第2单元 第5讲 函数的单调性与最值PPT课件
函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数的单调性与最值-PPT
30
∴当 x＝ 时，函数3
2
g(取x)=得- x32最 小2x =值1 ，
5 3
，m12即-4m(32m2＋53 1)·(4m2－3)≥0，
解得m≤
或m≥ .3
2
3 2
31
27
正解：
由不等式x2-4x+3＞0，得函数的定义域为
(-∞，1)∪(3，+∞)．
设u=x2-4x+3，则 y log1 u 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，2
故由二次函数的性质知：
当x≥2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x＜2时，u=x2-4x+3为减函数．
因为函数定义域为(-∞，1)∪(3，+∞) 且 y log1 u 为减函数，
减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
4
基础达标
• (教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为 增函数的是( B )
A. y＝－x＋1 C. y＝x2－4x＋5
B. y＝ x D. y＝ 2
x
解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．
5
2. (教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)
22
由②得0<x2+5x+4≤
1 4
∴
5 10 2
≤x<-4或-1<x≤
5 1，0 ④
2
由③、④得原不等式的解集为
{x x 5或 5 10 x 4或 1 x 5 10 或x 0}
2
2
.
23
题型四 函数的最值 【例4】 已2 知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝3f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
函数的单调性ppt课件
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
函数的单调性与最值(PPT)5-1
然冲破地壳，向四外迸出：火山～。②突然发作；（事变）突然发生：～｜～战争。 【爆发变星】ī恒星的一种，由于星球内部原子反应所引起的爆炸，光度 突然变化。新星和超新星都属于爆发变星。 【爆发力】名体育运动中指在短暂间突然产生的力量，如起跑、起跳、投掷、扣球时使出的力量。 【爆发音】ī 名塞（）音。 【爆冷】动爆冷门：羽毛球赛接连～，一批种子选手相继被淘汰出局。 【爆冷门】（～儿）指在某方面突然出现意料不到的事情：本届世界锦 标赛大～，新手打败了上届冠军。 【爆料】∥〈方〉动发表令人感到意外或吃惊的新闻、消息等。 【爆裂】动（物体）突然破裂：豆荚成熟了就会～。 【爆 满】动形容戏院、影院、竞赛场所等人多到没有空位的程度：剧场里观众～，盛况空前。 【爆棚】〈方〉动爆满。 【爆破】动用摧毁岩石、建筑物等：定向 ～｜～敌人的碉堡。 【爆破筒】名一种爆破用的火器，在钢管内装上和雷管。多用来破坏敌方的工事或铁丝网等障碍物。 【爆胎】∥动车胎爆裂。 【爆笑】 动突然发出笑声：滑稽戏令人～。 【爆炸】动①物体体积急剧膨大，使周围气压发生强烈变化并产生巨大的声响，叫做爆炸。核反应、急剧的氧化作用和容
综合（1）、（2）即知，对任意的 x，恒有
酷地剥削、镇压人民的政治措施。 【暴卒】〈书〉动得急病突然死亡。 【虣】〈书〉同“暴（凶暴）”。 【瀑】瀑河，水名，在河北。 【曝】（旧读）［ 曝光］（∥）动①使照相底片或感光纸感光。②比喻隐秘的事（多指不光彩的）显露出来，被众人知道：事情在报上～后，引起了轰动。‖也作暴光。 【爆】 动①猛然破裂或进出：～炸｜豆荚～了｜打在； SWL丝杆升降机 ；石头上，～起许多火星儿。②出人意料地出现；突然发生： ～冷门｜～出特大新闻。③烹调方法，用滚油稍微一炸或用滚水稍微一煮：～肚儿｜～鱿鱼卷。 【爆炒】动在一段时间内极力炒作：～内幕新闻。 【爆肚儿
第五讲函数的单调性与最值ppt课件
观察: 以下图(1)表示高台跳水运发动的高度 h 随时间 t 变化
的函数h(t) 4.9t 2 6.5t 10 的图象, 图(2)表示高台跳水 运发动的速度 v 随时间 t 变化的函数v(t) 4.9t 6.5 的图
象.
运发动从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时
间的运动形状有什么区别? ①运发动从起跳到
和定积最大
立，a与b 必需可以相
强调：求最值时要思索不; 等式能否能取到等“＝
运用根本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
求f (x) sin x 2 , (x (0, ))的最值。
sin x
a与b为正实数 积定和最小 假设等号成
和定积最大
立，a与b 必需可以相
强调：求最值时要思索不; 等式能否能取到等“＝
ab
0,
a b
能得ba到什么结论?
请阐明理由.
以前知识复习终了。
;
注：数形结合。
;
;
算术平均数
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
;
对根本不等式的几何意义作进 一步探求:
P
A
a o Qb B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上 任一点， AQ=a,BQ=b,过 点Q作垂直于AB 的弦PQ，连
AP,BaP, abb 那么P2Q=____,半
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,假设 f (x) 0,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 假设 f (x) 0 ,那
函数的单调性和最值精品PPT精选文档
26
例2、“菊花”烟花是最壮观的烟花一之。 制造时 一般是期望在它达到高最点时爆裂。 如果烟
花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为
ht 4.9t2 14.7t 18,那么烟花冲出后什么
时候是它爆裂的最佳刻时？这时距地面的高
度是多少精确到1米？
t=1.5秒
O
x1
x
15
y
y x2
f (0)
O
x
16
函y数 fx的最:小值
设函 y数 fx的定义 I，如 域果 为存 实N 数 满N 足 是 yfx的最，小 那值 么
1 对于 x I 任 ，都 意 fx 有 N 的
， 2 存 x 0 I 在 使 fx 0 得 N
17
探究:函数单调性与函数的最值的关系
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 单调区间
2
在某区间上，
增函数 图象上升
y
点此播放动画视频
o
x
减函数 图象下降。
y
o
x
3
三、用定义证明函数单调性的步骤是：
(1) 、 取 值
即取 x1,x2是该区间内的值 任且 x1意 x2两个
（2）、作差变形
即 fx 1 求 fx 2 ,通过 、配 因 、有 方 式理 分化
ƒ(0)=1 x
1、对任意的xR 都有ƒ(x)≤1
2、存在0，使得ƒ(0)=1 6
函y 数 fx的最:大值 设函 y数 fx的定义 I，如 域果 为存 实M 数 是函 y数 fx的最,那 大么 值
(1 )对于 x I 任 ，都 意 fx 有 M 的
， 2 存 x 0 I 在 使 fx 0 得 M
人教版高中数学函数的单调性与最大(小)值(共16张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
最新2019-函数的单调性、极值与最值-PPT课件
(2)一般地，可导函数f(x)在(a，b) 上是增(减)函数的充要条件是：对任 意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)， 且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒 等于零．特别是在已知函数的单调性
求参数的取值范围时，要注意等号是 否可以取到．
课堂互动讲练
(2009年高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x) ＝x4－3x2＋6.
课堂互动讲练
(解题示范)(本题满分14分) 4.已知x>0，证明：
不等式1+ x2－x82< 1＋x<1＋x2.
练习
1.设函数f(x)=x-a(x-1)ln(x+1)(x>-1,a 0) 1.求f(x)的单调区间
2.a=1方程f(x)=t在-1/2,1上有两个实数解
求t的取值范围 3.证明：当mn 0时，（1+m)n (1n)m
1．(2019年高考江苏卷)函数 f(x)＝x3－ 15x2－33x＋6的单调 减区间为________．
三基能力强化
2．已知对任意x∈R，恒有f(－x) ＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时， f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时有f′(x)， g′(x)的正负情况为________．
三基能力强化
3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋ d(a>0)，则f(x)为增函数的充要 条件是________．
三基能力强化
4．三次函数y＝f(x)＝ax3 ＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增 函数，则a的取值范围是 ________．
课堂互动讲练
利用导数研究函数的单调性应注意 以下两点：
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件， 而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x) ＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某 个区间上的单调性．
2021届新高考数学一轮课件：第二章+第5讲+函数的单调性与最值
答案：D
难点突破 ⊙函数的最值与值域 例题：求下列函数的值域：
(1)y＝3xx－＋22； (3)y＝x2＋x－x＋1 2(x>1)；
(2)y＝x2x－2－x＋x 1； (4)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解：(1)方法一，y＝3xx－＋22＝3x－x－62＋8＝3＋x－8 2， ∵x－8 2≠0，∴y≠3. ∴函数 y＝3xx－＋22的值域是{y|y∈R，且 y≠3}. 方法二，由 y＝3xx－＋22，得 x＝2yy－＋31.∴y≠3.
∵log34>log33＝1,1＝20>2－23>2－32，∴log34>2
2 3
>2
3 2
，
又 f(x)在(0，＋∞)单调递减，
2
3
∴f(log34)<f(2 3 )<f(2 2 )，
∴f(2
3 2
2
)>f(2 3
)>flog314，故选
C.
答案：C
考向 2 解不等式
例 4：(1)(2017 年新课标Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调
解析：x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0，即 f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又 f(x)为偶函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∴f(3)<f(4)<f(5)， ∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选 A. 答案：A
(2)(2019 年新课标Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在
3.函数 y＝ 16－4x的值域是___[_0_,4_)__.
解析：∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴ 16－4x∈[0,4). 4.函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为___2___.
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
课件_人教版高中数学必修-单调性与最大值PPT课件_优秀版
二、函数的最大值与最小值的几何意义
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低 点，它们不一定只有一个．
常考题型
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
那么，称M是函一数y＝f(求x)的函最数大值的．最值
理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
函数的最值与值域、单调性之间的联系
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
1 单调性与最大（小）值 (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在 顶点处取得.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在 顶点处取得. 一、函数的最大值与最小值
1. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 函数的最值与值域、单调性之间的联系 (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. 1 单调性与最大（小）值 利用函数的单调性求最值 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． 一、函数的最大值与最小值 1 单调性与最大（小）值
2025届高中数学一轮复习课件《函数的单调性和最值》PPT
函数
函数
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增函数
减函数
第6页
图象 描述
自左向右看图象是 上升的
自左向右看图象是 下降的
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第7页
2.单调区间的定义 若函数 y＝f(x)在区间 I 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间 I 叫做 y＝f(x)的单调区间．
解析 答案
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第14页
3．(1)函数 y＝11－＋xx的单调递减区间是___(_－__∞__，__－__1_)，__(_－__1_，__＋__∞__)_____． (2)函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间是__(_－__1_,_1_] __．
解析：(1)∵y＝11－＋xx＝－1＋1＋2 x，故其单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)． (2)由11－＋xx≥0，得 x∈(－1,1]，即为函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间．
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解：函数 f(x)在(－1,1)上是增函数，证明如下： 任取 x1，x2∈(－1,1)且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x21x＋1 1－x22x＋2 1 ＝x1xx22＋12＋x11－xx2221＋x2－1 x2 ＝x1x2xx122＋－1x1＋x22＋x11－ x2 ＝x1x－21＋x211x－22＋x11x2， 变形后因式分解，得到关键因子即为 1－x1x2. 它影响代数式的符号，讨论 1－x1x2 的 符号变化，才能得到函数的单调性．
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第9页
三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
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函数的单调性和最值-PPT精品课件
3 2 1
3 2
1 1 2 3
•
•
-1 -2 -3 -4
y
f ( x1 )
yx
2
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
y
yx
2
f (x1 )
x 1O
x
y
yx
2
f (x1 ) Ox
1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f ( 0)
O
x
2 y x
3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3
2 y x 1
3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3 4 5 6
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即求f x1 f x2 , 通过因式分解 、 配方、 有理化等方法
（2）、作差变形 （3）、定 （4）、判
号 断
即根据给定的区间和 x2 x1的符号确定 f x1 f x2 的符号
根据单调性的定义得结论
函数f x xx R
函数f x x 1x R
自变量的值x x2 , 当x1 x 2时, 都有f x1 f x2 1,
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 单调区间
在某区间上，
增函数
函数单调性和最大小值课件ppt
变式4
讨论函数 f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性.
解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a， （1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增； （2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性， 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
值随着 _增___大____ ．
2．f (x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 _下__降___? ②在区间（__-_∞_，__+__∞_）___ 上，随着x的增大，f (x)的值 随着 __减__小____ ．
3．f (x) = x2
①在区间 __(_-_∞_,_0_]_____ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _减___小____ ． ② 在区间 _（__0_，__+__∞_）___ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _增__大_____ ．
_____________
讨论函数
在(-2,2)内的单调性.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
y 区间D内随着x的增大，y也增大
(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
单调递减区间：
是定义在R上的单调函数，且
的图
f(x)x 2x （2）求适合
诉例我4、们物，理对学于中一的定玻量意的耳气定体律，当p其Vk体(k积为V正 减常 小时数 ) 告，
压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则