[实用参考]导数讲义(学生版).doc
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
高中数学全套讲义 选修1-1 导数概念中挡 学生版
目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (4)考点二导数的几何意义 (4)题型3 有关斜率的判断与计算 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值2．（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3） 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．27．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．09．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定12．（2018秋•中山市期末）已知曲线y lnx =的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t 秒后的距离为322s t t t =-+，则2t =秒时的瞬时速度为( )A ．8/m sB ．10/m sC ．16/m sD ．18/m s14．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 15．（2018秋•龙岩期末）已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．16．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．17．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．2．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2018春•江岸区校级月考）已知一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A ．5 /m sB ．6 /m sC ．7 /m sD ．8 /m s5．（2018•咸阳三模）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(0)(1)f f '=' ．6．（2018春•昌吉市期末）如图函数()f x 的图象在点P 处的切线为：25y x =-+，则f （2）f +'（2）= ．7．（2019春•让胡路区校级月考）已知函数()()y f x x R =∈上任一点0(x ，0())f x 处的切线斜率200(3)(1)k x x =-+，则该函数的单调递增区间为 ．8．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．9．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．10．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．。
导数讲义
导数讲义导数作为研究函数单调性最一般、最有效的工具，同时也是刻画复合函数图像，求解函数极值最值，解决恒成立、存在问题的最理想手段，其重要性不言而喻，而且定积分也是建立在导数基础之上的，在高考题目中分值一般在17分左右，那么，Let ’s Go,young man!一、导数的定义：严格地来说，导数依然是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在其对应关系不是传统的由数集A 中的数通过某种或几种四则、对数、指数、开方运算得到一个集合B 中唯一的数，而是另一个函数在任意自变量处函数值变化量与自变量变化量比值的极限与数集B 中唯一的数对应，即对应关系f 为0limx yx。
因为导数是基于另一个函数()yf x 的，所以我们把()y f x 的导数记为'()yf x 。
②函数某点处的导数)('0x f 平均变化率：我们把yx称为平均变化率。
当自变量的变化量x 很小时，我们就称此时的平均变化率为瞬时变化率，瞬时变化率：我们把0limx yx称为瞬时变化率，00()()yf x x f x ，我们把)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率0limx yx =00()()lim x f x x f x x称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x例1：已知函数()y f x 满足'(1)2f ，求0(13)(1)lim x f x f x③某点处导数的几何意义：我们知道1212()()f x f x x x 表示函数()yf x 图像上两点))(,()),(,(2211x f x x f x 连线的斜率，我们称之为为函数图像上一条割线的斜率，而当21,x x 即为接近时，即210x x x 时，我们可以把))(,(,)(,2211x f x x f x ）（几乎可以看成一点，此时我们可以认为这条直线为函数图像的一条切线，而导数恰好是该切线的斜率，这就是某点处导数的几何意义：函数在某点处的导数就是函数图像该点处切线的斜率。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
(完整word版)第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)
导数与导函数的概念【基础知识点】 1．函数从到的平均变化率为①____________，若21x x x =-△，21()()y f x f x =-△，则平均变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 3．几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
4．导函数的概念：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。
【典例解析】【典例1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， （3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=__________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺ ()2x x'=⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝)('o x f （x －x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数 （1）35y x =（2）41y x =（3）4log y x = （4）sin()2y x π=-（5）3cos()2y x π=+ （6）x x x y = 题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线331x y =上一点)38,2(P ,则过P 点的切线方程为 .解析：过点P 的切线的斜率为()'24k f ==，那么切线方程为()8423y x -=- ，即123160x y --= ．变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 题型二：点不在曲线上【典例3】过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 解析：设切点为()00,x y ，切线的斜率为()'0021fx x =+，则切线方程为：()()'000y y f x x x -=- ，因为点)0,1(-在切线上，故()()'0001y f x x -=-- ，解得00x = ，或02x =- ，切点为()0,1 或()2,3- ，故切线方程为20x y -+= 或330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()xf x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程。
导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
(完整版)高二导数讲义
导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
导数的定义及可导条件教案
导数的定义及可导条件教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在某一点的局部性质。
举例说明导数的含义：如速度、加速度等物理量的变化率。
1.2 导数的符号与表示方法介绍导数的符号：常用的导数符号为dy/dx 或f'(x)解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
1.3 导数的计算法则强调导数的计算法则：导数的计算遵循一些基本的法则，如四则运算法则、链式法则、幂函数法则等。
第二章：导数的计算2.1 常数函数的导数证明常数函数的导数为0：由于常数函数的图像为水平线，其斜率为0，导数为0。
2.2 幂函数的导数推导幂函数的导数公式：对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1) 2.3 指数函数与对数函数的导数引入指数函数的导数：对于函数f(x) = a^x，其中a 是常数，其导数为f'(x) = a^x ln(a)引入对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x第三章：可导条件3.1 连续性是可导的条件之一解释连续性是可导的条件：函数在某一点连续是其在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
3.2 不同的iable性是可导的条件之一介绍不同的iable性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点不同的iable，即存在极限。
3.3 导数的极限性是可导的条件之一解释导数的极限性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点的导数存在极限。
第四章：导数的应用4.1 函数的单调性解释单调性的概念：函数在某个区间内单调递增或单调递减，即导数的符号不变。
4.2 函数的极值介绍极值的概念：函数在某一点取得局部最大值或最小值，即导数为0的点。
4.3 函数的图像分析利用导数分析函数图像：通过导数的正负变化来判断函数的单调性、极值等性质。
第五章：练习题提供一些有关导数定义及可导条件的练习题，让学生巩固所学知识。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
1.1导数的概念讲义
导数的概念讲义知识要点：一、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy二、确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 三、瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 四、确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t 0+Δt)－s(t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt. 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时五、导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
导数讲义
导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
导数讲义(学生新版)
导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
1导数讲义1
1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A.－1B.－2C.2D.0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A.2x －y ＋3＝0B.2x －y －3＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1B.－3C.－4D.－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.4x －3y ＋1＝0C.3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D.3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________. 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，∴切点P 的坐标为(1,1).故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. [方法与技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y'=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 016(x )等于()A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A.－1B.0C.2D.4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7.若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知函数f (x )＝x 2－1和函数g (x )＝2ln x ，那么函数f (x )和函数g (x )的隔离直线方程为____________. 答案 y ＝2x －2解析 由题意得函数f (x )和函数g (x )的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f ′(1)＝2＝g ′(1)＝k ，所以切线方程为y ＝2(x －1).8.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________. 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)， 则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图像的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14B.12C.1D.4答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244a -⨯=，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.12.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134 D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大.13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.14.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________. 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在.由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12).∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12) ＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数综合讲义(1)
导数综合讲义第1 讲导数的计算与几何意义 (3)第2 讲函数图像 (4)第3 讲三次函数 (7)第4 讲导数与单调性 (8)第5 讲导数与极最值 (9)第6 讲导数与零点 (10)第7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11)第8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13)第9 讲导数中的距离问题 (17)第10 讲导数解答题 (18)10.1导数基础练习题 (21)10.2分离参数类 (24)10.3构造新函数类 (26)10.4导数中的函数不等式放缩 (29)10.5导数中的卡根思想 (30)10.6洛必达法则应用 (32)10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33)10.8极值点偏移问题 (35)10.9多元变量消元思想 (37)10.10导数解决含有ln x与e x 的证明题（凹凸反转） (39)10.11导数解决含三角函数式的证明 (40)10.12隐零点问题 (42)10.13端点效应 (44)10.14其它省市高考导数真题研究 (45)0 0 0 x 导数【高考命题规律】2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。
近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单； 第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。
预测2018 年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等 式结合考查恒成立问题，另外 2016 年全国卷 1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。
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导数一、导数的概念函数P=f(G),如果自变量G 在G 0处有增量x ∆，那么函数P 相应地有增量y ∆=f（G 0+x ∆）－f （G 0），比值xy∆∆叫做函数P=f （G ）在G 0到G 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数P=f(G)在点G 0处可导，并把这个极限叫做f （G ）在点G 0处的导数，记作f ’（G 0）或P ’|0x x =。
f ’(G 0)=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
例、若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（） A ．k 2B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数P=f （G ）在点G 0处的导数的几何意义是曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率是f ’（G 0）。
切线方程为P －P 0=f /（G 0）（G －G 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π=（2）4()f x x =（3）()f x =4）()sin f x x =（5）()cos f x x =-（6）()3x f x =（7）()x f x e =（8）2()log f x x =（9）()ln f x x =（10）1()f x x =（11）31cos 44y x =+（12）1xy x=+（13）lg x y x e =-（14）3cos y x x =2、导数的四则运算法则： )()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数： （1）x x y 22+=；（2）x x y ln -=； （3）x x y sin =；（4）x x y ln =。
（5）xx y sin =；（6）x x y ln 2=。
3、复合函数求导：如果函数)(x ϕ在点G 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数P=f (u )=f [)(x ϕ]在点G 处也可导，并且 (f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 例、求下列函数的导数（1）P=x 21-cos G （2）P=ln(G +21x +) 练习：求下列函数的导数（1）P =2)13(1-x （2）P =sin （3G +4π） 常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线P ＝e －G 上点P 处的切线平行于直线2G ＋P ＋1＝0，则点P 的坐标是________．例2、曲线P ＝G e G －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例3、[20PP ·新课标全国卷Ⅱ]设曲线P ＝aG －ln(G ＋1)在点(0，0)处的切线方程为P ＝2G ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程 例4.求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 变式训练：1、[20PP ·广东卷]曲线P ＝－5e G ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[20PP ·江苏卷]在平面直角坐标系GOP 中，若曲线P ＝aG 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7G ＋2P ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．3、与直线1+-y x ＝0平行,且与曲线P ＝132-x 相切的直线方程 类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数P =G 2(1－G )3的单调区间. 变式训练：1.函数x x y ln =的单调递减区间是（） A ．),(1+∞-e B ．),(1--∞e C ．),0(1-e D ．),(+∞e2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为() （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当0m ≤时，讨论函数()f x 的单调性.例2、设函数f(G)=3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 求f(G)的单调区间；例3、设函数f (G )=aG －(a +1)ln(G +1)，其中a ≥--1，求f (G )的单调区间。
变式训练：1、[20PP ·山东卷]设函数f (G )＝a ln G ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线P ＝f (G )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (G )的单调性．2、【20PP ·安徽卷】设函数f (G )＝1＋(1＋a )G －G 2－G 3，其中a >0. (1)讨论f (G )在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[20PP ·新课标全国卷Ⅱ]若函数f (G )＝kG －ln G 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )优质参考文档A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)例2、[20PP ·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f (G )＝aG 3－3G 2＋1，若f (G )存在唯一的零点G 0，且G 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)例3、[20PP ·辽宁卷]当G ∈[－2，1]时，不等式aG 3－G 2＋4G ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 变式训练：（山东省烟台市20PP 届高三上学期期末考试试题（数学文））已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 例1、已知函数在处都取得极值．（1）求、的值；变式训练：设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例2、（06安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
例3、已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；xxb ax x f ln 42)(+-=311==x x 与a b（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．例4、[20PP ·江西卷]已知函数f (G )＝(G 2＋bG ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (G )的极值；(2)若f (G )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．变式训练：1、已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.2、（20PP 全国Ⅱ文20）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(20PP 年重庆卷)已知函数f(G)＝aG 3＋G 2＋bG(其中常数a ，b ∈R)，g(G)＝f(G)＋f ′(G)是奇函数．(1)求f(G)的表达式；(2)讨论g(G)的单调性，并求g(G)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 例2、设函数f(G)＝aG 3＋bG ＋c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线G －6P －7＝0垂直，导函数f ′(G)的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f(G)的单调递增区间，并求函数f(G)在[－1,3]上的最大值和最小值．例3、已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,](2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．例4、[20PP ·安徽卷]设函数f (G )＝1＋(1＋a )G －G 2－G 3，其中a ＞0. (1)讨论f (G )在其定义域上的单调性；(2)当G ∈[0，1]时，求f (G )取得最大值和最小值时的G 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。