2015届高考数学(理)一轮讲义：第29讲 导数及其应用经典回顾 精品讲义

导数及其应用经典回顾

主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师

开心自测

题一：若函数()y f x =的导函数．．．

在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

题二：若21()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）． A ． [1,)-+∞ B ． (1,)-+∞ C ． (,1]-∞- D ． (,1)-∞-

考点梳理

1．导数的概念

（1）函数在某一点处的导数

对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x V ，那么函数y 相应地有增量

00()()y f x x f x =+-V V ．如果当0x →V 时，y x

V V 有极限，我们就说()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即

0()f x '0000()()lim lim x x f x x f x y x x

→→+-==V V V V V V ． 对于这一定义，我们应该明确如下四点：

① 函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +V 、无意义），x 在0x 处的增量

0x x x =-V ，x V 是自变量，并且0x ≠V ．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另

一种表达形式是 0000

()()'()l i m x x f x f x f x x x →-=-．

② 函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →V 时，比值

y x V V 有极限．否则，若0lim x y x →V V V 不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导．

③ ()f x 在0x 处的导数0()f x '不是一个变数，而是一个确定的数值．

④ 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，其几何意义是曲线()y f x =在点

00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为000'()()y y f x x x -=-．

（2）导函数

若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即

00()()'()'lim lim x x y f x x f x f x y x x

→→+-===V V V V V V ．

2．导数公式及求导法则

（1）几种常见函数的导数公式

'0c =（c 为常数）； '1()n n x nx -=(n Q ∈)；

()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；

()'x x e e =； ()'x x

a a lna =；

1()'lnx x =； 1()'a a log x log e x =． （2）和、差、积、商的求导法则

()'''u v u v ±=±；

()'''uv u v uv =+； 2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

(0)v ≠． （3）复合函数的求导法则 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =⋅， 或写作

'(())'()'()x f x f u x ϕϕ=．

3．定积分的基本性质

（1）

()() ()b b a a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数； （2）

1212[()()]() ()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()() ()b

c b

a a c f x dx f x dx f x dx a c

b =+<<⎰⎰⎰其中． 4．微积分基本定理

如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，

那么

()()()b a f x dx F b F a =-⎰．

金题精讲 题一：2

2

(1cos )x dx π

π-+⎰等于（ ）． A ．π B. 2 C. 2π- D. 2π+

题二：设定函数32() (0)3

a f x x bx cx d a =

+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4．

（Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；

（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围．

题三：设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2

21x e x ax >-+．

名师寄语

导数是微积分最基本的知识点之一，也是高中数学的重要内容之一，学好这部分知识，应着重处理好以下五类问题：一是正确理解导数的概念，掌握几种常见函数的求导公式，和、差、积、商的求导法则以及复合函数求导法则，并能利用它们求一些简单函数的导数；二是熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值；三是理解导数的几何意义，并能解决与曲线的切线有关的问题；四是能利用导数证明不等式；