距离问题 (17)第10讲导数解答题 (18)10.1导数基础练习题 (21)10.2分离参数类 (24)10.3构造新函数类 (26)10.4导数中的函数不等式放缩 (29)10.5导数中的卡根思想 (30)10.6洛必达法则应用 (32)10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8极值点偏移问题 (35)10.9多元变量消元思想 (37)10.10导数解决含有ln x与x e的证明题（凹凸反转） (39)10.11导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12隐零点问题 (42)10.13端点效应 (44)10.14其它省市高考导数真题研究 (45)导数【高考命题规律】2014年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。

近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。

预测2018年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等式结合考查恒成立问题，另外2016年全国卷1理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。

【基础知识整合】1、导数的定义：'0000()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，'0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆2、导数的几何意义：导数值'0()f x 是曲线()y f x =上点00(,())x f x 处切线的斜率3、常见函数的导数：'0C =；'1()n n x nx-=；'(sin )cos x x =；'(cos )sin x x =-；'1(ln )x x =；'1(log )ln a x x a=；'()x x e e =；'()ln x xa a a =4、导数的四则运算：'''()u v u v ±=±；；'''()u v u v v u ⋅=+；'''2()u u v v uv v -=5、复合函数的单调性：'''(())()()xfg x f u g x =6、导函数与单调性：求增区间，解'()0f x >；求减区间，解'()0f x <若函数在()f x 在区间(,)a b 上是增函数'()0f x ⇒≥在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上是减函数'()0f x ⇒≤在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上存在增区间'()0f x ⇒>在(,)a b 上恒成立；若函数在()f x 在区间(,)a b 上存在减区间'()0f x ⇒<在(,)a b 上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法第1讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =__________1ln 2-（2015全国卷1理21（1））已知函数31()4f x x ax =++，当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线34a =-（2015安徽卷理18（1））设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标，求数列{}n x 的通项公式.1n n x n =+（2015重庆卷理20（1））设函数23()()xax axf x a R e+=∈，若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程0a =，30x ey -=1、函数2()cos f x x =在点1(,)42π处的切线方程为___1024x y π+--=_____2、过32()325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_3[0,)[,)24πππ ____3、若一直线与曲线ln y x =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a =__2e ___4、两曲线21y x =-和ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__(0,2)e __5、已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（C ）（A ）(0,)+∞（B ）(0,1)（C ）1(0,)2（D ）[1,)+∞6、若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公切线，则实数a =（C ）（A ）2-（B ）12（C ）1（D ）27、函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，当0x >且1x ≠时，'2()()01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则(1)f =（C ）（A ）0（B ）1（C ）38（D ）15第2讲图像问题1、己知函数()32f x ax bx c =++，其导数()'fx 的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是（D ）（A ）a b c ++（B ）84a b c ++（C ）32a b+（D ）c2、设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为（A ）xy OxyO AxyO BxyO CyO Dx3、（2017全国卷Ⅰ文8）函数sin21cos xyx=-的部分图像大致为（C ）4、函数()ln ||||x x f x x =的图像可能是（B )A BDCyOx11-yOx11-yOx11-yOx11-5、函数1()(cos (,0)f x x x x x xππ=--≤≤≠的图像可能为（D ）6、已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是(A )7、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是(B )（A ）①②（B ）③④（C ）①③（D ）①④8、已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2'230x x fx -->的解集为(D)（A ）()(),21,-∞-+∞ （B ）()(),21,2-∞- （C ）()()(),11,02,-∞--+∞ （D ）()()(),11,13,-∞--+∞ 9、函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示,则2212x x +等于(C)（A ）89（B ）109（C ）169（D ）4510、（2015安徽）函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（C ）（A ）0,0,0a b c >><（B ）0,0,0a b c <>>（C ）0,0,0a b c <><（D ）0,0,0a b c <<<11、（2016全国卷）函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（D ）（A ）（B ）（B ）（D ）第3讲三次函数1、函数3211()(1)2(1)32f x x m x m x =-++-在(0,4)上无极值，则m =__3___2、已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -=_7-_3、设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点12,x x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是_1(,1][,2]2-∞- __4、函数32()32f x x x ax a =-+--，若存在唯一正整数0x ，使得0()0f x >，则实数a 的取值范围是__2[,1)3___5、已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（A ）（A ）[（B ）(（C ）(,)-∞+∞ （D ）(,)-∞+∞ 6、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上有极值点，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）5(2,,)2（B ）5[2,,)2（C ）10(2,,3（D ）10[2,,37、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上单调递减，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）1[,)3+∞（B ）5[,)3+∞（C ）10[,)3+∞（D ）16[,)3+∞8、若函数322()33x f x x =+-在区间(,5)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）[5,0)-（B ）(5,0)-（C ）[3,0)-（D ）(3,0)-9、若函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ba的值为（C ）（A ）32-或12-（B ）32-或12（C ）32-（D ）12-1、已知函数2()52ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是_1(0,)(2,)2+∞ __2、已知函数()ln ()xxf x e x ae a R =-∈，若()f x 在(0,)+∞上单调，则a 的取值范围是_1a ≤__3、设函数23()()xx axf x a R e+=∈，若()f x 在[3,)+∞上为减函数，则a 的取值范围是__92a ≥-_____4、若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”，已知()ln +1xg x e x x =+-，若函数()g x 是区间[,)2m+∞上的“完美函数”，则整数m 的最小值为__3______5、设函数2()xf x e ax =+在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（C ）（A ）[1,)+∞（B ）(1,)-+∞（C ）[2,)-+∞（D ）(2,)-+∞6、函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是（B）（A ）[1,)+∞（B ）3[1,)2（C ）[1,2）（D ）3[,2)27、若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（D）（A ）(,2]-∞-（B ）(2,)-+∞（C ）1(2,)8--（D ）1[,)8-+∞8、设12x <<，则222ln ln ln ,(),x x x x x x 的大小关系是（A）（A ）222ln ln ln (x x x x x x <<（B ）222ln ln ln ()x x x x x x <<（C ）222ln ln ln (x x xx x x<<（D ）222ln ln ln (x x xx x x<<9、下列命题为真命题的个数是（D ）①22ee >②2ln 23>③ln 1eππ<④ln 2ln 2ππ<（A ）1（B ）2（C ）3（D ）41、已知0x =是函数222()(2)(2)f x x a x a x a =-++的极小值点，则a 的范围是_(,0)(2,)-∞+∞ __2、已知1x =是函数2()(2)(0)2xk f x x e x kx k =--+>的极小值点，则k 的范围是_(0,)e _3、已知函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（D）（A ）212ln 2()4f x +<-（B ）212ln 2()4f x -<（C ）212ln 2()4f x +>（D ）212ln 2()4f x ->4、若函数()3xf x ae x =+在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（B ）（A ）(3,)-+∞（B ）(,3)-∞-（C ）1(,)3-+∞（D ）1(,3-∞-5、已知函数()(ln )f x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（B ）（A ）(,0)-∞（B ）1(0,2（C ）(0,1)（D ）(0,)+∞6、若函数2()(12)2ln (0)2ax f x a x x a =-++>在区间1(,1)2内有极值，则a 的取值范围是（C）（A ）1(,)e+∞（B ）(1,+)∞（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞7、若函数()f x 在区间A 上，对,,,(),(),()a b c A f a f b f c ∀∈为一个三角形的三条边，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（D）（A ）212(,)e e e +（B ）2(,+)e ∞（C ）1(,)e +∞（D ）22(,)e e++∞1、设函数2ln ()2xf x x ex a x=--+，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（D）（A ）21(0,,]e e-（B ）21(0,]e e+（C ）21[,)e e-+∞（D ）21(,e e-∞+2、已知函数()2x me f x =与函数2()21g x x x =--+的图像有两个不相同的交点，则实数m的取值范围为（D ）（A ）[0,1)（B ）218[0,2){}e-（C ）218(0,2){}e-（D ）218[0,{}e-3、定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足'1()()()f b f a f x b a -=-，'2()()()f b f a f x b a-=-，则称()f x 是[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()2f x x x m =-+是[0,2]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（A ）（A ）11(,84（B ）11(124，）（C ）11(,)128（D ）1(,1)84、若存在正实数m ，使得关于x 的方程(244)[ln()ln ]0x a x m ex x m x ++-+-=有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（C ）（A ）(,0)-∞（B ）1(0,2e（C ）1(0)(,)2e-∞+∞ （D ）1(,)2e+∞5、（2017.12成都一诊）若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=-有三个不相等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.71828...m R e ∈=为自然对数的底数，则3122312(1)(1)(1)x x x x x x e e e ---的值为（D ）（A ）e （B ）1m -（C ）1m +（D ）16、已知函数1()(31)x f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围为（B ）（A ）5(,2)e（B ）258[,23e e--（C ）218[,)23e--（D ）5[4,2e e--第7讲导数中的恒成立与存在性问题1、（2015全国卷1理12）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（D ）（A ）3[,1)2e-（B ）33[,24e -（C ）33[,24e （D ）3[,1)2e2、设函数()(31)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得0()0f x ≤，则a 的取值范围是（C ）（A ）23(,4e （B ）23[,4e （C ）2(,1)e （D ）2[,1)e 3、已知函数1()()x f x x a e=-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（D ）（A ）2(,)e -+∞（B ）2(,0)e -（C ）21(,)e -+∞（D ）21(,0)e-4、设函数222()()()()4e af x x a a R -=+-∈，若关于x 的不等式1()5f x ≤有解，则实数a 的值为（A ）（A ）15（B ）14（C ）0（D ）125、已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）（A ）(0,1]（B ）(1+)∞，（C ）(0,1)（D ）[1,)+∞6、已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，若对,(0,1)p q ∀∈，且p q ≠，有(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（C ）（A ）(,18)-∞（B ）(,18]-∞（C ）[18,)+∞（D ）(18,)+∞7、设函数2()(33)(2)xxf x e x x ae x x =-+--≥-，若不等式()0f x ≤有解，则实数a 的最小值为（A ）（A ）11e-（B ）12e-（C ）11e-（D ）21e+8、设函数323()(+62)22x x f x e x x x ae x =-+--，若不等式()0f x ≤在[2,)-+∞上有解，则实数a 的最小值为（C ）（A ）312e--（B ）322e--（C ）3142e--（D ）11e--9、已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得'()()f x xf x >-，则实数b 的取值范围是（C ）（A）(-∞（B ）3(,2-∞（C ）9(,)4-∞（D ）(,3)-∞10、已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_1a e≥-_______11、若关于x 的不等式22(1)ln 0c x cx x cx -++≥在(0,)+∞上恒成立，则实数c 的取值范围是__1[,)e+∞____12、若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__1(,){}e e-∞- _13、若函数()1ln (0)f x x a x a =--<，1()x x g x e -=，且对任意1212,[3,4]()x x x x ∈≠，121211()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，则实数a 的取值范围为_33[4,0)4e -____14、设函数21()x f x x+=，()x x g x e =，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()+1g x f x k k ≤恒成立，则正数k 的取值范围是_121k e ≥-___15、记曲线()2xf x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过()3cosg x ax x =+上一点处的切线为2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是__[1,2]-__第8讲原函数导函数混合还原一．导数的常见构造1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()axx f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=4．对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =7．对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =；(2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；二．对于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。

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